江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2025-2026学年九年级上学期数学周练12

江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2025-2026学年九年级上学期 数学周练12 一．选择题（共5小题） 1．若x＝2是方程x2﹣x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 2．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣6），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（2，0），半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点D的“蛋形”切线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x﹣6 B．y＝﹣x﹣6 C．y＝﹣3x﹣6 D．yx﹣6 4．已知抛物线yx2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线yx2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．定义：，若函数y＝max（﹣x﹣1，x2﹣2x﹣3），则该函数的最小值为（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．3 二．填空题（共6小题） 6．在比例尺为1：10000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 　 　 千米． 7．已知一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的弧长为　 　 cm，面积为　 　 cm2（结果保留小数点后两位）． 8．若y＝（m﹣2）x|m|+2x+3是关于x的二次函数，则m的值是 　 　 ． 9．一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为 　 　 ． 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是　 　 ． 11．已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小，则h的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 12．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣7x﹣4＝0； （2）x（x+2）＝4x+8． 13．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，求实数a的值． 14．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 八（1）班：8，8，7，8，9 八（2）班：5，9，7，10，9 学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表： 班级 平均数 众数 中位数 八（1） 8 b c 八（2） a 9 9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定． 15．已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），O为坐标原点，P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求m，b的值； （2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标． 16．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F． （1）求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求阴影部分的面积．（结果保留π）． 17．某农业生态园引进种植一种新品种水果，这种水果成本为10元/千克，现将这种水果投放超市进行销售．经过调查，得到如表数据： 销售单价x（元/千克） … 10 20 25 30 … 每天销售量y（千克） … 500 400 350 300 … （1）把如表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； （2）若该水果销售单价为32元/千克，每天的销量是多少？每天获得的利润是多少？ 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 D D A C C 二．填空题（共6小题） 6．【解答】解：根据题意，得实际距离为：5÷（1：10000）＝50000cm， 50000cm＝0.5km， 所以甲乙两地的实际距离是0.5千米， 故答案为：0.5． 7．【解答】解：由弧长公式可得2π≈6.28（cm）， 扇形的面积为 ＝3π≈9.42（cm2）， 故答案为：6.28，9.42． 8．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2x+3是关于x的二次函数， ∴m﹣2≠0，|m|＝2，即m≠2，m＝±2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 9．【解答】解：∵一组数据4、5、6、a、b的平均数为5， ∴4+5+6+a+b＝5×5， ∴a+b＝10， ∴a、b的平均数为：10÷2＝5， 故答案为：5． 10．【解答】解：由条件可知， ∴b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵a+b+c＝2， ∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a， ∴c的符号无法判断，故结论①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论②正确； ∵b＝﹣2a，c＝2+a， ∴y＝ax2﹣2ax+2+a， ∵ax2+bx+c＝0的一个根为3， ∴0＝9a﹣6a+2+a， ∴，故结论③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，2）， ∴y＝a（x﹣1）2+2， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故结论④错误； ∴一定正确的是②③． 故答案为：②③． 11．【解答】解：二次函数y＝（x﹣h）2+3的图象的对称轴为直线x＝h， ∵a＝1，抛物线的开口向上， ∴当x＜h时，y随x的增大而减小， 而当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴h≥2． 故答案为h≥2． 三．解答题（共7小题） 12．【解答】解：（1）x2﹣7x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣4， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣4）＝49+16＝65， ∴x， ∴x1，x2； （2）x（x+2）＝4x+8， x（x+2）﹣4（x+2）＝0， （x+2）（x﹣4）＝0， x+2＝0或x﹣4＝0， x1＝﹣2，x2＝4． 13．【解答】（1）证明：由题意可知：Δ＝（a+3）2﹣4×1×（a+1）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0， 故方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意可知：x1+x2＝﹣（a+3），x1•x2＝a+1， ∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝2， ∴x1•x2﹣2x1﹣2x2+4＝2， ∴x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝2， ∴a+1﹣2[﹣（a+3）]+4＝2， 解得：a＝﹣3． 14．【解答】（1）解：， 八（1）班：7，8，8，8，9， ∵8出现的次数最多， ∴众数为：8， 即b＝8，c＝（8+8）÷2＝8， 故答案为：8，8，8； （2）解：由（1）可知，八（2）班的平均数是8， ∴方差为： ＝3.2， ∵3.2＞0.4， ∴八（1）班成绩更稳定． 15．【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m， ∴m＝1； 将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b， ∴b＝2； （2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB的解析式为y＝﹣x+2． 当y＝0时，﹣x+2＝0， 解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0），OA＝2． 设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20． ∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形， ∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20， 整理，得：x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2， ∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）． 16．【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心， ∴PD⊥AB， ∵∠A＝30°， ∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD， ∵PF⊥AC， ∴∠OPF＝30°， ∴OFOP， ∵OA＝OC，AD＝BD， ∴BC＝2OD， ∴OA＝BC＝2， ∴⊙O的半径为2， ∴劣弧PC的长π； （2）∵OFOP， ∴OF＝1， ∴PF， ∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF1π． 17．【解答】解：（1）如图所示： 观察图象可知：y与x的函数关系为一次函数，设y＝kx+b， 将（10，500），（20，400）代入得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+600； （2）当x＝32时，每天的销量y＝﹣10x+600＝280， ∴每天获得的利润＝（32﹣10）×280＝6160（元）， 答：销售单价定为32元时，每天的销量是280千克，每天获得的利润是6160元． 18．【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由题意得﹣1≤x≤t， 当﹣1＜t＜1时，则﹣1≤x≤t， x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值， 则x＝t时，2t﹣1＝﹣t2+2t+3， 解得：t＝﹣2或2，均不符合题意； 当1≤t＜3时， 则抛物线的顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为：（1，4）， 即2t﹣1＝4， 解得：t＝2.5； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点B（0，3）， ①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE′， 则BD＝CD， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3）， 则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BDx，BC， ∴﹣x2+3xx， 解得：x＝3或x＝0（舍去）， 则BDx＝32， 即菱形的边长为：32． ②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形BCDE， 则CD＝BC， ∴﹣x2+3x， 解得：x＝2或x＝0（舍去）， 则CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2， 即菱形的边长为：2． 综上，菱形的边长为：32或2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $