第15讲 三角形与全等三角形（复习讲义，5考点11题型5重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“三角形与全等三角形”中考核心模块，覆盖三角形基础（高、中线、重心）、全等判定（SSS、SAS、ASA/AAS、HL）及应用等考点，通过考情剖析、知识网络构建、真题分类讲解，帮助学生系统梳理知识联系，突破全等证明、模型应用等难点。 亮点在于“重难突破”模块设计，如通过倍长中线、旋转模型等专题训练，结合尺规作图培养几何直观与推理能力，配套基础巩固、能力提升、全国新趋势分层练习，助力学生高效掌握解题方法，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第四章 三角形 第15讲 三角形与全等三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 三角形的基础 题型01三角形的高 题型02三角形的中线 题型03三角形的重心 命题点二 三角形的基本类型 题型01三角形的角平分线 题型02与三角形有关的角 命题点三 全等三角形的定义与性质 题型01全等三角形的概念及性质 命题点四 全等三角形的判定 题型01用SSS证明三角形全等 题型02全等的性质和SAS综合 题型03全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型04全等的性质和HL综合 命题点五 全等三角形的应用 题型01全等三角形的应用 05·重难突破·思维进阶难 30 突破一 结合尺规作图的全等问题 突破二 连接两点构造全等三角形 突破三 倍长中线模型 突破四 旋转模型 突破五 全等三角形综合问题 06·优题精选·练能提分 37 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的基本性质（内角和、三边关系） 北京卷T7，T14（三角形内角和定理） / / 1. 掌握三角形内角和定理及外角性质；2. 理解三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形；3. 掌握等腰、等边三角形的性质与判定。 全等三角形的判定定理 北京卷T7，T27（用SSS,SAS判定三角形全等） 北京卷T7（用SSS判定三角形全等） 北京卷T27（SAS判定三角形全等） 1. 掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS；2. 掌握直角三角形特有的判定定理HL；3. 能根据已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等。 全等三角形的性质及应用 / / 北京卷T8，T27（全等三角形的性质） 1. 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（中线、角平分线、高）相等；2. 能利用全等性质进行线段、角度的计算与证明。 全等三角形与图形变换的结合 / 北京卷T8,T27（旋转背景下全等三角形） / 1. 理解平移、旋转、折叠前后图形的全等关系；2. 能在图形变换情境中运用全等三角形的判定与性质解决问题。 命题预测 1. 三角形三边关系、内角和与外角性质的基础计算，等腰三角形的分类讨论（顶角、底角不确定时）仍是高频考点； 2. 全等判定的条件辨析（如SSA不能判定全等的反例考查），直角三角形HL判定的应用； 3. 全等三角形与平移、旋转、折叠的结合，可能融入网格背景或实际生活情境（如测量距离）。 考点一 三角形的基础概念与分类 1. 三角形的定义 由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形，记作 。 2. 三角形的分类 分类标准 类型 核心特征 按边分类 不等边三角形 三边都不相等 等腰三角形 至少两边相等（含等边三角形） 等边三角形 三边都相等（特殊的等腰三角形） 按角分类 锐角三角形 三个内角都是锐角（小于90°） 直角三角形 有一个内角是直角（等于90°） 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于90°） 3. 三角形的重要线段（中考高频基础考点） 线段类型 定义 核心性质 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于重心；中线分三角形为面积相等的两部分 角平分线 平分内角且与对边相交的线段 三条角平分线交于内心；角平分线上的点到角两边的距离相等 高线 从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段 三条高线交于垂心；锐角三角形的高在内部，直角三角形的两条高为直角边，钝角三角形的两条高在外部 中位线 连接两边中点的线段 中位线平行于第三边且长度等于第三边的一半（北京中考必考） 易错点提示 混淆三角形的“中线” “角平分线” “高线”的定义与性质； 忽略直角三角形、钝角三角形高线的位置，误认为所有高线都在三角形内部。 1．（2025·北京顺义）已知的一个角的度数为另外两个角度数的和，这个三角形为 三角形． 2．（2025·北京大兴）如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有 个直角三角形，有 个钝角三角形． 3．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 考点二 三角形的基本类型 1. 三边关系定理（高频选择/填空考点） 三角形任意两边之和 大于 第三边； 三角形任意两边之差 小于 第三边。 应用：判断三条线段能否组成三角形；求第三边的取值范围（已知两边 ，则 第三边 ）。 2. 内角和与外角性质（核心计算考点） 内角和定理：三角形的内角和为 （可通过平行线性质证明）； 直角三角形的两个锐角 互余； 等边三角形的每个内角都为 。 外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角 大于 任意一个与它不相邻的内角。 应用：求三角形内、外角的度数；证明角的相等或不等关系。 易错点提示 应用三边关系时，忽略“任意”二字，仅验证一组两边之和大于第三边； 1.（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 2．（2024·北京西城）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 3．（2025·北京西城）如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ． 考点三 全等三角形的定义与性质 1. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的性质（中考必用） 对应边 相等； 对应角 相等； 对应线段（中线、角平分线、高线）相等，周长相等，面积相等。 1.（2025·北京通州·一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形是正方形．如果，四边形的面积为25，那么的长为 ． 2．（2024·北京西城·二模）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 考点四 全等三角形的判定 1. 基本判定定理（高频证明考点） 判定定理 符号表示 适用条件 易错点提示 三边对应相等 SSS 任意三角形 直接用于证明三角形全等，无需角的条件 两边及其夹角对应相等 SAS 任意三角形 必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 两角及其夹边对应相等 ASA 任意三角形 夹边需在两角之间 两角及其中一角的对边对应相等 AAS 任意三角形 区别于ASA，对边不与两角相邻 2. 直角三角形的特殊判定定理 HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。 易错点提示 用SAS判定时，误将“两边的对角”当作夹角； 忽略直角三角形HL判定的前提是“斜边+直角边”，误用两条直角边套用HL。 1．（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025·北京·模拟预测）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连接，取中点，连接，则最小值为 ． 考点五 全等三角形的应用 1. 证明线段相等或角相等 思路：证明两条线段（或两个角）所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的对应边（角）相等得出结论。 2. 证明线段的和差关系 思路：通过全等三角形进行线段转化，将分散的线段集中到同一条直线上，再证明和差关系。 3. 实际应用 利用全等三角形测距离（如测量池塘两端的距离），原理是“全等三角形对应边相等”。 4. 与坐标系结合 已知坐标系中三角形的顶点坐标，通过计算边长、角度，判定三角形是否全等；或利用全等性质求未知点的坐标。 1．（2023·北京门头沟·二模）如图，在中，，点在延长线上，且，将延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，连接，过点作于．    (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，的数量关系，并证明． 2．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 3．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 命题点一 三角形的基础 ►题型01 三角形的高 1.高的位置判断失误：误认为所有三角形的高都在内部，忽略钝角三角形两条高在外部（需延长对边作垂线），直角三角形两条高与直角边重合，仅斜边的高在内部。 2.高的画法错误：作高时未用垂线，画成斜线；或垂足未落在对边（或对边延长线）上；钝角三角形作高时，漏延长对边直接画垂线。 3.概念混淆：将高与中线、角平分线混淆，误把“连接顶点和对边中点的线段”“平分内角的线段”当作高（高的核心是垂直对边）。 4.高的数量漏数：忽略“任意三角形都有3条高”，误认为直角三角形只有1条高（实际直角边是两条高，斜边1条高）。 5.面积公式求高变形错误：已知面积和底求高时，忘记面积公式变形需乘2，（正确应为）。 6.高与底的对应关系混乱：计算面积或求高时，底和高不对应（高必须是对应底边上的垂线），如用边a的长度搭配边b上的高计算。 【典例】（2024·北京海淀）如图，在中，，通过测量，并计算的面积，所得面积与下列数值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ． 【变式2】（2025·北京·三模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 题型02 三角形的中线 1.概念混淆：将中线与高、角平分线混淆，误把“垂直对边的线段”（高）或“平分内角的线段”（角平分线）当作中线，忽略中线连接顶点与对边中点的核心定义。 2.中点判定失误：作中线时未准确找到对边中点，仅连接顶点与对边上任意一点，导致画出的线段不是真正的中线。 3.数量与交点认知错误：忽略“任意三角形都有3条中线”，漏数中线数量；记错中线交点性质，误认为三条中线不交于一点，或混淆重心定义（中线交点为重心）。 4.重心比例记忆偏差：记错重心分中线的比例关系，误将“重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”记成1:1或其他比例。 5.性质应用错误：混淆中线的面积性质，误认为中线分三角形所得的两部分周长相等（实际是面积相等）；忽略“三角形一条中线分原三角形为面积相等的两个小三角形”的结论。 6.等腰三角形中线混淆：误将等腰三角形腰上的中线当作“三线合一”的线段，忽略只有底边上的中线才同时具备高、角平分线的性质。 【典例】（2025·北京海淀）如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【变式1】（2025·北京西城）如图，在中，． (1)尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） (2)由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； (3)取边的中点D，连接，画出边上的高； (4)若的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 【变式2】（2025·北京海淀）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． ►题型01 三角形的重心 1.概念混淆：将重心与垂心、内心、外心混淆，忽略重心的核心定义——三角形三条中线的交点（垂心是高的交点、内心是角平分线的交点、外心是垂直平分线的交点）。 2.比例关系记反：记错重心分中线的比例，误将“重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1”记成1:2，或混淆比例的前后项对应关系。 3.存在性认知错误：误认为只有等腰/等边三角形才有重心，或认为三角形有多个重心；实际任意三角形有且只有一个重心，三条中线必交于一点。 4.重心位置误判：混淆重心与垂心的位置，误认为钝角三角形的重心在三角形外部（重心始终在三角形内部，钝角三角形的垂心才在外部）。 5.面积性质应用失误：忽略“三条中线将三角形分成6个面积相等的小三角形”的性质，误判分割后小三角形的面积关系；或错误认为中线分三角形的面积比由重心决定（实际单条中线就将三角形分成面积相等的两部分）。 6.计算时对应关系混乱：利用重心求线段长度时，未找准中线对应的顶点和对边中点，导致比例代入错误；例如将非中线的线段套用2:1的比例计算。 【典例】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【变式1】如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【变式2】（2025·北京朝阳）综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 命题点二 三角形的基本类型 ►题型01 三角形的角平分线 1. 概念混淆：误将三角形角平分线（线段）与角的平分线（射线）等同；和高、中线的核心属性混淆。 2. 交点误认：混淆内心（角平分线交点）与重心、外心等；误判内心在三角形外部（内心始终在内部）。 3. 性质误用：错将腰上的角平分线套用等腰三角形“三线合一”；误记内心到顶点距离相等（实际是到三边距离相等）；认为角平分线一定平分对边（仅等腰顶角平分线具备）。 4. 计算失误：角度计算时漏用“角平分线平分内角”的性质。 【典例】（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【变式1】（2025·北京模拟）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京顺义）尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹） (1)在中，作边的中线，并延长至点N，使； (2)在中，作角平分线； 题型02 与三角形有关的角 1. 内角和误用：记错三角形内角和为180°；与多边形内角和公式混淆。 2. 外角性质错：漏记外角等于不相邻两内角和；混淆外角和（360°）与内角和。 3. 等腰三角形角计算漏解：忽略已知角可能是顶角/底角；未排除底角为钝角的情况。 4. 直角三角形角关系疏漏：忘记两锐角互余。 5. 三角形分类误判：认为有一个锐角就是锐角三角形；误以为钝角三角形可有两个钝角。 6. 外角认知偏差：漏数外角个数；误认外角与相邻内角的关系。 【典例】（2025·北京朝阳）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 【变式1】如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)以点C为圆心，为半径画弧，交边于点Q，连接，延长交于点M． ①请你依据题意，补全图形； ②试判断线段、与之间的数量关系，并证明． 【变式2】（2025·北京东城·二模）如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 命题点三 全等三角形的定义与性质 题型01 全等三角形的概念及性质 1. 混淆全等与相似，忽略全等需形状、大小均相同。 2. 对应顶点书写无序，导致对应边、角找错。 3. 误将面积/周长相等当作全等判定条件。 4. 复杂图形中对应边、角匹配错误。 5. 漏记对应中线、高、角平分线等相等。 6. 用全等性质反向证明三角形全等，逻辑倒置。 【典例】（2024·北京·三模）如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】（2024·北京石景山）如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明． 【变式】（2015·北京怀柔）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE． （1）求∠DCE的度数； （2）当AB＝4，AD∶DC＝1∶3时，求DB的长． 命题点四 全等三角形的判定 题型01 用SSS证明三角形全等（SSS） 1.对应边匹配错误：复杂图形中未找准对应边，误将非对应三边相等当作SSS判定条件；忽略公共边的对应关系，漏用公共边相等的隐含条件。 2.边的条件偷换：误把“周长相等”“面积相等”等同于“三边对应相等”，或用中线、高的长度代替三角形的边长进行判定。 3.书写规范疏漏：全等三角形表示时对应顶点顺序混乱，导致后续边、角对应关系错位，违背SSS的对应逻辑。 4.逻辑因果倒置：未证三边对应相等就直接用SSS判定全等，或用全等性质反推边相等来凑SSS条件。 5.边长计算失误：涉及线段和差、折叠等情景时，边长推导错误，导致三边相等的条件不成立。 【典例】（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式2】下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：∠AOB． 求作：一个角，使它等于∠AOB． 作法：如图 （1）作射线O'A'； （2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D； （3）以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'； （4）以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'； （5）过点D'作射线O'B'． 则∠A'O'B'就是所求作的角． 请回答：该作图的依据是 ． 题型02 全等的性质和SAS综合 1. SAS核心条件记错：误将“两边及夹角”换成“两边及其中一边的对角”（SSA），满足此条件不能判定全等，后续套用全等性质必错。 2.对应关系混乱：SAS证全等时对应顶点书写无序，导致全等性质应用时，对应边、角、中线等匹配错误。 3.逻辑因果倒置：未用SAS证出全等，就直接套用全等性质推导边/角相等；或用全等性质得出的边相等，反过来凑SAS条件。 4.隐含条件漏用：忽略公共边、公共角（夹角）等隐含条件，额外添加无关条件证明SAS，徒增错误。 5.线段推导失误：涉及线段和差、折叠等情景时，边长计算错误导致SAS的“两边”不对应相等，后续性质应用失去基础。 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【变式1】（2025·北京·一模）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（2025·北京·一模）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 题型03 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 1.混淆ASA与AAS条件：误将ASA的两角夹边记成两角对边，或把AAS写成AAA；错用“两边一角”思路套用到角角边判定中。 2.对应关系错位：顶点书写无序，导致ASA的夹边、AAS的对边与对应角匹配错误；复杂图形中找错公共角、对顶角等隐含相等角。 3.逻辑因果倒置：未用ASA/AAS证出全等，就直接套用全等性质推导边、角相等；或用全等性质的结论反推判定条件。 4.漏用隐含条件：忽略公共角、对顶角、角平分线等能直接得角相等的条件，额外添加无关条件凑判定。 5.判定与性质混用：用全等性质（如对应边相等）代替ASA/AAS的角、边条件，导致判定依据不足。 【典例】（2025·北京大兴）如图，点D，E分别在线段，上，，相交于点O．给出下面三个结论：①；②若，，，则；③若，，则点在的角平分线上．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，，点为三边垂直平分线的交点，．绕点旋转，分别交线段于点两点（点不与点重合），连接．给出下列四个结论：；四边形的面积始终保持不变；；的周长最小值为．上述结论中，正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型04 全等的性质和HL综合（HL） 1.适用范围混淆：将HL判定用在非直角三角形上，忽略HL仅适用于直角三角形的核心前提。 2.判定条件记错：误将HL的“斜边+一条直角边对应相等”记成“两条直角边相等”（实为SAS），或“斜边+任意边相等”。 3.对应关系错位：直角三角形顶点书写无序，导致斜边与直角边对应错误；混淆两个直角三角形的直角边对应关系。 4.隐含条件漏用：忽略直角三角形的直角相等这一隐含条件，证明时未明确写出，导致HL判定依据不完整。 5.逻辑因果倒置：未用HL证出全等，就直接套用全等性质推导边、角相等；或用全等性质的结论反推HL的边相等条件。 6.性质应用失误：HL证全等后，混淆对应边、对应角的匹配关系，误用非对应元素的相等性质。 【典例】（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025·北京东城·一模）如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 命题点五 全等三角形的应用 题型01 全等三角形的应用 1. 判定方法误用：错用SSA、AAA判定全等；将HL用在非直角三角形，或混淆SAS/ASA/AAS的适用条件。 2. 对应关系混乱：复杂图形中找错对应顶点、边、角，顶点书写无序导致后续性质应用错位。 3. 隐含条件漏用：忽略公共边、公共角、对顶角、角平分线/中线性质等，无法凑齐判定条件。 4. 逻辑因果倒置：未证全等就直接套用全等性质，或用全等性质反推判定条件，论证不严谨。 5. 折叠旋转场景失误：误判折叠/旋转后全等的对应元素，漏用“折叠后对应边、角相等”的隐含条件。 【典例】如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①平分；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025·北京海淀）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【变式2】（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 突破一 结合尺规作图的全等问题 【典例】（2024·北京海淀）如图，，．点在射线上． （1）若要利用上图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．则在画图时，选取的的长可以为 ； （2）若对于射线上的点，的形状，大小是唯一确定的，则长度的取值范围是 【变式1】（2024·北京丰台·二模）如图，等边中，过点在的右侧作射线，设．点与点关于直线对称，连接，且分别交射线于点．    (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式】（2023·北京海淀）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 突破二 连接两点构造全等三角形 【典例】如图，为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，N为中点，延长至点M，交于点G，使得，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤若， ， ，则．其中正确的个数为（　　）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【变式2】已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 突破三 倍长中线模型 【典例】（2023·北京西城）如图所示，在中，，，中线，则长为 ． 【变式1】（2025·北京）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 【变式2】阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 突破四 旋转模型 【典例】（2024·北京房山）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC． （1）当点P与点A重合时，如图2． ①根据题意在图2中完成作图； ②判断EC与BC的位置关系并证明． （2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM＝EC，并证明． 【变式1】（2024·北京丰台）如图，在中，，，点P在线段，作射线，将射线绕点C逆时针旋转，得到射线，过点A作于点D，交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式2】（2020·北京门头沟·一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE． （1）如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系； （2）如图2，当点D在线段AB上时， ① 根据题意补全图2； ② 猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明． 突破五 全等三角形综合问题 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 【变式1】（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点． (1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． (2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明． 【变式2】（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．给出下面四个结论： ①平分； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 1．（2023·北京平谷）利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定 4．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论： ①分别以为直径的圆的面积比为； ②； ③与的面积和为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2025·北京昌平·二模）连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接OF，则有； ③； ④连接BC，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 6．（2025·北京石景山·二模）在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中， ①如果，则； ②如果，则； ③如果为的垂直平分线，则； ④如果与相互垂直且平分，则； 所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 7．（2023·北京石景山·二模）如图，在中，，，平分交于点，点是上一点且． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 8．（2024·北京海淀）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC的边BC上的高AD． 作法：如图2， （1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E； （2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 9．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 10．（2024·北京·模拟预测）如图，在等边中，D是的延长线上一动点，连接，点E在线段上（不与端点重合），将射线绕点B逆时针旋转得到的射线与射线交于点F． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点E的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段的长（用含a的式子表示） 1．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 2．如图，∠AOB＝10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……    请按照上面的要求继续操作并探究： ∠P3 P2 P4＝ °；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n＝ ． 3．（2025·北京西城·模拟预测）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是 ． 5．（2024·北京丰台）如图，正方形和，，，连接，．若绕点旋转，当最大时， ． 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 3．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 5．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            6．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第15讲 三角形与全等三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 24 命题点一 三角形的基础 题型01三角形的高 题型02三角形的中线 题型03三角形的重心 命题点二 三角形的基本类型 题型01三角形的角平分线 题型02与三角形有关的角 命题点三 全等三角形的定义与性质 题型01全等三角形的概念及性质 命题点四 全等三角形的判定 题型01用SSS证明三角形全等 题型02全等的性质和SAS综合 题型03全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型04全等的性质和HL综合 命题点五 全等三角形的应用 题型01全等三角形的应用 05·重难突破·思维进阶难 74 突破一 结合尺规作图的全等问题 突破二 连接两点构造全等三角形 突破三 倍长中线模型 突破四 旋转模型 突破五 全等三角形综合问题 06·优题精选·练能提分 103 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的基本性质（内角和、三边关系） 北京卷T7，T14（三角形内角和定理） / / 1. 掌握三角形内角和定理及外角性质；2. 理解三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形；3. 掌握等腰、等边三角形的性质与判定。 全等三角形的判定定理 北京卷T7，T27（用SSS,SAS判定三角形全等） 北京卷T7（用SSS判定三角形全等） 北京卷T27（SAS判定三角形全等） 1. 掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS；2. 掌握直角三角形特有的判定定理HL；3. 能根据已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等。 全等三角形的性质及应用 / / 北京卷T8，T27（全等三角形的性质） 1. 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、对应线段（中线、角平分线、高）相等；2. 能利用全等性质进行线段、角度的计算与证明。 全等三角形与图形变换的结合 / 北京卷T8,T27（旋转背景下全等三角形） / 1. 理解平移、旋转、折叠前后图形的全等关系；2. 能在图形变换情境中运用全等三角形的判定与性质解决问题。 命题预测 1. 三角形三边关系、内角和与外角性质的基础计算，等腰三角形的分类讨论（顶角、底角不确定时）仍是高频考点； 2. 全等判定的条件辨析（如SSA不能判定全等的反例考查），直角三角形HL判定的应用； 3. 全等三角形与平移、旋转、折叠的结合，可能融入网格背景或实际生活情境（如测量距离）。 考点一 三角形的基础概念与分类 1. 三角形的定义 由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形，记作 。 2. 三角形的分类 分类标准 类型 核心特征 按边分类 不等边三角形 三边都不相等 等腰三角形 至少两边相等（含等边三角形） 等边三角形 三边都相等（特殊的等腰三角形） 按角分类 锐角三角形 三个内角都是锐角（小于90°） 直角三角形 有一个内角是直角（等于90°） 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于90°） 3. 三角形的重要线段（中考高频基础考点） 线段类型 定义 核心性质 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于重心；中线分三角形为面积相等的两部分 角平分线 平分内角且与对边相交的线段 三条角平分线交于内心；角平分线上的点到角两边的距离相等 高线 从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段 三条高线交于垂心；锐角三角形的高在内部，直角三角形的两条高为直角边，钝角三角形的两条高在外部 中位线 连接两边中点的线段 中位线平行于第三边且长度等于第三边的一半（北京中考必考） 易错点提示 混淆三角形的“中线” “角平分线” “高线”的定义与性质； 忽略直角三角形、钝角三角形高线的位置，误认为所有高线都在三角形内部。 1．（2025·北京顺义）已知的一个角的度数为另外两个角度数的和，这个三角形为 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形内角和等于列出等量关系．根据三角形内角和定理，设一个角等于另外两个角的和，代入内角和公式，得出该角为，从而确定三角形类型． 【详解】解：设的三个内角分别为，，，且， 由三角形内角和定理，得， 将代入，得， 即， 所以， 因此， 故为直角三角形， 故答案为：直角． 2．（2025·北京大兴）如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有 个直角三角形，有 个钝角三角形． 【答案】 5 2 【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：6；2． 3．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)， (2)， (3)等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 考点二 三角形的基本类型 1. 三边关系定理（高频选择/填空考点） 三角形任意两边之和 大于 第三边； 三角形任意两边之差 小于 第三边。 应用：判断三条线段能否组成三角形；求第三边的取值范围（已知两边 ，则 第三边 ）。 2. 内角和与外角性质（核心计算考点） 内角和定理：三角形的内角和为 （可通过平行线性质证明）； 直角三角形的两个锐角 互余； 等边三角形的每个内角都为 。 外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角 大于 任意一个与它不相邻的内角。 应用：求三角形内、外角的度数；证明角的相等或不等关系。 易错点提示 应用三边关系时，忽略“任意”二字，仅验证一组两边之和大于第三边； 1.（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 2．（2024·北京西城）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·北京西城）如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系、勾股定理，确定的最大值时点P的位置是本题的关键．由可知点P在以为直径的圆上，作辅助圆O，确定当P、O、D共线时，最大，最大值即为的长，先根据勾股定理计算的长，就是半径的长，可得的长． 【详解】解：∵， ∴点P在以为直径的圆上， 取的中点为O，画半圆，如图，连接，连接并延长交圆于， ∵在中，， ∴当P、O、D共线时，的长最大，最大值即为的长， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三 全等三角形的定义与性质 1. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的性质（中考必用） 对应边 相等； 对应角 相等； 对应线段（中线、角平分线、高线）相等，周长相等，面积相等。 1.（2025·北京通州·一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形是正方形．如果，四边形的面积为25，那么的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键；根据全等三角形的性质可得， ，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， ， ， 正方形的面积为25， ， 设，则， ， ， 解得：（舍）， ， ， ， 故答案为：7． 2．（2024·北京西城·二模）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由全等三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，根据平行线的性质及全等三角形的性质求出，根据三角形三边关系求出，结合全等三角形的性质求出是等腰直角三角形，进而求出，再根据相似三角形的判定与性质求出，据此判断即可，熟记相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 如图，设交于点， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， 综上，，故正确，符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确，符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 考点四 全等三角形的判定 1. 基本判定定理（高频证明考点） 判定定理 符号表示 适用条件 易错点提示 三边对应相等 SSS 任意三角形 直接用于证明三角形全等，无需角的条件 两边及其夹角对应相等 SAS 任意三角形 必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 两角及其夹边对应相等 ASA 任意三角形 夹边需在两角之间 两角及其中一角的对边对应相等 AAS 任意三角形 区别于ASA，对边不与两角相邻 2. 直角三角形的特殊判定定理 HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。 易错点提示 用SAS判定时，误将“两边的对角”当作夹角； 忽略直角三角形HL判定的前提是“斜边+直角边”，误用两条直角边套用HL。 1．（2025·北京·一模）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是     A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确； ， 在中，，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合运用，找到作图过程中的隐含条件是解题的关键． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连接，取中点，连接，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值．在上截取，证明和全等，得到，则，由此得出最小值． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧 ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 考点五 全等三角形的应用 1. 证明线段相等或角相等 思路：证明两条线段（或两个角）所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的对应边（角）相等得出结论。 2. 证明线段的和差关系 思路：通过全等三角形进行线段转化，将分散的线段集中到同一条直线上，再证明和差关系。 3. 实际应用 利用全等三角形测距离（如测量池塘两端的距离），原理是“全等三角形对应边相等”。 4. 与坐标系结合 已知坐标系中三角形的顶点坐标，通过计算边长、角度，判定三角形是否全等；或利用全等性质求未知点的坐标。 1．（2023·北京门头沟·二模）如图，在中，，点在延长线上，且，将延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，连接，过点作于．    (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）按要求作图即可； （2）根据平移的性质可求，再求，即可得证； （3）连接、，可证，从而可得，，再证，从而可得，，从而可证，即可得证． 【详解】（1）解：如图    （2）证明：由平移得： ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：． 理由：如图，连接、，   ， ， 在和中 ， ()， ，； ， ， ； 由平移得：； 在和中 ， ()， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 2．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中， ，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考： （1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，当 时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①，② 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长，交 于点，设，则，解答即可． ②根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，， ， ， ， ． （2） ① 解：如图2，延长，交于点， ， ， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ， 故答案为； ② 解：如图3， ，，， ． 由旋转的性质知，，，， ，当 时， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，图见解析，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质是关键． （1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）按照题意补全图形，证明，，．即可得到结论； 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． （2）解：补全图形如图所示． 线段与之间的数量关系：． 证明：在上取点，使得，连接． ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． ∵点为的中点， ∴． 设，，则，． ∴． ∴． ∴． 命题点一 三角形的基础 ►题型01 三角形的高 1.高的位置判断失误：误认为所有三角形的高都在内部，忽略钝角三角形两条高在外部（需延长对边作垂线），直角三角形两条高与直角边重合，仅斜边的高在内部。 2.高的画法错误：作高时未用垂线，画成斜线；或垂足未落在对边（或对边延长线）上；钝角三角形作高时，漏延长对边直接画垂线。 3.概念混淆：将高与中线、角平分线混淆，误把“连接顶点和对边中点的线段”“平分内角的线段”当作高（高的核心是垂直对边）。 4.高的数量漏数：忽略“任意三角形都有3条高”，误认为直角三角形只有1条高（实际直角边是两条高，斜边1条高）。 5.面积公式求高变形错误：已知面积和底求高时，忘记面积公式变形需乘2，（正确应为）。 6.高与底的对应关系混乱：计算面积或求高时，底和高不对应（高必须是对应底边上的垂线），如用边a的长度搭配边b上的高计算。 【典例】（2024·北京海淀）如图，在中，，通过测量，并计算的面积，所得面积与下列数值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出AB边上的高，测量出长度，依据三角形面积公式计算即可得到结果. 【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则CD为AB边上的高， 经过测量，CD≈2cm 所以， 故选：D. 【点睛】此题主要考查了三角形面积的计算，测量出CD和长度是解答此题的关键. 【变式1】（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形中，，可得 ，，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：32． 【变式2】（2025·北京·三模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】连接交于，连接，判定四边形是平行四边形，得到的面积，因此的面积，求出的面积，得到的面积的面积，即可得到答案．本题考查三角形的面积，平行四边形的判定和性质，关键是求出的面积，得到的面积的面积． 【详解】解：连接交于，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积的面积． 故答案为：． 题型02 三角形的中线 1.概念混淆：将中线与高、角平分线混淆，误把“垂直对边的线段”（高）或“平分内角的线段”（角平分线）当作中线，忽略中线连接顶点与对边中点的核心定义。 2.中点判定失误：作中线时未准确找到对边中点，仅连接顶点与对边上任意一点，导致画出的线段不是真正的中线。 3.数量与交点认知错误：忽略“任意三角形都有3条中线”，漏数中线数量；记错中线交点性质，误认为三条中线不交于一点，或混淆重心定义（中线交点为重心）。 4.重心比例记忆偏差：记错重心分中线的比例关系，误将“重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”记成1:1或其他比例。 5.性质应用错误：混淆中线的面积性质，误认为中线分三角形所得的两部分周长相等（实际是面积相等）；忽略“三角形一条中线分原三角形为面积相等的两个小三角形”的结论。 6.等腰三角形中线混淆：误将等腰三角形腰上的中线当作“三线合一”的线段，忽略只有底边上的中线才同时具备高、角平分线的性质。 【典例】（2025·北京海淀）如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得；得到对应角相等，对应边相等，推导出，证得，转化线段关系，即可得到． 【详解】 延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 【变式1】（2025·北京西城）如图，在中，． (1)尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） (2)由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； (3)取边的中点D，连接，画出边上的高； (4)若的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的性质可得答案． （3）先作的垂直平分线找到的中点D，连接，再结合三角形的高的定义过点B作的垂线即可． （4）由题意得，即，求出即可． 本题主要考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的基本方法，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． （3）如图，即为所求． （4）点D为边的中点，的面积是20， ， ， ， 故答案为： 【变式2】（2025·北京海淀）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）48 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，， ，， ∵， ∴的面积为． ►题型01 三角形的重心 1.概念混淆：将重心与垂心、内心、外心混淆，忽略重心的核心定义——三角形三条中线的交点（垂心是高的交点、内心是角平分线的交点、外心是垂直平分线的交点）。 2.比例关系记反：记错重心分中线的比例，误将“重心到顶点的距离:重心到对边中点的距离=2:1”记成1:2，或混淆比例的前后项对应关系。 3.存在性认知错误：误认为只有等腰/等边三角形才有重心，或认为三角形有多个重心；实际任意三角形有且只有一个重心，三条中线必交于一点。 4.重心位置误判：混淆重心与垂心的位置，误认为钝角三角形的重心在三角形外部（重心始终在三角形内部，钝角三角形的垂心才在外部）。 5.面积性质应用失误：忽略“三条中线将三角形分成6个面积相等的小三角形”的性质，误判分割后小三角形的面积关系；或错误认为中线分三角形的面积比由重心决定（实际单条中线就将三角形分成面积相等的两部分）。 6.计算时对应关系混乱：利用重心求线段长度时，未找准中线对应的顶点和对边中点，导致比例代入错误；例如将非中线的线段套用2:1的比例计算。 【典例】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 【变式1】如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题的关键．先根据，是的中线，得出点F为的重心，，，得出，，然后根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，进行解答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的中线， ∴点F为的重心，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式2】（2025·北京朝阳）综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 【答案】（1）;（2）见解析 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）根据规律，直接写出式子即可； （2）建立直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分，得到，求出两部分面积，再根据（1）的式子求解即可． 【详解】（1）解：依据上述规律可得； （2）解：如图，建立平面直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分， 设该工件重心为，正方形的重心为，长方形的重心为， ， 又正方形的面积为，长方形的面积为， ， 设该工件重心为． 命题点二 三角形的基本类型 ►题型01 三角形的角平分线 1. 概念混淆：误将三角形角平分线（线段）与角的平分线（射线）等同；和高、中线的核心属性混淆。 2. 交点误认：混淆内心（角平分线交点）与重心、外心等；误判内心在三角形外部（内心始终在内部）。 3. 性质误用：错将腰上的角平分线套用等腰三角形“三线合一”；误记内心到顶点距离相等（实际是到三边距离相等）；认为角平分线一定平分对边（仅等腰顶角平分线具备）。 4. 计算失误：角度计算时漏用“角平分线平分内角”的性质。 【典例】（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·北京模拟）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·北京顺义）尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹） (1)在中，作边的中线，并延长至点N，使； (2)在中，作角平分线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、作一条线段等于已知线段、作已知角的平分线，掌握基本作图的方法是关键； （1）先利用尺规作线段的垂直平分线，交于点M，再在射线上截取即可； （2）利用尺规作已知角的平分线的作图方法解答即可. 【详解】（1）解：如图，中线，点N如图所示： （2）解：的角平分线如图所示： 题型02 与三角形有关的角 1. 内角和误用：记错三角形内角和为180°；与多边形内角和公式混淆。 2. 外角性质错：漏记外角等于不相邻两内角和；混淆外角和（360°）与内角和。 3. 等腰三角形角计算漏解：忽略已知角可能是顶角/底角；未排除底角为钝角的情况。 4. 直角三角形角关系疏漏：忘记两锐角互余。 5. 三角形分类误判：认为有一个锐角就是锐角三角形；误以为钝角三角形可有两个钝角。 6. 外角认知偏差：漏数外角个数；误认外角与相邻内角的关系。 【典例】（2025·北京朝阳）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 【变式1】如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系，并证明； (2)以点C为圆心，为半径画弧，交边于点Q，连接，延长交于点M． ①请你依据题意，补全图形； ②试判断线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，尺规作图作线段． （1）证明，，可得结论； （2）①根据要求作出图形； ②连接，在线段上截取线段，使得，证明，得到，证明是等边三角形，进而证明，得到，即可得结论． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①解：图形如图所示： ②解：结论：． 理由：如图，连接，在线段上截取线段，使得 ∵，，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴（）， ∴， ∴． 【变式2】（2025·北京东城·二模）如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由三角形外角的性质和等边对等角可得，则，由垂线的定义可得，则； （2）过点作的对称点，连接、，则，，可证明，，则，证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下 如图，过点作的对称点，连接、，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 命题点三 全等三角形的定义与性质 题型01 全等三角形的概念及性质 1. 混淆全等与相似，忽略全等需形状、大小均相同。 2. 对应顶点书写无序，导致对应边、角找错。 3. 误将面积/周长相等当作全等判定条件。 4. 复杂图形中对应边、角匹配错误。 5. 漏记对应中线、高、角平分线等相等。 6. 用全等性质反向证明三角形全等，逻辑倒置。 【典例】（2024·北京·三模）如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、三角形的三边关系、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系即可得①正确；在中，利用勾股定理即可得②正确；利用直角梯形的面积公式即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，结论①正确； 在中，，即， ∴，结论②正确； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴，结论③正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 【变式1】（2024·北京石景山）如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题目步骤作图即可； （2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到； （3）由（2）中全等可得到，即可推理出． 【详解】（1）依题意补全图形如下： （2）过E作EM⊥BC于M 在和中 ∴(AAS) ∴ ∵ ∴ ∵BE⊥BF ∴ 在和中 ∴ (ASA)， ∴ （3），证明如下：   由（2）得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等． 【变式】（2015·北京怀柔）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE． （1）求∠DCE的度数； （2）当AB＝4，AD∶DC＝1∶3时，求DB的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题意我们知道，通过全等三角形得出，就能得出的结论； （2）由（1）可得出是个直角三角形，可根据勾股定理求出DE的长，根据角的关系证明是等腰直角三角形，所以要求DB的长，就必须求出DE的长即可解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）在等腰直角三角形ABC中，∵， ∴， ∵， ∴，． 由（1）得：且， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质，勾股定理等知识，利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键． 命题点四 全等三角形的判定 题型01 用SSS证明三角形全等（SSS） 1.对应边匹配错误：复杂图形中未找准对应边，误将非对应三边相等当作SSS判定条件；忽略公共边的对应关系，漏用公共边相等的隐含条件。 2.边的条件偷换：误把“周长相等”“面积相等”等同于“三边对应相等”，或用中线、高的长度代替三角形的边长进行判定。 3.书写规范疏漏：全等三角形表示时对应顶点顺序混乱，导致后续边、角对应关系错位，违背SSS的对应逻辑。 4.逻辑因果倒置：未证三边对应相等就直接用SSS判定全等，或用全等性质反推边相等来凑SSS条件。 5.边长计算失误：涉及线段和差、折叠等情景时，边长推导错误，导致三边相等的条件不成立。 【典例】（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴； 故选：D． 【变式1】（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 【变式2】下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：∠AOB． 求作：一个角，使它等于∠AOB． 作法：如图 （1）作射线O'A'； （2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D； （3）以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'； （4）以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'； （5）过点D'作射线O'B'． 则∠A'O'B'就是所求作的角． 请回答：该作图的依据是 ． 【答案】SSS或全等三角形的对应角相等 【分析】根据作图可得DO=D′O′，CO=C′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△D′O′C′≌△DOC即可得出∠O'=∠O．由此即可解决问题． 【详解】解：由题可得，DO=D′O′，CO=C′O′，CD=C′D′， ∵在△COD和△C′O′D′中， ∴△D′O′C′≌△DOC（SSS）， ∴∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）． 故答案为SSS或全等三角形的对应角相等． 【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌 握三角形全等的判定方法． 题型02 全等的性质和SAS综合 1. SAS核心条件记错：误将“两边及夹角”换成“两边及其中一边的对角”（SSA），满足此条件不能判定全等，后续套用全等性质必错。 2.对应关系混乱：SAS证全等时对应顶点书写无序，导致全等性质应用时，对应边、角、中线等匹配错误。 3.逻辑因果倒置：未用SAS证出全等，就直接套用全等性质推导边/角相等；或用全等性质得出的边相等，反过来凑SAS条件。 4.隐含条件漏用：忽略公共边、公共角（夹角）等隐含条件，额外添加无关条件证明SAS，徒增错误。 5.线段推导失误：涉及线段和差、折叠等情景时，边长计算错误导致SAS的“两边”不对应相等，后续性质应用失去基础。 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由即可判断②；然后证明，根据对应角相等以及等腰直角三角形锐角为即可证明③；对等腰直角运用勾股定理即可判断①；对运用勾股定理判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即：，故②正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确， ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号①②③④， 故选：A． 【变式1】（2025·北京·一模）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故结论①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论③正确； 如图，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，结论正确的是①③④， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·北京·一模）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 故结论①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论③正确； 如图，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，结论正确的是①③④， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型03 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 1.混淆ASA与AAS条件：误将ASA的两角夹边记成两角对边，或把AAS写成AAA；错用“两边一角”思路套用到角角边判定中。 2.对应关系错位：顶点书写无序，导致ASA的夹边、AAS的对边与对应角匹配错误；复杂图形中找错公共角、对顶角等隐含相等角。 3.逻辑因果倒置：未用ASA/AAS证出全等，就直接套用全等性质推导边、角相等；或用全等性质的结论反推判定条件。 4.漏用隐含条件：忽略公共角、对顶角、角平分线等能直接得角相等的条件，额外添加无关条件凑判定。 5.判定与性质混用：用全等性质（如对应边相等）代替ASA/AAS的角、边条件，导致判定依据不足。 【典例】（2025·北京大兴）如图，点D，E分别在线段，上，，相交于点O．给出下面三个结论：①；②若，，，则；③若，，则点在的角平分线上．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握好三角形外角的性质，作辅助线，构造出全等三角形． 由三角形外角的性质可得，，可判断①；由题意可得，，，可判断②；连接，根据题意可得，得到，根据题意可得，，得到，得到，，即，从而得到，可判断③． 【详解】解：由三角形外角的性质可得，， ∴，①正确； ∵，，， ∴， ∴，②正确； 连接，如下图： 由题意可得，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，即点在的角平分线上，③正确． 则正确的为①②③， 故选：D． 【变式1】如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【详解】解：，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，中，，，点为三边垂直平分线的交点，．绕点旋转，分别交线段于点两点（点不与点重合），连接．给出下列四个结论：；四边形的面积始终保持不变；；的周长最小值为．上述结论中，正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，，设与交于点，点为三边垂直平分线的交点，所以，，然后证明可判断；由，则，然后通过四边形的面积为即可判断；由点为三边垂直平分线的交点，则，，故有，，然后通过勾股定理即可判断；证明是等边三角形，所以，又，所以的周长为，要使的周长最小，则需最小，即需最小，利用垂线段最短，当时，即可判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设与交于点， ∵点为三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， ∴四边形的面积始终保持不变，故正确； ∵， ∴， ∵点为三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的周长为， ∴要使的周长最小，则需最小，即需最小， 由垂线段最短可得，当时，最小，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴的周长最小值为，故正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 题型04 全等的性质和HL综合（HL） 1.适用范围混淆：将HL判定用在非直角三角形上，忽略HL仅适用于直角三角形的核心前提。 2.判定条件记错：误将HL的“斜边+一条直角边对应相等”记成“两条直角边相等”（实为SAS），或“斜边+任意边相等”。 3.对应关系错位：直角三角形顶点书写无序，导致斜边与直角边对应错误；混淆两个直角三角形的直角边对应关系。 4.隐含条件漏用：忽略直角三角形的直角相等这一隐含条件，证明时未明确写出，导致HL判定依据不完整。 5.逻辑因果倒置：未用HL证出全等，就直接套用全等性质推导边、角相等；或用全等性质的结论反推HL的边相等条件。 6.性质应用失误：HL证全等后，混淆对应边、对应角的匹配关系，误用非对应元素的相等性质。 【典例】（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 【变式1】（2025·北京东城·一模）如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①连接，根据对称的性质得，，由此可判定和全等则，再证明和全等得，由此可得出，据此即可对结论①进行判断； ②根据全等三角形性质得，，则，进而得，再根据得，据此即可对结论②进行判断； ③根据，及全等三角形性质得，，则，在中，根据三角形三边之间关系得，则，进而得，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： 点关于直线的对称点为， ，， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ，， ， ， 正方形的边长为1， ， ， ， 点是边上的一动点（不与点，重合）， ， ， 即， 故结论②正确； ③正方形的边长为1，，， ，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论序号是①②③． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式2】如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上，则结论①正确； 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：， ∴， ∴的周长为 ，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：B． 命题点五 全等三角形的应用 题型01 全等三角形的应用 1. 判定方法误用：错用SSA、AAA判定全等；将HL用在非直角三角形，或混淆SAS/ASA/AAS的适用条件。 2. 对应关系混乱：复杂图形中找错对应顶点、边、角，顶点书写无序导致后续性质应用错位。 3. 隐含条件漏用：忽略公共边、公共角、对顶角、角平分线/中线性质等，无法凑齐判定条件。 4. 逻辑因果倒置：未证全等就直接套用全等性质，或用全等性质反推判定条件，论证不严谨。 5. 折叠旋转场景失误：误判折叠/旋转后全等的对应元素，漏用“折叠后对应边、角相等”的隐含条件。 【典例】如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①平分；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选D． 【变式1】（2025·北京海淀）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【变式2】（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系推导全等条件，结合全等三角形的对应边相等分析线段关系． （1）①通过直角条件推导，结合，用证；②利用全等三角形对应边相等，得、，从而推出． （2）通过推导，结合、，用证． 【详解】（1）①证明：三点都在直线m上，， ， ， ， 在和中， ； ②成立．理由如下： ，， ． （2）成立．理由如下： 如图2，， 由三角形内角和及平角性质得： ， ，， 在和中， ， ， 突破一 结合尺规作图的全等问题 【典例】（2024·北京海淀）如图，，．点在射线上． （1）若要利用上图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．则在画图时，选取的的长可以为 ； （2）若对于射线上的点，的形状，大小是唯一确定的，则长度的取值范围是 【答案】 1.2，答案不唯一 d=1或d≥2． 【分析】（1）答案不唯一，可以取BC=1.2cm（1cm＜BC＜2cm）； （2）先求出点B到AN的距离最短，再得当△ABC唯一确定时，d的取值范围． 【详解】解：（1）取BC=1.2cm， 如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等． 故答案为：答案不唯一如：BC=1.2cm． （2） 当∠ACB=90°时，点B到AN的距离最短 ∵∠A=30° ∴BC= AB＝1， ∴若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则d的取值范围是d=1或d≥2， 故答案为：d=1或d≥2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】（2024·北京丰台·二模）如图，等边中，过点在的右侧作射线，设．点与点关于直线对称，连接，且分别交射线于点．    (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)．证明见解析 【分析】（1）根据要求画出图形； （2）利用对称求解； （3）连接，在上截取，连接，证明，推出，再证明，可得结论． 【详解】（1）依题意补全图形．    （2）解：点与点关于直线对称， ． ， ， ． ． ． （3）猜想：． 证明：连接，在上截取，连接．    由（2）可知． ， 是等边三角形． ． 是等边三角形， ． ． ． ．    点与点关于直线对称， ． ， ． ． ， ． 【点睛】本题考查作图、轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式】（2023·北京海淀）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可． 【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可） 【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 突破二 连接两点构造全等三角形 【典例】如图，为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，N为中点，延长至点M，交于点G，使得，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤若， ， ，则．其中正确的个数为（　　）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】连接，交于H，连接，，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质和三角形的三边关系以及三角形的面积公式依次判断可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故①正确； 如图1，连接，交于H，连接，，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，故②正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故③错误； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【变式1】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 【详解】证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴FH=， ∴HE＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 【变式2】已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN； (2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN； (3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数. 【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中，    ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中，    ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．    ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 突破三 倍长中线模型 【典例】（2023·北京西城）如图所示，在中，，，中线，则长为 ． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，先根据全等三角形的判定定理得出，再由勾股定理的逆定理可知，再根据勾股定理得到的长度，则． 【详解】解：延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，判断出的形状，再利用勾股定理算出的长度． 【变式1】（2025·北京）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）按要求补全图形，即可求解； （2）延长至点G，使，连接，证明≌得出相等的边和角，假设，表示出相关的角，证明≌，即可得出结论； （3）取的中点O，与的交点为H，连接，得出当A、H、O三点共线时，最小，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解： ，证明如下： 如图，延长至点G，使，连接，则， 点F是线段的中点， ， 在与中， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）解：如图所示，取的中点O，与的交点为H，连接， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ∴， ， ， 当A、H、O三点共线时，最小，如下图， 此时，， 的最小值为， 由勾股定理得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键． 【变式2】阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 突破四 旋转模型 【典例】（2024·北京房山）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC． （1）当点P与点A重合时，如图2． ①根据题意在图2中完成作图； ②判断EC与BC的位置关系并证明． （2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM＝EC，并证明． 【答案】（1）①作图见解析；②EC⊥BC．证明见解析；（2）EM＝EC．证明见解析； 【分析】（1）①由题意直接根据要求画出图形即可． ②结论：EC⊥BC．证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题． （2）由题意可知当BP=时，总有EM=EC．如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①图形如图2中所示： ②结论：EC⊥BC． 理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠EAD＝∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴EC⊥BC． （2）当BP＝时，总有EM＝EC． 理由：如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN＝PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC． ∵PD＝PE，∠DPE＝∠SPN＝90°， ∴∠DPS＝∠EPN， ∵∠PSD＝∠N＝90°， ∴△DPS≌△EPN（AAS）， ∴PH＝PS，∠PSD＝∠N＝90°， ∵∠PEQ＝∠PSQ＝∠SPN＝90°， ∴四边形PNQS是矩形， ∵PS＝PN， ∴四边形PNQS是正方形， ∵BP＝，∠B＝45°，AB＝2， ∴BS＝PS＝，BC＝2， ∴BQ＝2BS＝，QC＝， ∵M是BC的中点， ∴MC＝， ∴MQ＝QC＝， ∵EQ⊥CM， ∴NQ是CM的垂直平分线， ∴EM＝EC． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题. 【变式1】（2024·北京丰台）如图，在中，，，点P在线段，作射线，将射线绕点C逆时针旋转，得到射线，过点A作于点D，交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见详解；（2）线段，，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（DE-AD）2， 【分析】（1）根据作图语句，即可补全图形： （2）线段，，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，将△ACE顺时针旋转90°得到△BCG，连结GE，证得点D在EG上，再得到∠AEC=∠BGC=∠CEG =45°，可求∠EGB=90°，在Rt△EGB中，由勾股定理，BG=AE=AD-DE，GE=ED+DG=2DE，可证． 【详解】解：（1）根据作图语句，补全图形如下： （2）线段，，之间的数量关系为：BE2=（2DE）2+（AD-DE）2，证明如下， 将△ACE顺时针旋转90°得到△BCG，连结GE， 则△ACE≌△BCG， AE=BG，CE=CG，∠AEC=∠BGC， ∵AD⊥CP，∠ECD=45°， ∴∠CED=90°-45°=45°， ∴CD=ED， ∵CE=CG，∠ECG=90°， ∴∠CEG=∠CGE=45°， ∴点D在EG上， ∴∠AEC=∠BGC=∠CEG =45°， ∴∠EGB=∠CGB+∠CGE=45°+45°=90°， 在Rt△EGB中， 由勾股定理， ∵CE=CG，， ∴ED=DG, ∵BG=AE= DE-AD，GE=ED+DG=2DE， ∴． 【点睛】本题考查作图，等腰直角三角形旋转，三角形全等变换，直角三角形的判定，勾股定理，等腰三角形性质，掌握尺规作图方法，等腰直角三角形性质，三角形全等变换，直角三角形的判定方法，勾股定理应用，等腰三角形性质是解题关键． 【变式2】（2020·北京门头沟·一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE． （1）如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系； （2）如图2，当点D在线段AB上时， ① 根据题意补全图2； ② 猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）DE=AE；（2）①补全图形见解析；②DE=AE，证明见解析. 【分析】（1）想办法证明△ADE是等边三角形即可解决问题． （2）①根据要求画出图形即可． ②首先证明△的长，△FBC都是等边三角形，再证明△ECF≌△DCB，推出∠4＝∠5＝60°，证明△EFA≌△EFC（SAS）可得结论． 【详解】解：（1）结论：DE＝AE． 理由：如图1中， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC，∠B＝60°， ∵AD＝DB， ∴CD＝AD＝DB， ∴△CDB是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°， ∵DA＝DC，DC＝DE， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE． （2）①图形如图2所示： ②如图2﹣1中，结论：DE＝AE． 理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF． ∵∠ACB＝90°，AF＝BF， ∴CF＝AF＝BF， ∵∠B＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴△ECD是等边三角形， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB， ∴∠1＝∠3， ∴△ECF≌△DCB（SAS）， ∴∠5＝∠B＝60°， ∵∠6＝60°， ∴∠4＝∠5＝60°， ∵EF＝EF，FA＝FC， ∴△EFA≌△EFC（SAS）， ∴AE＝EC， ∵EC＝ED， ∴AE＝ED． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 突破五 全等三角形综合问题 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）通过“”证明即可得证； （2）取的中点M，连接，先证明，得到，再由，得到，进而证明，得到，由得到，即可证明，得到，因此，得到，最后由即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵由旋转有， 又， ∴， ∴ （2）证明：取的中点M，连接， 由旋转可得， ∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点． (1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． (2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，图形和证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接．由旋转的性质可得．可证明垂直平分，得到．则，证明，则．即可证明． （2）作于点．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，连接． 由题意可知，． ， ∴垂直平分， ． ． ， ∴， ∴， ． ． （2）解：．证明如下： 如图，作于点． 由题意可知，． ． ， ． ． ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【变式2】（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．给出下面四个结论： ①平分； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】设，则，，利用三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，角的平分线的判定解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 设， ∵是的中点，是上一点，且， ∴，， ∴，， ， ∴，故②正确； ∴， 过点E作于点G， 则， ∴， ∴平分，；故①正确； ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴；故③正确； ∵．故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，角的平分线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 1．（2023·北京平谷）利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法错误，不符合题意； D、作法正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，如图，延长交于点H，得出，利用勾股定理即可得出，故③正确，再将进行恒等变形即可判断①正确，然后利用三角形三边关系即可判断②正确，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于点H， ∵点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形， ∴，B，C，G三点共线，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故①正确，符合题意； 在中， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 故选：D． 3．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：分解因式得：，可得或，解得：，， 当时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去； 当时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．故选B． 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系． 4．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论： ①分别以为直径的圆的面积比为； ②； ③与的面积和为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】结论①在中，由，根据勾股定理得出与的长度关系，再依据圆面积公式计算以、为直径的圆面积比．结论②在中，先利用勾股定理得到三边关系，再根据三角形三边关系判断与的大小，通过对和作差比较，得出与的大小关系． 结论③延长交于，证明，得出相关线段和面积关系，结合的面积，推导出与的面积和． 【详解】在中， ∵， ∴ ， 设直径为，直径为 ， ∴ ∴以为直径的圆面积 ， 以为直径的圆面积 ， ∴， ∴分别以，为直径的圆的面积比为，结论①正确． 在中，，，， ∴即， ，即 ． ∵， ， ， ∴ ，即 ， ∴，结论②正确． 延长交于点 ． ∵平分，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴结论③正确． 综上，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、圆的面积公式以及三角形面积的计算；解题关键是利用图形性质和相关定理建立边与边、面积与面积之间的联系来判断结论 ． 5．（2025·北京昌平·二模）连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接OF，则有； ③； ④连接BC，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查正五边形性质、圆周角定理、全等三角形判定与性质、三角形内角和及外角性质；解题关键是熟练运用上述知识，结合正五边形的对称性，通过角度和线段关系的推导来判断结论正误． 对于①：利用正五边形内角和公式求出内角，再依据圆周角定理计算度数判断对错．对于②：截取，根据正五边形轴对称性找全等条件证，推导线段关系判断．对于③：用三角形外角性质和圆周角定理计算与关系判断．对于④：由圆周角定理求角，结合三角形内角和求，依等角对等边判断． 【详解】如图：在上截取， 正五边形内角和为， ∴． 因为是正五边形， 所以，， 正五边形中心角，，故①错误． 因为五边形是正五边形，平分，平分，，． ，在中，根据三角形内角和定理，． ，即 ． 在和中： ∴， ∴，． 由正五边形性质可知，，，，． ∵，，， ∴． 已证， ∵， ∴． ∴． 又，． 在和中： ． ∴， ∴． ∵， ∴；故②正确． ∵是的外角，． 由圆周角定理，，，且， ∴，故③错误． ∵，， 在中，，， ∴． 则， ∴，故④正确． 综上，②④正确， 故选：B． 6．（2025·北京石景山·二模）在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中， ①如果，则； ②如果，则； ③如果为的垂直平分线，则； ④如果与相互垂直且平分，则； 所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质．对于①③画出图形，显然不成立；对于②，作于点，作于点，证明，即可得到②正确；对于④，证明四边形是正方形，推出，即可证明④正确． 【详解】解：如图，①如果，显然不存在，①不正确； ②如果， 如图，作于点，作于点， ∵正方形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ③如果为的垂直平分线，如图， 过正方形的中心作边的垂线，分成四个全等的小正方形， 显然，③不正确； ④如果与相互垂直且平分，如图，连接，，，， ∴四边形是菱形， 由②得， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确， 故选：B． 7．（2023·北京石景山·二模）如图，在中，，，平分交于点，点是上一点且． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）先根据等边对等角得到，再由角平分线的定义得到，则由三角形外角的性质得到，进而利用三角形外角的性质得到； （2）如图所示，在上取一点G，使得，连接，则，利用三角形外角的性质证明，则，进一步证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，在上取一点G，使得，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2024·北京海淀）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC的边BC上的高AD． 作法：如图2， （1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E； （2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 【答案】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线 【分析】利用作法和线段垂直平分线定理的逆定理可得到BC垂直平分AE,然后根据三角形高的定义得到AD为高 【详解】解：由作法得BC垂直平分AE， 所以该尺规作图的依据为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线． 故答案为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线． 【点睛】此题考查三角形高的定义，解题的关键在于利用线段垂直平分线定理的逆定理求解. 9．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质、面积法及正弦的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质得出，再结合平行四边形的判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）即可解决问题． （2）先求出的长，进一步得出的长，再过点C作的垂线，垂足为M，结合面积法求出的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 在中， ． 在中， ， 过点C作，垂足为M，如图 ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴． 10．（2024·北京·模拟预测）如图，在等边中，D是的延长线上一动点，连接，点E在线段上（不与端点重合），将射线绕点B逆时针旋转得到的射线与射线交于点F． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点E的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段的长（用含a的式子表示） 【答案】(1)详见解析 (2)点E为的中点，证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意补全图形，由等边三角形的性质，可得，从而得到，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点G，可证，由，可得，可证明，可得到，即可得，即可解答； （3）取的中点N，连接，过C作交延长线于P，可得是的中位线，从而得到E在过N且与平行的直线上运动，当时，最小，可证明，即可解答． 【详解】（1）解：补全图形如下： 证明：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ， ∵， ∴； （2）解：点E为的中点．理由如下： 过点D作，交的延长线于点G，如图： ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E为的中点； （3）解：取的中点N，连接，过C作交延长线于P，如图： 由（2）知E为中点， ∴是的中位线， ∴，即E在过N且与平行的直线上运动， ∴当时，最小， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质及应用，三角形中位线定理，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线． 1．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边． （1）利用角平分线的性质定理判断即可； （2）首先得出为的内心，进而得出，在中，推出，同理，，，，即可得出答案． 【详解】解：（1）点到每条公路的距离相等， 点是的角平分线的交点． 故答案为：角平分线； （2）共有6条线路：，，，，，， 在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 在中， 推出， 同理，，，， 最短， 故答案为：． 2．如图，∠AOB＝10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……    请按照上面的要求继续操作并探究： ∠P3 P2 P4＝ °；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n＝ ． 【答案】 40 8 【详解】分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB，∠P2P1A，∠P3P2B，∠P4P3A，…，依次得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解. 详解：由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…， 则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，∵∠BOA=10°， ∴∠P1PB=20°，∠P2P1A=30°，∠P3P2B=40°，∠P4P3A=50°，…， ∴10°n＜90°， 解得n＜9． 由于n为整数，故n=8． 故答案为40°；8． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 3．（2025·北京西城·模拟预测）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；证明和都是等边三角形，则，即可证明Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确；，，，即可得到Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误；证明，得，故④说法正确． 【详解】解：如图所示， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，同理可证， ∴，故④说法正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 4．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④． 【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 在和中， ，①正确 在和中， ；②正确 ，④正确，③不正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2024·北京丰台）如图，正方形和，，，连接，．若绕点旋转，当最大时， ． 【答案】24 【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF=8，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，8为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF=6，接着证明△ADH≌△ABF得到DH=BF=6，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】作DH⊥AE于H，如图， ∵AF=8，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，8为半径的圆上， ∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF， 在Rt△ABF中，BF= =6， ∵∠EAF=90°， ∴∠BAF+∠BAH=90°， ∵∠DAH+∠BAH=90°， ∴∠DAH=∠BAF， 在△ADH和△ABF中 ， ∴△ADH≌△ABF（AAS）， ∴DH=BF=6， ∴S△ADE=AE•DH=×6×8=24． 故答案为24． 【点睛】此题考查旋转的性质，正方形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 3．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 (4)的长为或. 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； （4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $