精品解析：福建省漳州市诏安县某校2025-2026学年九年级上学期第二次考试数学试题

2025-2026学年上学期第二次月考数学试卷 一、单选题 1. 随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. 2 C. 1 D. 3. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 4. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，1 B. ， C. 3， D. 5，1 5. 顺次连接四边形四边中点所组成的四边形是菱形，则原四边形一定为 ( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 对角线相等的四边形 D. 等腰梯形 6. 如图，几何体的主视图是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，过点作，垂足为，设，，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题 11. 方程的两个根为________． 12. 若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为__________ ． 13. 已知反比例函数的图象如图所示，轴，点为轴上一点．若的面积为，则的值为______． 14. 已知点在反比例函数的图像上，则______． 15. 手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为，那么摄像区的长度为________． 16. 如图，在边长为的菱形中，，过点A作于点E ，现将沿直线翻折至的位置，与交于点G，则等于_______． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 19. 参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … ■ 4 2 1 … … m ■ 4 2 1 … （1）m = _________． （2）请画出函数的图象； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，y 随 x 的增大而___________；（填“增大 ”或“减小 ”）②图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 20. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°． （1）求∠A的度数； （2）请用尺规作图，在AD边上找到一点F，使得∠DBF＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E． （1）求证： （2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大． 24. 如图，点是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，，直线经过点B和点并与x轴交于点C． （1）求直线和的表达式及点C的坐标． （2）当点P在的内部（包含边界）时， ①求a的取值范围； ②是否存在点P，使得？ 若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二次月考数学试卷 一、单选题 1. 随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；根据列举法可进行求解． 【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）共4种情况，其中两次正面都朝上的有1种情况，所以两次正面都朝上的概率是； 故选C． 2. 一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的概念，把方程的根代入方程，求解即可． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法错误，符合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 有一个内角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 4. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，1 B. ， C. 3， D. 5，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程的一般形式为，其中 是一次项系数，是常数项．根据一元二次方程的一般形式，直接识别一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，， 故选：B． 5. 顺次连接四边形四边中点所组成的四边形是菱形，则原四边形一定为 ( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 对角线相等的四边形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质即可判断. 【详解】顺次连接四边形四边中点所组成的四边形是菱形，由中位线的性质可知，原四边形的对角线相等，故选C. 【点睛】此题主要考查中点四边形，解题的关键是熟知中位线的性质. 6. 如图，几何体的主视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 根据简单几何体的三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：这个几何体的主视图为： 故选：B． 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质． 由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由三角形外角的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象． 将代入反比例函数解析式，直接计算k的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，过点作，垂足为，设，，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接AP，根据矩形的性质可得S△APD=S矩形ABCD，再代入相应数值可得与之间函数关系式，即可判断最终结果． 【详解】解：如图，连接AP， ， ， ，， ， 又，， ，， ， ， ， 根据解析式和自变量取值范围可知C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，涉及反比例函数的表达式，利用△APD面积的不同表示方法求得y与x的函数关系是解决本题的关键． 10. 如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， 由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题 11. 方程的两个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；通过因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 或， 解得； 故答案为． 12. 若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟知方程解的概念、灵活应用整体思想是解题的关键． 把代入方程并整理可得，然后整体代入解答即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象如图所示，轴，点为轴上一点．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，连接，可得，即得到，进而根据反比例函数的图象和性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知点在反比例函数的图像上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，点在函数图像上，则点的坐标满足函数的解析式． 将点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ，解得． 故答案为：． 15. 手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为，那么摄像区的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念与应用，熟练掌握黄金分割的概念与应用是解题的关键. 把线段分两段，较长段与全段比较短段与较长段比，比值为，称黄金分割. 根据黄金分割的概念，已知全段长为，则较长段（握持区）为，然后用全段长减去握持区即可得到摄像区的长度 【详解】解：， 故答案为 . 16. 如图，在边长为的菱形中，，过点A作于点E ，现将沿直线翻折至的位置，与交于点G，则等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，进而求出，再证，由对应边成比例得，由此可解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ， 设，则， 菱形中，， ， ，， ， ，即， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，证明是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解题即可； （2）根据直接开平方法解题即可． 【小问1详解】 解： ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴ ∴，． 18. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2， ∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠BDE＝∠C＝60°， ∵AE+CF＝2， ∴CF＝2﹣AE， 又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：△BEF是等边三角形．理由如下： 由（1）可知△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF． 【解析】 【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答． 【详解】略． 【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的性质． 19. 参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … ■ 4 2 1 … … m ■ 4 2 1 … （1）m = _________． （2）请画出函数的图象； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，y 随 x 的增大而___________；（填“增大 ”或“减小 ”）②图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】（1） （2） 解：图象如下： （3）①减小；② 【解析】 【分析】本题考查了类似于反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线画图及数形结合得到函数性质． （1）把代入中即可求解； （2）描点、连线，用光滑的曲线连接起来即可； （3）观察图象并结合表格即可完成． 【小问1详解】 解：当时，， 即； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图象并结合表格知，当时，y 随 x 的增大而减小； 故答案为：减小； ②图象关于点成中心对称． 故答案为：． 20. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°． （1）求∠A的度数； （2）请用尺规作图，在AD边上找到一点F，使得∠DBF＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）30°； （2）作AD边的垂直平分线，交AD于点F， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠A＝30° ∴∠DFB＝∠FBA+∠A=60° ∴∠DBF＝45°． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形内角和即可求∠A的度数； （2）根据尺规作图，作AD的垂直平分线交AD于点F，此时∠DBF＝45°． 【详解】解：如图所示： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB ∴∠ADB＝∠ABD=∠CBD＝75°． ∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 答：∠A的度数为30°； （2）略． 【点睛】本题考查菱形的性质及尺规作图,关键在于熟悉菱形的性质并学会尺规作图. 21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E． （1）求证： （2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP， ∴∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP． ∴（两角对应相等，两个三角形相似） （2）存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍；DP的长为8. 【解析】 【分析】（1）首先根据余角的等量转化，得出∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP，然后根据两角对应相等，两个三角形相似，即可判定； （2）首先假设存在这样的点，然后根据相似的性质得出CD：AP=PD：AE=2，即可得解. 【详解】（1）略． （2）假设存在这样的点P， ∵Rt△AEP∽Rt△DPC， ∴CD：AP=PD：AE=2． 又∵CD=AB=4， ∴AP=2，PD=8， ∴存在这样的P点，且DP长为8． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题. 22. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ， 又 ∵（公共角）， ； （2）3.6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明三角形相似，再结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度。 （1）通过证明两个三角形有公共角且均为直角，利用“ AA”判定； （2）先由勾股定理求出斜边长度，再结合相似三角形的对应边成比例计算的长。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得： ， ， ， 即， 解得． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大． 【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57 【解析】 【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可； 任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可； 任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）网上毛利润为：元 实体店毛利润为：元 （2）设网上销售价下降x元/件，则 网上毛利润为： 实体店毛利润为： 总毛利润为： 根据题意得， 解得，； ∴或56 答：该商品的网上销售价是每件58元或56元 （3） ∵ ∴ ∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大 此时销售价为：（元） 故答案为：57 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键． 24. 如图，点是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，，直线经过点B和点并与x轴交于点C． （1）求直线和的表达式及点C的坐标． （2）当点P在的内部（包含边界）时， ①求a的取值范围； ②是否存在点P，使得？ 若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的表达式为；直线的表达式为，． （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线和的表达式，进而可求得点C的坐标； （2）①求出当时两个函数的函数值，分两种情况：当点P位于内部（包含边界）时，则点P的纵坐标为非负数且应不小于时直线的函数值；当点P位于内部（包含边界）时，则点P的纵坐标为非负数且应不小于时直线的函数值；综合起来即可求得a的取值范围； ②由勾股定理求得，利用勾股定理得到关于a的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为； 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得， ∴． 【小问2详解】 解：①当时，，， 当点P位于内部（包含边界）时， ∴， 解得：； 当点P位于内部（包含边界）时， ， 解得：， 综合起来得：； ②存在； ∵，,， 当时，， 即， 整理得：， 解得：， ∵,不符合a的取值范围， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式组，勾股定理及解一元二次方程等知识，掌握相关知识是关键． 25. 【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）； （2）延长交于点M，如图， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：在（2）中得到的结论不发生变化，理由如下： 延长到H，使得，连接，如图所示： ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，点A、B、G又在一条直线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，由题意易知，则有，然后问题可求解； （2）延长交于点M，由题意易知，则有，然后可得，进而问题可求解； 【拓展延伸】延长到H，使得，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长交于点H，如图， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）略 拓展延伸：略 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质、全等三角形的性质与判定及含30度的直角三角形的性质，熟练掌握正方形、菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $