寒假作业11 三角函数的图象与性质（巩固培优）高一数学人教A版

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 限时练习：40min 完成时间： 月日 作业11三角函数的图像 积累运用 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2r]的图象中，五个关键点是：(0,0 0). (2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， 1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z) 函数 y=sin x y-cos x 图象 众 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 递增区间 2-号2+ [2kT-π，2k] 递减区间 2+号2k红+ π [2k,2k+元] 2 对称中心 (kr,0) 对称轴方程 X=kπ十 X=k元 2 注意： 1.y=sinx、y=cosx的最小正周期都是2π；f(x)=Asin(ox 1/12 上好每一堂课 天气：存物※ 与性质 号.，0，受-，2 50.m,-0 3沉，0,2· y=tan x {xx∈Rx≠kπ+ 2 R 奇函数 π 无 无 +p)和f(x)=Acos(@x+p)的最小 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正周期都是T= 2π 0 2. 正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数，对称中心是(km,0)(k∈Z),对称轴是直线x=kπ+C(k∈Z): 余弦函数y=coSx(x∈R)是偶函数，对称中心是 红+号0儿keZ小，发称轴是直线r=红(keZ列正 (余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点)。 3. y=sinx在 2一2+引keZ)上词递，在[2x+号2+ (k∈Z单调递减； 2 y=cosx在[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上单调递减，在[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)上单调递增。特别提 醒，别忘了k∈Z! 、 三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(a±B)=sin a cos B±cos a sin B. cos(a干B)=cos a cos B±sina sinB. tan(a士B)=tana士tan B1年tan a tan B. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2 a =2sina cos a. cos2 a =cos2 a -sin2 a =2cos2 a -1=1-2sin2 a. tan2 a =2tan a 1-tan2 a. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tana±tanB=tan(a±B)(1千tan a tanβ). (2)cos2 a =1+cos 2 a 2,sin2 a =1-cos 2 a 2. (3)1+sin2 a =(sina +cos a)2,1-sin2 a =(sina -cos a)2, 函数f(a)=asina+bcos a(a,b为常数)，可以化为f(a)=a2+b2sin(a+中)，其中tan中=ba. 例：sina±cosa=V2sin(a+乃) 三、 函数y=Asin(ox+p) 1.函数y=Asi(ox+p)表达式的确定：A由最值确定；o由周期确定；p由图象上的特殊点确定。 2.函数y=Asin(ox+p)图象的画法： @五点法”一设XE0x+0,令X0,,元沉2尔求出相应的x值，计算得出五点的坐标，猫胞 后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 3.函数y=Asin(ox+p)+k的图象与y=sinx图象间的关系： 函数图像整体的平移，只进行x和y值的加减。（左加右减，上加下减） 函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左(p>0)或向右(p<0)平移p|个单位得y=sinx+p的图 2/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 象；②函数y=sinx+p图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的一，得到函数y=sin(ox+p)的图象； ③函数y=sin(ox+p)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y=Asin(ox+p)的图象 ④函数y=Asi(ox+p)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k>0)或向下（k<0),得 y=Asin(ox+p+k的图象。 四、 三角函数的应用 1. 几个物理量：A一振幅；f=三 一频率（周期的倒数）；Ox+p一相位；p一初相； T 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1 巩固提升练 题型一三角函数的图象与性质 一、单选题 1.下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递塔的函数是（) A.y=sin 2x B.y=tan x C.yco D.y=sinx 2。函数八)=am@xo>0)的图象的扫邻两支被直线y=2所待线段长为受，则f 的值是() A.-V5 B. C.1 D.5 3 二、填空题 则函数f(x)=sin2x的值域为 三、解答题 4.已知函数f(x)=Acos(@x-+p) A>0,o>0,p< 2 的部分图象如图所示. 12 (1)求函数f(x)的解析式； 3/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 5 12 三、解答题 4.已知函数f(x)=V3 sinxcosx+cos2x+1,xeR. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； (②将f)的图象向右平移写个单位得到函数g()的图象若x-石引， _ππ 求函数g(x)的值域 题型四三角函数的应用 一、填空题 1.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由关系式 h(t)=Asin(ot+p)确定，其中A>0,0>0,|p<π，小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则 下列说法中正确的有 L11112∠ h>0 h=0 h<0 ①h)=4sint+） 5 ②t=9与t=三时小球偏离平衡位置的距离之比为2：1 ③当0<t<t时，若小球有且只有三次到达最高点，则∈(5，] ④当0<4<4，<2时，若4,4，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则sn,元=1 +t 二、解答题 2.点P在直径为AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=, (1I)求四边形ABTP的面积关于O的表达式； (②)问O为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 3.如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心O距离水面m米.以圆心0为坐标原点， 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 平行于水面为x轴，垂直于水面为y轴建系.己知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现 时（图中点P)开始计算时间， m (I)当m=4,点P在转动过程中第一次使得PP=VB时，记水轮与x轴交于点A,∠40P=“,求此时 cosa-的值： 6 (②)当m=时，求点P距离水面的高度y米，表示为时间秒的函数，并求点P第一次到达最高点所需要的 时间 4.如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心0距离水面的高度为2.5米设筒车上 的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)（在水面下d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算 时间，则d与时同：（位：秒）之间的关系为d=4smom+p+人4>00>0-受甲引 d 水面 (I)在简车转动的一周内，求点P距离水面高度h(m)关于时间t(s的函数解析式； (2)5分钟内，盛水简P在水面下的时间累计为多少秒？ 2 能力培优练 一、单选题 1.已知函数f(x)=sim2x+ 的图象向左平移φ（φ>0）个单位后关于原点对称，则的最小值为() 3 A. 6 B. C.2π 3 D. 。:函数y=sin x-石@>0在0灭 上恰有两个零点，实数®的取值范围() 6 6/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.(5,11) B.[7,13) C.(7,13] D.(5,11 3.cos22°cos38°-sin22cos52°=() A.cos16 B.-cos16 C. D分 4.V5-4sin20°+8sin320°-() 2sin20°sin480 A.25 B.3 2 3 3 C.3 D.2 二、多选题 5.下列说法正确的有() A.若a的终边经过P(5k,12),k≠0，则sina= 13 B.tan(-210)=- 3 c.函数=m2+在(上单阔递 D.若角a和角B的终边关于)轴对称，则sn（+acos明 6.已知f(x)=sinox+V3 cos@x(o>0)在区间0，π上恰有三个零点，则下列命题正确的有() A.⊙的取值范围是 811 33 B.f(x)在(0，π恰有四条对称轴 C.f(x在(0，π)恰有两个最高点 D.f(x在0，x 单调递增 20 三、填空题 7.已知函数f1=sox+p(o>0,0∈R)在区同（经，好）上羊调，且满足/月-() 函数f(x)在 7π25π 上恰有5个零点，则实数⊙的取值范围为」 四、解答题 8.已知函数f(x)=tan(5-2x. 4 (1)求函数∫(x)的单调区间； 7/12 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -≥0,0≤x<6,求MUN 9.已知f(x)=2V3 sinxcosx+2cos2x-1 (1)求函数y=∫x)的最小正周期和对称轴方程； 求y=f(x)的值域. sin(π-a）+cosπ+a) 10.已知aa+}-3.求ml-)cosir-a+2） 的值. (2)已知a,B∈ eC,元，且simo=5cos(c+FJ=-6 65,求cosB的值. 3已知ca+B1-2S5,mB-月，且a,B引 求2a+B的值. 5 1l.已知函数f(x)=cos4x+2 sinxcosx-sin4x (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； ②设锐角A8C的内角4,8，C所对的边分别为a,b,←，者a=丽，6=5，f(+-1,采 ABC的面积 3创新题型练 一、单选题 1.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休” 3 sin 2x 函数f(x)= x-2 的部分图象大致为() D. 2.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=Acos(@x+p)时，通过降噪系统产生声波曲线y=-Ac0sox+p)将噪音中和，达到降噪目的.如图，这 是某噪音的声波曲线y=Acos@x+p)(A>0,@>0,-π<p<)的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的 解析式为() 2-- 5π 6 3 A.y-sin) B.y=2sin 2x+ C.y=2cos 2x- 2π D.y=-2co 2r+ 3.水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统黄河边上的一架水车 直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A)做上记 号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B),再经过14分20秒，做记号的水斗与水面的距离为h米， 则() 0 A.he0,4) B.h(4,8) C.h∈8,10 D.h∈10,12) 4.如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构 相似.内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为5cm,此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为2.35m, 最低点距离地面的高度为1.95m,以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时 (指针尖的轨迹为表盘边沿)，若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为() s元≈0.97 12 9/12 列学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 子 亥 戌 酉 卯 申 未·午 A.220.45cm B.198.03cm C.200.45cm D.229.55cm 二、多选题 5.声音也包含着正弦函数.我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为∫的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f,3∫，4∫等，这些音叫谐音，因为其 振幅较小，我们一般不易听出来.例如，某一个复合音的函数为f(x)=sir+.sin2x+sim3x,关于f(x), 2 3 下列说法正确的是() A.2π是函数f(x)的一个周期 B.f(x)关于点（π，0）中心对称 上为增函数 D.函数y= (的值域为 sinx 6.《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一如果以时间为横轴，音高为纵轴 建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数 f(x)=Asin(@x+o) A>0,@>0,lp< 的图象上，且图象过最底点名？， 相邻最大值点与最小值点之间 的水平距离为 则下列说法正确的是() A.0p= 3 时，f(x)的值域为[-√5,2] C.f(x)在区间 3'6 上单调递增 10/12 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 三角函数的图像与性质 1、 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 2、 三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ. tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan2α＝. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝，sin2α＝. (3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2， 函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 例： 3、 函数 1. 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定。 2. 函数图象的画法： ①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 3. 函数的图象与图象间的关系： 函数图像整体的平移，只进行x和y值的加减。（左加右减，上加下减） 函数的图象纵坐标不变，横坐标向左(>0)或向右(<0)平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上()或向下()，得的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位。 4、 三角函数的应用 1. 几个物理量：A―振幅；―频率(周期的倒数)；―相位；―初相； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 三角函数的图象与性质 一、单选题 1．下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为的周期为， 当时，， 此时不单调递增，故A错误； 对于B，因为的周期为，且函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的周期为，不满足题意，故C错误； 对于D，作出的部分图象，如图所示： 由此可得函数的周期为，在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 2．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出函数的最小正周期，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 二、填空题 3．若，则函数的值域为 【答案】 【分析】由正弦函数的单调性计算可得. 【详解】由，得，则的值域为. 故答案为：. 三、解答题 4．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据余弦二倍角公式化简方程，结合换元法、对钩函数的单调性、基本不等式、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时， 代入，可得， 故， 解得， 由于， 故取，，； （2）由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使 在上有四个不同的实数根，    则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ， 当且仅当时，取等号，故．    题型二 三角恒等变换 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得. 【详解】 . 故选：A 二、填空题 2． ． 【答案】/ 【分析】由求出，再用二倍角公式结合诱导公式求出，将原式化简为求解. 【详解】因为，所以， 而以 ，且， 所以，即， 所以，解得， 所以，所以， 法1：原式 ； 法2：原式， 由和差化积公式得， 故原式； 故答案为：. 3．已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数，将函数转化为二次函数求值域即可. 【详解】因为， 令，所以函数变为， 当时，函数的最小值为， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且， 所以函数的值域为，即的值域为. 故答案为：. 三、解答题 4．已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，结合正弦函数的单调性求解单调递增区间即可； （2）根据可得，结合正弦函数图象性质求解最大最小值即可得函数值域. 【详解】（1）， 令，， 解得， 故函数的单调递增区间为； （2）当时，， 当，即时，， 当，即时， 故函数的值域为． 题型三 一、单选题 1．将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据题意结合函数对称性可得，解得，进而图象变换逐项分析判断即可. 【详解】若，则， 因为直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴， 则，解得，得，， A：将函数的图象向左平移个单位，得，不合题意，故A错误； B：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故B错误； C：将函数的图象向左平移个单位，得，符合题意，故C正确； D：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故D错误； 故选：C. 2．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换求出，进而求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，， 由，得，又函数在上单调递增， 而函数的单调递增区间为， 因此，则， 解得，而，所以. 故选：B 二、填空题 3．已知函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】从图象可以看出函数的最小正周期，进而求出，结合，求出，由求出，得到函数解析式. 【详解】从图象可以看出的最小正周期为，故， 又，故，所以，故， 又，故，故，解得， 又，即，故，故. 故答案为： 三、解答题 4．已知函数，． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，求函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简原式整理求解即可； （2）通过函数图象的平移变换得到新的函数解析式，再利用自变量的范围求解值域即可. 【详解】（1）原式， 则， 所以的最小正周期， 令， 解得， 故单调递增区间为. （2）由题意可得 ， 因为，则， 所以，，， 即的值域为. 题型四 三角函数的应用 一、填空题 1．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【分析】对于①：由题意依次求出，接着由求出即可判断； 对于②：依次求出即可判断； 对于③：由和即可求解判断； 对于④：举反例即可分析判断． 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 二、解答题 2．点在直径为的半圆上移动，过点作圆的切线，且， (1)求四边形的面积关于的表达式； (2)问为何值时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作于，用表示出相关边，再由及三角恒等变换得到四边形的面积表达式； （2）根据（1）及，结合正弦型函数的性质求面积的最大值. 【详解】（1）如图，作于，因为为直径，切圆于点，， 所以， . （2）因为，所以， 当，即时，四边形的面积最大. 3．如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【分析】（1）根据任意角定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间. 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 4．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ 【答案】(1)，. (2)100 【分析】（1）根据高度的最值确定和，由筒车转动周期求，代入初始条件求，得到关于的三角函数解析式. （2）令解三角不等式，得出一个周期内盛水筒在水面下的时间，结合5分钟的总时长计算累计时间. 【详解】（1）由图可知，的最大值为，的最小值为， 则， 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以 所以，. （2）由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟=300秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 一、单选题 1．已知函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的图象向左平移个单位后的函数解析式，然后根据其关于原点对称列出的表达式，进而求出结果. 【详解】函数的图象向左平移个单位后的函数解析式为. 因为由题意知关于原点对称，则. 即，所以， 所以，又，所以当时，取最小值为. 故选：B. 2．函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的零点性质，确定的取值范围，进而求出结果. 【详解】因为，所以. 因为函数在上恰有两个零点，而的零点为. 所以在这个区间内，的取值范围应该满足. 解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 4．（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 二、多选题 5．下列说法正确的有（    ） A．若的终边经过，则 B． C．函数在上单调递增 D．若角和角的终边关于轴对称，则 【答案】BCD 【分析】根据三角函数的定义即可判断A；根据诱导公式即可判断B；根据正切函数的单调性即可判断C；先得出的关系，再结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当，则，则在上单调递增，故C正确； 对于D，若角和角的终边关于轴对称，则， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 6．已知在区间上恰有三个零点，则下列命题正确的有（    ） A．的取值范围是 B．在恰有四条对称轴 C．在恰有两个最高点 D．在单调递增 【答案】AC 【分析】先化简，利用换元法结合正弦函数图像可判断ABC三个选项，通过A中的的取值范围结合正弦型函数的单调性判断D选项. 【详解】， 对于A，在区间上恰有三个零点，故， 如图可得，解得，故A正确； 对于BC，由图知在存在两个最高点，有三个或者四个对称轴，故B错误，C正确； 对于D：令，得递增区间为, 当时增区间为，由A知，故， 故在不一定单调递增，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由函数单调性及可得为对称中心，则在区间上单调，可得，再利用函数在区间上恰有5个零点，可得，解出即可得. 【详解】由函数在区间上单调，， 且，故为对称中心，且， 则在区间上单调，则，解得， 由函数在区间上恰有5个零点，为第一个， 则后续零点分别为、、、， 则，化简得，则， 又，故. 故答案为：. 四、解答题 8．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2)． 【分析】（1）借助正切函数的单调区间列出不等式并求解即得； （2）求出函数在上的值域，由正切函数单调性解不等式，再求出并集. 【详解】（1）， ，解得， 函数的单调递减区间为，无递增区间； （2）当有， ，， 由得，， ， 又，，， 所以． 9．已知. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若，求的值域． 【答案】(1)最小正周期，对称轴方程为（）； (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数表达式进行化简，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和对称轴方程即可； （2）结合正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】（1） ． 函数的最小正周期为， 令（），得，（）， 则的最小正周期,对称轴方程为（）. （2）当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在取最大值1，在取最小值， ，所以． 10．（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由两角和的正切公式先得，利用诱导公式结合齐次式可得； （2）由同角三角函数关系得，，再由可得； （3）利用同角三角函数关系和倍角公式可得，利用可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得， ； （2）因且，故， 因，故，故， . （3）因，故，又，故，故， ， 故，故， 故， 又，故. 11．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，. (2) 【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间. （2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 一、单选题 1．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和指定区间的函数值，排除法得正确选项. 【详解】函数，定义域为， ，则为奇函数， 函数图象关于原点对称，排除BD选项； 当时，，，，则，排除C选项. 故选：A. 2．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出噪音的声波曲线的函数表达式，则其相反数即为智能降噪的声波曲线，再由诱导公式判断即可. 【详解】由图可知，噪音的声波曲线的最小正周期，则． 因为噪音的声波曲线过点，所以， 则，又，所以， 即噪音的声波曲线为， 则可以用来智能降噪的声波曲线为， 又， ， 结合选项可知只有A符合题意． 故选：A. 3．水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统.黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过14分20秒，做记号的水斗与水面的距离为h米，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解题意，可列出时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系，从而可将代入即可得出结论. 【详解】以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题设，水斗从A转到B，则转过的角为，即每分钟转动弧度为， 从点B开始，记水斗经过时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系：， 又当分钟时，， 因为，所以， 所以，即. 故选：B． 4．如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，分别求得外圆的半径和内圆的半径，，利用三角函数求解. 【详解】解：如图所示：    由题意得：外圆的半径为cm，内圆的半径为cm， ， 所以， 则此时指针尖到地面的高度约为： cm， 故选：C 二、多选题 5．声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．关于点中心对称 C．在区间上为增函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据三角恒等变换结合换元法分析求解. 【详解】对于A， ， 所以是函数的一个周期，故A正确； 对于B， ， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由函数， 当时，， 当，，所以， 所以在区间上不是单增函数，故C错误； 对于D， ，定义域为， 令，，所以， 当时，取得最小值为，当时，， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 6．《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值域为 C．在区间上单调递增 D．将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AC 【分析】根据题设描述的正弦型函数的性质求解析式，再结合正弦函数的性质求区间值域和区间单调性判断A、B、C；根据图象平移写出解析式，应用代入法判断对称中心确定D的正误. 【详解】由题设，函数的周期满足：，解得， 且，， 即，，因，则， 所以. 对于A，，故A正确； 对于B，由可得，故，故B错误； 对于C，由可得，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得， 因，即得到的函数图象不关于点对称，故D错误. 故选：AC 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（    ） A．h关于t的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】ABC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：ABC 三、填空题 8．平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据“正格点”的定义确定（为正整数）有正整数解，由值域内的正整数只有1和2，分别讨论即可求解. 【详解】因为，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点， 所以（为正整数）有正整数解， 因为值域内的正整数只有1和2， 当时，由，解得， 则为方程的正整数解， 所以，即，因为，所以， 则，； 当时，由，解得不是正整数，故舍去， 综上，. 故答案为： 9．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是 . ① ② ③若，则 ④函数的最大值为 【答案】②③ 【分析】利用正矢、余矢的定义及诱导公式、同角三角函数的基本关系，三角函数的有界性计算即可. 【详解】，①错误； ，②正确； 则 分子分母同除以得： ，③正确； 当时，取得最大值为4，④错误. 故答案为：②③ 10．《九章算术》中“勾股”章有这样一个题（如图1）：“今有井，径五尺，不知其深．立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问：井深几何?” 其算法为丈7尺5寸．如图2，已知一口井的井径，立木，从木末望水岸的俯角为，则这口井的井深为 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数和相似三角形的性质，通过已知条件计算井深. 【详解】由题可知，，则在中， . 由题可知，，则， . 故答案为：. 11．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为 【答案】8 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $