精品解析：陕西省榆林市府谷县2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题

2025～2026学年度第一学期期末质量抽样监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程求解m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故选：B． 2. 某几何体的示意图如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 根据俯视图是从物体上面往下看所得到的图形即可． 【详解】解：它的俯视图为： ． 故选：C． 3. 府谷杜松自然保护区是以保护天然杜松林及其生境为主要目的的自然保护区．在一个不透明的布袋中装着分别写有“杜”“松”字的小球共50个，这些小球除所写文字不同外其他都相同，小红将袋子中的球搅匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回搅匀，通过多次摸球试验后发现，摸到写有“杜”字小球的频率稳定在0.3，估计布袋中写有“杜”字的小球有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 35个 D. 40个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，摸到“杜”字的频率稳定在0.3，即概率约为0.3，通过总球数计算“杜”字小球数量． 【详解】解：∵摸到“杜”字的频率稳定在0.3， ∴摸到“杜”字概率约为0.3， ∴估计写有“杜”字的小球有（个）． 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 将方程化为一般式后计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解： 整理得， ∴方程没有实数根． 故选：C． 5. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 20 D. 3.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，从而代入数值求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 6. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． A．当时，，不符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，符合题意． 故选：D． 7. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，由于点F，得，推导出，可证明∽，则，所以，代入计算即可得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，E是边上一点，，，， ，， ， 于点F， ， ，， ， ∽， ， ， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 点是的中点 C. 在中，的值随值的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； 点与点关于原点对称， ， 轴， ， ， 是的中点，故选项B正确，不合题意； ③在中，在每个象限内，随的增大而减小，故选项C错误，符合题意； ④，故选项D正确，不合题意； 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 府谷文庙是榆林市规模最大、保存最完好的孔庙建筑群，始建于明洪武十四年．府谷文庙在灯光下的投影为_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，在投影中，平行投影的光线相互平行，通常来自无限远的光源如太阳；而中心投影的光线从一个点发出，呈发散状． 灯光作为点光源，光线呈发散状，不符合平行投影的条件，因此属于中心投影． 【详解】解：根据题意得，府谷文庙在灯光下的投影为中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的面积为5，则四边形的面积为_____． 【答案】45 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方得到四边形与四边形的面积比为，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为 ∵四边形的面积为5， ∴四边形的面积为． 故答案为：45． 11. 陕西省府谷县是稀有树种海红果的主产区，府谷也因此赢得“海红果之乡”的美誉．已知某种植专业户2024年种植海红果树的面积为100亩，计划在2026年种植海红果树的面积达到144亩，若设该种植专业户2024年到2026年种植海红果树的面积的年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 12. 如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为_____． 【答案】##73度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知点，都在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则_____．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的性质，由于，函数在 时随的增大而减小，结合点和的横坐标大小关系即可判断． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小． ∵点，都在函数图象上，且， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 16. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点，求的值． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，且）的图象经过点， ∴， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，作，使得与位似（点、、的对应点分别是点、、），与的相似比为，且点在第二象限． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了位似三角形的作法，掌握位似的性质是解题的关键，先明确点、、的位置，依次首尾相连可得． 【详解】解，如图所示： 18. 如图，在中，，在下方作射线，点在射线上．请你用尺规作图法在上方作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，相似三角形的判定，先作，然后作，交于点，则即为所求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，先作，然后作，交于点，则即为所求， 理由：由作图可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求． 19. 如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出全等三角形是解题关键． 利用正方形的性质得，再根据证明，结合全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“A民歌串烧”“B民族舞蹈”“C民乐演奏”“D诗歌朗诵”中分别选择一个节目进行表演．学校把这四个节目名分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，根据抽中卡片上的节目名来表演节目． （1）九年级一班从这四张卡片中随机抽取一张，则抽中“B民族舞蹈”的概率是_____； （2）一班同学先从这四张卡片中随机抽取一张，记录下卡片上的节目后放回洗匀，二班同学再从这四张卡片随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班中至少有一个班表演“A民歌串烧”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：九年级一班从这四张卡片中随机抽取一张， ∴抽中“B民族舞蹈”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况数，一班、二班中至少有一个班表演“A民歌串烧”的情况有7种， 则一班、二班中至少有一个班表演“A民歌串烧”的概率为． 21. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． （1）求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； （2）当时，求此电磁波的波长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【小问1详解】 解：设频率关于电磁波的波长的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得． 答：当时，此电磁波的波长为． 22. 奇奇和玲玲想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度．如图，奇奇笔直地站在广场上的处，某一时刻，旗杆在阳光下的影子顶端和奇奇在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后玲玲从点处沿方向移动5米到达点处（即米），在点处测得．通过测量得到：，奇奇的身高，已知点在同一条直线上，，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质与判定，可证明，利用相似三角形的性质可推出，则，证明是等腰直角三角形，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度为． 23. 如图，某校计划建立一块形状为矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙足够长），其余部分用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开（点、分别在边、上，因实验需要，在、上各开一扇宽为1米的门（门无需栅栏，且栅栏的宽度忽略不计）．若该种植田的面积为36平方米，求该种植田的宽． 【答案】该种植田的宽为2米或6米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设米，则米，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设米，则米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 答：该种植田的宽为2米或6米． 24. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知菱形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）可先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质证明，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一次函数解析式，先求得点A的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可解答； （2）根据一次函数解析式，先求得点C的坐标，从而求得，进而得到，结合，求得点P的纵坐标，再代入反比例函数解析式求得横坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 26. 【证明体验】 （1）如图1，，是正方形的对角线，、分别在边和对角线上，连接、，．求证：； 【思考探究】 （2）如图2，在矩形中，，对角线、交于点，、分别是边和对角线上的点，连接、，已知，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，某公园计划在菱形绿植区域内打造景观动线，菱形的对角线与相交于点，已知菱形的边长为500米，对角线的长为600米．工作人员在段规划了景观标识点，在的延长线上找一点，沿修建景观步道，连接交边于点，若施工要求满足，且标识点到点的距离为100米，请你帮助工作人员求出步道的长度．（结果保留根号，步道宽度及标识点的大小均忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）米 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质可证得，再证明，即可证得结论； （2）由矩形的性质得到，则可证明，再证明得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）过点作交延长线于点，交于点，证明，得出 ，再结合勾股定理可求得米，由，可求得米，运用勾股定理即可求得米，再由 可得，可求得的长，由即可求得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ， ， ∴ ， ， （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （3）如图，过点作交延长线于点，交于点， ∵四边形是菱形， ，米，米， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得米， 米， 米 ， 米， ， ， 米， 米， 在 中，由勾股定理得米， 米， 在 中，由勾股定理得米， ， ， ，即 ， 米， 米， 故的长为米． 【点睛】本题是特殊四边形综合题，考查了正方形、矩形、菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，菱形面积，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定和性质及勾股定理等相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末质量抽样监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 某几何体的示意图如图所示，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 府谷杜松自然保护区是以保护天然杜松林及其生境为主要目的的自然保护区．在一个不透明的布袋中装着分别写有“杜”“松”字的小球共50个，这些小球除所写文字不同外其他都相同，小红将袋子中的球搅匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回搅匀，通过多次摸球试验后发现，摸到写有“杜”字小球的频率稳定在0.3，估计布袋中写有“杜”字的小球有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 35个 D. 40个 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 20 D. 3.2 6. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ） A B. C. D. 7. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 点是中点 C. 在中，值随值的增大而减小 D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 府谷文庙是榆林市规模最大、保存最完好孔庙建筑群，始建于明洪武十四年．府谷文庙在灯光下的投影为_____投影．（填“平行”或“中心”） 10. 已知四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的面积为5，则四边形的面积为_____． 11. 陕西省府谷县是稀有树种海红果的主产区，府谷也因此赢得“海红果之乡”的美誉．已知某种植专业户2024年种植海红果树的面积为100亩，计划在2026年种植海红果树的面积达到144亩，若设该种植专业户2024年到2026年种植海红果树的面积的年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____． 12. 如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为_____． 13. 已知点，都在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则_____．（填“”“ ”或“”） 14. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点，求的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，作，使得与位似（点、、的对应点分别是点、、），与的相似比为，且点在第二象限． 18. 如图，在中，，在下方作射线，点在射线上．请你用尺规作图法在上方作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 20. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“A民歌串烧”“B民族舞蹈”“C民乐演奏”“D诗歌朗诵”中分别选择一个节目进行表演．学校把这四个节目名分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，根据抽中卡片上的节目名来表演节目． （1）九年级一班从这四张卡片中随机抽取一张，则抽中“B民族舞蹈”的概率是_____； （2）一班同学先从这四张卡片中随机抽取一张，记录下卡片上的节目后放回洗匀，二班同学再从这四张卡片随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班中至少有一个班表演“A民歌串烧”的概率． 21. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． （1）求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； （2）当时，求此电磁波的波长． 22. 奇奇和玲玲想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度．如图，奇奇笔直地站在广场上的处，某一时刻，旗杆在阳光下的影子顶端和奇奇在阳光下的影子顶端重合于地面上的点处；随后玲玲从点处沿方向移动5米到达点处（即米），在点处测得．通过测量得到：，奇奇的身高，已知点在同一条直线上，，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度． 23. 如图，某校计划建立一块形状为矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙足够长），其余部分用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开（点、分别在边、上，因实验需要，在、上各开一扇宽为1米的门（门无需栅栏，且栅栏的宽度忽略不计）．若该种植田的面积为36平方米，求该种植田的宽． 24. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 26. 【证明体验】 （1）如图1，，是正方形的对角线，、分别在边和对角线上，连接、，．求证：； 【思考探究】 （2）如图2，在矩形中，，对角线、交于点，、分别是边和对角线上点，连接、，已知，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，某公园计划在菱形绿植区域内打造景观动线，菱形的对角线与相交于点，已知菱形的边长为500米，对角线的长为600米．工作人员在段规划了景观标识点，在的延长线上找一点，沿修建景观步道，连接交边于点，若施工要求满足，且标识点到点的距离为100米，请你帮助工作人员求出步道的长度．（结果保留根号，步道宽度及标识点的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $