第一章 数与式（举一反三综合训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

第一章 数与式（举一反三综合训练） 【全国通用】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列四个数中，最大的数是（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，关键在于明确正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值小的，反而大．通过分析正负数的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵，，且， ∴， 最大的数2， 故选：A． 2．（2025·山东济南·中考真题）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选:C． 3．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 7．（2025·重庆·模拟预测）估计 的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数大小估算、二次根式的混合运算，首先根据二次的运算法则可得：原式，因为，，可知，利用不等式的基本性质变形，可得：，从而可得：． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）将数字填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为A，B，C，且．已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为x，y，． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确 B．结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解x，y，这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 根据x，y，这三个数每个都加了两次，三个圆上的数字之和应为63，1至9的和为45，可得；根据，1至9的平方和为285，通过配方，可得的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个圆上的数字之和应为， 其中的x，y，这三个数每个都加了两次， ， ， ； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A，B，C，且． ， ， ， 整理得， ， ， ， 综上可知，结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确． 故选A． 9．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，分，，……，，一共14种情形，讨论b的值，根据傅里叶数组的定义确定每种情形下的傅里叶数组的个数即可得到答案． 【详解】解：当时，的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为14个； 当时，若b为偶数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或或，共3个； 当，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，若b为3的倍数，则的最大公因数即为3，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或，共2个； 当时，若b不为3的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为4的倍数，则的最大公因数即为4，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有，共1个； 当时，若b为偶数，且b不是4的倍数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为6个； 当时，若b为5的倍数，则的最大公因数即为5，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，若b不为5的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为6的倍数，则的最大公因数即为6，则此时要满足能被整除时，才符合题意，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数且b不能被3整除，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为3个； 当时，若b为奇数且b能被3整除，则的最大公因数即为3，则此时一定能被整除，此时没有符合题意的； 当时，若b为偶数，且b不能被6整除，则的最大公因数即为2，则此时一定能被整除，则或，共2个； 同理当时，此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，此时傅里叶数组的个数为2个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 综上所述，一共有个， 故选：C． 10．（2024·重庆渝中·二模）已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（    ）．　 ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减运算；熟练掌握去绝对值及其几何意义，读懂防御操作的定义是解题的关键． ①当时，四个整式中不论一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，求和后结果均大于0； ②利用绝对值的几何意义求解即可； ③四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，再求和即可． 【详解】①当时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为，故①错误； ②表示数轴上表示x的点到表示2，1， ，的点的距离之和，所以当 时，的值最小，最小值为6，故②正确； ③共有15种不同的“防御操作”，依次为： ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 故③正确． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 12．比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 13．分解因式= ． 【答案】． 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 14．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 15．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（2025·四川达州·二模）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、二次根式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先代入，再利用完全平方公式可得，再根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18．（6分）（2025·贵州·中考真题）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算绝对值和乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把两个分式通分，再约分化简，接着根据分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式；当时，原式． 19．（8分）（2025·河北邢台·三模）已知，，（为常数）． (1)若， ①对整式进行因式分解； ②化简． (2)若，且的计算结果是非负数，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）①把代入，再利用完全平方公式因式分解即可；②根据整式的加减运算法则计算即可； （）把代入，再对代数式进行化简，最后根据结果是非负数列出不等式求出的取值范围即可； 本题考查了因式分解，整式的加减运算，解一元一次不等式，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时， ； ② ； （2）解：当时， ， 的结果是非负数， ， 解得． 20．（8分）（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． （2）因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 21．（10分）（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 【答案】(1)B点表示的数是，数轴见解析 (2)或 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上中点的性质计算得出B点表示的数，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式计算得出E表示的数或，再分两种情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： （2）解：∵， ∴E表示的数是或， 当E表示的数是2时，A、B、C、D、E表示数的和为：； 当E表示的数是时，A、B、C、D、E表示的数的和为：． 22．（10分）（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 23．（12分）（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或秒 (3)存在，的值为或或 【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 24．（12分）（2025·宁夏吴忠·二模）综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图1写出一个等式：________； （2）如图2，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用： 如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． （1）若为边的中点，则的值为________； （2）若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】问题探究：（1）；（2）17；拓展应用：（1）2；（2）成立，证明见解析 【分析】问题探究： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）设，，得到，，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 拓展应用： （1）依题意得四边形是矩形，证明四边形是正方形，设，则，，，进而得，，则，由此可得的值， （2）设，，依题意得四边形是矩形，则，，，，进而得， ，则，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：（1）大正方形的面积可表示为：或， ； 故答案为：； （2）设，， ， ，，即，， ； 答：阴影部分的面积为17． 拓展应用： （1）在等腰直角三角形中，，为的中点， ， 是等腰直角三角形， 于点，作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， 图中的所有三角形都是等腰直角三角形， ，，，，，， 四边形是矩形， 又点为边的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， 矩形是正方形， 设，则，，， ，， ， ， 故答案为：2； （2）仍成立，理由如下： 设，， 依题意得：四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，整式的运算，准确识图，熟练掌握乘法公式的结构特征，整式的运算法则是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式（举一反三综合训练） 【全国通用】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列四个数中，最大的数是（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（2025·山东济南·中考真题）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南驻马店·模拟预测）对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 7．（2025·重庆·模拟预测）估计 的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 8．（2025·河北沧州·模拟预测）将数字填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为A，B，C，且．已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为x，y，． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确 B．结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确 9．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 10．（2024·重庆渝中·二模）已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（    ）．　 ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 12．比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 13．分解因式= ． 14．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 15．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 16．（2025·四川达州·二模）已知，，且，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 18．（6分）（2025·贵州·中考真题）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 19．（8分）（2025·河北邢台·三模）已知，，（为常数）． (1)若， ①对整式进行因式分解； ②化简． (2)若，且的计算结果是非负数，求的取值范围． 20．（8分）（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 21．（10分）（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 22．（10分）（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 23．（12分）（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）（2025·宁夏吴忠·二模）综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图1写出一个等式：________； （2）如图2，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用： 如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． （1）若为边的中点，则的值为________； （2）若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $