第01讲 相交线（知识详解+8典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第01讲 相交线（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】：两直线相交于对顶角 1.两直线相交 概念 表示方法 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。 _____________________________ 直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷 相交于点𝑂 。 2.对顶角的概念及性质 概念 特征 性质 图示 如图，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交,其交点是𝑂 ,∠1,∠2,∠𝐴𝑂𝐷 和∠𝐶𝑂𝐵是𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交所成的角。 对顶角的顶点相同,角的两边互为反向延长线。 对顶角相等。如∠1=∠2 ,∠𝐴𝑂𝐷 =∠𝐶𝑂𝐵 。 ______________ 注意：对顶角是成对出现的,指两个角之间的位置关系,单独的一个角不能称为对顶角。 【知识点02】：垂直 垂直的概念及表示方法 概念 图示 表示方法 垂直 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时,我们就说这两条直线互相垂直, 直线AB与CD垂直，记作AB⊥CD ，交点O 是垂足。 直线l与m 垂直，记作l⊥m ，交点O 是垂足。 【知识点03】：垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 ①用三角尺画，具体画法如下。 步骤 内容 图示 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合。 二移 沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 ②用量角器画，如图所示。 ：同一平面内，画已知直线的垂线，能画出无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条。 2.基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。强调“存在性”“唯一性” ：其中“一点”可以在已知直线外，也可以在已知直线上。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，𝑃为直线𝑙外一点，𝑃𝑂⊥𝑙，垂足为𝑂，称𝑃𝑂 为点𝑃到直线𝑙 的垂线段。 垂线的性质 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。如图，点𝑃与直线𝑙 上各点的连线中，线段𝑃𝑂 最短。简单说成：垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。如图，线段𝑃𝑂的长度是点𝑃到直线𝑙 的距离。 图示 注意：（1）“垂线”与“垂线段”的区别：垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量，如上表中图,PO所在直线是垂线，线段PO 是垂线段。 （2） “垂线段”与“点到直线的距离”的区别：垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量。 （3）“点到直线的距离”与“两点间的距离”的区别：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点间的距离指连结两点间的线段的长度，如上表中图，线段的长度是点的距离。 【知识点05】：同位角、内错角、同旁内角 1.如下表中图，直线与相交（也可以说两条直线被第三条直线所截），构成8个角，简称“三线八角”。 定义 举例（如右图） 图示 同位角 如右图,∠1与∠5 都在第三条直线 的同侧,并且分别位于直线 的同侧,这样的一对角叫作同位角。 ∠1与∠5 ，∠2与∠6 ，∠3与∠7 ，∠4与∠8 。 内错角 如右图，∠3与∠5 分别位于第三条直线 的异侧,并且都在两条直线与 之间,这样的一对角叫作内错角。 ∠3与∠5 ，∠4与∠6 。 同旁内角 如右图,∠3与∠6 都在第三条直线 的同侧，并且在直线 与 之间，这样的一对角叫作同旁内角。 ∠3与∠6 ，∠4与∠5 。 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧。 ______________ 形如字母“F ”（或倒置、反置、旋转）。 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间。 ___________ 形如字母“Z ”（或倒置、反置、旋转）。 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间。 __________________ 形如字母“U ”（或倒置、反 置、旋转）。 【题型一】相交线 例1．平面上画三条直线，交点的个数最多有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式1．（23-24七年级·浙江温州·月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 变式2．按下列要求画图，并填空． (1)画直线AB和CD相交于点O（要求∠AOD比∠AOC小）； (2)用直尺和圆规作∠EFG，使得（保留作图痕迹）． 【题型二】对顶角的定义 例2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 变式2．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【题型三】对顶角相等 例3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，当剪刀口减少时，的度数（　　） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图的剪刀构造可以看成是两条相交的直线，交于点O，若，则的度数是 ． 变式2．如图，直线AB、CD相交于点O，，射线OE把分成两个角，且． (1)求的度数． (2)过点O作射线，求的度数． 【题型四】垂线的定义理解 例4．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，直线与相交于点，，若，则（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 变式2．如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 【题型五】画垂线 例5．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 变式1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知三个点A、B、C，按下列要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)过B点画直线的垂线段，垂足为F．（画图工具不限，不需写出结论，只需画出图形、标注字母） 变式2．（22-23七年级下·浙江金华·月考）如图的正方形网格中，点A、B、C在各正方形的顶点上，按下列要求画出图形： (1)作射线、线段、直线； (2)过点B作直线，垂足为H． 【题型六】垂线段最短 例6．（24-25七年级下·浙江温州·期末）测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度．现一学生跳远训练情况如图所示，点表示后脚跟落点，点表示前脚跟落点，垂直于起跳线，垂足分别为，则测量成绩的线段是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是 ． 变式2．（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)________（填“”、“”或“”），依据是________________． 【题型七】点到直线的距离 例7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 变式1．如图，在体育测试中，裁判员测量某同学的跳远成绩，在直线上的三点中，应测量落在沙坑中的脚印点到点 的距离．    变式2．（22-23七年级下·浙江台州·期末）定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．    (1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段． (2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）． 【题型八】同位角、内错角、同旁内角 例8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线a，b被直线c所截，的同位角是 ． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示． (1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？ (2)的内错角有哪些？ (3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角． 一、单选题 1．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD=（   ） A．35° B．40° C．55° D．70° 3．如图所示，与是同位角的是（    ） A．B．C． D． 4．如图，直线，相交于点，下列条件：①；②；③，其中能说明的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 9．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 二、填空题 10．如图，于点C，若，则∠BCE的度数为 ． 11．如图所示的是“自由式滑雪大跳台”项目图标的部分示意图，下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 13．在小河旁有一村庄，现要建一取水点，为使该村村民到河边取水最近，则取水点应建在 点处． 14．如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ． ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离． 15．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂直，则另一个角的度数是 ． 16．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 ． 17．如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．    （1）若，则的度数为 ； （2）与的数量关系为 ． 三、解答题 18．如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 19．如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会偏折，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)的同位角有　　　； (2)淇淇使用工具测得，，求的度数． 20．如图：已知，，，，在同一条直线上. (1)的余角是_________，的补角是_________. (2)如果，求的度数. (3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由. 21．直线，相交于点O． (1)，分别是，的平分线．画出这个图形． (2)射线，在同一条直线上吗？ (3)画的平分线．与有什么位置关系？ 22．如图，已知三个点A，B，C．请按下列语句画出图形． (1)画射线． (2)画直线． (3)在直线上找一点D，连结，使线段最短． 23．如图，直线相交于点，平分，平分． (1)有什么位置关系，请说明理由； (2)若，求的度数． 24．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 相交线（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】：两直线相交于对顶角 1.两直线相交 概念 表示方法 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。 _____________________________ 直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷 相交于点𝑂 。 2.对顶角的概念及性质 概念 特征 性质 图示 如图，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交,其交点是𝑂 ,∠1,∠2,∠𝐴𝑂𝐷 和∠𝐶𝑂𝐵是𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交所成的角。 对顶角的顶点相同,角的两边互为反向延长线。 对顶角相等。如∠1=∠2 ,∠𝐴𝑂𝐷 =∠𝐶𝑂𝐵 。 ______________ 注意：对顶角是成对出现的,指两个角之间的位置关系,单独的一个角不能称为对顶角。 【知识点02】：垂直 垂直的概念及表示方法 概念 图示 表示方法 垂直 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时,我们就说这两条直线互相垂直, 直线AB与CD垂直，记作AB⊥CD ，交点O 是垂足。 直线l与m 垂直，记作l⊥m ，交点O 是垂足。 【知识点03】：垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 ①用三角尺画，具体画法如下。 步骤 内容 图示 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合。 二移 沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 ②用量角器画，如图所示。 ：同一平面内，画已知直线的垂线，能画出无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条。 2.基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。强调“存在性”“唯一性” ：其中“一点”可以在已知直线外，也可以在已知直线上。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，𝑃为直线𝑙外一点，𝑃𝑂⊥𝑙，垂足为𝑂，称𝑃𝑂 为点𝑃到直线𝑙 的垂线段。 垂线的性质 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。如图，点𝑃与直线𝑙 上各点的连线中，线段𝑃𝑂 最短。简单说成：垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。如图，线段𝑃𝑂的长度是点𝑃到直线𝑙 的距离。 图示 注意：（1）“垂线”与“垂线段”的区别：垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量，如上表中图,PO所在直线是垂线，线段PO 是垂线段。 （2） “垂线段”与“点到直线的距离”的区别：垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量。 （3）“点到直线的距离”与“两点间的距离”的区别：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点间的距离指连结两点间的线段的长度，如上表中图，线段的长度是点的距离。 【知识点05】：同位角、内错角、同旁内角 1.如下表中图，直线与相交（也可以说两条直线被第三条直线所截），构成8个角，简称“三线八角”。 定义 举例（如右图） 图示 同位角 如右图,∠1与∠5 都在第三条直线 的同侧,并且分别位于直线 的同侧,这样的一对角叫作同位角。 ∠1与∠5 ，∠2与∠6 ，∠3与∠7 ，∠4与∠8 。 内错角 如右图，∠3与∠5 分别位于第三条直线 的异侧,并且都在两条直线与 之间,这样的一对角叫作内错角。 ∠3与∠5 ，∠4与∠6 。 同旁内角 如右图,∠3与∠6 都在第三条直线 的同侧，并且在直线 与 之间，这样的一对角叫作同旁内角。 ∠3与∠6 ，∠4与∠5 。 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧。 ______________ 形如字母“F ”（或倒置、反置、旋转）。 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间。 ___________ 形如字母“Z ”（或倒置、反置、旋转）。 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间。 __________________ 形如字母“U ”（或倒置、反 置、旋转）。 【题型一】相交线 例1．平面上画三条直线，交点的个数最多有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】相交线 【分析】根据相交线的性质可得答案． 【详解】平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点． 故选：A． 【点睛】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前题，也是解题的关键． 变式1．（23-24七年级·浙江温州·月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、相交线 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 变式2．按下列要求画图，并填空． (1)画直线AB和CD相交于点O（要求∠AOD比∠AOC小）； (2)用直尺和圆规作∠EFG，使得（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、相交线 【分析】（1）作两条相交线段AB，CD交点为O，使∠AOC>∠AOD． （2）在OA异侧作∠AOM，使∠AOM=∠AOD，再作∠EFG，使∠EFG=∠MON． 【详解】（1） （2）作法：1.以点O为圆心，适当长为半径画弧交OA，OC，OD于点H，N，P， 2.以点H为圆心，PH长为半径画弧交前弧于点M， 3.作射线OM， 4.作射线FQ， 5. 以点F为圆心，OH长为半径画弧交FQ于点E， 6. 以点E为圆心，MN长为半径画弧交前弧于点G， 7作射线FG，则∠EFG就是所求作的角． 【点睛】本题考查了基本尺规作图，解决问题的关键是熟练掌握基本尺规作图．（1）任意作相交线段AB，CD交点为O，使∠AOC>∠AOD．（2）分别作∠AOM，∠EFG，使∠AOM=∠AOD，∠EFG=∠MON． 【题型二】对顶角的定义 例2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题关键．利用对顶角的定义判断即可得． 【详解】解：利用对顶角的定义可知，只有图C中与是对顶角， 故选：C． 变式1．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 变式2．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【知识点】图形类规律探索、对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． 规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角； 归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 【题型三】对顶角相等 例3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，当剪刀口减少时，的度数（　　） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确解答的前提．根据对顶角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴当剪刀口减少时，的度数也减少， 故选∶B． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图的剪刀构造可以看成是两条相交的直线，交于点O，若，则的度数是 ． 【答案】/75度 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 变式2．如图，直线AB、CD相交于点O，，射线OE把分成两个角，且． (1)求的度数． (2)过点O作射线，求的度数． 【答案】(1)40° (2)50°或130° 【知识点】对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=70°，然后根据比例求解即可； （2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠DOF=∠EOF-∠DOE，OF在∠BOC的内部时，∠DOF=∠EOF+∠DOE进行计算即可得解． 【详解】（1）∵∠AOC=70°，∠BOD=∠AOC， ∴∠BOD=70°， ∵∠BOE：∠EOD=3：4， ∴∠EOD=70°×=40°； （2） 如图： ∵OF⊥OE， ∴∠EOF=90°， 当OF在∠AOD的内部时， ∠DOF=∠EOF-∠DOE =90°-40° =50°， 当OF在∠BOC的内部时， ∠DOF=∠EOF+∠DOE =90°+40° =130°， 综上所述∠DOF=50°或130°． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 【题型四】垂线的定义理解 例4．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，直线与相交于点，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线、对顶角的定义，解题的关键是掌握相关知识．由垂线的定义可得，根据对顶角的定义可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查垂线的定义，掌握垂线的定义及对顶角、邻补角是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，根据求出，再加上即可； （2）先由平角得出，根据知，继而由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【题型五】画垂线 例5．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【知识点】画垂线 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知三个点A、B、C，按下列要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)过B点画直线的垂线段，垂足为F．（画图工具不限，不需写出结论，只需画出图形、标注字母） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画垂线、画出直线、射线、线段 【分析】（1）根据要求画直线即可； （2）根据要求画射线即可； （3）过B点作，垂足为点F，即为直线的垂线段． 【详解】（1）解：如图，直线为所求作的直线； （2）解：如图，射线为所求作的射线； （3）解：如图，线段为所求作的垂线段． 【点睛】本题主要考查了画直线、射线和垂线段，解题的关键是熟练掌握直线、射线的定义，垂线的画法． 变式2．（22-23七年级下·浙江金华·月考）如图的正方形网格中，点A、B、C在各正方形的顶点上，按下列要求画出图形： (1)作射线、线段、直线； (2)过点B作直线，垂足为H． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】画垂线、画出直线、射线、线段 【分析】（1）根据射线、线段、直线的概念作图即可得； （2）利用网格的特征作图可得． 【详解】（1）解：如图所示，射线、线段、直线即为所求． （2）如图，线段即为所求． 【点睛】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握射线、线段、直线的概念． 【题型六】垂线段最短 例6．（24-25七年级下·浙江温州·期末）测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度．现一学生跳远训练情况如图所示，点表示后脚跟落点，点表示前脚跟落点，垂直于起跳线，垂足分别为，则测量成绩的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短，以及测试时以距离起跳线进的脚后跟为起点，测量成绩，进行判断即可． 【详解】解：由图和题意，得：测量成绩的线段是； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 变式2．（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)________（填“”、“”或“”），依据是________________． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查画垂线，垂线段最短．掌握垂线段最短，是解题的关键． （1）根据题意，画出垂线即可； （2）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴（垂线段最短） 故答案为：，垂线段最短． 【题型七】点到直线的距离 例7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点A到起跳线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解∶∵，米， ∴小明的跳远成绩应该是米， 故选∶B． 变式1．如图，在体育测试中，裁判员测量某同学的跳远成绩，在直线上的三点中，应测量落在沙坑中的脚印点到点 的距离．    【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离解答即可． 【详解】解：根据点到直线的距离可知，在直线上的三点中，应测量落在沙坑中的脚印点到点B的距离． 故答案为：B． 【点睛】此题考查了点到直线的距离，熟练掌握定义是解题关键． 变式2．（22-23七年级下·浙江台州·期末）定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．    (1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段． (2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，约为厘米 【知识点】点到直线的距离 【分析】（1）根据点到已知线段的距离的定义画出图形即可； （2）由题意可知，点P的运动路径为如图2所示的图形，根据点P的运动路径长为两个以半径为的半圆长加上两个线段的长求解即可． 【详解】（1）解：如图1，线段为点C到线段的距离，线段为点D到线段的距离；    （2）如图2，点P的运动路径如图所示，    点P的运动路径长． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，点到线段的距离，正确理解点到线段的距离是解题的关键． 【题型八】同位角、内错角、同旁内角 例8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线a，b被直线c所截，的同位角是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图，直线a，b被直线c所截，的同位角是， 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示． (1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？ (2)的内错角有哪些？ (3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】（1）根据同位角概念解答即可； （2）根据内错的概念解答即可； （3）根据同旁内角的概念解答即可． 【详解】（1）解：与是直线、被直线所截形成的同位角， 与是直线、被直线所截形成的同位角， 与是直线、被直线所截形成的同位角； （2）解：当直线与被所截时，与是内错角， 当直线和被所截时，与是内错角； （3）解：直线，被所截得的同旁内角有与， 直线，被所截得的同旁内角与． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解本题的关键要抓住各类角的特征，这也是学生易错的地方，并且还容易出现漏解的情况． 一、单选题 1．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【详解】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD=（   ） A．35° B．40° C．55° D．70° 【答案】A 【分析】根据OA平分∠EOC，可得，再由对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°， ∴， ∵∠BOD=∠AOC， ∴∠BOD=35°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 3．如图所示，与是同位角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用同位角的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，符合题意； B图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，不符合题意； C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，不符合题意； D图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了同位角，熟记同位角的定义是解题的关键． 4．如图，直线，相交于点，下列条件：①；②；③，其中能说明的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①，可以得出； ②，， ，可以得出； ③，不能得到； 故能说明的有①②． 故选：A． 5．下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，对选项一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：①内错角不一定相等，只有两直线平行，内错角才相等，故原说法错误； ②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故原说法错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故原说法错误； 综上可得：说法正确的0个． 故选：A 【点睛】本题考查了内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 7．如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，平角，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用垂直和算得，然后利用平角算得，接着利用角平分线，得到，最后利用算得答案． 【详解】解：， ， ， ， ，， 平分， ， ． 故选：B． 8．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确； ③三条线段中，最短，该选项说法正确； ④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误； ∴正确的是②③， 故选：． 9．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 二、填空题 10．如图，于点C，若，则∠BCE的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】根据垂线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠BCD=90°， ∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=90°-58°=32°， 故答案为：32°． 【点睛】本题考查了垂直的定义，熟练掌握两直线垂直，构成的角为90°是解题的关键． 11．如图所示的是“自由式滑雪大跳台”项目图标的部分示意图，下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角）、内错角（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角）、同旁内角（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），根据对顶角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①与是对顶角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与不是同旁内角，原说法错误； ④与是内错角，正确． ∴其中正确的有①②④． 故答案为：①②④． 12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 【答案】40或80/80或40 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 13．在小河旁有一村庄，现要建一取水点，为使该村村民到河边取水最近，则取水点应建在 点处． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短即可作答． 【详解】点C与村庄的连线与小河所在直线垂直， 根据垂线段最短可知：在C点建一取水点，使该村村民到河边取水最近， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的实际应用，理解垂线段最短，是解答本题的关键． 14．如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ． ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离． 【答案】①④/④① 【分析】根据点到直线的距离和两条直线互相垂直即可逐项判断． 【详解】解：， ， ①与互相垂直，正确； ， ②与互相垂直，不正确； ③点到的垂线段是线段，而不是，不正确； ④线段的长度是点到的距离，正确； ⑤线段是点到的距离，不正确，应该是线段的长度是点到的距离． ①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了点到直线的距离和两直线垂直，解题的关键在于点到直线的距离是一个长度，即垂线段长度，而不是垂线段． 15．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂直，则另一个角的度数是 ． 【答案】70°或110° 【分析】由两个角的两边互相垂直，即可得这两个角互补或相等，又由其中一角度数，即可求另一角的度数． 【详解】解：同一平面内的两个角的两边互相垂直（如图所示）， 这两个角互补或相等， 其中一个角为， 另一角的度数为：或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂线的意义，熟练运用画图分析以及分类讨论是此题的难点，也是解决此题的关键． 16．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义．先由垂直得到，进而求得，从而求得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以，， 所以． 因为平分， 所以． 故答案为：． 17．如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．    （1）若，则的度数为 ； （2）与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】（1）邻补角求出，角平分线求出，再根据对顶角相等，即可得解； （2）垂直和角平分线，得到，平角的定义，推出，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，平分， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，找准角之间的和差，倍数关系，是解题的关键． 三、解答题 18．如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作垂线，理解垂线的定义是解题关键．分别过图①，图②，图③的点P作的垂线即可． 【详解】解：过点P分别画出的垂线如下： 19．如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会偏折，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)的同位角有　　　； (2)淇淇使用工具测得，，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查三线八角，几何图形中角度的计算，熟练掌握同位角的定义，是解题的关键： （1）根据同位角的定义找型即可； （2）平角的定义求出的度数，再利用角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）解：由图可知：的同位角有，，； 故答案为：，，； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 20．如图：已知，，，，在同一条直线上. (1)的余角是_________，的补角是_________. (2)如果，求的度数. (3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)，理由见（1）详解 【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据同角或等角的余角相等得到，最后根据补角和余角的定义求解即可； （2）根据补角的定义进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的余角是，的补角是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， （3）解：由（1）得． 【点睛】本题主要考查了与余角补角有关的计算，熟知余角与补角的定义是解题的关键． 21．直线，相交于点O． (1)，分别是，的平分线．画出这个图形． (2)射线，在同一条直线上吗？ (3)画的平分线．与有什么位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)射线、射线在同一条直线上．理由见解析 (3)见解析，垂直 【分析】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了邻补角和对顶角．熟练掌握角平分线、对顶角及邻补角的定义等知识是解题的关键． （1）根据题意画图； （2）根据邻补角和对顶角的定义得到，，再根据角平分线的定义得，，则，所以，于是可判断射线、射线在同一条直线上； （3）根据（2）得，，再由平分得，所以，即可得结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）射线、射线在同一条直线上．理由如下： ∵直线、相交于点O， ∴， ∵，分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴射线、射线在同一条直线上； （3）如图，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 22．如图，已知三个点A，B，C．请按下列语句画出图形． (1)画射线． (2)画直线． (3)在直线上找一点D，连结，使线段最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了射线、直线、垂线段的画法；解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据射线的定义画出图形即可； （2）根据直线的定义画出图形即可； （3）根据垂线段最短可得线段垂直于直线，根据垂线段的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图：射线即为所求； （2）解：如图：直线即为所求； （3）解：如图：线段即为所求． 23．如图，直线相交于点，平分，平分． (1)有什么位置关系，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、垂直的定义等知识点，熟练掌握角平分线和垂直的定义是解题的关键． （）由平分，平分，则，，所以，从而可得，然后通过垂直定义即可求证； （）由平分，平分，则，，设，，所以，解得，然后由角度和差即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴设，， 则，， ∴，解得：， ∴， ∴． 24．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数为；②见解析； (2)或． 【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分． （2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可． 【详解】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令②×2+①可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 $