精品解析：辽宁省沈阳市皇姑区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年辽宁省沈阳市皇姑区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】A.是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是有理数，故C错误； D、是无理数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2. 确定一个地点的位置，下列说法正确的是（ ） A. 偏东，1000米 B. 西北方向 C. 距此800米 D. 正南方向，距此700米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角，解决本题的关键是同时具有方向和距离才能确定点的位置． 根据地点的位置确定应该有方向角以及相对距离据此回答． 【详解】解：选项A中偏东方向表述不明确，不符合题意； 选项B只有方向无距离，不符合题意； 选项C只有距离无方向，不符合题意； 选项D有明确方向正南和距离700米，能确定位置，符合题意， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 4. 一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象． 【详解】解：由题意，得 y=30-5t， ∵y≥0，t≥0， ∴30-5t≥0， ∴t≤6， ∴0≤t≤6， ∴y=30-5t是降函数且图象是一条线段． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可. 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律： (1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 6. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可． 【详解】因为，所以∠2=∠1+30°， 所以∠2=30°+20°=50°， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 7. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班成绩的中位数低于二班 【答案】B 【解析】 【分析】考查知识点为箱线图的特征（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值的含义）；解题关键是明确箱体长度、中位数、最值对应的箱线图元素． 先回忆箱线图的含义：箱体长度反映数据集中程度（越短越集中），箱体下端是下四分位数、中间线是中位数，须线端点是最值．再逐一分析选项． 【详解】选项A：箱线图中，箱体越短代表数据越集中．一班的箱体长度长于二班，因此一班成绩更分散，该选项错误． 选项B：一班成绩的下四分位数对应的是箱体下端，图中一班箱体下端为80分，故该选项正确． 选项C：箱线图的最大值为140分，说明一班成绩的最大值是140分，无同学超过140分，该选项错误． 选项D：一班成绩的中位数是箱体中间线（100分），二班中位数低于100分，因此一班中位数高于二班，该选项错误． 故选：B． 8. 4、、15三个数的大小关系是（ ） A. 4<15< B. <15<4 C. 4<<15 D. <4<15 【答案】A 【解析】 【详解】因为4,因为15=,所以4<15<,故选A. 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 10. 如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（ ） A. 6秒 B. 6.5秒 C. 13秒 D. 26秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构造直角三角形是解题的关键．先作辅助线构造直角三角形，结合已知条件确定直角边长度，再用勾股定理求斜边的长度，最后根据时间=路程÷速度计算鱼游到处的时间． 【详解】解：如图，过点作于． 米，米，米， 米，米， 是直角三角形， ∴由勾股定理：米， 鱼游到处的时间秒， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共12分． 11. 某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是，这样和也就可以排除，所以小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，这个三位数密码是. 【详解】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同， 他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数， 小亮猜对的数字是， 在百位上， 和可以排除， 小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的， 这个三位数密码是， 故答案为： ． 12. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两条直线交点求方程的解， 先求出点P的坐标，再根据方程的解是直线与直线交点的坐标解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点， ∴方程的解是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】60 【解析】 【分析】考查知识点为勾股定理、全等三角形的判定（）、三角形面积公式，解题关键是发现以简化面积计算． 先在中用勾股定理求出；再根据得角相等，结合证，得出为两个三角形面积相等；最后通过全等将阴影面积转化为的面积，计算得阴影面积为60． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ． ∵， ∴，； 又∵， ∴， ∴， 故阴影部分面积， 故答案为；60． 14. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”．如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的相关知识．设点的坐标为，根据点是点，的“和谐点”，表示出点的坐标，进而根据为直角可得点和点的横坐标相同得到的值，即可求得点和点的坐标；求得直线的解析式，进而求得点的坐标；作于点，求得和的长度，根据的面积的不同表示方法求出点到直线的距离．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．根据的面积的不同表示方法求出点到直线的距离是解决本题的易错点． 【详解】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”， 点的坐标为， ∵， 点的横坐标和点的横坐标相同． ∴． 解得：． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为． ∴． 解得：． 直线的解析式为． 当时，． 点的坐标为． ∴． 作于点． 由题意得：与轴的交点为． ∴，． ∵． ∴． 故答案为：． 15. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据绝对值的性质判断真假即可． 【详解】解：∵3 ＞－5，但|3|＜|－5|， ∴命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算法则和代入消元法是解题的关键． （1）先利用乘法分配律展开，再化简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）用代入消元法，由第二个方程表示出，代入第一个方程求解，再回代求． 【详解】（1）解： ； （2） 解：由②得， 将代入①得， 解得， 将代入得， ∴原方程组的解为． 17. 为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：）分别为：60，55，75，55，55，43，65，． （1）这组数据的众数为______（直接填空）； （2）求这组数据的中位数和下四分位数； （3）如果要求学生平均每天完成家庭作业时间不能超过，请估计该班学生是否符合这一要求？ 【答案】（1）55； （2）这组数据的中位数为55；下四分位数为49 （3）符合 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数的概念，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据众数的概念可以判断得解； （2）依据题意，由中位数、下四分位数的概念计算可以得解； （3）依据题意，先求出样本中8名学生，他们每天完成作业平均所需时间，从而用样本估计总体，即可得解； 【小问1详解】 解：数据中出现次数最多， 这组数据的众数为55， 故答案为：55； 【小问2详解】 解：由题意，将题目中的数据按照从小到大排列是：40，43，55，55，55，60，65，75， 这组数据的中位数为，下四分位数为； 【小问3详解】 由题意，样本中8名学生，他们每天完成作业平均所需时间， ， 估计该班学生符合每天完成家庭作业时间不超过的要求． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中直接画出； （2）画出关于轴对称的； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3）或 【解析】 【分析】考查知识点为平面直角坐标系中点的定位；关于y轴对称的点的坐标特征；三角形面积公式、绝对值方程的求解． （1）先在坐标系中分别找到的位置，再依次连接这三个点，得到． （2）先根据y轴对称的坐标规律，求出A、B、C的对称点、、，再依次连接这三个对称点，得到． （3）设，用表示的长度，以A到x轴的距离2为高，代入面积公式得，化简为，求解得P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设P的坐标为，的底为，高为A到x轴的距离2． 由面积公式， ∵面积为4，则： ，解得或． 故P的坐标为或． 19. 某学校足球队购进A，B两款足球，若购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若购进20个A款足球和30个B款足球需3400元，设A、B两款足球的进价分别为x元、y元，求x和y的值． 【答案】x的值为80，y的值为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为80，y的值为． 20. 某蒜苔生产基地收获200吨蒜苔，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式．按这三种方式销售，每吨的平均售价及成本如下表： 销售方式 批发 零售 储藏后销售 售价（元／吨） 3000 4500 5500 成本（元／吨） 700 1000 1200 若不考虑蒜苔损耗情况，经过一段时间全部售出，其中零售量为吨，批发量是零售量的3倍，获得的总利润为元． （1）直接填空：冷库储藏后销售每吨利润为______元，冷库储藏后销售量为______吨（用含的代数式表示）； （2）求与之间的函数关系式； （3）直接写出的最大值． 【答案】（1）4300，； （2）（）； （3）656000； 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、代数式的表示，熟练掌握利润的计算方法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）用冷库储藏后销售的售价减成本得每吨利润求解冷库储藏后销售每吨利润，用总吨数减去零售、批发的吨数得冷库储藏后销售量． （2）分别计算三种销售方式的利润，再求和得到与的函数关系式． （3）根据的取值范围，结合函数的增减性求的最大值． 【小问1详解】 解：冷库储藏后销售每吨利润：（元）， 冷库储藏后销售量：（吨）， 故答案为：4300，； 【小问2详解】 解： ， 由得，结合，得自变量取值范围为， ∴（）； 【小问3详解】 解：中， ∵， ∴随增大而减小， ∴时，最大， 当时，（元）． 21. 如图①，已知，，点为直线上一动点． （1）求证：； （2）作射线交直线于点，交直线于点，且．当点运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 依题意，如图， 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质，会利用三角形的外角性质和平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的判定与性质证得结论即可； （2）先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 即， ∴． 22. 如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求线段的长． （3）在（2）的条件下，直接写出此时的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ， 沿翻折得， ， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过正方形的边相等和翻折的性质，得到再利用等腰三角形等边对等角证角相等． （2）先判断直角顶点为，作辅助线，通过全等三角形转化线段关系，结合勾股定理计算的长； （3）作、，用面积法求，结合矩形性质与勾股定理求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点G， ∵点在上，点在正方形内， ∴、为锐角，，， ∴当为直角三角形时，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴（） ∴， 设，则， 在中，由勾股定理即， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，于、，连接， ∵，，，， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、结合辅助线转化线段关系是解题的关键． 23. 如图①，在中，，一动点从点出发，沿折线以每秒1个单位的速度运动．图②为的面积与点的运动时间（秒）之间函数关系的图象（可以为0），其中点的坐标为． （1）求的长； （2）求直线的函数表达式，并写出的取值范围； （3）过点作（点在下方），且，连接．当比面积大1时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先确定时P运动到C（），再代入的面积公式，用列方程求解． （2）先算P从C到B的时间（，速度1，故4秒），得；再将、代入一次函数解析式，解方程组得表达式；最后确定x的范围为． （3）先证；分“P在上”“P在上”两个阶段，代入对应面积公式，结合“”列方程求解． 【小问1详解】 当P在上运动时，的面积． 由图②，时，此时P运动到C点， 此时，代入得： ，解得． 【小问2详解】 P从C到B的运动时间为4秒，故N点坐标为． 设直线的表达式为，代入、： ，解得，． 表达式为，x的取值范围是． 【小问3详解】 解：由题意得且，． ∴， 又∵，, ①当时， 过Q 作，， ， ， ， ∵，，， ∴，解得； ②当时，， ∴，， ∴ 得． 综上所述；或． 【点睛】本题考查知识点为三角形面积公式、动点的行程与线段长度的对应关系；一次函数的解析式求解、动点的总运动时间计算；全等三角形的判定与性质、分阶段讨论动点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年辽宁省沈阳市皇姑区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 确定一个地点的位置，下列说法正确的是（ ） A. 偏东，1000米 B. 西北方向 C. 距此800米 D. 正南方向，距此700米 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 45° D. 50° 7. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班成绩的中位数低于二班 8. 4、、15三个数的大小关系是（ ） A. 4<15< B. <15<4 C. 4<<15 D. <4<15 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（ ） A. 6秒 B. 6.5秒 C. 13秒 D. 26秒 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共12分． 11. 某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是______． 12. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 13. 如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 14. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”．如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为______． 15. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”） 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：）分别为：60，55，75，55，55，43，65，． （1）这组数据的众数为______（直接填空）； （2）求这组数据的中位数和下四分位数； （3）如果要求学生平均每天完成家庭作业时间不能超过，请估计该班学生是否符合这一要求？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中直接画出； （2）画出关于轴对称的； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，直接写出点的坐标． 19. 某学校足球队购进A，B两款足球，若购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若购进20个A款足球和30个B款足球需3400元，设A、B两款足球的进价分别为x元、y元，求x和y的值． 20. 某蒜苔生产基地收获200吨蒜苔，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式．按这三种方式销售，每吨的平均售价及成本如下表： 销售方式 批发 零售 储藏后销售 售价（元／吨） 3000 4500 5500 成本（元／吨） 700 1000 1200 若不考虑蒜苔损耗情况，经过一段时间全部售出，其中零售量为吨，批发量是零售量的3倍，获得的总利润为元． （1）直接填空：冷库储藏后销售每吨利润为______元，冷库储藏后销售量为______吨（用含的代数式表示）； （2）求与之间的函数关系式； （3）直接写出的最大值． 21. 如图①，已知，，点为直线上一动点． （1）求证：； （2）作射线交直线于点，交直线于点，且．当点运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出与之间的数量关系． 22. 如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接． （1）求证：； （2）当为直角三角形时，求线段的长． （3）在（2）的条件下，直接写出此时的长． 23. 如图①，在中，，一动点从点出发，沿折线以每秒1个单位的速度运动．图②为的面积与点的运动时间（秒）之间函数关系的图象（可以为0），其中点的坐标为． （1）求的长； （2）求直线的函数表达式，并写出的取值范围； （3）过点作（点在下方），且，连接．当比面积大1时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $