精品解析：湖北省襄阳市第四中学2026-2027学年高一上学期8月素养测试数学试题

襄阳四中2026级高一年级8月素养测试 数学试题 一、单选题 1. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则方程的实根个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知角的终边在第一象限，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. ． B. 在上单调递增 C. D. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（ ） A. 单调递减 B. C. 在上无零点 D. 10. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（    ） A. B. 是 的充分不必要条件 C. D. 任意， 三、填空题 12. 已知幂函数在上单调递减，则实数______． 13. 已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 14. 已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 16. 如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）当时，求矩形的面积； （2）写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数， （1）若，当时，求的最小值； （2）若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 19. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型或余弦型函数，现有某种信号的波形的数学模型为，其中，是待定系数．经研究知这个函数的图象呈现的仍是周期性变化，即是一个周期函数． （1）当，，时，写出的一个周期并求出函数在上的零点； （2）当，时，令函数，，若的图象关于直线对称，且在区间上恰有三个零点，，，求的取值范围； （3）当时，对于任意的恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2026级高一年级8月素养测试 数学试题 一、单选题 1. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 2. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用每段函数递减，可得不等式组，求解不等式组可得答案. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得. 故选：A 3. 已知函数，则方程的实根个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可. 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 4. 已知角的终边在第一象限，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． 5. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 故选：A. 6. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. ． B. 在上单调递增 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的周期，判断A，再结合函数的周期性，以及奇函数的性质，判断BCD. 【详解】A.由函数是奇函数，所以，且， 即，即，故A错误； B.由A可知，，即是周期的函数， 所以在区间的单调性和区间的单调性一致， 设，，， ，所以，在区间上单调递减，故B错误； C.因为函数是定义在上的奇函数，所以，由，，可知， ，，所以， ，故C错误； D. ，故D正确. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 8. 设，，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和，得到和， 从而得到，，所以得到，，再根据对数函数的单调性，得到答案. 【详解】由正弦函数、余弦函数的图像可知，当时，余弦函数的图像在正弦函数图像的上方，所以， ， 故当时，， 因为，所以， 所以， 所以， 又因为单调递减， 所以，即， 因为， 所以， 又因为单调递减， 所以，即， 所以. 故选：B. 二、多选题 9. 定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（ ） A. 单调递减 B. C. 在上无零点 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数单调性的定义可知函数单调递增，可判断A，C两项，由，得，利用单调性可判断B，D两项． 【详解】因为满足，满足，所以 即， 由函数单调性的定义可知函数单调递增，故A错误； 令，易得 ，因为，则，故B正确； 易得，且单调递增，所以在上无零点，故C正确； 令，易得得， 则，故D错误. 故选：BC. 10. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 11. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（    ） A. B. 是 的充分不必要条件 C. D. 任意， 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题 12. 已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 13. 已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用偶函数定义，对与是否属于集合进行分类讨论，从而确定中元素应满足的条件，并求元素个数的最大值. 【详解】因为为偶函数，所以对任意，有. 当时，. （i）若，则. 由得. 故可以属于. （ii）若，则. 由得，解得. 因此，的元素只可能是. 经验证，当时，为偶函数，此时的元素个数为，且无法再添加其他元素. 故的元素个数最多可能值为. 14. 已知，若存在实数t，使得与均不大于1.5，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为函数,与均不大于1.5， 得到, 先考虑，整理得, 设，因为， 所以判别式，即,解得：， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到或， 结合，得到或； 再考虑，整理得， 设， 若要满足存在实数t使两个不等式成立，考虑极端情况当与有交点时， 即，即，将代入中， 得到，整理得，得到， 综上可知：， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题干列出不等式，再根据不等式的求解设出函数，利用极端情况满足存在实数t使两个不等式成立，两个函数得需有交点. 四、解答题 15. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【小问1详解】 不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. 【小问2详解】 函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，易知， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述，实数m的取值范围为． 16. 如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）当时，求矩形的面积； （2）写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】（1） （2），；的最小值为. 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，求得，利用矩形面积公式求解； （2）由题求出，，利用矩形面积公式求出，换元令，得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最小值. 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 18. 已知函数， （1）若，当时，求的最小值； （2）若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据基本不等式、公式法解绝对值不等式，结合基本不等式取等条件分类讨论进行求解即可； （ⅱ）根据任意性的定义，结合复合函数的单调性的性质分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． 【小问2详解】 （ⅰ）由，或， 即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2， 所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，， 所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即， 解得，； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， ； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，． 综上所述：． 19. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型或余弦型函数，现有某种信号的波形的数学模型为，其中，是待定系数．经研究知这个函数的图象呈现的仍是周期性变化，即是一个周期函数． （1）当，，时，写出的一个周期并求出函数在上的零点； （2）当，时，令函数，，若的图象关于直线对称，且在区间上恰有三个零点，，，求的取值范围； （3）当时，对于任意的恒成立，求的最大值． 【答案】（1）； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据给出的解析式写出的解析式并进行化简，根据三角函数的性质得到周期与零点； （2）根据题干所给条件写出的解析式，根据零点与函数图象的关系，求出参数m的取值范围，设出零点，利用零点范围，对进行化简，根据三角函数的性质求解取值范围； （3）由函数恒大于等于可知，x取任意数都满足，利用不等式的线性运算可知的上限，只要通过赋值能证明能取到上限，即可得到最大值． 【小问1详解】 由可知，当，，时， ， 因为； ； 代入可得； 因为的周期为，的周期为，最小公倍数为， 故的一个周期为； 令，则或； 解得，故函数在上的零点为． 【小问2详解】 当，时，，则； 因为的图象关于直线对称，故， 解得，因为，故； 故； 当，则； 因为在区间上恰有三个零点，，， 则方程有三个根，故函数与有三个交点； 令，则的图象如图所示， 则，设，则，； 由可得，； 则，因为，故； 则，故的取值范围为． 【小问3详解】 设，则 则，则求的最大值； ； ； 则 因为，； 则，根据不等式的线性运算可知； 取，则 ； ， 因为，则，，故； 此时，故的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $