第03讲 图形的平移（知识详解+6典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第03讲 图形的平移（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】平移的概念 平移 一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移。 平移的两个特点 （1）相同的方向，如平移的方向就是由点𝐴到点𝐴′ 的方向； （2）相等的距离，如平移的距离就是线段𝐴𝐴′ 的长。 平移中的对应元素 对应顶点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶 与点𝐶′ 。 对应线段 线段𝐴𝐵与线段𝐴′𝐵′，线段𝐴𝐶 与线段𝐴′𝐶′，线段𝐵𝐶与线段𝐵′𝐶′ 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵′𝐴′𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 敲黑板 （1）图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点平移的方向和平移的距离都相同,所以确定一个图形平移的方向和距离时，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可。 （2）在平移前后的图形中，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一组对应点所连线段的长度都等于平移的距离。 【知识点02】平移作图 平移作图的基本步骤： （1）定：确定平移的方向和距离。 （2）找：找出确定图形形状的关键点。 （3）移：按平移的方向和距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点。 （4）连：按原图形的顺序依次连结各对应点。 （5）写：写出结论。 敲黑板 确定一个图形平移后的位置需要三个条件： ①图形原来的位置； ②平移的方向； ③平移的距离。这三个条件缺一不可。 【知识点03】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 如右图（1），𝐴𝐴′//𝐵𝐵′ ，𝐴𝐴′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′，𝐵𝐵′ 与𝐶𝐶′ 在同一条直线上。如右图（2）,𝐴𝐴′//𝐵𝐵′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ 。 平移前后两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 区别：前者是点平移的轨迹（如𝐴𝐴′,𝐵𝐵′ 等），后者是原图形和新图形中的线段（如𝐴𝐵和𝐴′𝐵′；𝐵𝐶和𝐵′𝐶′ 等） 如右图（2），𝐴𝐵//𝐴′𝐵′,𝐴𝐶//𝐴′𝐶′ ,𝐵𝐶//𝐵′𝐶′，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ ,∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴′𝐶′ ,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′ ，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 【题型一】生活中的平移现象 例1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 变式1．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 变式2．邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【题型二】图形的平移 例2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 变式1．用10根木条组成如图（1）所示的图案，请平移3根木条变成如图（2）所示的图案，这3根木条是 （填写序号即可）． 变式2．如图，平移后得到，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应点和对应线段．    【题型三】利用平移的性质求解 例3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．33 B．38 C．40 D．42 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是 ． 变式2．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点． (1)求证：； (2)，，，求阴影部分的面积． 【题型四】利用平移解决实际问题 例4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是 ． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是（    ）    A． B． C． D． 变式2．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【题型五】平移(作图) 例6．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例7．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在网格中，已知，请按下列要求画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）． (1)在图中，将平移，使点落在的边（不包括点和点）上； (2)在图中，将平移，使点落在的内部． 变式1．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小方格边长为，已知点和三角形的顶点都在格点上．平移三角形，使得点落在，点A的对应点是． (1)画出平移后的三角形； (2)点A到直线的距离为______． 变式3．（24-25七年级下·浙江·月考）如图，在边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到图中标出了点B的对应点． (1)请补全； (2)求线段平移过程中扫过的面积． 【题型六】平移综合题(几何变换) 例8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． (1)把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出； (2)线段与线段的关系是：______； (3)求出△ABC的面积． 变式1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 一、单选题 1．在下面的四个图形中，能由如图经过平移得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点M平移的距离为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，经过下列平移可以得到的是（   ）． A．沿射线的方向移动长 B．沿射线的方向移动长 C．沿射线的方向移动长 D．沿射线的方向移动长 4．如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 6．如图，在正方形网格中有两个等腰直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移格，再纵向平移格，就能与拼合成一个四边形，那么的值是（    ）． A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 7．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 8．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为，四边形的周长为，则平移的距离为（    ）      A． B． C． D． 9．如图，在中，，将沿直线向右平移后，得到，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 二、填空题 11．如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移 个单位，再向右平移 个单位得到． 12．如图，将向右平移3个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度是 ． 13．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到，若△ABC的周长为14cm，则四边形的周长为 cm． 14．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为 ． 15．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 16．如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 17．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 (填写番号)．    三、解答题 18．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 19．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．    20．如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 21．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点上），按下列要求画图： (1)过点C作； (2)在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B、C的对应点分别为E、F． 22．如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形． (1)用代数式表示剩余空地的面积； (2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽． 23．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 24．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把平移得到．使点A、C的对应点分别为点D、F． (1)请在图中画出三角形； (2)过点F画出线段的垂线段，垂足为点G； (3)与的关系是________． 25．（1）如图①所示的阴影部分是由线段向右平移1个单位长度扫过的区域，如图②所示的阴影部分是由折线AB向右平移1个单位长度扫过的区域．请在图③中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度扫过的区域（涂阴影）； （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积； （3）如图④，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为．求这块菜地的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 图形的平移（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】平移的概念 平移 一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移。 平移的两个特点 （1）相同的方向，如平移的方向就是由点𝐴到点𝐴′ 的方向； （2）相等的距离，如平移的距离就是线段𝐴𝐴′ 的长。 平移中的对应元素 对应顶点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶 与点𝐶′ 。 对应线段 线段𝐴𝐵与线段𝐴′𝐵′，线段𝐴𝐶 与线段𝐴′𝐶′，线段𝐵𝐶与线段𝐵′𝐶′ 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵′𝐴′𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 敲黑板 （1）图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点平移的方向和平移的距离都相同,所以确定一个图形平移的方向和距离时，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可。 （2）在平移前后的图形中，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一组对应点所连线段的长度都等于平移的距离。 【知识点02】平移作图 平移作图的基本步骤： （1）定：确定平移的方向和距离。 （2）找：找出确定图形形状的关键点。 （3）移：按平移的方向和距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点。 （4）连：按原图形的顺序依次连结各对应点。 （5）写：写出结论。 敲黑板 确定一个图形平移后的位置需要三个条件： ①图形原来的位置； ②平移的方向； ③平移的距离。这三个条件缺一不可。 【知识点03】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 如右图（1），𝐴𝐴′//𝐵𝐵′ ，𝐴𝐴′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′，𝐵𝐵′ 与𝐶𝐶′ 在同一条直线上。如右图（2）,𝐴𝐴′//𝐵𝐵′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ 。 平移前后两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 区别：前者是点平移的轨迹（如𝐴𝐴′,𝐵𝐵′ 等），后者是原图形和新图形中的线段（如𝐴𝐵和𝐴′𝐵′；𝐵𝐶和𝐵′𝐶′ 等） 如右图（2），𝐴𝐵//𝐴′𝐵′,𝐴𝐶//𝐴′𝐶′ ,𝐵𝐶//𝐵′𝐶′，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ ,∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴′𝐶′ ,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′ ，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 【题型一】生活中的平移现象 例1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查生活中的平移现象，理解平移的定义以及平移的特征是正确判断的前提．理解平移的三大特征：①直线运动；②大小形状不变；③方向不变．根据平移的特征进行判断即可． 【详解】解：A．转动的风车属于旋转运动，各点做圆周运动，不是平移，故此选项不符合题意； B．电梯的升降，做直线运动，形状和方向不变，是典型的平移，故此选项符合题意； C．书页的翻动属于旋转运动，围绕装订线转动，不是平移，故此选项不符合题意； D．对称的蝴蝶属于轴对称，不是平移，故此选项不符合题意． 故选：B． 变式1．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 变式2．邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【答案】种植蔬菜的面积为 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的知识，把横竖各两条道路平移到正方形的边上，求剩余空白部分的面积即可． 【详解】解：如图，    由平移，可把种植蔬菜的面积看成是边长为和的长方形的面积． 所以种植蔬菜的面积为． 答：种植蔬菜的面积为． 【题型二】图形的平移 例2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查平移的基本性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；根据平移的性质可知平移后的图形不改变图形的形状、大小、方向； 【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将图所示的图案通过平移后可以得到B选项中的图案，其它三个选项皆改变了方向，故错误． 故选：B． 变式1．用10根木条组成如图（1）所示的图案，请平移3根木条变成如图（2）所示的图案，这3根木条是 （填写序号即可）． 【答案】②④⑥ 【知识点】图形的平移 【分析】依据平移前后的两个图形的区别，平移3根木条即可变成如图（2）所示的图案． 【详解】解：如图（2）所示： 故答案为：②④⑥(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 变式2．如图，平移后得到，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应点和对应线段．    【答案】见解析 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的定义和相关概念； 根据平移后得到结合平移的相关概念可得答案． 【详解】解：如图，平移的方向是从点C到点G方向， 经测量可得，平移的距离为， 其中与E为对应点；B与F为对应点；C与G为对应点；与为对应线段；与为对应线段；与为对应线段．      【题型三】利用平移的性质求解 例3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．33 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了图形平移的性质以及梯形面积的计算．解题的关键是利用平移前后图形面积相等的性质，将阴影部分面积转化为可计算的梯形面积．根据平移性质，与面积相等，故阴影梯形的面积等于梯形的面积；利用梯形面积公式，结合、、计算即可． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置 ∴即且． ∵ ∴阴影梯形的面积等于梯形的面积． ∵梯形的上底下底高 ∴其面积为． 即阴影梯形的面积为． 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，进而得到，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将直角三角形平移2个单位得到直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积． 故答案为：． 变式2．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点． (1)求证：； (2)，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据平移的性质得到，则由平行线的性质即可证明； （2）先根据平移的性质得到，，即可求出，再推出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置， ∴， ∴； （2）解：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 【题型四】利用平移解决实际问题 例4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 例5．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是 ． 【答案】1125 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了图形的平移的性质，可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可． 【详解】解：解：根据题意得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路的面积，所以种植花草的面积为：， 故答案为：． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积为： ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用利用两个长方形形的面积差得出裂缝的面积是解题关键． 变式2．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 【题型五】平移(作图) 例6．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】平移(作图) 【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③， 故选C． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 例7．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在网格中，已知，请按下列要求画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）． (1)在图中，将平移，使点落在的边（不包括点和点）上； (2)在图中，将平移，使点落在的内部． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）要将平移，使点落在边（不包括、）上，需确定平移的方向和距离，使得平移后的位置符合要求． （2）要将平移，使点落在内部，同样需确定合适的平移方向和距离来实现． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 变式1．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【知识点】平移(作图) 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小方格边长为，已知点和三角形的顶点都在格点上．平移三角形，使得点落在，点A的对应点是． (1)画出平移后的三角形； (2)点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】点到直线的距离、平移(作图) 【分析】本题考查作图平移变换、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质、点到直线的距离是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，将三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求． （2）过点A作直线的垂线，交直线于点， 点A到直线的距离为． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·浙江·月考）如图，在边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到图中标出了点B的对应点． (1)请补全； (2)求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移作图，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． 【题型六】平移综合题(几何变换) 例8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中． (1)把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出； (2)线段与线段的关系是：______； (3)求出△ABC的面积． 【答案】(1)答案见解析； (2)平行且相等； (3)3.5 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】（1）根据图形可得，点A向右平移5个单位，向上平移4个单位，分别将B、C按照点A平移的路径进行平移，然后顺次连接； （2）根据平移可得线段AA′与线段CC′相互平行； （3）用△ABC所在矩形的面积减去三个小三角形的面积即可得解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）线段AA′与线段CC′相互平行且相等， 故答案为：平行且相等， （3）． 【点睛】本题考查了平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构做出对应点的位置，然后顺次连接． 变式1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【知识点】平移(作图)、平移综合题(几何变换)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 一、单选题 1．在下面的四个图形中，能由如图经过平移得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的概念，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：C选项图形中，是由如图经过平移得到的图形， 故选：C． 2．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点M平移的距离为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】在三角形纸板平移过程中，三角形纸板上所有的点的平移方向和距离相同．点M的平移到，数轴上点平移到0的平移距离是5，所以． 【详解】解：三角形纸板紧靠数轴平移过程中， ∵点平移到0，平移距离为， ∴点M的平移到的距离也为5，即． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴、平移的性质，平移过程中图形上所有的点发生相同的平移，即所有的点的平移方向和平移的距离都相同．将点M的平移距离转化为数轴上的点平移到点0的距离，是解答本题的关键． 3．如图，经过下列平移可以得到的是（   ）． A．沿射线的方向移动长 B．沿射线的方向移动长 C．沿射线的方向移动长 D．沿射线的方向移动长 【答案】A 【分析】本题考查三角形的平移，得两个三角形的对应顶点，前一个三角形的对应顶点到后一个三角形的对应顶点为平移的方向，两个三角形对应顶点之间的距离为移动的距离．解题的关键是掌握两个对应顶点之间的距离为平移的距离；从原图形的对应顶点到新图形的对应顶点为平移的方向． 【详解】解：由图中可以看出和是对应顶点，和是对应顶点， 沿射线的方向移动长可得到， 故选：A． 4．如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，主要利用了平移对应点所连的线段相等解决问题． 根据平移的性质可得即为数轴上对应两点平移的距离解答． 【详解】解：， 即点平移的距离为 4 ． 故选：D． 5．如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：B． 6．如图，在正方形网格中有两个等腰直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移格，再纵向平移格，就能与拼合成一个四边形，那么的值是（    ）． A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的等腰直角三角形可以组成一个正方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）如图1，当两斜边重合时可组成一个正方形，此时x=3，y=1，x+y=4；             图1 （2）当两直角边重合时有两种情况： ①如图2，当竖直方向上直角边重合，此时x=5，y=1，x+y=6； ②如图3，当水平方向上直角边重合，此时x=3，y=3，x+y=6．              图2                                           图3 综上可得x+y=4或6． 故选：B． 【点睛】此题考查了平移的知识，解题的关键是数形结合，考虑所以可能情况，不重不漏． 7．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，过点作． ∵由平移得到， ∴， ∴， 当时， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， 同理可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，同理可得， 当时， 设，则， 同理可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴，故不存在这种情况． 综上所述，的度数为或或． 故选：C． 8．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为，四边形的周长为，则平移的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移的性质可得平移的距离为或的长度，且，，根据周长公式推出，进而求出，即可得到答案． 【详解】根据题意，将周长为的沿边向右平移得到， ∴； ∵四边形的周长， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，得到，，是解题的关键． 9．如图，在中，，将沿直线向右平移后，得到，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿直线向右平移后，得到，由此得，，，，再由垂直的定义和性质可得，由此可得选项. 【详解】解：因为将沿直线向右平移后，得到， 所以，故A选项不符合题意； 所以，故B选项不符合题意； 所以，故C选项符合题意； 因为， 又， 所以， 所以，故D选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查三角形的平移，关键在于正确运用在平移的过程中，线段的长度和位置的变化. 10．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【答案】B 【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 二、填空题 11．如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移 个单位，再向右平移 个单位得到． 【答案】 2 2 【分析】根据平移的规律求解即可． 【详解】解：由由题意得线段AB先向下平移2个单位，再向右平移2个单位得到线段CD， 故答案为：2，2． 【点睛】本题考查了线段平移的规律，属于基础题． 12．如图，将向右平移3个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度是 ． 【答案】5 【分析】根据平移的性质可得，，然后列式求解即可． 【详解】解：是由向右平移3个单位长度得到， ，， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平移的性质，根据平移距离得到相应线段的长度是解题的关键． 13．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到，若△ABC的周长为14cm，则四边形的周长为 cm． 【答案】18 【分析】根据图形平移的性质进行解题即可； 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到， ∴， ∵△ABC的周长为14cm， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为cm． 都答案为：18． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，掌握图像平移的性质是解题的关键． 14．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为7，进行求解即可． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：7． 15．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】2800 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， (元)，购买地毯至少需要元， 故答案为：． 16．如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质确定对应线段的长度与平行关系，得到直角条件，再求出梯形的上下底边长，最后利用梯形面积公式计算阴影部分的面积． 【详解】解：直角三角形沿射线方向平移得到 ，且 阴影部分是梯形，以为上下底，为高 故答案为：18． 【点睛】本题考查平移的性质与梯形面积公式，掌握平移后对应线段平行且相等、梯形面积是解题的关键． 17．如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 (填写番号)．    【答案】①②③④ 【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 三、解答题 18．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 19．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．    【答案】57 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积的计算，解题的关键是根据平移得出． 【详解】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ，，， ∴， ∴， ． 20．如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移解决最短路径问题，解题的关键是通过平移将折线路程转化为直线距离，利用“两点之间线段最短”的原理确定最短路径． 将点M沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点将点N沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点连接使其与河岸分别交于D、F两点；过D、F分别作垂直于对应河岸的线段、即为所求的桥的位置，此时M到N的路程最短． 【详解】解：如图，作，且河宽，作，且河宽，连结与河岸相交于D，F两点，作，，即为所求造的桥使得M到N路程最短． 21．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点上），按下列要求画图： (1)过点C作； (2)在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B、C的对应点分别为E、F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质和平移作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质解答即可； （2）根据平移的性质先画出B、C的对应点E、F，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，取格点M，连接，则线段即为所作； （2）解：平移后的三角形如图所示： 22．如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形． (1)用代数式表示剩余空地的面积； (2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽． 【答案】(1)ab-ac-bc+c； (2)长40，宽20 【分析】（1）利用平移可知，剩余空地面积为边长分别为（a-c）和（b-c）的长方形面积，代入表示即可； （2）防风带面积=小长方形面积+平行四边形面积-重叠平行四边形面积，进而值即可. 【详解】（1）解：由平移，可知 剩余空地面积为（a-c）×（b-c）=ab-ac-bc+c2 答：剩余空地面积为ab-ac-bc+c2. （2）解：防风带面积为：bc+ac-c2 ∵a=2b，c=2，且防风带的面积为116 ∴2b+2b×2-4=116 解得b=20 ∴a=2×20=40 答：原长方形空地的长为40，宽为20. 【点睛】此题考查了平移变换的运用，以及整式的化简求值，解题的关键是根据平移的性质求对应面积. 23．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 24．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把平移得到．使点A、C的对应点分别为点D、F． (1)请在图中画出三角形； (2)过点F画出线段的垂线段，垂足为点G； (3)与的关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平移的性质、垂线的定义等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先由点C的对应点为点F确定平移方式，然后根据平移的方式分别作出点A、B的对应点D、E，然后再连线即可； （2）根据垂线的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知∶把平移得到的平移方式为：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位，故如图：即为所求． （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：如图：由平移的性质可得：． 25．（1）如图①所示的阴影部分是由线段向右平移1个单位长度扫过的区域，如图②所示的阴影部分是由折线AB向右平移1个单位长度扫过的区域．请在图③中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度扫过的区域（涂阴影）； （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积； （3）如图④，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为．求这块菜地的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】 本题考查了生活中的平移现象，利用了平行四边形的面积公式，画图是解题关键． （1）根据两个折点，可得小路是三个平行四边形； （2）根据路的形状是矩形，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案； （3）根据等底等高的面积相等，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：（1）（答案不唯一）如图所示． （2）设三个图中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则． （3）由（2）可知，这块菜地的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $