山东省威海市环翠区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷（五四制）

2024-2025学年山东省威海市环翠区七年级(下)期末数学试卷(五四学制) 一、选择题 1.下列语句中,是命题的是( ) A.作线段AB=CD B.∠A=90 吗? C.垂直用符号“⊥”表示 D.对顶角相等 2.a与b的平方差不小于3,用不等式表示为( ) A.(a﹣b)2≥3 B.(a﹣b)2>3 C.a2﹣b2≥3 D.a2﹣b2>3 3.从长度分别为2cm,xcm,4cm,5cm,6cm的5根长短不一的木棒中随机抽取一根,能与3cm和4cm的木棒围成直角三角形的概率为,则x是( ) A.5 B. C.或5 D.无法确定 4.下列各组数满足方程x﹣2y=3的是( ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是( ) A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.成语“守株待兔”描述的事件是不可能事件 C.任何定理一定有逆定理 D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等 6.一副三角板如图方式摆放,不添加任何线,则以下结论错误的是( ) A.图中有3个30 角 B. C. CIH是等腰三角形 D.∠EGI+∠GIH+∠BHI=360 7.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设该店有客房x间,y个客人.下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D. 8.等腰三角形的两条边长x,y满足,则其周长为( ) A.8 B.10 C.8或10 D.无法确定 9.如图,在 ABC中,∠1是它的一个外角,E为AB上的一点,延长CA到点D,连接DE.以下结论错误的是( ) A.∠1>∠4 B.∠5=∠2+∠B+∠D C.∠5=∠1 D.∠2+∠3=180 ﹣∠B 10.若不等式组有且只有2个整数解,且关于y的一元一次方程3y+2m=4+y的解为非正数,则符合条件的整数m的和是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 11.填空:如图,已知AB∥DC,AD∥BC,则可推得:∠A=∠C,理由如下: ∵AB∥DC(已知), ∴∠B+∠ =180 .(两直线平行,同旁内角互补) ∵AD∥BC(已知), ∴∠A+∠B=180 ,( ) ∴∠A=∠C.( ) 12.若x﹣2y=4,x≤3,则y的取值范围是 . 13.把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…,那么….”的形式 . 14.已知l1∥l2,将含有30 的直角三角板如图方式摆放,∠EAB与∠FDB的角平分线交于点G,若∠1=26 ,则∠2= . 15.在解二元一次方程组时,若① 2﹣②可直接消去未知数x,若①+②可直接消去未知数y,则m﹣n= . 16.如图,点D,E是等边三角形ABC边BC,AC上的动点,且BD=CE.连接AD,BE,交于点F,过点E作EG⊥AD于点G,则GF,EF的数量关系是 . 三、解答题 17.计算: (1)解方程组:; (2)解不等式,并把解集表示在数轴上. . 18.如图,已知转盘已分成8块均匀区域.请你设计方案,使得自动转动这个转盘,当它停止转动时,指针落在红色区域和白色区域的概率一样,且均大于落在黄色区域的概率,并求出落在红色区域的概率,以及黄色区域所对应圆心角的度数.(要求:不添加任何线,在相应区域内标记红、白、黄即可,每种颜色都要有) 19.在数学学习中,运用整体思想能将运算变得简单. 例如,解二元一次方程组时,将x+y看成一个整体,则②可变为3(x+y)+y=10,从而解得y=1.请用整体思想完成: (1)已知关于a,b,c的三元一次方程组,则 a+b+c= ; (2)已知关于x,y的二元一次方程组的解为,那么关于p,q的二元一次方程组的解为 ; (3)关于x,y的二元一次方程组满足x2﹣y2>0,求k的取值范围. 20.综合与实践:弦图 如图1,是我国古代数学书上一个重要图形,称为“弦图”,弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成.请完成以下问题: (1)若BF=a,AF=b,则正方形EFGH的面积为 .(用含有a,b的式子表示) (2)如图2,若点E是AF中点,在弦图里任取一点M,则点M落在阴影部分的概率为 . (3)如图3,连接AG交DE于点I,连接BH分别交AF,AG于点J,K,判断AG与BH的关系.(温馨提示:正方形的四条边相等,四个角都是直角) 21.甲、乙两种食品营养成分表如下(每包质量均为50g): 甲 乙 热量 500kJ 700kJ 蛋白质 12g 15g 脂肪 6.4g 17.5g 碳水化合物 14g 21g 钠 203mg 231mg (1)若要从这两种食品中摄入4100kJ热量和93g蛋白质,应选用甲、乙种食品各多少包? (2)若每次选用这两种食品共8包,要使每次食用的蛋白质含量不低于99g,且碳水化合物最少,应如何选用这两种食品? 22.在 ABC中,BC>BA, (1)如图1,作∠ABC的角平分线BE,在BE上确定点M,使得MA=MC;(不写步骤,保留作图痕迹) (2)如图2,在(1)的条件上,若∠ABC=90 ,AB=x,BC=y,求BM2.(要求:用含有x,y的式子表示) 23.(1)如图1,在 ABC中,∠B=90 ,AC=2BC,求证:∠A=30 ; (2)如图2,四边形ABCD是长方形纸片,点E,F分别为AD,BC边的中点,且EF⊥BC.沿过B的折痕将C角翻折,使得点C落在EF上的点H处,折痕交EF于点I.证明: HIG为等边三角形.(提示:利用(1)的结论) 24.定义运算:max{a,b},当a<b时,max{a,b}=b;当b<a时,max{a,b}=a;当a=b时,max{a,b}=a或b.例如:max{1,0}=1:max{0,0}=0.完成下列任务: (1)max{2﹣1,3﹣1}= ; (2),则x的取值范围是 ; (3)已知y关于x的函数y=max{﹣x﹣3,kx+b}的部分图象如图, ①补全图象; ②k= ,b= ; ③若y>2,则x的取值范围是 ; ④若m≤x≤m+1时,y的最大值与最小值的差为,求m的值. 2024-2025学年山东省威海市环翠区七年级(下)期末数学试卷(五四学制) 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D C A B C C 一、选择题 1.下列语句中,是命题的是( ) A.作线段AB=CD B.∠A=90 吗? C.垂直用符号“⊥”表示 D.对顶角相等 【分析】关键命题的概念判断即可. 【解答】解:A、作线段AB=CD,没有对事情作出判断,不是命题,不符合题意; B、∠A=90 吗?,没有对事情作出判断,不是命题,不符合题意; C、垂直用符号“⊥”表示,没有对事情作出判断,不是命题,不符合题意; D、对顶角相等,是命题,符合题意; 故选:D. 2.a与b的平方差不小于3,用不等式表示为( ) A.(a﹣b)2≥3 B.(a﹣b)2>3 C.a2﹣b2≥3 D.a2﹣b2>3 【分析】先表示出a、b两数的平方差即a2﹣b2,不小于3即“≥3”. 【解答】解:由题意知:a2﹣b2≥3. 故选:C. 3.从长度分别为2cm,xcm,4cm,5cm,6cm的5根长短不一的木棒中随机抽取一根,能与3cm和4cm的木棒围成直角三角形的概率为,则x是( ) A.5 B. C.或5 D.无法确定 【分析】根据勾股定理可知,能与3cm和4cm的木棒围成直角三角形的木棒长度为5cm或cm,再根据与3cm和4cm的木棒围成直角三角形的概率为分析判断即可. 【解答】解:当3cm和4cm为直角边时,第三根木棒长为5cm, 当4cm为斜边时,第三根木棒长为, ∵3cm和4cm的木棒围成直角三角形的概率为,且木棒长短不一, ∴x的值是. 故选:B. 4.下列各组数满足方程x﹣2y=3的是( ) A. B. C. D. 【分析】把每个选项中的x、y的值代入方程验证即可. 【解答】解:A、把代入方程x﹣2y=3中,左边=3﹣0=3,右边=3,左边=右边,所以是方程x﹣2y=3的解,故此选项符合题意; B、把代入方程x﹣2y=3中,左边=4﹣2 1=2,右边=3,左边≠右边,所以不是方程x﹣2y=3的解,故此选项不符合题意; C、把代入方程x﹣2y=3中,左边=2﹣2 (﹣1)=4,右边=3,左边≠右边,所以不是方程x﹣2y=3的解,故此选项不符合题意; D、把代入方程x﹣2y=3中,左边=1﹣2 (﹣2)=5,右边=3,左边≠右边,所以不是方程x﹣2y=3的解,故此选项不符合题意; 故选:A. 5.下列说法正确的是( ) A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.成语“守株待兔”描述的事件是不可能事件 C.任何定理一定有逆定理 D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等 【分析】根据三角形外角性质,随机事件,命题与定理以及全等三角形的判定定理进行分析判断即可. 【解答】解:三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角,故A不正确,不符合题意; 成语“守株待兔”描述的事件是随机事件,故B不正确,不符合题意; 定理不一定有逆定理,如:全等三角形对应角相等,没有逆定理,故C不正确,不符合题意; 斜边相等的两个等腰直角三角形全等,故D正确,符合题意; 故选:D. 6.一副三角板如图方式摆放,不添加任何线,则以下结论错误的是( ) A.图中有3个30 角 B. C. CIH是等腰三角形 D.∠EGI+∠GIH+∠BHI=360 【分析】根据平行线的性质得到∠AGE=∠C=30 ,∠FGC=∠C=30 ,判断A选项;根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算,判断B选项;根据等腰三角形的概念判断C选项;根据五边形内角和计算,判断D选项. 【解答】解:A、由题意可知:∠C=30 ,∠ABC=∠AEG=90 , ∴EG∥BC, ∴∠AGE=∠C=30 ,∠FGC=∠C=30 , 则图中有3个30 角,故本选项结论正确,不符合题意; B、在Rt DBH中,∠D=45 , 则BD=BH, 由勾股定理得:DHBH,故本选项结论正确,不符合题意; C、∵∠IHC=45 ,∠C=30 , ∴∠HIC=105 , ∴ CIH不是等腰三角形,故本选项结论错误,符合题意; D、∵五边形BHIGE的内角和为:(5﹣2) 180 =540 ,∠ABC=∠DEG=90 , ∴∠EGI+∠GIH+∠BHI=360 ,故本选项结论正确,不符合题意; 故选:C. 7.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设该店有客房x间,y个客人.下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D. 【分析】设该店有客房x间、房客y人,每间住7人,多7人无房住.此时总人数y等于所有房间住满7人后再加上7人,即y=7x+7;每间住9人,空出一间客房.此时实际使用房间数为x﹣1间,总人数y等于9(x﹣1),即y=9(x﹣1),即可求解. 【解答】解:设该店有客房x间、房客y人. ∵如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房, ∴, 故选:A. 8.等腰三角形的两条边长x,y满足,则其周长为( ) A.8 B.10 C.8或10 D.无法确定 【分析】由非负数的性质得到x=4,y=2,由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是4,即可求出等腰三角形的周长. 【解答】解:∵|y﹣2|=0, ∴x﹣4=0,y﹣2=0, ∴x=4,y=2, 当等腰三角形的腰长是2时, 2+2=4,不满足三角形三边关系定理; 当等腰三角形的腰长是4时, 4+2>4,满足三角形三边定理, ∴等腰三角形的周长=4+4+2=10. 故选:B. 9.如图,在 ABC中,∠1是它的一个外角,E为AB上的一点,延长CA到点D,连接DE.以下结论错误的是( ) A.∠1>∠4 B.∠5=∠2+∠B+∠D C.∠5=∠1 D.∠2+∠3=180 ﹣∠B 【分析】由三角形的外角性质,三角形内角和定理,即可判断. 【解答】解:∵∠1>∠3,∠3>∠4, ∴∠1>∠4, 故A不符合题意; ∵∠5=∠D+∠DAE,∠DAE=∠2+∠B, ∴∠5=∠D+∠B+∠2, 故B不符合题意; 由条件得不到∠1=∠5, 故C符合题意; 由三角形内角和定理得到∠2+∠3=180 ﹣∠B, 故D不符合题意. 故选:C. 10.若不等式组有且只有2个整数解,且关于y的一元一次方程3y+2m=4+y的解为非正数,则符合条件的整数m的和是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】解不等式组求得解集,利用有且只有2个整数解得到m的取值范围,解一元一次方程求得方程的解,利用解为非正数得到m的范围,最终得到整数m的值,相加即可得出结论. 【解答】解:由4x﹣1≥m得x, 由3x<2x+3得x<3, ∵不等式组有且只有2个整数解, ∴01, ∴﹣1<m≤3. 关于y的一元一次方程3y+2m=4+y的解为y,∵解为非正数, ∴0, ∴m≥2. 综上,m的取值范围为:2≤m≤3. ∵m为整数, ∴m=2,3, ∴符合条件的所有整数m的和为5. 故选:C. 二、填空题 11.填空:如图,已知AB∥DC,AD∥BC,则可推得:∠A=∠C,理由如下: ∵AB∥DC(已知), ∴∠B+∠C =180 .(两直线平行,同旁内角互补) ∵AD∥BC(已知), ∴∠A+∠B=180 ,( 两直线平行,同旁内角互补 ) ∴∠A=∠C.( 等量代换 ) 【分析】根据平行线的性质解答即可. 【解答】解:∵AB∥DC(已知), ∴∠B+∠C=180 (两直线平行,同旁内角互补), ∵AD∥BC(已知), ∴∠A+∠B=180 ,(两直线平行,同旁内角互补), ∴∠A=∠C(等量代换). 故答案为:C,两直线平行,同旁内角互补,等量代换. 12.若x﹣2y=4,x≤3,则y的取值范围是y≤﹣0.5 . 【分析】将x﹣2y=4变形为x=4+2y,再结合x≤3,利用不等式的性质即可求得答案. 【解答】解:∵x﹣2y=4, ∴x=4+2y, ∵x≤3, ∴4+2y≤3, 解得:y≤﹣0.5, 故答案为:y≤﹣0.5. 13.把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…,那么….”的形式 如果一个点在线段的垂直平分线上,那么这个点到这条线段两个端点的距离相等 . 【分析】如果后面的是条件,那么后面跟的是结论,从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点,结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案. 【解答】解:把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…,那么….”的形式为如果一个点在线段的垂直平分线上,那么这个点到这条线段两个端点的距离相等. 故答案为:如果一个点在线段的垂直平分线上,那么这个点到这条线段两个端点的距离相等. 14.已知l1∥l2,将含有30 的直角三角板如图方式摆放,∠EAB与∠FDB的角平分线交于点G,若∠1=26 ,则∠2= 19 . 【分析】过点B作BH∥AE,由平行线的性质得出∠EAB+∠BDF=90 ,再根据角平分线的性质求出∠2. 【解答】解:过点B作BH∥AE, ∵BH∥AE, ∴∠EAB=∠ABH, ∵l1∥l2, ∴BH∥DF, ∴∠HBD=∠BDF, ∵∠ABH+∠HBD=90 , ∴∠EAB+∠BDF=90 , ∵DG平分∠BDF,∠1=26 , ∴∠BDF=2∠1=52 , ∴∠EAB=38 , ∵AG平分∠EAB, ∴∠2∠EAB=19 , 故答案为:19 . 15.在解二元一次方程组时,若① 2﹣②可直接消去未知数x,若①+②可直接消去未知数y,则m﹣n= . 【分析】根据题意,若① 2,得2mx﹣6y=2,则① 2﹣②可直接消去未知数x,所以可得2m=4,即可求出m的值.若①+②可直接消去未知数y,所以可得n=3,再把m,n的值代入m﹣n,由负整数指数幂运算法则即可得出答案. 【解答】解:, ∵① 2﹣②可直接消去未知数x, ∴2m=4, ∴m=2. ∵①+②可直接消去未知数y, ∴n=3, ∴. 故答案为:. 16.如图,点D,E是等边三角形ABC边BC,AC上的动点,且BD=CE.连接AD,BE,交于点F,过点E作EG⊥AD于点G,则GF,EF的数量关系是 GFEF . 【分析】先证明 ABD和 BCE全等得∠BAD=∠CBE,根据三角形外角性质得∠EFG=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60 ,然后在Rt EFG中,根据∠GEF=90 ﹣∠EFG=30 即可得出GF,EF的数量关系. 【解答】解:GF,EF的数量关系是:GFEF,理由如下: ∵ ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60 , 在 ABD和 BCE中, , ∴ ABD≌ BCE(SAS), ∴∠BAD=∠CBE, ∵∠EFG是 ABF的外角, ∴∠EFG=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60 , ∵EG⊥AD于点G, ∴∠EGF=90 , 在Rt EFG中,∠GEF=90 ﹣∠EFG=30 , ∴GFEF. 故答案为:GFEF. 三、解答题 17.计算: (1)解方程组:; (2)解不等式,并把解集表示在数轴上. . 【分析】(1)分别用代入消元法和加减消元法解方程即可; (2)先求出每个不等式的解集,即可得到不等式组的解集,然后在数轴上表示出其解集即可. 【解答】解:(1), ① 3﹣②得:﹣x=﹣5, 解得x=5, 把x=5代入①得,解得y=5, ∴方程组的解为; (2), 解不等式①得,x≥1, 解不等式②得,x<2, ∴不等式组的解集为1≤x<2, 把解集表示在数轴上如图所示: 18.如图,已知转盘已分成8块均匀区域.请你设计方案,使得自动转动这个转盘,当它停止转动时,指针落在红色区域和白色区域的概率一样,且均大于落在黄色区域的概率,并求出落在红色区域的概率,以及黄色区域所对应圆心角的度数.(要求:不添加任何线,在相应区域内标记红、白、黄即可,每种颜色都要有) 【分析】已知转盘已分成8块均匀区域,令红色占3份,白色占三份,黄色占2份即可令指针落在红色区域和白色区域的概率一样,且均大于落在黄色区域的概率,利用面积比求出落在红色区域的概率,用360 乘以黄色区域的概率即可求出所对应圆心角的度数. 【解答】解:如图: 红色占3份,白色占三份,黄色占2份即可令指针落在红色区域和白色区域的概率一样,且均大于落在黄色区域的概率; 落在红色区域的概率为; 黄色区域所对应圆心角的度数为360 90 . 19.在数学学习中,运用整体思想能将运算变得简单. 例如,解二元一次方程组时,将x+y看成一个整体,则②可变为3(x+y)+y=10,从而解得y=1.请用整体思想完成: (1)已知关于a,b,c的三元一次方程组,则 a+b+c= 7 ; (2)已知关于x,y的二元一次方程组的解为,那么关于p,q的二元一次方程组的解为 ; (3)关于x,y的二元一次方程组满足x2﹣y2>0,求k的取值范围. 【分析】(1)把三个方程相加,然后在方程的两边同时除2即可得出答案. (2)由题意可知关于p﹣3q和p+3q的方程组的解,从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可. (3)解方程组求得x+y,x﹣y=4k+1,由x2﹣y2>0,得到(x+y)(x﹣y)>0,即可得到或,解不等式组即可. 【解答】解:(1), ①+②+③得:2a+2b+2c=14, 解得:a+b+c=7; 故答案为:7. (2)根据题意,得, 解得, 故答案为:; (3), ①+②得5x+5y=6k﹣1,即x+y, ②﹣①得x﹣y=4k+1, ∵x2﹣y2>0, ∴(x+y)(x﹣y)>0, ∴或, ∴或, ∴k或k. 20.综合与实践:弦图 如图1,是我国古代数学书上一个重要图形,称为“弦图”,弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成.请完成以下问题: (1)若BF=a,AF=b,则正方形EFGH的面积为a2﹣2ab+b2 .(用含有a,b的式子表示) (2)如图2,若点E是AF中点,在弦图里任取一点M,则点M落在阴影部分的概率为 . (3)如图3,连接AG交DE于点I,连接BH分别交AF,AG于点J,K,判断AG与BH的关系.(温馨提示:正方形的四条边相等,四个角都是直角) 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AE=BF=a,求得EF=AF﹣AE=b﹣a,得到正方形EFGH的面积为(b﹣a)2=a2﹣2ab+b2; (2)由点E是AF中点,得到AE=EF,求得AF=2AE,设AE=BF=EF=a,则AF=2a,根据勾股定理得到ABa,求得正方形ABCD的面积=5a2,正方形EFGH的面积=a2,于是得到结论; (3)A根据全等三角形的性质得到AF=BG,FG=HG,∠AFG=∠BGH=90 ,推出 AFG≌ BGH,得到AG=BH,∠FAG=∠GBH,于是得到结论. 【解答】解:(1)∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成, ∴AE=BF=a, ∵AF=b, ∴EF=AF﹣AE=b﹣a, ∴正方形EFGH的面积为(b﹣a)2=a2﹣2ab+b2, 故答案为:a2﹣2ab+b2; (2)∵点E是AF中点, ∴AE=EF, ∴AF=2AE, ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成, ∴BF=AE, 设AE=BF=EF=a,则AF=2a, ∴ABa, ∴正方形ABCD的面积=5a2,正方形EFGH的面积=a2, ∴点M落在阴影部分的概率为; 故答案为:; (3)AG=BH,AG⊥BH, 证明:∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成, ∴AF=BG,FG=HG,∠AFG=∠BGH=90 , ∴ AFG≌ BGH, ∴AG=BH,∠FAG=∠GBH, ∵∠FAG+∠AGF=∠GBK+∠BGK=90 , ∴∠BKG=90 , ∴AG⊥BH. 21.甲、乙两种食品营养成分表如下(每包质量均为50g): 甲 乙 热量 500kJ 700kJ 蛋白质 12g 15g 脂肪 6.4g 17.5g 碳水化合物 14g 21g 钠 203mg 231mg (1)若要从这两种食品中摄入4100kJ热量和93g蛋白质,应选用甲、乙种食品各多少包? (2)若每次选用这两种食品共8包,要使每次食用的蛋白质含量不低于99g,且碳水化合物最少,应如何选用这两种食品? 【分析】(1)设应选用甲种食品x包,乙种食品y包,根据要从这两种食品中摄入4100kJ热量和93g蛋白质,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之可得出结论; (2)设选用甲种食品m包,则选用乙种食品(8﹣m)包,根据要使每次食用的蛋白质含量不低于99g,可列出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,由每包甲种食品包含的碳水化合物较少,可得出当选用甲种食品越多时,摄入的碳水化合物越少,进而可得出摄入的碳水化合物最少的选用方案. 【解答】解:(1)设应选用甲种食品x包,乙种食品y包, 根据题意得:, 解得:. 答:应选用甲种食品4包,乙种食品3包; (2)设选用甲种食品m包,则选用乙种食品(8﹣m)包, 根据题意得:12m+15(8﹣m)≥99, 解得:m≤7, ∵14<21, ∴每包甲种食品包含的碳水化合物较少, ∴当选用甲种食品越多时,摄入的碳水化合物越少, ∴当m=7时,摄入的碳水化合物最少,此时8﹣m=8﹣7=1(包). 答:当选用甲种食品7包,乙种食品1包时,摄入的碳水化合物最少. 22.在 ABC中,BC>BA, (1)如图1,作∠ABC的角平分线BE,在BE上确定点M,使得MA=MC;(不写步骤,保留作图痕迹) (2)如图2,在(1)的条件上,若∠ABC=90 ,AB=x,BC=y,求BM2.(要求:用含有x,y的式子表示) 【分析】(1)作BE平分∠ABC,作线段AC的垂直平分线交BE于点M,点M即为所求; (2)如图,过点M作MP⊥BA交BA的延长线于点P,MQ⊥BC于点Q,连接MA,MC.证明四边形MPBQ是正方形,求出BA=QM(x+y)可得结论. 【解答】解:(1)如图1中,射线BE,点M即为所求; (2)如图,过点M作MP⊥BA交BA的延长线于点P,MQ⊥BC于点Q,连接MA,MC. ∵BE平分∠ABC,MP⊥BP,MQ⊥BC, ∴MP=MQ, ∵点M在线段AC的垂直平分线上, ∴MA=MC, ∴Rt MQC≌Rt MPA(HL), ∴AP=CQ, ∵∠P=∠PBQ=∠BQM=90 , ∴四边形MPBQ是矩形, ∴MP=MQ, ∴四边形MPBQ是正方形, ∴QB=QM=BP=MP, ∵BQ+BQ=AB+PA+BC﹣CQ=AB+BC=x+y, ∴BQ=MQ(x+y), ∴BM2=BQ2+MQ2(x+y)2(x+y)2x2+xyy2. 23.(1)如图1,在 ABC中,∠B=90 ,AC=2BC,求证:∠A=30 ; (2)如图2,四边形ABCD是长方形纸片,点E,F分别为AD,BC边的中点,且EF⊥BC.沿过B的折痕将C角翻折,使得点C落在EF上的点H处,折痕交EF于点I.证明: HIG为等边三角形.(提示:利用(1)的结论) 【分析】(1)延长CB到点M,使BM=BC,连接AM,则CM=2BC,因为∠B=90 ,所以AB垂直平分CM,则AM=AC=2BC,所以CM=AM=AC,∠BAM=∠BAC,则 ACM是等边三角形,即可由∠CAM=2∠BAC=60 ,推导出∠BAC=30 ; (2)由矩形的性质得∠C=90 ,由EF⊥BC,得∠BFH=90 ,因为点F为BC的中点,所以BC=2BF,由翻折得BH=BC=2BF,∠BHG=∠C=90 ,由∠BFH=90 ,BH=2BF,得∠BHF=30 ,所以∠GHI=60 ,再证明∠HGI=∠HIG,则HI=HG,即可证明 HIG为等边三角形. 【解答】证明:(1)如图1,延长CB到点M,使BM=BC,连接AM,则CM=2BC, ∵∠B=90 ,AC=2BC, ∴AB垂直平分CM, ∴AM=AC=2BC, ∴CM=AM=AC,∠BAM=∠BAC, ∴ ACM是等边三角形,∠CAM=2∠BAC, ∴∠CAM=2∠BAC=60 , ∴∠BAC=30 . (2)如图2,∵四边形ABCD是矩形, ∴∠C=90 , ∵EF⊥BC, ∴∠BFH=90 , ∵点F为BC的中点, ∴BC=2BF, 由翻折得BH=BC=2BF,∠BHG=∠C=90 ,∠HGI=∠CGB ∵∠BFH=90 ,BH=2BF, ∴∠BHF=30 , ∴∠GHI=∠BHG﹣∠BHF=60 , ∵∠BFH=∠C=90 , ∴FH∥CD, ∴∠HIG=∠CGB, ∴∠HGI=∠HIG, ∴HI=HG, ∴ HIG为等边三角形. 24.定义运算:max{a,b},当a<b时,max{a,b}=b;当b<a时,max{a,b}=a;当a=b时,max{a,b}=a或b.例如:max{1,0}=1:max{0,0}=0.完成下列任务: (1)max{2﹣1,3﹣1}= ; (2),则x的取值范围是 x ; (3)已知y关于x的函数y=max{﹣x﹣3,kx+b}的部分图象如图, ①补全图象; ②k= 1 ,b= ﹣1 ; ③若y>2,则x的取值范围是 x<﹣5或x>3 ; ④若m≤x≤m+1时,y的最大值与最小值的差为,求m的值. 【分析】(1)根据新定义,仿照示例,比较2﹣1>3﹣1,可得到结果; (2)仿照示例,可得到,解不等式,可得到结果; (3)根据题意,求出k,b,画出分段函数的图象即可,再结合图象,得到函数的最值,得到结果. 【解答】解:(1)2﹣1,3﹣1, ∵, 即2﹣1>3﹣1, ∴max{2﹣1,3﹣1}, 故答案为:; (2)∵, ∴, ∴x, 故答案为:x; (3)①∵y=max{﹣x﹣3,kx+b}, 结合图象可知,y=kx+b的图象过点(﹣1,﹣2),(1,0), ∴, 解得k=1,b=﹣1, ∴y=x﹣1, ∴, 图象如下: ②由①可知k=1,b=﹣1, 故答案为:1,﹣1; ③当y=2时,﹣x﹣3=2,即x=﹣5, 当y=2时,x﹣1=2,即x=3, ∴结合函数图象知,当y>2,则x的取值范围是x<﹣5或x>3, 故答案为:x<﹣5或x>3; ④∵若当m+1<﹣1,即m<﹣2时,对应的函数图象的左支,解析式为y=﹣x﹣3,(x<﹣1), ∴y的最大值为﹣m﹣3,y的最小值为﹣(m+1)﹣3=﹣m﹣4, 若y的最大值与最小值的差为, 则﹣m﹣3﹣(﹣m﹣4), 方程无解; 若当m≥﹣1时,对应的函数图象的右支,解析式为y=x﹣1,(x≥﹣1), ∴y的最大值为m,y的最小值为m﹣1, ∴m﹣(m﹣1), 方程无解; 当﹣2≤m<﹣1时,y的最小值为﹣2, 结合函数图象,y的最大值为﹣m﹣3或m, ∴﹣m﹣3﹣(﹣2)或m﹣(﹣2), 解得m, 综上,m. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2026/1/15 10:44:53;用户:聂伟;邮箱:15284038568;学号:44743775 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $