必刷题十二 三角恒等变换-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

第1部分学而不厌复习上学期内容· 必刷题十二三角恒等变换 ↓提分好题》必刷 ↓加分例题》必讲 刷考点·保分 类型一 给值求值、求角问题 考点①两角差的余弦公式 【例1】 已知sin(+a)小-是 1.设&，3都是锐角，且cosa= 气sma十)=是，则 co(T-)=g,且0<a<<g< cosB等于 3,求cos(a+m: B.26 5 (2)已知cosa-)=-是， 13'cos(a c”2 5 n友 +=最且a-c(臣xa+e 2.计算：cos105°+sin195°= 考点2两角和与差的正弦、余弦公式 ∈(2x小，求角B的值 【关键技巧】解此类问题的关键 3.已知sin&-3a是第二象限角，则cos(a-60)= 是把“所求角”用“已知角”表示出 ( 来.①当“已知角”有两个时，“所 A.二B-22 BB-22 求角”一般表示为两个“已知角” 6 6 的和或差的形式，如本题，②当 C.3+22 D.二3+22 “已知角”有一个时，此时应着眼 6 于“所求角”与“已知角”的关系， 4已知cs8=oa-m=7.且0<K0<登 然后应用诱导公式把“所求角”变 成“已知角”.③角的拆分方法不 那么B 唯一，可根据题目合理地选择拆 A音 B答 分方式.如a=(a十3)-3=3-(3 D -=422g=生2 2 2 c开 a,2a=(a+B)+(a-B),28= 考点3辅助角公式 2 5.(多选)cosa-3sina化简的结果可以是( (a+)-(a-,(年+a)+ A.cosa) B.2cos(+a) (+=+(a+B,(+a)+ C.sin(-a) D.2sin(-a) (F-)=+a-m. 6.已知函数x)=sin2x+2cos2r,则f(x)的最 【解】1D:0<a<<B<37 小正周期为 ,单调递增区间为 7+,吾骨-0 39 —·●●必刷题·数学 考点④两角和与差的正切公式 又s+a)- 7.8-1an18的值等于 1+5tan18 o任-)- A.tan 42 B.tan3° C.1 D.tan 24 8.已知ana-号）=2tan(g）=-3,则tam t.coa) a十B sim(任-=- cosa+=sin[受+(a+ 考点5二倍角的正弦、余弦、正切公式 9.已知sina-cosa= ,则sin2a 4 ( =sim[3+a-(任-) A-司 c =sim(8+a)eos(任-l 10,已知等腰三角形底角的正弦值为气，则顶角的正 cos(+a)sin() 弦值是 ( ) -高×是-()×() A4⑤ B26 C.-4 33 9 D.-25 651 9 9 9 1山.（多选）下列关于函数f(x)-1-2sim(-)的 (2)由a-8e(经，x小，且cos(a-剧 说法正确的是 A.最小正周期为π B.最大值为1，最小值为一1 得sn(a-0= C.函数图象关于直线x=0对称 由a+8c(,2,且cos(a+ D.函数图象关于点（受，0）对称 -号得n(a+0=一高 考点6简单的三角恒等变换 cos 28=cos[(a+8)-(a-B)] 12.(多选)下列各式与tana相等的是 =cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+ 1-cos 2a sin 2a 3)sin(a-3) A.+cos 2a B.1+cos 2a sin 2a 号×号+()×音=-1 C.I-cos 2a D.1-cos 2a sin 2a 又。+Be(侵，2a,e- 13.化简下列各式： （1)<a<受，则1-sim2a- ∈（受小， (2)a为第三象限角，则1+cos2a--cos2a 29e(经，3）∴29=， cos a sin a p产受 40 第1部分学而不厌复习上学期内容一 刷综合·高分 类型二 三角函数式的化简 1.已知sim。-号）=os(号-)=-最且a-号 【例2】 化简： (1+sin 0+cos )sin -cos 经x小，号-8c(,3）,求tan空的值 √2+2cos0 (0<0π). 【关键技巧】 三角函数式化简 的要求、思路和方法 (1)化简的要求. ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少： ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数： ⑤尽量使被开方数不含三角 函数 (2)化简的思路 对于和式，基本思路是降次、消 项和逆用公式：对于三角分式， 基本思路是分子与分母约分或 逆用公式：对于二次根式，注意 二倍角公式的逆用.另外，还可 以用切化弦、变量代换、角度归 一等方法。 (3)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化 同角，降幂或升幂等， 【解】 由0E0,x.得0<号← 之c@z0 个 因此√/2+2c0s0 4cos:0 2c0s2' 又(1+ sin 0+cos 0 41 —·●●必刷题·数学 2已知函数/)=5inar十p(。>0,一<g受）的图 象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距 3 离为元 (1)求w和9的值： =2ossm-cos2) (2)若f(）=(<a<）,求cosa+要)的值， 0 --2cos 2cos 0. -2cos cos0 故原式 0 2c052 -cos 0. 【学习笔记】 刷真题·满分 1.(2024·新课标I卷)已知cos(a十B)=m,tan atan3 =2,则cos(a一3)= ( ) A.-3m B.号 c.号 D.3m 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知a为第一象限角，3为第三 象限角，tana+tanB=4,tan atan B=√2+l,则sin(a 十)= 42得-3π4+kπ<2x< π 4+kπ ,k∈Z, 即-3π8+ kπ 2<x< π 8+ kπ 2 ,k∈Z. 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 -3π8+ kπ 2 ,π 8+ kπ 2 ,k∈Z,无单调递减区间. (3)由(1)知,f(x)=tan2x+π4 . 由-1≤tan2x+π4 ≤ 3, 得-π4+kπ≤2x+ π 4≤ π 3+kπ ,k∈Z, 即-π4+ kπ 2≤x≤ π 24+ kπ 2 ,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤ 3的解集为 x|-π4+ kπ 2≤x≤ π 24+ kπ 2 ,k∈Z . 刷真题·满分 1.BC 直接法 对于A,令f(x)=0,则x=kπ2 ,k ∈Z,又g kπ2 ≠0,故A错误; 对于B,f(x)与 g(x)的 最 大 值 都 为1,故 B 正确; 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C 正确; 对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=π2+ kπ,k∈Z,即x=π4+ kπ 2 ,k∈Z,g(x)图象的对 称轴方程为2x-π4= π 2+kπ ,k∈Z,即x=3π8 +kπ2 ,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不 相同,故D错误.故选BC. 2.C 数形结合法 因为函数y=2sin(3x-π6 )的 最小正周期T=2π3 ,所以函数y=2sin(3x-π6 ) 在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所 以作出函数y=2sin(3x-π6 )与y=sinx在[0, 2π]上的图象如图所示. 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 必刷题十二 三角恒等变换 刷考点·保分 1.A ∵α,β都是锐角,且cosα= 5 5< 1 2 , ∴π3<α< π 2. 又sin(α+β)= 3 5> 1 2 , ∴π2<α+β<π , ∴cos(α+β)=- 1-sin 2(α+β)=- 4 5. 又sinα= 1-cos2α=2 55 , 则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα=- 4 5× 5 5+ 3 5× 2 5 5 = 2 5 25. 2.解析:cos105°+sin195°=cos105°+sin(105° +90°) =cos105°+cos105°=2cos(135°-30°) =2(cos135°cos30°+sin135°sin30°) =2 - 22× 3 2+ 2 2× 1 2 = 2- 62 . 答案:2- 6 2 3.B 因为sinα=13 ,α是第二象限角,所以cosα =-223 ,故cos(α-60°)=cosαcos60°+sinαsin60° = -223 ×12+13×32=-22+36 . 4.C ∵0<β<α< π 2 , ∴0<α-β< π 2 , 由cosα=35 得sinα=45 , 由cos(α-β)= 7 2 10 得sin(α-β)= 2 10 , ∴sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β) =45× 7 2 10- 3 5× 2 10 =25 250 = 2 2 , ∴β= π 4. 5.BD cosα- 3sinα=2 1 2cosα- 3 2sinα =2cosπ3cosα-sin π 3sinα 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —17— =2cosα+π3 . cosα- 3sinα=2 1 2cosα- 3 2sinα =2sinπ6cosα-cos π 6sinα =2sin π6-α .故选BD. 6.解析:因为f(x)= 1 2sin2x+ 1 2cos2x= 2 2sin2x+ π 4 ,所以 T =2π2=π. 由2kπ-π2≤2x+ π 4≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,得kπ- 3π 8≤x≤kπ+ π 8 ,k∈Z. 所 以 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ-3π8 ,kπ+π8 ,k∈Z. 答案:π kπ-3π8 ,kπ+π8 ,k∈Z 7.A ∵tan60°= 3, ∴原式=tan60°-tan18°1+tan60°tan18°=tan (60°-18°)= tan42°. 8.解析:tanα+β2 =tan α- β 2 + β-α2 = tanα-β2 +tanβ-α2 1-tanα-β2 tanβ-α2 = 1 2- 1 3 1+12× 1 3 =17. 答案:1 7 9.A ∵sinα-cosα=43 , ∴1-2sinαcosα=169 , 即1-sin2α=169 ,∴sin2α=-79. 10.A 设底角为θ,则θ∈ 0,π2 ,顶角为π-2θ. ∵sinθ= 53 ,∴cosθ= 1-sin2θ=23 , ∴sin(π-2θ)=sin2θ=2sinθcosθ =2× 53× 2 3= 4 5 9 . 11.ABD 函 数f(x)=1-2sin2 x-π4 =cos 2x-π2 =sin2x,函数的最小正周期T=π, A正确.最大值为1,最小值为-1,B正确. 由2x=kπ+π2⇒x= kπ 2+ π 4 ,k∈Z,得函数图 象关于直线x=kπ2+ π 4 ,k∈Z对称,C不正确. 由2x=kπ⇒x=kπ2 ,k∈Z,得函数图象关于点 kπ 2 ,0 ,k∈Z对称,D正确. 12.BD tanα= sin2α1+cos2α= 1-cos2α sin2α ,故选BD. 13.解析:(1)∵α∈ π4 ,π 2 ,∴sinα>cosα, ∴ 1-sin2α= 1-2sinαcosα = sin2α-2sinαcosα+cos2α = (sinα-cosα)2=sinα-cosα. (2)∵α为第三象限角,∴cosα<0,sinα<0, ∴ 1+cos2αcosα - 1-cos2α sinα = 2cos2α cosα - 2sin 2α sinα =- 2cosαcosα - - 2sinα sinα =0. 答案:(1)sinα-cosα (2)0 刷综合·高分 1.解:由sinα-β2 =34及α-β2∈ π2,π , 得 cos α-β2 = - 74,则 tan α-β2 = -3 77 . 由cos α2-β =-513及α2-β∈ π,3π2 , 得sin α2-β =-1213,则tan α2-β =125. ∴tanα+β2 =tan α- β 2 - α2-β = tanα-β2 -tan α2-β 1+tanα-β2 tan α2-β = -3 77 - 12 5 1+ -3 77 ×125 =960+507 71121 . 2.解:(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的 距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而 ω=2πT=2. 又f(x)的图象关于直线x=π3 对称, 所以2·π3+φ=kπ+ π 2 ,k∈Z. 由-π2≤φ< π 2 得k=0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —27— 所以φ= π 2- 2π 3=- π 6. (2)由(1)得f(x)= 3sin2x-π6 , 所以f α2 = 3sin2·α2-π6 = 34, 所以sinα-π6 =14. 由π 6<α< 2π 3 得0<α-π6< π 2 , 所 以 cos α-π6 = 1-sin2 α-π6 = 1- 14 2 = 154 . 因此cosα+3π2 =sinα=sin α-π6 +π6 =sinα-π6 cosπ6+cosα-π6 sinπ6 =14× 3 2+ 15 4 × 1 2= 3+ 15 8 . 刷真题·满分 1.A 由cos(α+β)=m 得cosαcosβ-sinαsinβ =m ①.由tanαtanβ=2得 sinαsinβ cosαcosβ =2 ②,由①②得 cosαcosβ=-msinαsinβ=-2m ,所以cos(α- β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A. 2.解析:由 题 知tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanα·tanβ = 4 1- 2-1 =-2 2,即sin(α+β)=-2 2cos(α +β),又sin 2(α+β)+cos 2(α+β)=1,可得sin(α +β)=± 2 2 3 . 由2kπ<α<2kπ+π2 ,k∈Z,2mπ +π<β<2mπ+ 3π 2 ,m∈Z,得2(k+m)π+π<α +β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z.又tan(α+β)< 0,所以α+β 是 第 四 象 限 角,故sin(α+β)= -2 23 . 答案:-2 23 必刷题十三 函数y=Asin(ωx+φ)图象 及应用 刷考点·保分 1.C y=sinx-π3 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 →y= sin 12x- π 3 向左平移π 3 个单位长度 → y=sin 12 x+ π 3 -π3 =sin 12x-π6 . 2.B 设y=cos2x的图象平移φ 个单位长度,得 到y=cos[2(x+φ)]=cos(2x+2φ)的图象,令 φ= π 8 ,即 可 得 到 y=cos 2x+π4 ,故 y= cos2x的图象向左平移φ= π 8 个单位长度得到y =cos2x+π4 的图象,因此,要得到函数y= cos2x的图象,只需将y=cos2x+π4 的图象 向右平移π 8 个单位长度. 3.B 平移后得解析式为y=sinx+π4+ π 6 = sinx+5π12 ,再把图象上各点的横坐标扩大到 原来 的2倍 得 解 析 式 为y=sin x2+ 5π 12 ,故 选B. 4.A y=cos2x+1 横坐标伸长2倍 纵坐标不变 →y=cosx+ 1 向左平移1个 单位长度 → y=cos(x+1)+1 向下平移1个单位长度 →y=cos(x +1). ∴平移后函数y=cos(x+1)的最小正周期为 2π,其图象可由余弦曲线向左平移一个单位长 度得到,A适合. 5.A 当 x=π时,y=sin -π3 = - 32 排 除 B、D. 当x=π6 时y=sin0=0,排除C,故选A. 6.解析:令2x-π4=0 ,π 2 ,π,3π2 ,2π得x=π8 ,3π 8 , 5π 8 ,7π 8 ,9π 8 ,故 五 个 点 的 坐 标 是 π8,0 , 3π8, 2 , 5π8,0 , 7π8,-2 , 9π8,0 . 答案: π8,0 , 3π8,2 , 5π8,0 , 7π8,-2 , 9π8,0 7.D 方法一:由题图可知T2= 5 4- 1 4=1 ,所以T =2,ω=π,又由题图知f 14 =0,即π4+φ=π2 +2kπ,k∈Z,得φ= π 4+2kπ ,k∈Z,此时f(x) =cosπx+π4+2kπ =cosπx+π4 ,k∈Z,由 2kπ<πx+π4<2kπ+π ,k∈Z,得2k-14<x< 2k+34 ,k∈Z,所 以f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 2k-14 ,2k+34 ,k∈Z. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —37—