重难点01 代数推理与规律探索（复习讲义，2大重点13种题型）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 重难点01 代数推理与规律探索 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 66 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 代数推理 1.整式与分式的运算：整式的乘除、因式分解（提公因式、公式法、十字相乘法是核心，分组分解偶考）、分式的通分约分 / 恒等变形，常作为推理的 “化简步骤”，安徽中考常考因式分解在等式变形、求取值范围中的推理应用。 2.方程与不等式的性质：等式的基本性质（移项、两边同乘 / 除非零数）、不等式的基本性质（注意乘除负数变号）、一元二次方程的根的定义（代根入方程是推理高频操作），侧重利用性质进行 “等式 / 不等式的递推变形”。 3.函数的基本性质：一次函数、反比例函数、二次函数的解析式确定（待定系数法）、自变量与函数值的对应关系、函数图象的基本特征（如二次函数的对称轴、开口方向），常作为 “以函数为背景的代数推理” 的基础，比如通过函数关系推导变量间的数量规律。 4.代数式的恒等变形：添括号 / 去括号、配方（配方法是安徽代数推理的核心技巧，尤其二次三项式的配方，常用于求最值、推导等式成立条件）、根式的化简（偶考，侧重非负性）。 解决代数推理题可从下面角度思考: (1)若已知条件中有等式和不等式,可将其中一个等式进行适当的变形后再代入不等式或另一个代数式中(能整体代入尽量整体代入),达到“消元”目的; (2)对于选项中不等关系的判断可采用配方、作差等方式处理,根据选项内容对已知条件进行有目的的变形. (3)求代数式的最值时,可利用函数思想,把该代数式表示成某个字母变量的函数并确定该字母的取值范围,由函数的增减性得出函数值的范围.有时也可结合函数图象分析. 题型01 利用等式进行推理 【典例1】（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 【典例2】（2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，故C选项结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论， 故选：C． 【典例3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶把已知两个式子相减，得， ∴，即a与互为相反数， ∴， ∴， 又 ∴， 故选 D． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2、不等式的性质 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 题型02 利用不等式的性质推理 【典例1】（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 【典例2】（2025·安徽淮北·一模）若，，则下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得； ∴，则， 即； ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【典例3】（2025·安徽淮北·三模） 已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，故A错误； ， ， ， ，故B错误； ， ， ， ，故C错误； ， ，故D正确． 故选：D． 【典例4】（2025·安徽合肥·一模）已知实数a，b，c满足，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴（无解，舍去）或， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·安徽淮北·三模）已知实数m，n满足，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 故选：D． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）已知实数满足，则以下判断正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（2025·安徽阜阳·三模）已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得，， 由得，， ，即； 由得，， ， 故选：D． 【变式4】（2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，故选项B不符合题意； ∵，即， ∴，故选项A不符合题意； 又∵， ∴， ∴，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【变式5】（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴．故选项A正确； ∵，∴，故选项B正确； ∵，∴，故选项C正确； ∵，， ∴，， ∴，故D选项错误． 故选：D． 【变式6】（2025·安徽池州·一模）已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式7】（2025·安徽合肥·一模）已知实数 满足：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故正确； 故选：． 【变式8】（2025·安徽合肥·一模）已知a，b，c为非零实数，且满足，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，将代入，可得，进一步变形为， A、由不能直接推出，所以选项A错误； B、前面已推出，而不是，所以选项B错误； C、将代入可得：， 由两边同时乘以2得，即，选项C正确； D、将代入可得： 由两边同时乘以，可得，，选项D错误． 【变式9】（24-25九年级下·安徽芜湖·月考）已知非零实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． ， ，即，故A选项错误； ， ， ，即，故B选项错误； ， ， ． 即故C选项错误； ， ， ． 即故D选项正确； 故选：D 【变式10】（2025·安徽宿州·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 选项A错误； ， ， ， ， ， ， 选项B错误； ，， ， ， ， 选项C正确； ，， ， ， ， 选项D错误． 故选：C． 【变式11】（2025·安徽六安·三模）已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，故A错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，符合题意； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型03 利用配方法进行推理 【典例1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【典例2】（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 将代入得， ， ，， 故选：A． 【典例3】（2025·安徽合肥·三模）已知实数满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴． 故选：A． 【变式1】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由可得， ， ， ， 即对所有成立． 将代入得： ， ， ， 即对所有成立． 故选：． 【变式2】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 又 ，即①． ，故A错误． ，即． ②，故B错误． 由①②，得． ， 必为正数． ，故C正确． ， ，故D错误． 故选C． 【变式4】（2025·安徽宿州·模拟预测）新考法·代数推理已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 代入得， ， ， ， 故选：C 题型04 利用因式分解进行推理 【典例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴， ∴或 即或，故A，B不正确 ∵ ∴，故C选项不正确，D选项正确 故选：D． 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：，， ， ，，是互不相等的实数， ， ， ， ，，是互不相等的实数， ， ； 最大； 故选：A 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 【变式3】（2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，，，， 故选：D． 题型05 利用消元法进行推理 【典例1】（2025·安徽滁州·一模）已知且满足，，设，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 故选：C 【典例2】（2025·安徽宣城·三模）已知实数a，b满足，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， 解关于和的方程组， 解得：． 根据题意得：， 解得：，即， 故选：B． 【典例3】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）已知实数满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故B选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）已知，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴ A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D.∵ ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 【变式3】已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：联立方程组， 解得，， 由题意知：a，b，c均是非负数， 则， 解得， ∴3a+b﹣7c ＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c ＝﹣2+3c， 当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣． 故选：B． 题型06 利用函数思想进行推理 【典例1】（2025·安徽芜湖·一模）已知非负数a，b，c满足，设，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴S随k的增大而减小， ∵a，b，c均为非负数， ∴， 解得：， ∴当时，S取得最大值，为， 当时，S取得最小值，为， ∴S的取值范围是． 故选：A 【典例2】（2025·安徽芜湖·一模）已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（   ） A．S有最大值2 B．S有最小值 C．S的值恒为1 D．S有最大值1 【答案】A 【详解】解：由题意得， 由①②得， 即， ， 由①②得， 即， ， ， 在第一象限， ，， ， ， 且， ， 解得， ， ， ， 有最大值2． 故选：A． 【变式1】（2025·安徽·一模）已知实数，满足，且，，则下列判断正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】C 【详解】解：由得，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，故A，B选项都错误； ， ∵， ∴当时，取最大值，为，故C选项正确；， ∵， ∴当时，取最小值，为，故D选项错误； 故选：C． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断正确的是（  ） A．的取值范围为 B．的最大整数值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】D 【详解】解：由得， ， ， 解得， ， 的最大整数值为， 故错误，错误； ， 由，函数的对称轴为，在上函数单调递增， ∴当时，， 故错误； ， ∵，二次函数图象开口向上，当时，取得最小值， 故正确； 故选：D． 【变式3】（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 重难点二 规律探索 1.有理数 / 代数式的规律推导：等差、等比数列的通项公式，递推数列的规律总结，含平方、立方、倍数、符号交替的数式规律，是安徽中考最基础也最常考的类型。 2.整式的运算：规律推导中需用到合并同类项、去括号、幂的运算（同底数幂乘除、乘方），最终验证或书写规律式时的整式化简。 3.分式 / 二次根式的简单规律：少数题型会结合分式裂项、二次根式化简（如分母有理化）考查规律，难度中等。 4.一元一次方程 / 不等式的应用：根据总结的规律式，求解某一项的数值、判断某数是否为数列中的项，或结合实际场景（如计数、求和）列方程求解。 解题口诀（快速记忆） 列已知，标序号；找特征，辨类型； 等差比，套公式；二阶差，设二次； 图形题，数转数；坐标题，分横纵； 找周期，算余数；验公式，再作答。 题型01 数式规律+规律证明 【典例1】（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： (1)写出第5个等式：________． (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为 （2）解：猜想，证明如下： ∵左边， 又∵右边， ∴左边右边， ∴． 【典例2】（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【详解】（1） 解：根据已知等式可知，第5个等式: ， 故答案为：； （2） 解：第n个等式: 证明：左边 右边， 故猜想成立 【典例3】（24-25九年级下·安徽·月考）在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空：①；②． (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为_______，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，①；②， 故答案为：①，；②， （2）解：设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 【典例4】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 【典例5】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请你根据上述规律写出第5个等式：_____________； (2)请你猜想第个等式，并说明理由.（用含字母的式子表示，为正整数） 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 由以上式子可得：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． 故第4个等式为：； 第5个等式为：； 故答案为：． （2）解：由（1）的规律可得第个等式为：， 证明：等式左边， 为正整数， 等式左边， 又右边， 等式左边=等式右边， ． 【变式1】（2025·安徽亳州·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)直接写出第5个等式______； (2)猜想第个等式（用含的式子表示），并给出证明． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为， 证明：左边 ， 又右边， 左边右边， 即． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下． 序号 表示结果 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 第5个等式 …… …… (1)根据表中你发现的规律，写出第10个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【详解】（1）解：根据已给的5个等式，可得第10个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式可表示为：，即， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴第n个等式成立． 【变式3】（2025·安徽淮北·三模）数学兴趣小组开展探究活动，很快就发现这3个数的平均数是，他们继续探究这3个数的平均数与的关系．他们发现如下结论． 表1 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 表2 1 2 3 4 5 _____ ．．． ．．． 继续探究，他们发现，表1中N可改写，改写后可得表2． 按照表1和表2的规律，回答下列问题： (1)补充表2． (2)请你猜想的平均数与之间存在的等量关系（用含的式子表示），并证明你的猜想． 【详解】（1）由题意可得，第5个等式为：； （2）证明：左边 右边， 左边右边， 即， 故猜想成立． 【变式4】（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学的奇妙世界里，等式就像一座桥梁，连接着不同的数学量．如果一个等式，在所讨论的范围里不是对字母的所有允许值都成立，而是仅当字母满足某些条件时才能使等式成立，这样的等式叫做条件等式．例如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，实际上我们学过的很多方程都属于条件等式．现在让我们研究一个有趣的等式，其中，那么，这个等式成立的条件是什么呢？ 【探究之旅】假设该等式成立，先对它进行移项，得到．然后，我们在等式两边同时加上4，这时左边就变成了，根据完全平方公式可以写成；右边写成．将右边的式子移到左边，再利用平方差公式进一步分解因式，可得①___________．因为，所以等式成立的条件应为②___________． 请将两处空缺①②补充完整； 【实践运用】根据我们刚刚探究得到的结果，我们来玩一个有趣的“等式创造”游戏．大家观察这两个等式：，，仿照这样的思路，补全等式：______________________； 【拓展创新】经过前面的探究和运用，相信大家对这类条件等式有了更深入的理解．现在，我们进入拓展阶段．豆包同学经过思考，推广得到了这样一个等式： （其中）．请你证明这个等式是否成立． 【详解】解：探究之旅： 根据题意可知， ， 即 ∵， ∴， 故答案为：，； 实践运用： 由（）得：， 则，解得：， 故答案为：，； 拓展创新： 证明：等式左边， 等式右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 【变式5】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 题型02 数式规律+数字求和 【典例】（2025·安徽芜湖·二模）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 【详解】（1）解：根据题意，第4个等式为：， 第个等式为：； 故答案为：；． （2）解： 【变式1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）． (1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______； (2)欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边都乘2，得②， 由，得， ，即的值为． 请根据以上解答过程，计算：． 【详解】（1）解：， ∵，，，，， ， （2）解：令，则， 两式相减，得， ，即． 【变式2】（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 题型03 数式规律+图形 【典例】（2025·安徽滁州·三模）从图依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)观察等式的规律，直接写出第6个等式． (2)直接写出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【详解】（1）解：根据规律可得， ⑥， 答：第6个等式是． （2）解：第个等式：． 证明：∵， ∴成立． 【变式1】（2025·安徽·二模）我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 【详解】（1）解：由题可得：多项式的展开式各系数依次为1，5，10，5，1， 多项式的展开式中第三项系数是10． 故答案为：； （2）解：由题意可得：． 故答案为：； （3）解： ， 当时，原式． 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题： (1)观察图形与等式的关系，并填空． ； ； (2)用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 【详解】（1）解：，； 故答案为：16，； （2）证明：（1）当时， 左边，右边， 等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立， 即． 那么，， 即当时等式也成立． 根据（1）和（2）， 可知等式对于任何正整数n都成立． 故答案为：． 题型04 图形规律 【典例1】（2025·安徽芜湖·三模）【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 【详解】（1）由所给图形可知， 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； ， 所以第个图案中“”的个数为个，“”的个数为个． 故答案为：，． （2）由得， ， 所以制作成第个图案“”剩余最少， 此时需要购买的“”的个数为：个， 故需要购买个“”． 【典例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 【典例3】（2025·安徽合肥·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 【详解】解：（1）根据题意得：在第1排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； 故答案为： （2）根据题意得：在第2排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （3）根据题意得：在第3排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （4）根据题意得：， ∴（负值舍去）， 解得：或（舍去）， ∴存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 【详解】（1）解：由图形可知，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为； 图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为； 图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的，边数为； …… ∴图⑤中的多边形是由正七边形“扩展”而来的边数为， 故答案为：； （2）解：观察发现，由正边形“扩展”而来的多边形的边数为， 即由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为， 故答案为：； （3）解：有，理由如下： 由题意得： 解得：或（舍） ∴多边形是由正44边形“扩展”而来的，由题规律可知，第42个图形的边数正好是1980． 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）材料一：高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．在他十岁时，数学老师出了一道算术难题：“计算的值．”高斯思考一会后得出正确的答案，他思考到：可以令①，将这100个数倒过来相加可得②，由①+②得，所以． （1）计算： ； 材料二：【观察思考】 用菱形积木摆放一个造型，该造型由多层组成，每一层由三行的菱形积木拼成，前3层的摆放情况如图所示．同一层中每一行皆比前一行多2块，且每一层第一行皆比前一层第一行多2块． 【规律发现】 （2）①第10层的积木总块数为 ； ②前n层积木总块数为 ； 【规律应用】 （3）已知小明同学共用了576块菱形积木摆放了一个造型，求出这个造型一共摆放了多少层？ 【详解】解：（1）根据题目中的求解过程知，． 故答案为：250500； （2）①根据题意得：第n（n为正整数）层由（块）菱形积木拼成， ∴第10层的积木总块数为（块）． ②第一层由（块）菱形积木拼成， 第二层由（块）菱形积木拼成， 第三层由（块）菱形积木拼成． ∴． 故答案为：①69；②； （3）由题意得，， 解得，（舍去）， 答：这个造型一共摆放了12层． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 【详解】解：探究二（2）①用8根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成1种等腰三角形， 当时，． ②用9根相同的木棒搭一个三角形， 即分成1根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． ③用10根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． 填表如下： 7 8 9 10 2 1 2 2 问题解决：由规律可知， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、6、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 填表如下： 问题应用：， 用2025根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形． 题型05 图形规律 +长度 【典例】（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖． 【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推． 【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块； （2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）． 【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？ 【详解】解：（1）根据给出的图形可知：若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加2块； （2）∵有1块花砖时，方砖块数为4，有2块花砖时，方砖块数为6， ∴有n块花砖时，方砖块数为， 这条健身道长度为：米． （3）令， 解得：， 当时，， 即长砖用了310块． 【变式2】（2025·安徽亳州·模拟预测）晓辰用边长为的等边三角形卡纸和边长且有一个角为的菱形卡纸来制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长（如图1）；当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长（如图2）；当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸18个，整个图案长（如图3）；以此类推． 【总结规律】 （1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸_____个； （2）用个菱形制作图案需要等边三角形卡纸_____个，整个图案长_____（用含的式子表示）； 【解决问题】 （3）若要使整个图案长，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？ 【详解】解：（1）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸个， 当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸个， 当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸个， 以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸个， ∴当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸个； （2）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长（如图1）； 当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长（如图2）； 当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长（如图3）； 以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长； （3）当时，解得， ∴， ∴要使整个图案长，则需要菱形卡纸1011个，等边三角形卡纸各4050个． 【变式3】（2025·安徽淮北·三模）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【详解】（1）解：∵第1个图案中正三角形的个数为2，其中， 第2个图案中正三角形的个数为6，其中， 第3个图案中正三角形的个数为10，其中， 第4个图案中正三角形的个数为14，其中， 第5个图案中正三角形的个数为18，其中， …… 第个图案中正三角形的个数为个， 故答案为：；． （2）解：第1个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第2个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第3个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第4个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第5个图案中型材料的总长为，其中，其中型材料的总长为，， 故答案为：，． （3）根据（2）可得第个图案中，型材料的总长为，型材料的总长为． 则， 解得． 【变式4】（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：． （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 题型06 图形规律 +数量关系 【典例1】（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【典例2】（2025·安徽蚌埠·三模）【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 【详解】解：（1）第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， ， ∴第个图案中有个“△”， 故答案为：； （2）第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， ， 第个图案中， “○”有， 故答案为：； （3）由（1）（2）得：第个图案中，“△”和“○”的数量之和为：， 则， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， 故． 【典例3】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“□”的个数为； 第2个图案中，“□”的个数为； 第3个图案中，“□”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“□”的个数为； （2）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （3）∵第n个图案中“□”比“▲”多33个， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴正整数. 【变式1】（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【详解】[规律发现] （1）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； （2）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； [规律应用 （3）不存在， 理由如下：假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，        整理得：， 解得， 不是正整数，与题意中的是正整数不符， ∴不存在正整数，使得“”的个数是“”的个数倍． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【变式3】（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 【变式4】（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 题型07 坐标规律 【典例】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为， ,,,, ∴点的横坐标为11，点的横坐标为16， 故答案为：11，16； （2）点的横坐标为； （3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，每组只有1个正方形图案， ∴ 故围墙的总长为1003m． 【变式2】（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【详解】（1）解：图1，小正方体的个， 图2，小正方体的个， 图3，小正方体的个， 图4，小正方体的个， 故答案为：30； （2）解：，，， 观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2， ∴； 故答案为：； （3）解：如图， 图1，小正方体的面积，小正方体的个数6个， 图2，小正方体的面积，小正方体的个数12个， 图3，小正方体的面积，小正方体的个数20个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数30个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数个， 答：图需要小正方形的个数为个． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 1．（2025·安徽宣城·一模）已知，满足，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 且的正负不能确定， A．的正负不能确定，故A错误． B．的正负不能确定，故B错误， C．，故选项C正确， D. 的正负不能确定，故D错误， 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【答案】D 【详解】解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级下·安徽亳州·月考）已知实数满足，，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 消去c，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以，选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 4．（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）解：第个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，用相同的五角星按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个五角星，第2幅图有7个五角星，第3幅图有10个五角星，…，按照此规律排列下去． (1)第5幅图中有_______个五角星，第幅图中有_______个五角星（用含的式子表示）； (2)若第幅图和第幅图中的五角星个数的和为188个，求的值． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1幅图中圆点的个数为：； 第2幅图中圆点的个数为：； 第3幅图中圆点的个数为：； …， 所以第幅图中圆点的个数为个． 当时，个， 即第5幅图中圆点的个数为16个． 故答案为：16；． （2）解：第幅图和第幅图中的五角星个数的和为188个， ， 解得， 所以的值为30． 1．（2025·安徽池州·三模）已知非零实数a，b满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴．故A选项错误， ∵， ∴， ∵ ∴当时，，当时．故B选项不一定正确． ∵，， 又且a，b为非零实数． ∴， ∴， ∴． ∵，解得， ∴，故C选项错误． ∵， ， ∴，故D选项正确． 故选：D 2．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 4．（2025·安徽池州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，主题是“四边形内个点可把四边形分割成不重叠三角形数量”问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 示意图 1 2 3 4 不重叠三角形数量 4 6 8 (1)把上面的表格补充完整； (2)四边形内个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含的代数式表示为______； (3)兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的小三角形个数的一般规律．分析过程如下： ①边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的个三角形； ②三角形的内角和为个三角形的总内角和可以表示为； ③边形的内角和可以表示为______； ④边形内部的每个点都对应一个周角，个点对应个周角，其度数可以表示为； ⑤这个三角形正好拼成了内部有个点边形，所以这个三角形的总内角和又可以看成是边形的内角和加上个周角的和，即______； ⑥综上可得，______． 阅读以上内容，请在③、⑤、⑥的横线上填写所缺内容． 【详解】（1）如图： 故表格如下： 示意图 1 2 3 4 不重叠三角形数量 4 6 8 10 （2） 1 2 3 4 …… n 不重叠三角形数量 4 6 8 10 …… ∴四边形内个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含的代数式表示为， 故答案为：； （3）∵多边形内角和为 ∴边形的内角和可以表示为 ∵周角， ∴边形的内角和加上个周角的和 ∵三角形内角和为， ∴ 故答案为：③；⑤；⑥ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点01 代数推理与规律探索 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 34 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 代数推理 1.整式与分式的运算：整式的乘除、因式分解（提公因式、公式法、十字相乘法是核心，分组分解偶考）、分式的通分约分 / 恒等变形，常作为推理的 “化简步骤”，安徽中考常考因式分解在等式变形、求取值范围中的推理应用。 2.方程与不等式的性质：等式的基本性质（移项、两边同乘 / 除非零数）、不等式的基本性质（注意乘除负数变号）、一元二次方程的根的定义（代根入方程是推理高频操作），侧重利用性质进行 “等式 / 不等式的递推变形”。 3.函数的基本性质：一次函数、反比例函数、二次函数的解析式确定（待定系数法）、自变量与函数值的对应关系、函数图象的基本特征（如二次函数的对称轴、开口方向），常作为 “以函数为背景的代数推理” 的基础，比如通过函数关系推导变量间的数量规律。 4.代数式的恒等变形：添括号 / 去括号、配方（配方法是安徽代数推理的核心技巧，尤其二次三项式的配方，常用于求最值、推导等式成立条件）、根式的化简（偶考，侧重非负性）。 解决代数推理题可从下面角度思考: (1)若已知条件中有等式和不等式,可将其中一个等式进行适当的变形后再代入不等式或另一个代数式中(能整体代入尽量整体代入),达到“消元”目的; (2)对于选项中不等关系的判断可采用配方、作差等方式处理,根据选项内容对已知条件进行有目的的变形. (3)求代数式的最值时,可利用函数思想,把该代数式表示成某个字母变量的函数并确定该字母的取值范围,由函数的增减性得出函数值的范围.有时也可结合函数图象分析. 题型01 利用等式进行推理 【典例1】（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 题型02 利用不等式的性质推理 【典例1】（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽淮北·一模）若，，则下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·安徽淮北·三模） 已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例4】（2025·安徽合肥·一模）已知实数a，b，c满足，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽淮北·三模）已知实数m，n满足，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）已知实数满足，则以下判断正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【变式3】（2025·安徽阜阳·三模）已知实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·安徽池州·一模）已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·安徽合肥·一模）已知实数 满足：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2025·安徽合肥·一模）已知a，b，c为非零实数，且满足，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9】（24-25九年级下·安徽芜湖·月考）已知非零实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10】（2025·安徽宿州·一模）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·安徽六安·三模）已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C．2 D． 题型03 利用配方法进行推理 【典例1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【典例3】（2025·安徽合肥·三模）已知实数满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·安徽宿州·模拟预测）新考法·代数推理已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 利用因式分解进行推理 【典例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 题型05 利用消元法进行推理 【典例1】（2025·安徽滁州·一模）已知且满足，，设，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽宣城·三模）已知实数a，b满足，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25九年级下·安徽合肥·月考）已知实数满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）已知，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型06 利用函数思想进行推理 【典例1】（2025·安徽芜湖·一模）已知非负数a，b，c满足，设，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽芜湖·一模）已知点在第一象限，且满足，，设，若，则（   ） A．S有最大值2 B．S有最小值 C．S的值恒为1 D．S有最大值1 【变式1】（2025·安徽·一模）已知实数，满足，且，，则下列判断正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为2 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断正确的是（  ） A．的取值范围为 B．的最大整数值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【变式3】（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点二 规律探索 1.有理数 / 代数式的规律推导：等差、等比数列的通项公式，递推数列的规律总结，含平方、立方、倍数、符号交替的数式规律，是安徽中考最基础也最常考的类型。 2.整式的运算：规律推导中需用到合并同类项、去括号、幂的运算（同底数幂乘除、乘方），最终验证或书写规律式时的整式化简。 3.分式 / 二次根式的简单规律：少数题型会结合分式裂项、二次根式化简（如分母有理化）考查规律，难度中等。 4.一元一次方程 / 不等式的应用：根据总结的规律式，求解某一项的数值、判断某数是否为数列中的项，或结合实际场景（如计数、求和）列方程求解。 解题口诀（快速记忆） 列已知，标序号；找特征，辨类型； 等差比，套公式；二阶差，设二次； 图形题，数转数；坐标题，分横纵； 找周期，算余数；验公式，再作答。 题型01 数式规律+规律证明 【典例1】（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： (1)写出第5个等式：________． (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【典例2】（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【典例3】（24-25九年级下·安徽·月考）在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空：①；②． (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为_______，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【典例4】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【典例5】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请你根据上述规律写出第5个等式：_____________； (2)请你猜想第个等式，并说明理由.（用含字母的式子表示，为正整数） 【变式1】（2025·安徽亳州·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)直接写出第5个等式______； (2)猜想第个等式（用含的式子表示），并给出证明． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下． 序号 表示结果 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 第5个等式 …… …… (1)根据表中你发现的规律，写出第10个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【变式3】（2025·安徽淮北·三模）数学兴趣小组开展探究活动，很快就发现这3个数的平均数是，他们继续探究这3个数的平均数与的关系．他们发现如下结论． 表1 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 表2 1 2 3 4 5 _____ ．．． ．．． 继续探究，他们发现，表1中N可改写，改写后可得表2． 按照表1和表2的规律，回答下列问题： (1)补充表2． (2)请你猜想的平均数与之间存在的等量关系（用含的式子表示），并证明你的猜想． 【变式4】（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学的奇妙世界里，等式就像一座桥梁，连接着不同的数学量．如果一个等式，在所讨论的范围里不是对字母的所有允许值都成立，而是仅当字母满足某些条件时才能使等式成立，这样的等式叫做条件等式．例如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，实际上我们学过的很多方程都属于条件等式．现在让我们研究一个有趣的等式，其中，那么，这个等式成立的条件是什么呢？ 【探究之旅】假设该等式成立，先对它进行移项，得到．然后，我们在等式两边同时加上4，这时左边就变成了，根据完全平方公式可以写成；右边写成．将右边的式子移到左边，再利用平方差公式进一步分解因式，可得①___________．因为，所以等式成立的条件应为②___________． 请将两处空缺①②补充完整； 【实践运用】根据我们刚刚探究得到的结果，我们来玩一个有趣的“等式创造”游戏．大家观察这两个等式：，，仿照这样的思路，补全等式：______________________； 【拓展创新】经过前面的探究和运用，相信大家对这类条件等式有了更深入的理解．现在，我们进入拓展阶段．豆包同学经过思考，推广得到了这样一个等式： （其中）．请你证明这个等式是否成立． 【变式5】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 题型02 数式规律+数字求和 【典例】（2025·安徽芜湖·二模）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（）． (1)观察一个等比数列1，，，，…，它的公比q=______；若（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，则=_______； (2)欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边都乘2，得②， 由，得， ，即的值为． 请根据以上解答过程，计算：． 【变式2】（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 题型03 数式规律+图形 【典例】（2025·安徽滁州·三模）从图依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)观察等式的规律，直接写出第6个等式． (2)直接写出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【变式1】（2025·安徽·二模）我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题： (1)观察图形与等式的关系，并填空． ； ； (2)用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 题型04 图形规律 【典例1】（2025·安徽芜湖·三模）【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 【典例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【典例3】（2025·安徽合肥·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，图①中的多边形是由等边三角形“扩展”而来的，边数为12；图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，边数为20；图③中的多边形是由正五边形“扩展”而来的；……依此类推 (1)第五个图形中多边形的边数为 ． (2)由正100边形“扩展”而来的多边形的边数为 ． (3)小明同学的数学老师是1980年出生的，小明想：有没有一个扩展出来的图形的边数正好是1980呢？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）材料一：高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．在他十岁时，数学老师出了一道算术难题：“计算的值．”高斯思考一会后得出正确的答案，他思考到：可以令①，将这100个数倒过来相加可得②，由①+②得，所以． （1）计算： ； 材料二：【观察思考】 用菱形积木摆放一个造型，该造型由多层组成，每一层由三行的菱形积木拼成，前3层的摆放情况如图所示．同一层中每一行皆比前一行多2块，且每一层第一行皆比前一层第一行多2块． 【规律发现】 （2）①第10层的积木总块数为 ； ②前n层积木总块数为 ； 【规律应用】 （3）已知小明同学共用了576块菱形积木摆放了一个造型，求出这个造型一共摆放了多少层？ 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 题型05 图形规律 +长度 【典例】（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖． 【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推． 【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块； （2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）． 【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？ 【变式2】（2025·安徽亳州·模拟预测）晓辰用边长为的等边三角形卡纸和边长且有一个角为的菱形卡纸来制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长（如图1）；当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长（如图2）；当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸18个，整个图案长（如图3）；以此类推． 【总结规律】 （1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸_____个； （2）用个菱形制作图案需要等边三角形卡纸_____个，整个图案长_____（用含的式子表示）； 【解决问题】 （3）若要使整个图案长，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？ 【变式3】（2025·安徽淮北·三模）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【变式4】（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 题型06 图形规律 +数量关系 【典例1】（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【典例2】（2025·安徽蚌埠·三模）【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 【典例3】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 【变式1】（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【变式3】（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【变式4】（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 题型07 坐标规律 【典例】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【变式2】（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 1．（2025·安徽宣城·一模）已知，满足，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 3．（24-25九年级下·安徽亳州·月考）已知实数满足，，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，用相同的五角星按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个五角星，第2幅图有7个五角星，第3幅图有10个五角星，…，按照此规律排列下去． (1)第5幅图中有_______个五角星，第幅图中有_______个五角星（用含的式子表示）； (2)若第幅图和第幅图中的五角星个数的和为188个，求的值． 1．（2025·安徽池州·三模）已知非零实数a，b满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 2．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 4．（2025·安徽池州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，主题是“四边形内个点可把四边形分割成不重叠三角形数量”问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 示意图 1 2 3 4 不重叠三角形数量 4 6 8 (1)把上面的表格补充完整； (2)四边形内个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含的代数式表示为______； (3)兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的小三角形个数的一般规律．分析过程如下： ①边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的个三角形； ②三角形的内角和为个三角形的总内角和可以表示为； ③边形的内角和可以表示为______； ④边形内部的每个点都对应一个周角，个点对应个周角，其度数可以表示为； ⑤这个三角形正好拼成了内部有个点边形，所以这个三角形的总内角和又可以看成是边形的内角和加上个周角的和，即______； ⑥综上可得，______． 阅读以上内容，请在③、⑤、⑥的横线上填写所缺内容． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $