精品解析：贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题

贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A B. C. D. 2. 若直线一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 6. 已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（ ） A. 12 B. C. D. 6 8. 设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（ ） A B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 10. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，若是棱长为2的正方体的表面一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭不同安排方法数有__________种. 14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 16. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. （1）若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； （2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 19. 已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点．以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为． （1）求椭圆E的方程； （2）设过点的直线l与椭圆E交于不同的两点A，C，与直线交于点P．点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形． （ⅰ）求最大值； （ⅱ）求证：直线PD过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，再设出直线的倾斜角，然后根据斜率建立方程即可求解. 【详解】由直线的一个方向向量是， 可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，且，所以， 故选：A. 3. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【详解】易知点关于平面对称的点的坐标关系是横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 与点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 4. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线距离公式求解即可. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 5. 甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】分乙站第一个位置，甲站第四个位置，和甲站第二个位置，乙站第五个位置，两类情况求解即可. 【详解】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况： 乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种， 甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种， 共有种， 故选：B 6. 已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，则可得，再利用三角形面积公式与勾股定理计算即可得解. 【详解】，又，故， 则，故，即， 且有， 故， 即，故的周长为. 故选：B. 8. 设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得过直线方程为，与抛物线方程联立，即可解得坐标，利用两点的距离公式即可求解. 【详解】由题意得，Γ的准线方程为，过且倾斜角为的直线方程为，所以，得， 设，，，则，， 故，， 所以，， 故，， ，故． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，以及展开式的通项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A，二项展开式中的所有奇数项的二项式系数和为，所以A正确； 对于B，令，可得二项展开式中所有的系数和为，所以B正确； 对于C，由二项式的二项展开式中有11项， 其中展开式中的二项式系数的最大为中间项，即第6项的二项式系数最大，所以C不正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 令，解得，所以二项展开式中的常数项是第9项，所以D正确. 故选：ABD. 10. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，再依次判断选项即可． 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 11. 如图，若是棱长为2的正方体的表面一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D. 若是棱中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据锥体体积的求法，结合条件分析，可判断A的正误；如图建系，求个各点坐标，设，可得坐标，根据夹角的向量求法，结合x的范围，分析计算，结合余弦函数的单调性，即可判断B的正误；分别分析点P在各个平面内时的轨迹，计算各个长度，综合即可判断C的正误；求出平面的法向量，由题意的，结合向量求模公式，分析计算，即可判断D的正误. 【详解】选项A：当在平面内运动时，P到平面的距离不变， 平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确； 选项B：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，设， 则， 设与所成角为，， 则 ， 因为，所以，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，故B错误； 选项C：已知直线AP与平面ABCD所成的角为， 若点P在平面和平面内， 因为，且为最大角，所以点P仅在点，处； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P平面内，作平面ABCD，如图所示， 因为，所以， 因，所以，所以， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为， 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 选项D：，设， 则， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 因为平面， 所以，则， 所以， 即当时，PF长度的最小值是，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差得，即. 故两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，设，表示出，，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系，即可得解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线. 所以， 又由知，所以， 故，所以. 可设，则，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可； （2）设点，利用中点坐标公式建立点和点之间的关系式， 再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是2， 显然直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程是，即， 则圆心到直线的距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点， 由点是的中点得 所以①， 因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，， 化简得点的轨迹方程是. 16. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. （1）若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； （2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可取2，3，按独立事件概率求解，写出分布列； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【小问1详解】 由题意可得所有可能的取值为2，3， ，， 所以的分布列为： 2 3 【小问2详解】 设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5局比赛”， 则， ， 故. 故在甲最终获胜了的条件下进行了5局比赛的概率是. 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； 【小问2详解】 由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）点是线段靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得出直线垂直直线所在的平面，进而推出：； （2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解； （3）通过的坐标得到的坐标，再通过二面角的余弦值为，计算可得点的位置. 【小问1详解】 在长方形中，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即，解得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 故有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 ， 则 由点是线段上的一动点， 设， 则， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 两边平方得，整理得， 解得或（舍去），因此点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆E焦点在x轴上，中心在坐标原点．以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为． （1）求椭圆E的方程； （2）设过点的直线l与椭圆E交于不同的两点A，C，与直线交于点P．点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形． （ⅰ）求最大值； （ⅱ）求证：直线PD过定点． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质得到且，再利用之间的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）令，，，AC中点，利用点差法可得，利用菱形性质可知，则有，所以，把代入直线的方程，得：，有，可求最大值； （ⅱ）解法一：设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到，根据菱形的性质可得的方程为，推出，，进而可得直线的方程，再进行求证即可． 解法二：由于，故，直线的方程为，则，利用对称性可知定点一定出现在x轴上，设定点为，由，求出的值即可. 【小问1详解】 因为椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点，不妨设椭圆E的方程为， 因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为， 所以且，又， 解得，，，则椭圆E的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）令，，，AC中点， A，C两点在椭圆E上，则有，两式相减得， 化简为，可得①， 且利用菱形性质可知②，①②得：，所以， 由于得：，所以，，所以 （ⅱ）解法一：证明：不妨设直线l的方程为，，， 令，解得，即， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，不妨设AC的中点为， 此时，所以， 因为四边形ABCD为菱形， 所以点N为BD的中点，，则直线BD的斜率为， 所以直线BD的方程为， 令，解得，即， 不妨设，此时，，即， 所以直线PD的方程为，即． 故直线PD过定点． 解法二：由于，故，直线的方程为， 代入，则，利用对称性可知定点一定出现在x轴上， 设定点为，则，即，所以，故直线PD过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $