精品解析：贵州省遵义市第十一中学2025-2026学年上学期九年级数学期末预测卷

十一中2025－2026学年度第一学期期末模拟质量监测 九年级数学试题卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年中国版星链鸿雁星座完成全球组网，第3000颗卫星升空实现天地一体化网络覆盖．数据“3000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面 的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 如图，平行四边形的对角线 ，相交于点 ，下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 8. 第届亚运会于年9月日至月8日在杭州举行．如图1是杭州亚运会足球场馆图，图2是足球场馆座位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的座位如图所示．若小亮的座位表示为，小李的座位表示为，则小东的座位可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 为正方形内一点，，，，将绕点 按顺时针方向旋转，得到．延长 交 于点，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 11. 如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，； 淇淇：若 与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为 A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人均对 D. 两人均错 12. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 14. 如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边CB上的点处，折痕为CD，则_______ ． 15. 用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 3 … … 2 5 6 5 … 根据表格信息可知，当时，函数值________． 16. 如图， 是矩形的中心，点 在线段上运动，连接，将线段绕 顺时针旋转得到线段，连接，．若，，则面积的最大值是________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小颖同学： 解： 第一步 第二步 第三步 或 第四步 解得 第五步 任务一：小颖同学的解答过程中，从第________步开始出现错误． 任务二：任意选择一种方法求该一元二次方程的解． 18. 2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为________； （2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率． 19. 如图，是由面积为1的小正三角形拼成的图形，小正三角形的顶点称为格点，已有端点在格点的线段 ，按要求作图（每小题只需作出一个即可）． （1）以格点为端点作线段． （2）作格点 ，使的面积为2． （3）作正三角形． 20. 2025年10月，某学校举行了“国庆知识问答”系列活动，其中七、八年级的同学参加了知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名同学的成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90， 90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级 等级的学生成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____；_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有600名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为 等的学生共有多少人? 21. 如图，， 平分，交 于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交 于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 22. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买 ， 两种型号的机器人，已知 型机器人比 型机器人每小时多搬运材料，且 型机器人搬运材料所用的时间与 型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求 ， 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 ， 两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进 型机器人多少台？ 23. 如图， 是 的直径， ，是 上的两点，过点 作 的切线，交 的延长线于点 ． （1）写出图中一个与相等的角；________． （2）求证：． （3）若，，求线段 的长． 24. 【问题背景】 某游乐园推出一款新型喷泉游戏，水由特制喷头竖直向上喷出后做斜抛运动，其运动轨迹可视为抛物线．为研究水的运动规律，工作人员进行了相关测试． 【实验操作】工作人员通过仪器测得，水喷出后相对于喷头的水平位移（单位：）与运动时间 （单位：）的关系满足．同时收集了水的竖直高度（单位：，以喷头处为原点）与运动时间 （单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 1 2 3 4 … 飞行高度 0 6 8 6 0 … 【建立模型】 任务1：求关于 的函数表达式． 【反思优化】为保证游客安全，需在水平地面上设置长度为 的安全隔离区（ 为隔离区左端点， 为隔离区右端点），喷泉喷头固定在距离地面高度为（单位：）的支架上，此时水的运动轨迹可视为原抛物线向上平移个单位得到．已知，． 任务2：探究水的落地点到原点的水平距离，当水落到地面（高度为）时，求水喷出的水平距离． 任务3：为确保水不溅到隔离区外，当水的落地点在隔离区 内（包括端点 ， ）时，求支架高度的取值范围． 25. 综合与实践． 数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“线段的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究角度、线段长度的有关问题． 【动手操作】如图，在正方形中，按要求补全图形，并解答问题． 第一步：在正方形外侧作直线 ； 第二步：点 关于直线 的对称点为，连接，，其中交直线 于点 ，其中交直线 于点 ． 【特例感知】在图（1）按以上操作要求补全图形；计算当时，则________． 【深入探究】连接，线段与有怎样的位置关系，并说明理由． 【迁移应用】如图（2），当时，用等式表示线段 ，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十一中2025－2026学年度第一学期期末模拟质量监测 九年级数学试题卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3. 2025年中国版星链鸿雁星座完成全球组网，第3000颗卫星升空实现天地一体化网络覆盖．数据“3000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．掌握科学记数法的方法是解本题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背 的夹角，小桌板支撑杆与桌面 的夹角，则座椅靠背 与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 6. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式． 7. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的边、对角线的性质逐一判断选项即可． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 根据平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等， 有，，故B、D选项一定成立； 平行四边形的对角线互相平分，则，故A选项一定成立； 平行四边形的对角线不一定互相垂直，只有菱形的对角线才互相垂直，即不一定成立，C不一定成立． 8. 第届亚运会于年9月日至 月8日在杭州举行．如图1是杭州亚运会足球场馆图，图2是足球场馆座位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的座位如图所示．若小亮的座位表示为，小李的座位表示为，则小东的座位可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位置的确定，掌握方法是解决问题的关键．根据点的位置先确定平面直角坐标系的位置，然后写出点的坐标． 【详解】解：根据小亮、小李的位置确定坐标系位置如图所示， 小东的座位可以表示为， 故答案为：． 9. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在 中， ，，．若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据 ， 之间的关系，可得出，利用勾股定理，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：，， ． 依题意得：， 即． 故选：D． 10. 如图， 为正方形 内一点，，，，将绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．延长 交 于点 ，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 11. 如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：关于 的一元二次方程的解为，； 淇淇：若 与 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数 的值为 A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人均对 D. 两人均错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，利用对称轴和与x轴的交点，解一元二次方程，判断嘉嘉的说法；结合图像及条件，判断x、y的取值范围，判断淇淇的说法． 【详解】解：已知抛物线的对称轴为，已知过点， 根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点为， 所以一元二次方程的解为∶ ，， 嘉嘉的说法正确． 一元二次方程的解为∶ ，， ． 顶点坐标为． 由图可知 为负数． 与 轴围成封闭区域（边界除外）x的范围是， 可取的整数为0、1、2． 当 时，． 的范围是； 当时， 的范围是； 当 时， 的范围是． 要使整点个数为7，结合顶点纵坐标，当时，顶点纵坐标为4，此时∶ 时，y可取1、2； 时，y可取1、2、3； 时，y可取1、2； 共7个数． 淇淇的说法正确． 故选：C． 12. 把量角器和含 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度 处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【详解】在中，， ∴， ， ， 连接 ，则， ∵外圆弧与斜边相切， ∴∠BEO＝90°， 在中，， ，， 根据勾股定理得，， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 14. 如图，在中， ，，将其折叠，使点A落在边CB上的点处，折痕为CD，则_______． 【答案】20 【解析】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，根据折叠的性质可得，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵折叠后点A落在边CB上的点处，折痕为CD， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键． 15. 用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 3 … … 2 5 6 5 … 根据表格信息可知，当时，函数值________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据表格，可知抛物线的对称轴是直线 ，根据抛物线的对称性，可知当或时，函数值相等，结合表格，便可以得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：从表格信息可知，二次函数图象的对称轴为直线 ， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，函数值， 故答案为： ． 16. 如图， 是矩形 的中心，点 在线段 上运动，连接 ，将线段 绕 顺时针旋转 得到线段，连接 ， ．若，，则面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确画出图形是解题的关键． 过点 作 的垂线段于点，过点 作的垂线段于点 ，证明，设，分类讨论表示出的高，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点 作 的垂线段于点，过点 作的垂线段于点 ， 是矩形 的中心，， ，， 将线段 绕 顺时针旋转 得到线段， ，， ， ， ， ， ， ，， 当点 在线段上运动时，点 在点 下方， 设，则此时， ， ， ， 当时，有最大值为； 当点 在 上时，如图， 将线段 绕 顺时针旋转 得到线段， ，， ， ， ， ， 此时， 当时，点 在点 和线段 之间，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时，有最大值为6； 当时，点 在线段 之上，如图， 同理可得， ，， ， ， 当时，有最大值为4； 综上，面积的最大值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小颖同学： 解： 第一步 第二步 第三步 或 第四步 解得 第五步 任务一：小颖同学的解答过程中，从第________步开始出现错误． 任务二：任意选择一种方法求该一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）任务一：三；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的化简，负整数指数幂，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先求绝对值，二次根式的化简，负整数指数幂，再算加减即可； （2）任务一：根据因式分解即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）任务一：从第三步出现错误，提取公因式后，应该变为， 故答案为：三； 任务二：解： 或 解得． 18. 2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为________； （2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“骥”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，摸出的这张卡片上印有“骥”的结果有1种， 从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为 ， ， ， ， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是和有2种， （摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）． 19. 如图，是由面积为1的小正三角形拼成的图形，小正三角形的顶点称为格点，已有端点在格点的线段 ，按要求作图（每小题只需作出一个即可）． （1）以格点为端点作线段 ． （2）作格点 ，使的面积为2． （3）作正三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并综合运用是解题的关键． （1）找到格点，利用平行四边形的判定和性质即可证明； （2）利用平行四边形的判定和性质即可求解； （3）结合图形及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求： ∵如图，是由面积为1的小正三角形拼成的图形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ； 【小问2详解】 如图所示即为所求： 同理可得：四边形为平行四边形， ∵如图，是由面积为1的小正三角形拼成的图形， ∴四边形的面积为4， ∴的面积为2； 【小问3详解】 如图所示即为所求： ∵如图，是由面积为1的小正三角形拼成的图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴三角形为等边三角形． 20. 2025年10月，某学校举行了“国庆知识问答”系列活动，其中七、八年级的同学参加了知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名同学的成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用 表示，其中）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90， 90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级 等级的学生成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____；_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有600名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为 等的学生共有多少人? 【答案】（1）90，，45 （2）八年级，理由见解析 （3）490人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差． （1）分别根据众数和中位数的定义可得 、的值，用 组人数除以样本容量可得 的值； （2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：七年级20名同学的成绩中90出现的次数最多，故众数； 由题意得，八年级 组人数为8人，所以占总人数的， 八年级 组的人数占总人数的，故； 八年级选取了20名同学的成绩， 八年级 组的人数为：（人）， 八年级 组的人数为：（人）， 八年级 组的人数为：（人）， 把八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是88，89，故中位数． 故答案为：90，，45； 【小问2详解】 解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： 因为两个年级成绩的平均数相同，虽然七年级学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于八年级，但是七年级学生的竞赛成绩的方差比八年级的大很多，意味着七年级学生的竞赛成绩波动很大，所以我认为八年级学生的竞赛成绩较好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由题意得，七年级 组的人数有11人，占总人数的， 该校七年级有400名学生参加了此次竞赛， 七年级 组的人数有：（人）； 由（1）得，八年级 组的人数占总人数的， 该校八年级有600名学生参加了此次竞赛， 八年级 组的人数有：（人）； 该校七、八年级参加此次竞赛成绩为 等的学生共有（人）． 21. 如图， ， 平分，交 于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交 于点O，交 于点F，连接 （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 作图如下： （2）猜想：四边形是菱形， 证明如下： ∵ ， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等． （1）以点 为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接 与这点即为的平分线，即可得到本题答案； （2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：以点 为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点 与这点交 于点 ，即为的平分线，作图如下： 【小问2详解】 略 22. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买 ， 两种型号的机器人，已知 型机器人比 型机器人每小时多搬运材料，且 型机器人搬运材料所用的时间与 型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求 ， 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 ， 两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进 型机器人多少台？ 【答案】（1） 型机器人每小时搬运材料， 型机器人每小时搬运材料 （2）至少购进 型机器人台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． （1）设 型机器人每小时搬运材料，则 型机器人每小时搬运材料，根据“ 型机器人搬运材料所用的时间与 型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； （2）设购进 型机器人 台，则购进 型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 解：设 型机器人每小时搬运材料，则 型机器人每小时搬运材料， ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答： 型机器人每小时搬运材料， 型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 设购进 型机器人 台，则购进 型机器人台， 解得：， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进 型机器人台． 23. 如图， 是的直径， ， 是上的两点，过点 作的切线，交 的延长线于点 ． （1）写出图中一个与相等的角；________． （2）求证：． （3）若，，求线段 的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由圆周角定理得，得到问题的答案；（另外，，可知答案不唯一） （2）连接 ，则 ，所以，由切线的性质得，而 是的直径，所以，推导出，则，进而即可得到结论； （3）求得，证明，得，则，且，由，即可求得 ． 【小问1详解】 解：根据圆周角定理得， 故答案为：（答案不唯一）： 【小问2详解】 证明：如图，连接 ，则 ， ， 与相切于点 ， ， 是的直径， ， ， ， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：，，， ，， ，， ， ， ，且， ， 解得， 线段 的长是． 24. 【问题背景】 某游乐园推出一款新型喷泉游戏，水由特制喷头竖直向上喷出后做斜抛运动，其运动轨迹可视为抛物线．为研究水的运动规律，工作人员进行了相关测试． 【实验操作】工作人员通过仪器测得，水喷出后相对于喷头的水平位移 （单位：）与运动时间 （单位：）的关系满足．同时收集了水的竖直高度 （单位：，以喷头处为原点）与运动时间 （单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 0 1 2 3 4 … 飞行高度 0 6 8 6 0 … 【建立模型】 任务1：求 关于 的函数表达式． 【反思优化】为保证游客安全，需在水平地面上设置长度为 的安全隔离区（ 为隔离区左端点， 为隔离区右端点），喷泉喷头固定在距离地面高度为（单位：）的支架上，此时水的运动轨迹可视为原抛物线向上平移个单位得到．已知，． 任务2：探究水的落地点到原点 的水平距离，当水落到地面（高度为）时，求水喷出的水平距离． 任务3：为确保水不溅到隔离区外，当水的落地点在隔离区 内（包括端点 ， ）时，求支架高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：水喷出的水平距离；任务3： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． 任务1：根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； 任务2：令 ，解方程求出 的值，再把 的值代入求出 即可； 任务3：得到 关于 的方程，利用抛物线的平移可得新抛物线的轨迹的函数解析式，令，求得，根据题意列不等式即可解答． 【详解】解：任务1：根据探究发现： 与 是二次函数关系， 设 与 的函数解析式为， 把和代入可得 ， 与 的函数解析式为； 任务2：依题意得：令 ，则， （不合题意，舍去），． 当时，． 即水喷出的水平距离； 任务3：，， ，即水的运动轨迹的解析式为， 则新的水的运动轨迹的解析式为， ， 由题意可得当时，，当时，， 可得不等式组， 解得， ， ． 25. 综合与实践． 数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“线段的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究角度、线段长度的有关问题． 【动手操作】如图，在正方形 中，按要求补全图形，并解答问题． 第一步：在正方形 外侧作直线； 第二步：点 关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点 ，其中交直线于点 ． 【特例感知】在图（1）按以上操作要求补全图形；计算当时，则________． 【深入探究】连接 ，线段 与有怎样的位置关系，并说明理由． 【迁移应用】如图（2），当时，用等式表示线段 ，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】[特例感知]补全图形见解析；；[深入探究]，理由见解析；[迁移应用]，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，对称的性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． [特例感知]根据题意补全图形，连接，利用等腰三角形的判定和性质，计算角度即可； [深入探究]根据，可得点在以点 为圆心，长度为半径的圆上，利用圆周角定理即可得到，从而推出； [迁移应用]利用[深入探究]中的结论，结合勾股定理即可解答． 【详解】[特例感知]解：补全图形如下： 如图，连接， 根据对称的性质可得，， ， 四边形 为正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； [深入探究]解：，理由如下： ， 点在以点 为圆心，长度为半径的圆上，如图， ， 根据对称的性质可得， ， ，即； [迁移应用]解：，理由见解析： 如图，连接 ， ， 根据勾股定理可得， 由[深入探究]同理可证， ， , ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $