福建省福州市三牧中学2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年福建省福州市三牧中学九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）下列符号中，是中心对称图形的是（　　） A．∑ B．∴ C．≈ D．⊥ 2．（4分）“守株待兔”这个事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 3．（4分）对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＝0 D．任意实数 4．（4分）如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 5．（4分）如图，△ABC的顶点在⊙O上，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝42°，则∠ABC的度数是（　　） A．42° B．45° C．48° D．58° 6．（4分）若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 7．（4分）根据测算，学得的知识在两天之后只能记住其中的28%．假设每天“遗忘”的百分比为x，可列方程（　　） A．（1+x）2＝28% B．（1﹣x）2＝28% C．1﹣2x＝28% D．（1﹣2x）2＝28% 8．（4分）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 9．（4分）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于点E．若⊙O的半径为5，且AB＝11，则DE的长度为（　　） A．5 B．6 C． D． 10．（4分）定义：若两个函数图象与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如y＝x2﹣4与y＝（x+1）（x﹣2）的图象与x轴的共同交点为（2，0），那么这两个函数就是“共根函数”．若y＝2x2﹣4x与y＝x2﹣3x+m﹣1为“共根函数”，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共40分） 11．（4分）如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积之比是 　 　 ． 12．（4分）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为　 　 ．（结果精确到0.01） 13．（4分）如图，反比例函数上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为6，则该反比例函数的解析式为　 　 ． 14．（4分）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　 　 队参加比赛． 15．（4分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为　 　 cm． 16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AD上，射线BE交AC于点F．若，AB＝14，则CF的长为　 　 ． 三、解答题题（本题共9小题，共86分） 17．（8分）解方程： （1）x2﹣3x﹣4＝0； （2）2x2+x＝5． 18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F．求证：△BEC∽△DCF． 19．（8分）数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知ρ是V的反比例函数，当V＝5m3时，ρ＝1.8kg/m3． （1）求ρ关于V的函数解析式； （2）当ρ＝7.2kg/m3时，求V的值． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，求k的整数值． 21．（8分）如图，A，B，C，D是四个连续的排成一排的座位，A，D靠过道． （1）甲选择靠过道位置的概率为 　 　 ； （2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 22．（10分）某市的滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有15万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市1月份以20元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量y（袋）与售价x（元/袋）（25≤x≤45）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式　 　 ； （2）设该紫菜的总销售利润为w元，若要使销售利润最大，售价x应定为多少元？ （3）若该超市想要每袋紫菜获利不高于进价的60%，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 23．（10分）为了丰富同学们的课余生活，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容： 探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板．△A′B′C′是由△ABC绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形ABC替换为半径为4，圆心角∠BAC＝60°的扇形ABC，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形ABC绕着点O旋转得到扇形A′B′C′，粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，将扇形ABC绕着点C顺时针旋转得到扇形A′B′C，若A′C与相切于点C，点M为半径AB的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形ABC绕着的中点N逆时针旋转60°得到扇形A′B′C′，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 24．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 25．（14分）如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长； （2）如图2，连接BF，DF，设OB与EF交于点P． ①求证：P为EF中点； ②若∠BAC＝45°，求证：DF＝EF． 2025-2026学年福建省福州市三牧中学九年级（上）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C C B C B B 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）下列符号中，是中心对称图形的是（　　） A．∑ B．∴ C．≈ D．⊥ 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（4分）“守株待兔”这个事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：“守株待兔”这个事件是随机事件． 故选：A． 3．（4分）对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＝0 D．任意实数 【分析】根据当k＞0时，反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小求解即可． 【解答】解：根据当k＞0时，反比例函数的图象性质可知： 反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴k＞0， 故选：A． 4．（4分）如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 【分析】根据旋转的性质可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，结合∠A′DC＝90°，可求得∠A′，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C， 由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′， ∵∠A′DC＝90°， ∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°， ∴∠A＝∠A′＝55°． 故选：C． 5．（4分）如图，△ABC的顶点在⊙O上，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝42°，则∠ABC的度数是（　　） A．42° B．45° C．48° D．58° 【分析】根据题意CD是⊙O的直径可知∠DBC＝90°，利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”知识再根据题中已知条件即可得到本题答案． 【解答】解：∵∠DCA＝42°， ∴∠DCA＝∠DBA＝42°， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝90°﹣42°＝48°， 故选：C． 6．（4分）若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【分析】欲求正六边形的半径，即求该六边形的外接圆半径；因为是正六边形，可以知道其内角的度数，进而可通过构造直角三角形的办法，来解出正六边形的半径． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，OG为六边形的边心距，OB为其半径； 因为多边形为正六边形，故∠OBA＝60°， 在Rt△OGB中，OB4， 即这个正六边形的半径为4． 故选：C． 7．（4分）根据测算，学得的知识在两天之后只能记住其中的28%．假设每天“遗忘”的百分比为x，可列方程（　　） A．（1+x）2＝28% B．（1﹣x）2＝28% C．1﹣2x＝28% D．（1﹣2x）2＝28% 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据在两天之后只能记住其中的28%，列出方程即可． 【解答】解：假设每天“遗忘”的百分比为x， 则根据学得的知识在两天之后只能记住其中的28%列方程为： （1﹣x）2＝28%， 故选：B． 8．（4分）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【分析】根据格点求得扇形的母线长及扇形的圆心角，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【解答】解：∵小正方形方格的边长为1cm， ∴母线长为：2，圆心角为90°， ∴扇形的弧长为：， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴2πr， 解得：rcm， 故选：C． 9．（4分）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于点E．若⊙O的半径为5，且AB＝11，则DE的长度为（　　） A．5 B．6 C． D． 【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE＝DF． 【解答】解：如图，AB，AD，DE都与⊙O相切，连接OE，OF，OG， ∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF＝DE， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝11， ∴∠A＝90°，AB＝AD＝11， ∴∠A＝∠AGO＝∠AFO＝90°， ∴四边形AGOF为矩形， ∵OG＝OF，⊙O的半径为5， ∴四边形AGOF为正方形， ∴AF＝OG＝5， ∴DE＝DF＝11﹣5＝6， 故选：B． 10．（4分）定义：若两个函数图象与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如y＝x2﹣4与y＝（x+1）（x﹣2）的图象与x轴的共同交点为（2，0），那么这两个函数就是“共根函数”．若y＝2x2﹣4x与y＝x2﹣3x+m﹣1为“共根函数”，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 【分析】先求出y＝2x2﹣4x与x轴的交点坐标，分别代入函数y＝x2﹣3x+m﹣1中，求出m的值即可． 【解答】解：令y＝2x2﹣4x＝0，则x＝0或x＝2， ∴函数y＝2x2﹣4x与x轴的交点为（0，0），（2，0）， 当两个函数同时过点（0，0）时，有0＝0﹣0+m﹣1，解得m＝1， 当两个函数同时过点（2，0）时，有0＝4﹣6+m﹣1，解得m＝3， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共40分） 11．（4分）如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积之比是 　1：4　 ． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2， ∴（）2． 故答案为：1：4． 12．（4分）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为　0.80　 ．（结果精确到0.01） 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在0.80附近，即可估计出这种小麦发芽的概率． 【解答】解：∵由表格的数据可知，大量的重复试验小麦发芽的频率在0.8附近波动， ∴估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为0.80． 故答案为：0.80． 13．（4分）如图，反比例函数上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为6，则该反比例函数的解析式为y　 ． 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y的图象的一支在第二象限， ∴k＜0， ∵AB⊥x轴，垂足为B，△AOB的面积为6， ∴|k|＝2×6＝12， ∴k＝﹣12， ∴反比例函数的解析式为：y． 故答案为：y． 14．（4分）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　10　 队参加比赛． 【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程求解即可． 【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场， 根据题意列出方程得：45， 整理，得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去）， 所以，这次有10队参加比赛． 答：这次有10队参加比赛． 15．（4分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为　2　 cm． 【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【解答】解：连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AMAB8＝4（cn），OD＝OC＝5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM3（cm）， ∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm）， ∴AC4（cm）； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴MC＝5﹣3＝2cm， 在Rt△AMC中，AC2（cm）． 故答案为：2． 16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AD上，射线BE交AC于点F．若，AB＝14，则CF的长为　12　 ． 【分析】作DH∥AC，交BF于点H，则△BDH∽△BCF，由AB＝AC，AD平分∠BAC，得BD＝CDBC，则，所以DHCF，再证明△AEF∽△DEH，得，则AFDHCF，由ABCF+CF＝14，求得CF＝12，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DH∥AC，交BF于点H，则△BDH∽△BCF， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CDBC， ∴， ∴DHCF， ∵AF∥HD， ∴△AEF∽△DEH， ∴， ∴AFDHCFCF， ∵AB＝AF+CFCF+CF＝14， ∴CF＝12， 故答案为：12． 三、解答题题（本题共9小题，共86分） 17．（8分）解方程： （1）x2﹣3x﹣4＝0； （2）2x2+x＝5． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4＝0， （x+1）（x﹣4）＝0， 则x+1＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝4； （2）2x2+x＝5， 2x2+x﹣5＝0， Δ＝12﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， 则x， 所以． 18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F．求证：△BEC∽△DCF． 【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D．BE∥CD，由平行线的性质得出∠E＝∠DCF，由相似三角形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B＝∠D，BE∥CD， ∴∠E＝∠DCF， ∴△BEC∽△DCF． 19．（8分）数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知ρ是V的反比例函数，当V＝5m3时，ρ＝1.8kg/m3． （1）求ρ关于V的函数解析式； （2）当ρ＝7.2kg/m3时，求V的值． 【分析】（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ（k≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）把ρ＝7.2kg/m3代入（1）的解析式即可得答案． 【解答】解：（1）设密度P的关于体积V的函数解析式为ρ（k≠0）， ∵当V＝5m3 时，ρ＝1.8kg/m3， ∴1.8， ∴k＝9， ∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ（V＞0）； （2）当ρ＝7.2时，代入ρ，得：7.2， 解得V（m3）． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，求k的整数值． 【分析】（1）由一元二次方程的根的情况列得Δ≥0，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，代入得到不等式，求解即可． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac ＝22﹣4×1×（k+1） ＝﹣4k， 由已知得，﹣4k≥0， 所以k≤0； （2）由根与系数的关系可知，x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1， 因为x1+x2﹣x1x2＜﹣1， 所以，﹣2﹣（k+1）＜﹣1， 解得，k＞﹣2， 所以，﹣2＜k≤0， 所以，整数k的值为﹣1或0． 21．（8分）如图，A，B，C，D是四个连续的排成一排的座位，A，D靠过道． （1）甲选择靠过道位置的概率为 　　 ； （2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择靠过道位置的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲乙两人座位相邻且乙靠过道的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择靠过道位置的结果有2种， ∴甲选择靠过道位置的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人座位相邻且乙靠过道的结果有：（B，A），（C，D），共2种， ∴甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率为． 22．（10分）某市的滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有15万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市1月份以20元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量y（袋）与售价x（元/袋）（25≤x≤45）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式y＝﹣2x+100（25≤x≤45）　 ； （2）设该紫菜的总销售利润为w元，若要使销售利润最大，售价x应定为多少元？ （3）若该超市想要每袋紫菜获利不高于进价的60%，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 【分析】（1）用待定系数法可得y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100（25≤x≤45）； （2）求出：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，根据二次函数性质可得答案； （3）根据要获利不高于进价的60%，得x﹣20≤20×60%，即x≤32，再由二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，把（25，50），（45，10）代入得： ， ∴． ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100（25≤x≤45）； 故答案为：y＝﹣2x+100（25≤x≤45）； （2）根据题意得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝35时，w取最大值450， 此时y＝﹣2x+100＝﹣2×35+100＝30， ∴若要使销售利润最大，售价x应定为每袋35元； （3）∵要获利不高于进价的60%， ∴x﹣20≤20×60%，即x≤32， 由（2）知，w＝﹣2（x﹣35）2+450， ∵﹣2＜0，抛物线对称轴为直线x＝35， ∴当x＜35时，w随x的增大而增大， ∴当x＝32时，w取最大值，最大值为w＝﹣2×9+450＝432， ∴若该超市想要获利不高于进价的60%，则售价定为每袋32元时，销售利润达到最大． 23．（10分）为了丰富同学们的课余生活，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容： 探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板．△A′B′C′是由△ABC绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形ABC替换为半径为4，圆心角∠BAC＝60°的扇形ABC，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形ABC绕着点O旋转得到扇形A′B′C′，粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，将扇形ABC绕着点C顺时针旋转得到扇形A′B′C，若A′C与相切于点C，点M为半径AB的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形ABC绕着的中点N逆时针旋转60°得到扇形A′B′C′，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 【分析】（1）由旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即连接AA′，BB′，作AA′，BB′的垂直平分线即可； （2）连接BC，AM可知△ABC是等边三角形，求得CM2，结合切线的性质可知旋转角为90°，则点M的路径为以C圆心，CM为半径，圆心角90°的扇形的弧长，利用弧长公式即可求解； （3）连接AN，A′N分别交A′B′，AC于P，H，令AC，A′B′交于点Q，结合旋转可知点A以A′为圆心，4为半径的圆上，即点N，B′，A在同一个圆中，再根据重叠部分的面积为S扇形AA′N﹣S△AA′H﹣S△APQ即可求解． 【解答】解：（1）连接AA′，BB′，作AA′，BB′的垂直平分线，交于点O，旋转中心点O的位置，如图1即为所求； （2）连接BC，AM，如图2， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点M为半径AB的中点，则AMAB＝2， ∴CM⊥AB，则CM2， ∵A′C与相切于点C， ∴∠ACA′＝90°，即旋转角为90°， 则点M的路径为以C圆心，CM为半径，圆心角90°的扇形的弧长， ∴点M的路径长为π×2π； （3）两个扇形重叠部分的面积为π，理由如下： 如图3，连接AN，A′N分别交A′B′，AC于P，H，令AC，A′B′交于点Q， ∵点N为的中点， ∴，则∠BAN＝∠CAN∠BAC＝30°， ∵将扇形ABC绕着的中点N逆时针旋转60°得到扇形A'B'C'， ∴NA＝NA′＝4，∠ANA′＝60°，∠B′A′N＝∠BAN＝30°，AB＝A′B′＝4，，则△ANA′为等边三角形， ∴∠NA′A＝∠ANA′＝∠NAA′＝60°，A′A＝A′B′＝A′N， ∴∠AA′B′＝30°，则点A以A′为圆心，4为半径的圆上，则，即点N，B′，A在同一个圆中， ∴A′P⊥AN，AH⊥A′N， ∴A′HA′N＝2，，则AH＝AA′•cos30°＝2， APAN＝2，则PQ＝AP•tan30°， ∴重叠部分的面积为：S扇形AA′N﹣S△AA′H﹣S△APQ π×422×22 ． 24．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x）2，可得当x时，y取最小值，最小值为，再根据n、n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 25．（14分）如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长； （2）如图2，连接BF，DF，设OB与EF交于点P． ①求证：P为EF中点； ②若∠BAC＝45°，求证：DF＝EF． 【分析】（1）过点F作FH⊥AB于点H，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得AE，OE，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）①连接CD，过点F作FG∥CD，交OD于点G，利用三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质得到BE＝GF，再利用全等三角形的判定与性质解答即可； ②连接CD，AD，过点F作FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H，利用圆周角定理，正方形的判定与性质得到CD为AB的垂直平分线，则FD＝FB，得到DF＝EF；利用正方形的判定与性质得到∠GFH＝90°，则∠EFH+∠EFG＝90°，再利用全等三角形的判定与性质和等量代换的性质得到∠DFE＝90°，利用垂直的定义解答即可． 【解答】（1）解：过点F作FH⊥AB于点H，如图， ∵点F是半径OC的中点，⊙O的半径为1， ∴OFOC，OA＝OB＝1， ∵∠BAC＝30°，OE⊥AB， ∴OEOA，AE＝BE＝OA•cos30°， ∴AF＝OA+OF， ∵OE⊥AB，FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴△AOE∽△AFH， ∴， ∴， ∴FH，AH， ∴EH＝AH﹣AE， ∴EF； （2）①证明：连接CD，过点F作FG∥CD，交OD于点G，如图， ∵FG∥CD，点F是半径OC的中点， ∴FG为△OCD的中位线， ∴FGCD， ∵AC，BD为⊙O的两条直径， ∴OA＝OB，OC＝OD， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（SAS）， ∴∠A＝∠OCD，AB＝CD， ∴AB∥CD， ∵FG∥CD， ∴FG∥AB． ∴∠FGB＝∠ABG． ∵OE⊥AB， ∴BE＝AEAB， ∴BE＝GF． 在△PFG和△PEB中， ， ∴△PFG≌△PEB（AAS）， ∴PF＝PE， ∴P为EF中点； ②解：DF，EF之间的关系为：DF＝EF，DF⊥EF．理由： 连接CD，AD，过点F作FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H，如图， ∵OE⊥AB， ∴BE＝AEAB， 由（1）知， ∵点F是半径OC的中点， ∴OFOA， ∴AFOA， ∴， ∴AHAE， ∴EH＝AH﹣AEAEBE， ∴H为EB的中点， ∵FH⊥AB， ∴FH为EB的垂直平分线， ∴FE＝FB． ∵AC，BD为⊙O的两条直径， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵∠BAC＝45°， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，AC平分BD， 即CD为AB的垂直平分线， ∴FD＝FB， ∴DF＝EF． ∵∠DAC＝∠BAC＝45°，FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H， ∴FG＝FH， ∵∠DAB＝90°， ∴四边形FGAH为正方形， ∴∠GFH＝90°， ∴∠EFH+∠EFG＝90°． 在Rt△DFG和Rt△BFH中， ， ∴Rt△DFG≌Rt△BFH（HL）， ∴∠DFG＝∠EFH， ∴∠DFG+∠EFG＝90°， ∴∠DFE＝90°， ∴DF⊥EF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/15 10:28:08；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $