精品解析：江苏省扬州市江都区大桥镇中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

九年级数学限时作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题 1. 某班七个兴趣小组人数分别为4，7，5，4，6，4，5，则这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 2. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 4. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（为常数）的图象经过点，，，则有（ ）． A. B. C. D. 6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 7. △ABC中，∠C=90°，内切圆与AB相切于点D，AD=2，BD=3，则△ABC的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定 8. 四个完全一样的矩形如图所示摆放着，相邻两矩形夹角为，若，则的长度为（ ） A. 1.5 B. C. 2 D. 二、填空题 9. 若，则________． 10. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为 ___________ ． 11. 若点是线段的黄金分割点，，则较长线段的长是_____． 12. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 13. 如图，楼高米，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为．若，两楼相距米，则楼落在楼上的影子有______米． 14. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是________． 15. 某公司招聘员工，对应聘者进行三项素质测试：创新能力、综合知识、语言表达，某应聘者三项得分分别为70分、80分、90分，如果将这三项成绩按照5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为 _____分． 16. 已知二次函数的图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是______． 17. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点D，则的长为__________． 18. 如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿边运动到点C，连接，过点E作的垂线交于点F，在点E的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点H所经过的路径长为________． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 22. 如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，，求阴影部分的面积． 23. 某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．经调查：该商品按原标价出售，每月可销售100件，若该商品每降价2元，每月可多售出10件． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）要使平均每月销售这种商品盈利4000元，那么每件服装应降价多少元？ （3）那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 24. 某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行模拟测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求汽车刹车后，行驶了多远； （3）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 25. 在矩形中，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图，先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点． （2）在（1）的条件下，若点在线段上，点在线段上，，且，求的半径． 26. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线下方时，求面积的最大值． （3）直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 27. 已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 28. 定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题 1. 某班七个兴趣小组人数分别为4，7，5，4，6，4，5，则这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的概念，掌握中位数的概念是解题的关键．中位数是将数据按从小到大排序后，位于中间位置的数；由于数据个数为7（奇数），中位数是排序后的第4个数． 【详解】解：∵数据为4，7，5，4，6，4，5， ∴排序后为4，4，4，5，5，6，7， ∵数据个数为7，是奇数， ∴中位数是第4个数，即5． 故选：B． 2. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与直线的位置关系可直接进行排除选项． 【详解】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD可得AD∥BC，则可证明△ADF∽△CEF，据此可进行解答. 【详解】解：由题意可知AD∥BC，则△ADF∽△CEF，则， 故选择A. 【点睛】本题考查了三角形相似及相似比. 4. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图像的平移，准确判断平移方向对变量的影响关系是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解． 【详解】解：∵抛物线先向左平移4个单位长度， ∴用代替，得， 再向上平移2个单位长度， 得. ∴所得抛物线为， 故选D． 5. 已知函数（为常数）的图象经过点，，，则有（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向上, 由于A（0.8,y1）在对称轴的左侧,根据二次函数图象的对称性可知, 对称点为（1.2,y1），在y轴的右边y随x的增大而增大,可判断y2＜y1＜y3． 【详解】解:∵函数y=3x2-6x+k（k为常数）, ∴对称轴为x=1,图象开口向上, ∴A（0.8,y1）在对称轴的左侧,根据二次函数图象的对称性可知, 对称点为（1.2,y1）,在y轴的右边y随x的增大而增大, 因为1.1＜1.2＜，于是y2＜y1＜y3. 故选C. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象的性质. 6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 【答案】B 【解析】 【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可． 【详解】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25， 判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5， 故选B． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函数的增减性是解题关键． 7. △ABC中，∠C=90°，内切圆与AB相切于点D，AD=2，BD=3，则△ABC的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】易证得四边形OECF是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r，BC=3+r，AB=5，根据勾股定理列方程即可求得答案． 【详解】如图，设⊙O分别与边BC、CA相切于点E、F， 连接OE，OF， ∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， ∴DE⊥BC，DF⊥AC，AF=AD=2，BE=BD=3， ∴∠OEC=∠OFC=90°， ∵∠C=90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE=OF， ∴四边形OECF是正方形， 设EC=FC=r， ∴AC=AF+FC=2+r，BC=BE+EC=3+r，AB=AD+BD=2+3=5， 在Rt△ABC中，=+， ∴=+， ∴， 即 解得：或（舍去）． ∴⊙O的半径r为1, ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 8. 四个完全一样的矩形如图所示摆放着，相邻两矩形夹角为，若，则的长度为（ ） A. 1.5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过C作于F，交于E，过D作于N，交于M，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，进而得出，同理，根据三角形的内角和定理和对顶角的性质依次可求出，，，，，然后根据含角的直角三角形的性质得出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作于F，交于E，过D作于N，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 同理可求， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 10. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式的应用，圆锥的侧面积公式为，其中r是底面半径，l是母线长． 【详解】解：∵，母线长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 11. 若点是线段的黄金分割点，，则较长线段的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的概念，较长线段与整个线段的比等于黄金比，因此．据此解答即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且为较长线段， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 12. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形面积比为相似比的平方即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：． 13. 如图，楼高米，楼坐落在楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为．若，两楼相距米，则楼落在楼上的影子有______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的下方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 15. 某公司招聘员工，对应聘者进行三项素质测试：创新能力、综合知识、语言表达，某应聘者三项得分分别为70分、80分、90分，如果将这三项成绩按照5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为 _____分． 【答案】77 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：他的总成绩为是＝77（分）， 故答案为：77． 【点睛】此题考查了加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确解答的关键． 16. 已知二次函数的图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义和抛物线与轴的交点，要结合判别式进行解答．根据二次函数的图像与轴有两个公共点可知且，据此可知的取值范围． 【详解】解：二次函数的图像与轴有两个公共点， 且， 即且， 解得且， 故答案为：且． 17. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点D，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键．先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿边运动到点C，连接，过点E作的垂线交于点F，在点E的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点H所经过的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于综合题，考查等边三角形的性质，锐角三角函数等，判断出点H的运动轨迹是解题的关键． 连接，取的中点，连接、，据可得点，，，四点共圆，连接，则，进而得到点在以点为端点，上方且与夹角为的射线上；再过作于点，根据点从点出发，沿边运动到点，即可得到点从点沿运动到点；再利用在中，，即可得出点所经过的路径长是． 【详解】连接，取的中点，连接、，如下图： 在等边三角形中，，是的中点， ∴，， 又∵是的中点， ∴，在中，，是的中点， ∴， ∴， ∴点，，，四点共圆， 连接，则， ∴点在以点为端点，上方且与夹角为的射线上， 如图，过作于点， ∵点从点出发，沿边运动到点， ∴点从点沿运动到点， 在中，， 故答案为： 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． （1）将方程变形后提取公因式，即可解出方程； （2）采用十字相乘法对方程进行变形，可解出方程． 【小问1详解】 解： 或 【小问2详解】 解： 或 20. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）的度数是． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式： （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，进而得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴， ∴． 22. 如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，再根据直径所对的圆周角为，可推出，得到，最后根据，得到，即可证明； （2）过点作于点，由，可得，推出是等边三角形，得到，进而得到，，推出，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握相关知识是解题的关键． 23. 某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．经调查：该商品按原标价出售，每月可销售100件，若该商品每降价2元，每月可多售出10件． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）要使平均每月销售这种商品盈利4000元，那么每件服装应降价多少元？ （3）那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）每次降价的百分率为 （2）每件服装应降价0元或20元 （3）当销售价为90元时，可以使该商品的月利润最大，最大的月利润是4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后售价从100元降价到81元建立方程求解即可； （2）设每件服装降价x元，则每件服装的利润为元，销售量为件，再根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量建立方程求解即可； （3）设每件服装降价m元，该商品每月的利润为w元，根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量得到w关于m的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元， 由题意得，， 解得或， 答：每件服装应降价0元或20元； 【小问3详解】 解：设每件服装降价m元，该商品每月的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为4500， ∴元 答：当销售价为90元时，可以使该商品的月利润最大，最大的月利润是4500元． 24. 某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行模拟测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求汽车刹车后，行驶了多远； （3）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 【答案】（1） （2）汽车刹车后，行驶了 （3）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）将代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （3）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设y关于t的函数解析式为， ∵抛物线过，， ∴， 解得，， ∴y关于t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴汽车刹车后，行驶了； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 25. 在矩形中，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图，先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点． （2）在（1）的条件下，若点在线段上，点在线段上，，且，求的半径． 【答案】（1） 如图①中，点，点，即为所求； 以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，由矩形得到，，然后设，则，根据，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形为矩形， ∴，． ∵． 设，则， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 26. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线下方时，求面积的最大值． （3）直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）最大值为； （3）或或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设直线与轴交于点，如图，设，直线解析式为，则，解得，则直线解析式为，又，再通过二次函数的性质即可求解； （）由（）得抛物线解析式为，当时，，则，所以，故有，当与相似时，分两种情况，当时，即，当时，即，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点，如图， 设，直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：由（）得抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当与相似时，分两种情况， 当时，即，如图， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， 设， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 当时，即，如图， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 综上可得：点的横坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 27. 已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】（1）①；②； （2） 证明：延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． （3） 证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 必有一个点的位置始终不变，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【小问1详解】 解：①，， ， ． ②连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键． 28. 定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 综上， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $