精品解析：广东省惠州市实验中学2025-2026学年高一上学期1月阶段性检测数学试题

广东省惠州市实验中学2025-2026学年高一上学期1月阶段性检测数学试题 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则三者的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 6. 已知函数 则 （ ） A. B. 3 C. 4 D. 7. 已知函数，则是为偶函数的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ） A. B. C. 扇形的面积 D. 角所对的弧长 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 11. 已知函数，若，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算=_____________. 13. 已知幂函数的图像过点，则___________. 14. 当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________． 四、解答题；本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数解析式； （2）当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？ 17. 已知，且为第三象限角. （1）求和的值； （2）已知，求的值. （3）若，求的值. 18. 已知，函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：不是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市实验中学2025-2026学年高一上学期1月阶段性检测数学试题 满分：150分 考试用时：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题“，”的否定为“，”可得结论. 【详解】命题“，”的否定为“，”可得 命题“”的否定是“”. 故选：D. 2. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果. 【详解】因为和在上都是连续的增函数， 所以在上是连续的增函数， 所以在上至多有一个零点， 因为，， 所以， 所以唯一的零点所在的区间为， 故选：C 3. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 4. 已知，，，则三者的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分别求得，，再由指数函数的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由，即 又由，可得， 因为，即，所以. 故选：C. 5. 计算的值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方关系化简即可. 【详解】解：因为， . 故选：B. 6. 已知函数 则 （ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件代入分段函数即可求出  的值. 【详解】由题可知，，  ， ，. 故选：A 7. 已知函数，则是为偶函数的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义及正（余）弦函数的奇偶性即可得到结果. 【详解】先判断充分性： 当时，，函数为偶函数，满足充分性； 再判断必要性： 当为偶函数时，，即， 展开得， 即， ∴，∴，即，不满足必要性， ∴是为偶函数的充分不必要条件， 故选：B. 8. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分离常数法结合函数的单调性求，结合，计算即可． 【详解】关于的不等式在上有解， ， ， ， 令，， 且，有： ， ，， ， ，在单调递增， 当时，， ，即小于等于 ． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ） A. B. C. 扇形的面积 D. 角所对的弧长 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D. 【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和， 所以，，，故A错误； ，故B正确； 又，则， 所以扇形的面积，故C正确； 角所对的弧长，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意计算可得，再借助对勾函数的性质可得A、C；借助基本的不等式可得B；借助二次函数性质可得D. 【详解】由题意可得，又，则， 即，即有，且，； 对A：由，则，则， 由在上单调递增，则，故A错误； 对B：，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故B正确； 对C：， 取，由A知，，则在上单调递增， 故，故C正确； 对D：， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算=_____________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据指数运算和对数运算的运算性质计算出正确答案. 【详解】 =20. 故答案为：20 13. 已知幂函数的图像过点，则___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由幂函数定义得的值，代入点坐标求得的值，然后得到. 【详解】由题意可知， ∵幂函数的图像过点， ∴，即， ∴. 故答案为：. 14. 当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】把给定不等式恒等变形，构造函数并求出函数的最小值，再列出不等式求解作答. 【详解】不等式，函数在上单调递减， 当时，，依题意，，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题；本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 此时，故或； 【小问2详解】 若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 16. 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数解析式； （2）当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料费用为3元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元 【解析】 【分析】（1）由已知，再结合的解析式求的解析式； （2）当时，结合二次函数性质求该范围内的函数值的最大值，当时，结合基本不等式求对应范围内的函数值的最大值，比较可得结论. 【小问1详解】 由题意可得 ， 所以单株利润的函数解析式为： 【小问2详解】 当时，为开口向上的抛物线， 其对称轴为：， 所以当时， 当时，， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 综上所述：当投入的单株肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是元． 17. 已知，且为第三象限角. （1）求和的值； （2）已知，求的值. （3）若，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得； （2）利用诱导公式将化简，将（1）中的值代入即可求得结果； （3）利用诱导公式计算. 【小问1详解】 ，且为第三象限角， 由可得， ， . 又为第三象限角， ， ． 【小问2详解】 利用诱导公式可得： ， 将代入，得， 即. 【小问3详解】 因为， ， 所以. 18. 已知，函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）为增函数.证明： 证明如下：设且， 则. 因为，所以，即， 故，所以为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可； 【小问1详解】 解法一：因为为奇函数，所以， 即，亦即， 解得. 解法二：因为为奇函数，所以，即， 解得. 此时，所以 所以符合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原不等式即为. 又由（1）可知为奇函数，所以. 又由（2）可知为增函数，所以，即， 解得. 所以原不等式解集为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：不是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，证明见解析； （2）存在，； （3）． 【解析】 【分析】（1）先由指数函数单调性求出值域，再由“翻倍区间”定义即可得解； （2）先假设存在一个“翻倍区间”，再利用“翻倍区间”定义结合幂函数单调性列等量关系求出参数即可分析求解； （3）由“翻倍区间”定义将题设等价转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，再利用二次函数性质列不等式组即可求解. 【小问1详解】 证明：由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； 【小问2详解】 假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； 【小问3详解】 由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $