第02讲 平行线（知识详解+15典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第02讲 平行线（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的概念 名称 概念 符号 图示 表示方法 平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 “平行”用符号“//”表示。 _______________ 记作𝐴𝐵//𝐶𝐷 （或𝐶𝐷//𝐴𝐵 ），读作“𝐴𝐵平行𝐶𝐷 ”（或“𝐶𝐷平行𝐴𝐵 ”）。 注意：（1）平行线的前提是“在同一平面内”，即同一平面内不相交的两条直线一定平行，空间里不相交的两条直线不一定平行。 （2）两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行 【知识点02】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线𝑙 上。 二“靠” 紧靠三角尺的另一边放一把直尺。→作图时确保直尺定好位置后不再移动 三“推” 沿直尺的边推动三角尺，使三角尺原来落在直线𝑙 上的边恰好经过已知点𝑃 。→三角尺移动时，始终保持一边紧靠直尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线𝑙′ ,直线𝑙′ 即为所求。 【知识点03】基本事实 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 强调“存在性”“唯一性” 注意： （1）若点在直线上，则过该点不可能有这条直线的平行线； （2）此处没有“在同一平面内”这个前提条件，注意与垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”区分开。 【知识点04】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 图示 判定方法1 （基本事实） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。 因为∠1=∠2， 所以𝑎//𝑏 。 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。 因为∠2=∠3 所以𝑎//𝑏 。 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 因为∠2+∠4=180∘，   所以𝑎//𝑏 。 【知识点05】平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠1=∠5 ，∠2=∠8 ，∠4=∠6 ，∠3=∠7 。 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3=∠5 ， ∠4=∠8 。 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说:两直线平行，同旁内角互补。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3+∠8=180°,∠4+∠5=180°。  注意： 只有当被截的两条直线平行时，才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 【知识点06】平行线的判定与性质的关系 平行线的判定和性质实现了角的数量关系与直线的位置关系之间的互相转化。具体见下图。 【题型一】用直尺、三角板画平行线 例1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    变式2．读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 【题型二】平行公理的应用 例2．（23-24七年级下·浙江金华·月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 变式1．如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是 ． 变式2．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    【题型三】平面内两直线的位置关系 例3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的有（填序号）： ． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 变式2．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【题型四】同位角相等两直线平行 例4．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，下列选项中：①；②；③；④；⑤；⑥，单个选项条件可以说明的个数是（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 变式2．（22-23七年级下·浙江金华·月考）根据要求完成下面的填空： 如图，直线，被所截，若已知．     （______）， 又（已知）， ____________， ∴____________（______）． 【题型五】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例5．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）在学习平行线知识时，甲同学认为“经过一点有且只有一条直线与已知直线平行”；乙同学认为“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，则下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 变式1．如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象： ． 变式2．如图，三角形中，． 请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)点A到直线的距离是图中线段 的长度． 【题型六】内错角相等两直线平行 例6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列条件中能判定的是（ ） ①；②；③；④ A．② B．②③④ C．②④ D．①③ 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【题型七】同旁内角互补两直线平行 例7．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图直线与被第三条直线所截，下列条件能证明的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 变式1．（22-23七年级下·浙江衢州·期中）如图，若，则 ．    变式2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 【题型八】两直线平行同位角相等 例8．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期中）线段和线段交于点，平分，点为线段上一点（不与点和点重合）过点作，交线段于点，若，则的度数为 °．    变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线，，两条直线所成的角跑到黑板外面去了．老师让小明在黑板上测量出直线，所成的角的度数，他该怎么办？请在图2中画出测量示意图，简要说明画图方法和理由． 【题型九】两直线平行内错角相等 例9．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）（1）请在网格图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于． （2）若每个小正方形边长为个单位，则三角形的面积=___________． 【题型十】两直线平行同旁内角互补 例10．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，已知，求的度数（    ）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，已知，，则 °． 变式2．如图，已知，求证：． 【题型十一】根据平行线的性质探究角的关系 例11．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 【题型十二】根据平行线的性质求角的度数 例12．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图，一条较长的长方形纸带，纸带上有四个点，将纸带沿折叠成图2，沿折成图3，交于点，再沿折成图4．在图4中，若，则 ．（请用含x的代数式表示） 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 【题型十三】平行线的性质在生活中的应用 例13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 变式1．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 变式2．【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？ (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？ 【题型十四】根据平行线判定与性质求角度 例14．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线a、b被直线c、d所截，若，则的大小是 度． 变式2．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【题型十五】根据平行线判定与性质证明 例15．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，，c与a相交，b与d相交，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵， ∴______（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（______）． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，已知分别与交于点与交于点，且． (1)求证：． (2)结论：，请选择其中一个你认为正确的结论，并完成证明． 一、单选题 1．经过一点画已知直线的平行线，能画（   ） A．条 B．条 C．条 D．不能确定 2．如图，如果与，与，与分别互补，那么（    ） A． B． C． D． 3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．如图，下列条件中，可以判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图①，在△ABC中，，．如图②，将图①中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置 ，得到线段．在整个旋转的过程中，若，则的大小为（    ） A．73° B．107° C．73°或107° D．42°或107° 9．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 10．如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．过直线外一点A作的平行线，可以作 条． 12．如图，已知，，则 度， 度． 13．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点处，点C落在点处．若，则的度数是 ． 14．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 15．如图，某街道要修建一条管道，管道从A站沿北偏东60°方向到B站，从B站沿北偏西25°方向到C站．为了保持管道CE与AB方向一致，则∠C的度数为 ． 16．下列说法正确的有（填序号）： ． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 17．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 三、解答题 18．如图，已知，试说明． 19．找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线． 20．用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 21．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 22．已知：如图，，，，垂足分别为，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （______）． ______（ ）． ∴______（   ）， ______（   ）． 又∵（已知）， （______）， 即为的平分线． 23．如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 24．【实践】 （1）画，在内任取一点P，过点P作直线，再过点P作直线； （2）分别测量，的度数； 【探究】 （3）这些角的边与的边有何关系？ （4）这些角的度数与的度数之间存在什么关系？ 【发现】 （5）把你的发现用一句话概括出来． 25．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)观察猜想，与的数量关系是　　；与的数量关系是　　； (2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当等于多少度时，画出图形并简要说明理由； (3)拓展应用，若，求的度数；并直接写出此时与的位置关系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的概念 名称 概念 符号 图示 表示方法 平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 “平行”用符号“//”表示。 _______________ 记作𝐴𝐵//𝐶𝐷 （或𝐶𝐷//𝐴𝐵 ），读作“𝐴𝐵平行𝐶𝐷 ”（或“𝐶𝐷平行𝐴𝐵 ”）。 注意：（1）平行线的前提是“在同一平面内”，即同一平面内不相交的两条直线一定平行，空间里不相交的两条直线不一定平行。 （2）两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行 【知识点02】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线𝑙 上。 二“靠” 紧靠三角尺的另一边放一把直尺。→作图时确保直尺定好位置后不再移动 三“推” 沿直尺的边推动三角尺，使三角尺原来落在直线𝑙 上的边恰好经过已知点𝑃 。→三角尺移动时，始终保持一边紧靠直尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线𝑙′ ,直线𝑙′ 即为所求。 【知识点03】基本事实 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 强调“存在性”“唯一性” 注意： （1）若点在直线上，则过该点不可能有这条直线的平行线； （2）此处没有“在同一平面内”这个前提条件，注意与垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”区分开。 【知识点04】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 图示 判定方法1 （基本事实） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。 因为∠1=∠2， 所以𝑎//𝑏 。 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。 因为∠2=∠3 所以𝑎//𝑏 。 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 因为∠2+∠4=180∘，   所以𝑎//𝑏 。 【知识点05】平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠1=∠5 ，∠2=∠8 ，∠4=∠6 ，∠3=∠7 。 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3=∠5 ， ∠4=∠8 。 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说:两直线平行，同旁内角互补。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3+∠8=180°,∠4+∠5=180°。  注意： 只有当被截的两条直线平行时，才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 【知识点06】平行线的判定与性质的关系 平行线的判定和性质实现了角的数量关系与直线的位置关系之间的互相转化。具体见下图。 【题型一】用直尺、三角板画平行线 例1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 变式1．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 变式2．读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 【答案】见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】根据题目的要求直接画图即可． 【详解】解：如图，直线CD和直线EF即为所求作． 【点睛】本题考查作平行线和垂线，主要是考查学生的理解能力和动手操作能力，读懂作图语句，弄清所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图方法是解答的关键． 【题型二】平行公理的应用 例2．（23-24七年级下·浙江金华·月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【答案】B 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线与相交线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 变式1．如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是 ． 【答案】相交 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据平行公理解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，两条直线相交于P，且那么与l的位置关系是相交，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了平行公理．解题的关键掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 变式2．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    【答案】见解析 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行求解即可． 【详解】解：∵长方形的硬纸片对折，是折痕， ∴，， ∴， ∴另一个面不论怎样改变位置，总有与平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行公理是解题的关键． 【题型三】平面内两直线的位置关系 例3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D， 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的有（填序号）： ． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④/④③ 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确． 故答案为③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 变式2．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 【题型四】同位角相等两直线平行 例4．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，下列选项中：①；②；③；④；⑤；⑥，单个选项条件可以说明的个数是（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：，根据同位角相等，两直线平行，可以说明；不能说明；故①不符合题意； ，不能说明；故②不符合题意； ，不能说明；故③不符合题意； ，根据同位角相等，两直线平行，可以说明；故④符合题意； ，根据对顶角相等，得到，根据同位角相等，两直线平行，可以说明；故⑤符合题意； 不能说明；故⑥不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 【答案】/度 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．根据同位角相等两直线平行可得当时，，进而算出答案． 【详解】解：∵当时， ∴旋转的最小角度为， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·浙江金华·月考）根据要求完成下面的填空： 如图，直线，被所截，若已知．     （______）， 又（已知）， ____________， ∴____________（______）． 【答案】对顶角相等；1；3；；；同位角相等，两直线平行． 【知识点】同位角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】（对顶角相等）， 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等，1，3，,，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【题型五】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例5．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）在学习平行线知识时，甲同学认为“经过一点有且只有一条直线与已知直线平行”；乙同学认为“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，则下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 【答案】D 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、平行公理的应用 【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论进行逐一判断即可． 【详解】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故甲错误； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故乙错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，牢记相关结论的前置条件是解答本题的关键． 变式1．如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象： ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的判定可直接进行求解． 【详解】解：若，则a//b，用语言描述这一现象是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 变式2．如图，三角形中，． 请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)点A到直线的距离是图中线段 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)30； (3) 【知识点】点到直线的距离、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、画垂线 【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可； （2）由垂直的定义可得，进而可求出的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断与的位置关系； （3）根据点到直线距离的定义求解即可． 【详解】（1）如图，    （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：30；； （3）∵， ∴点A到直线的距离是图中线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【题型六】内错角相等两直线平行 例6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列条件中能判定的是（ ） ①；②；③；④ A．② B．②③④ C．②④ D．①③ 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：能推出，故①不符合题意； 能推出，故②符合题意； 不能推出，故③不符合题意； ∵， ∴，即，能推出，故④符合题意； 综上所述，能判定的是②④， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【答案】/45度 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键； 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：, 要使木条，由内错角相等，两直线平行得： 当时，． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【答案】(1)，理由见详解 (2)根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由见详解 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件，然后根据“内错角相等，两直线平行”可得； 本题主要考查了垂直的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七】同旁内角互补两直线平行 例7．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图直线与被第三条直线所截，下列条件能证明的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江衢州·期中）如图，若，则 ．    【答案】 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】观察与，是直线、直线被第三条直线所截得到的同旁内角，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行) 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是准确识别同旁内角、同位角、内错角的位置． 变式2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握相关定理是证明的关键．先根据角平分线的性质得出，，再由可得，从而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型八】两直线平行同位角相等 例8．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质，找到相等关系的角是解题的关键．由平行线的性质，可知与相等的角有． 【详解】解：∵，与不平行， ∴， 故答案为： 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期中）线段和线段交于点，平分，点为线段上一点（不与点和点重合）过点作，交线段于点，若，则的度数为 °．    【答案】或 【知识点】两直线平行同位角相等、角平分线的有关计算 【分析】分两种情况讨论：点F在上，点F在上，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数． 【详解】解：如图，当点F在上时，    ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点F在上时，    ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键． 变式2．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线，，两条直线所成的角跑到黑板外面去了．老师让小明在黑板上测量出直线，所成的角的度数，他该怎么办？请在图2中画出测量示意图，简要说明画图方法和理由． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】过点作直线，测量出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作直线，测量出的度数即可解决问题． 理由：由作图可知：， ＝两直线平行，同位角相等． 【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等，掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型九】两直线平行内错角相等 例9．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中、两点分别落在直线，上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】由平行线的性质可知，，计算求解即可 【详解】解：直线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】12 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形板的角度数求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）（1）请在网格图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于． （2）若每个小正方形边长为个单位，则三角形的面积=___________． 【答案】（）见解析；（）． 【知识点】两直线平行内错角相等、格点作图题 【分析】本题考查了在网格内作平行线，平行线的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格特点，过作即可； （）用长方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【详解】解：（）如图，过作，则即为所求； 理由：∵， ∴； （）三角形的面积为 ， 故答案为：． 【题型十】两直线平行同旁内角互补 例10．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，已知，求的度数（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补、内错角相等两直线平行 【分析】可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，已知，，则 °． 【答案】/105度 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据对顶角相等解答． 本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故选：． 变式2．如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，得出，，进而得出，然后整理，即可得出结论． 【详解】证明：如图，过点作，则， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线． 【题型十一】根据平行线的性质探究角的关系 例11．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可； （3）设，而，可得，如图，记的交点为，表示，结合平行线的性质可得，求解，证明，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设，而， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，而， ∴， 如图，记的交点为， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，因式分解的应用，分式的约分，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用角度关系进行运算是解本题的关键． 【题型十二】根据平行线的性质求角的度数 例12．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质和平角的性质解答即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图，一条较长的长方形纸带，纸带上有四个点，将纸带沿折叠成图2，沿折成图3，交于点，再沿折成图4．在图4中，若，则 ．（请用含x的代数式表示） 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，根据折叠的性质以及平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)60； (2)①平行，见解析；②E在A的左侧，；E在A的右侧，． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的应用，解题关键是利用平行线性质（内错角、同旁内角等关系）和角平分线定义，结合三角板角度，通过角度转化推导结论． （1）利用直角三角板性质得，由得．因平分，故．依据，内错角相等，，即． （2）①由得．结合三角板角度和角的和，算出．利用三角形外角性质，求得，因，根据内错角相等，判定结论．②由得，结合角平分线得，算出（在左侧）或（在右侧）．因平分，分别算出（在左侧）或（在右侧）．再依据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直角三角板的角顶点A在直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ∵， ∴， ∵的度数为， 的值为60； （2）解：①与的位置关系是平行 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的外角， ∴ ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ， 当E在A的左侧，如图： ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 当E在A的右侧，如图 ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 【题型十三】平行线的性质在生活中的应用 例13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向左拐， A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向右拐， D错误， 故选：C． 变式1．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】首先过作，根据，可得，进而得到，，然后可求出的度数． 【详解】解：如图所示，过作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 变式2．【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？ (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？ 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证； （2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案． 【详解】（1）证明：由题可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）， 由题可知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键． 【题型十四】根据平行线判定与性质求角度 例14．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，分别过B、C、D、E作直线a的平行线，则，由平行线的性质可得，，，，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，分别过B、C、D、E作直线a的平行线， ， ∴ ，， ， 同理，，，， ，，， ， ， ， 当x，y的值变化时，的数值不变． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线a、b被直线c、d所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了利用平行线的判定和性质求角度． 先根据平行线的判定定理得出，再由邻补角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 【题型十五】根据平行线判定与性质证明 例15．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，，c与a相交，b与d相交，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题关键．根据平行线的性质和判定逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．若，则， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，不符合题意； B．∵， ∴， 若， 则， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故该说法正确，不符合题意； D．由C得，只有时，，故该说法错误，符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵， ∴______（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（______）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 先证出，再借助平行线的性质得出，进而证出，即可求证． 【详解】证明：． 证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，已知分别与交于点与交于点，且． (1)求证：． (2)结论：，请选择其中一个你认为正确的结论，并完成证明． 【答案】(1)见解析 (2)②，证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】该题考查了平行线的性质和判定． （1）根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明； （2）证明，即可证出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：正确结论为：②． 证明过程如下：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．不能证明． 一、单选题 1．经过一点画已知直线的平行线，能画（   ） A．条 B．条 C．条 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的公理，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，注意要分情况进行讨论，熟记平行线公理，分情况进行讨论是解题关键． 根据点在直线上与不在直线上两种情况进行讨论求解． 【详解】解：①若点在直线上，则不能作出的平行线， ②若点不在直线上，则有且只有一条直线与平行， 所以不能确定． 故选：D． 2．如图，如果与，与，与分别互补，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵与互补， ∴， 根据现有条件无法证明，，， 故选：D． 3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 4．如图，下列条件中，可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定，即可求解． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、不能判定，故本选项不符合题意； C、不能判定，故本选项不符合题意； D、能判定，故本选项符合题意； 故选：D 5．如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 6．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5 【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2， ∵ ∴ ∴ ∵// ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 7．如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及“平行线+角平分线”的经典组合，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线定义可得，由，根据同角或等角的余角相等即可判断选项B正确． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴，故B符合题意； A、C、D均没有条件可证明，不符合题意． 故答案为： B． 8．如图①，在△ABC中，，．如图②，将图①中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置 ，得到线段．在整个旋转的过程中，若，则的大小为（    ） A．73° B．107° C．73°或107° D．42°或107° 【答案】C 【分析】分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵， ∴， 如图， ∵， ∴． ∵， ∴． 综上所述：或73°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，以及平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键． 9．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 10．如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由同旁内角互补，两直线平行判定，故①不符合题意； ②由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故②符合题意； ③由内错角相等，两直线平行判定，故③不符合题意； ④由内错角相等，两直线平行判定，不能判定，故④符合题意， ∴不能判定的条件个数有2个． 故选：B． 二、填空题 11．过直线外一点A作的平行线，可以作 条． 【答案】1 【分析】根据平行公理作答． 【详解】解：根据平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了平行公理，解题的关键是牢记平行公理的内容：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 12．如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 13．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点处，点C落在点处．若，则的度数是 ． 【答案】44°/44度 【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，再利用平行线的性质可得∠EFC=112°，然后利用折叠的性质可得∠EFC′=112°，再利用平行线的性质可得∠EFD′=68°，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC=180°， ∵∠DEF=68°， ∴∠EFC=180°-∠DEF=112°， 由折叠可得：∠EFC′=∠EFC=112°， ∵AD∥BC， ∴∠EFD′=∠DEF=68°， ∴∠C′FD′=∠EFC′-∠EFD′=112°-68°=44°． 故答案为：44°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．如图，某街道要修建一条管道，管道从A站沿北偏东60°方向到B站，从B站沿北偏西25°方向到C站．为了保持管道CE与AB方向一致，则∠C的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角以及平行线的性质，为了保持水管为了保持管道CE与AB方向一致，则，利用平行线的性质，即中求得的度数，熟练掌握平行线的性质是解此题关键． 【详解】解：如图所示：为了保持水管为了保持管道CE与AB方向一致，则， 由题可得： 故答案为：． 16．下列说法正确的有（填序号）： ． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④/④③ 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确． 故答案为③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 17．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角的性质等知识点，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． 根据行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，又∵，即，故③正确； ④根据两直线平行，内错角相等可得：，故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题 18．如图，已知，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补得到即可得结论． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． 19．找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线． 【答案】互相平行的直线有；互相垂直的直线有 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义；根据这些知识，结合图形即可完成解答． 【详解】解：由内错角相等均为，得；由同位角相等均为，得； 直线b、c相交的一个角为，则； ∵，， ∴； 综上，互相平行的直线有；互相垂直的直线有． 20．用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了画平行线，解答本题的关键是掌握平行线的画法； （1）将直尺与重合，三角尺与重合，然后将三角尺沿直尺向上平移，使之平移至E点，然后过E点画直线即可得到与平行的直线；利用同样的画法，画出经过点E与直线平行的直线； （2）将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺移动三角板使一边经过点A，过点A沿这边画直线，此直线即为过点A且平行于的直线;把三角板一边与重合，按上述方法操作，画出过点B且平行于的直线;将三角板一边与重合，通过上述平移三角板的方法，画出过点C且平行于的直线 ． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示： 21．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 22．已知：如图，，，，垂足分别为，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （______）． ______（ ）． ∴______（   ）， ______（   ）． 又∵（已知）， （______）， 即为的平分线． 【答案】垂直的定义；；同位角相等；两直线平行；；两直线平行；内错角相等；；两直线平行；同位角相等；2；3；等量代换 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据垂直定义和平行线的判定和性质求解即可． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义 ）． （同位角相等，两直线平行）． ∴（ 两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， （等量代换）， 故答案为：垂直的定义；；同位角相等；两直线平行；；两直线平行；内错角相等；；两直线平行；同位角相等；2；3；等量代换． 23．如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补 ②同旁内角互补，两直线平行 (2)见解析（方法不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键． （1）“因为，所以”是利用“两直线平行，同旁内角互补”得出；“因为，所以”是利用“同旁内角互补，两直线平行”得出； （2）方法不唯一，如法：连接；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；分别证明即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（①两直线平行，同旁内角互补）， 因为， 所以， 所以（②同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②同旁内角互补，两直线平行； （2）解：方法不唯一，如： 法：如图，连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 24．【实践】 （1）画，在内任取一点P，过点P作直线，再过点P作直线； （2）分别测量，的度数； 【探究】 （3）这些角的边与的边有何关系？ （4）这些角的度数与的度数之间存在什么关系？ 【发现】 （5）把你的发现用一句话概括出来． 【答案】（1）见详解；（2），，；（3）这些角的边与的边分别平行；（4）这些角的度数与的度数相等或互补；（5）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的性质定理是解题的关键． （1）先画出，再在内部取一点，过点作直线，过点作直线，即可得出符合题意的图形； （2）使用量角器进行各角度的测量，即可得出所求各角的角度； （3）通过观察图形，及量出的各角度数，即可得出这些角的边与的边的关系． （4）通过量出的各角度数，即可得出这些角的边与的边的关系． （5）总结边与边，角与角的关系，即可总结概括出本题结论． 【详解】解：（1）如图所示： （2）用量角器测得； （3）由图可知，这些角的两边分别与的两边平行， （4）由角的度数可知，这些角的度数与的度数相等或和为； （5）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 25．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)观察猜想，与的数量关系是　　；与的数量关系是　　； (2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当等于多少度时，画出图形并简要说明理由； (3)拓展应用，若，求的度数；并直接写出此时与的位置关系． 【答案】(1)；； (2)当等于或时，； (3)，或 【分析】（1）依据，可得；依据，即可得到； （2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； （3）根据，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】（1），， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）分两种情况： ①如图1，当时，， ； ②如图2，当时，， ； 综上，当等于或时，； （3）设，则． 由（1）可知，， ， ，即， 此时，或 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $