贵州省部分学校2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题

**基本信息** 以“团员知识竞赛”真实情境考查统计应用，通过分层抽样与分布列培养数据意识，立体几何证明与导数零点问题梯度设计，体现空间观念与逻辑推理的高中数学月考卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、立体几何、三角函数|基础概念辨析，如平移变换考查几何直观| |多选题|3/18|统计数据、空间几何、数列|数据中位数与众数分析，培养数据分析能力| |填空题|3/15|向量、二项式定理、直线系|直线系与正方形结合，考查数学建模| |解答题|5/77|统计、解三角形、立体几何、椭圆、导数|导数零点问题分层设问，递进考查逻辑推理|

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 3 3 4 5 6 个 8 答案 B A 0 C ⊙ c D 【解析】 1.由题，U={-1,01,2},且A={0,1,所以CA={-1,2},故选B. 2.由题，zzz,所以|z+|z-2=0,所以|z卡1，故选A. 3,垂直于同一个平面的两个平面位置关系无法确定，所以A错误；平行于同一直线的两个平面 位置关系无法确定，所以B错误；分别在两个平面内的两条直线互相平行，不能推出两平面 平行，所以C错误；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确，故选D. 4.由题f()=2cos2xr+ 6 ,fw)的图象可由y=2cos2x的图象向左平移汇个单位得到， 12 故选C 5.由题，若数学课排第1,2节，则有2种排法；若数学课排2,3节，则有4种排法；若数 学课排3,4节，也有4种排法；若数学课排4,5节，则有2种排法，所以共有12种排 法，故选C. 6.因为f(x)是R上的偶函数，所以f(2-x)=f(x-2).又因为f(x)在[0，+o)上单调递增， 且f(-3)=0,画出f(x)和f(x-2)的简图，易知C选项成立，故选C, 7.由题，点P(2,O),则直线PF的斜率为-1，所以PF的垂直平分线方程为y=x,因为 |OF HOP,所以点O与点Q都在直线y=x,解得Q8,8),所以四边形OFQP的面积为 2×PFIxlooH16,故选B. 8.设e=lnb=t,则b=e,a=elnt,b-a=e'-elnt,令f)=e-eln,f'0=e'-,易知 f'()在(0，+∞)上单增，且f')=0,所以f(t)在(0,1]上单调递减，在[L,+o)上单调递 增，所以f(t)mm=f()=e,故选D. 数学参考答案·第1页（共7页） ■口■口口■■■□ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 答案 BC BCD ABC 【解析】 9.由题可知，中位数为57.5+59.5 58.5,所以A错误；极差为69.5-46.5=23，故B正确： 众数为61.5，故C正确：又26×80%=20.8，因此80%分位数为第21个数，其值为62.5， 故D错误，综上可知，故选BC 10.如图1，由S△BF=SAADE,可知AB×AF=AD×AE,因此 AF=AE,所以EF∥BD,又由G,H为中点可知，当 AD AB AF-AE≠1时，EG∩FH≠O,因此A错误：由EF∥BD B AD AB 2 图1 且GH∥BD,可知EF∥GH,因此点E,F,G,H四点共面，且BD∥平面HG,所以 B正确；当AE=2EB时，EF∥GH,EF≠GH,所以EFHG是以EF,GH为底边的梯形， 所以直线EG,HF相交，设交点为M,则易知点M在直线AC上，所以EG,HF,AC三 线交于一点，故C正确：当AC∥平面EFHG时，易得EG∥AC∥FH,又EF∥GH,所 以四边形EFHG为平行四边形，所以D正确，故选BCD 1.因为g+4+a.=i+aeN),所以a+0+…+ n-701=0n-102+ a-0neN,n≥2)，故a,=2,即a,=2,其中≥2.而令n=1，则 111 1-2=2x12,故4=2n,n·b.=4n2×n+12=4n20 x-是)位片a n2+2n 4(n+1)2 =】 所以T的最小值为3，故选ABC 16 数学参考答案·第2页（共7页） ■■口■■■□ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 -5 -80 4 【解析】 12.由题AB=(2,1),AC=（←2，-1)，所以AB.AC=-5 13.由题1m-G岩2寺-C2警，若15-水-小解得斗（合去）：若 6 5 15-5水=0，解得k=3,所以常数项为C(-2)3=-80. 6 14.由直线方程xcos0+ysin0=1,可知点(cos6,sin0)在直线上，因此直线与圆x2+y2=1有 公共点；又原点到直线的距离为d= =1,可知直线系中的每一条直线与圆 cos20+sin20 x2+y2=1相切；故直线系为单位圆的所有切线组成；所以当正方形的四条边都在直线系 内时，可知单位圆为正方形的内切圆，所以正方形边长为2，其面积为4. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由频数分布图及已知条件可知，成绩位于[70,80)和[90,100]共有200人， 则成绩位于90,100]的只有50人，位于[80,90)的有100人.…(2分) 设竞赛成绩在[80,90)，[90,100]的学生中应分别抽取y人， 则6=x=二，解得x=4,y=2, 15010050 竞赛成绩在[80,90)中取4人，成绩在[90,100]的取2人. ………………………(4分) (2)由(1)可知，随机变量5的可能取值为1,2,3， ……(5分) 瓷专股-答-景m店=瓷吉 数学参考答案·第3页（共7页） ■口■口口■■■口 …(11分) 所以，随机变量5的分布列为： 1 2 3 P 5 2-5 1-5 3 1 所以E(5)=1×二+2×2+3×=2. …(13分) 5 5 5 1.（本小题满分15分) (1)证明：根据余弦定理c0sC=+b-c2--6.3 <0 2ab 2ab ab 所以角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形.…(4分) 2)解：5=bsnC= 1 ……(9分) 因为10=心+b广≥2，所以d山5，所以5而=2. 当且仅当a=b=√5时等号成立，所以△ABC的面积的最大值为2. ……(15分) 17.(本小题满分15分) (1)证明：如图2，设N为BC的中点，连接MN, 因为四边形BCC,B是矩形且M为BC的中点， 所以BC⊥BB,BB,∥MN∥AA,所以BC⊥MN. 又因为AB=AC,所以BC⊥AM, 又因为MN∩AM=M,所以BC⊥平面AAMN, 图2 所以BC⊥平面AAM.… ………（4分) (2)解：连接AC,由(1)知BC⊥AM,因为M为BC的中点，所以AC=AB=2. 又AB1AC,所以AM=√2，BC=2√2，所以AC2+AB2=BC2,所以AM=√2， 所以AM2+AM2=AA2,所以S△4M=1. 数学参考答案·第4页（共7页） ■口■口口■■■□ 设点C到平面AABB,的距离为d, 根据Ve专5Ad-=5wBC所以解得d-26 1 3 记直线BC与平面AABB,所成角为6，所以sinO= …(15分) BC 3 18.(本小题满分17分) 解：(1)由题可知，a=√6， 又椭圆四个顶点所组成的菱形面积为二×2√6×2b=6√反，解得b=√5， 因此椭圆方程为父+上=1 (4分) 63 (2)设直线1的方程为y=k(x-√3)，A(x,y),B(x,y2), y=k(x-) 联立 ,可得(1+2k2)x2-4V3k2x+6k2-6=0, 63 4V5k2 所以++22’5=62-6 -25,所以P 23k2-V3k 1+2k2,+为1+2 1+2k2’1+2k2 因为0Q+20P=0,所以Q -4V5k2 25k 1+2k2)1+2k2 代入椭圆的方程，解得太=士巨 …（9分) (3)由点M(2,t)在椭圆上可得t=1,因此点M坐标为M(2,1). x2 =1 设直线1的方程为y=x+m,联立方程组6T3, y=kx+m 消去变量y可得：(1+2k2)x2+4mx+2m2-6=0①. 设直线I与椭圆交点分别为A(x,y),B(x2,y2), 则x,x是方程①的两根，由韦达定理可知：x+x2= 4km 1+2k2,6= 2m2-6②. 1+2k2 由MA·MB=0,可得(x-2(x2-2)+(y-1)y2-)=0 又y=kx+m,y2=kx+m, 数学参考答案·第5页（共7页） ■口■口口■■■口 所以(x-2)(x,-2)+(kx+m-1)(kx,+m-1)=0, 即(1+k2)xx2+[m-1)k-2](x+x3)+(m-)2+4=0, 将②代入可得(1+k2)(2m2-6)-4km(m-1)k-2]+[(m-1)2+41(1+2k2)=0, 即3m2+4k2+8kam-2m-1=0, 分解因式可得(2k+3m+1)2k+m-1)=0. 又直线1不过点M(2,1),所以2k+m-1≠0. 因此2k+3m+1=0,所以m=-1+2 ,所以宜方程为y=1〔) 3 因此直线l过定点N 1+ 当直线1与N垂直时，点M到直线1的距离最大，此时易得k=?=1,因此k,=-1, 2- 所以直线1的方程为y x-3厂3 F-x+ ，即3x+3y-1=0. …(17分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)f'(x)=x(ae*+2),当a=1时，f'(x)=x(e+2), 所以f'(①)=2+e,f①)=-4， 所以所求切线方程为y=(2+)x-e-6.…(4分) (2)因为a(x-1)e*+x2-5≤0对于x∈1，+o)恒成立， 所以a≤5-￡对于x4,+四)恒成立 (x-1)e* Fe,则g00=2c-+-3 设g()=5-2 (x-1)2e(x-1)e 所以当x∈(1,3)时，g'(x)<0；当x∈(3，+o)时，g'(x)>0, 数学参考答案·第6页（共7页） ■口■口口■■■□ 所以g(x)在(1,3)上单调递减，在(3，+w)单调递增， 所以g国-g)-子，所以a医 ，……(9分) e (3)因为f'(x)=x(ae+2): ①当a≥0时，ae+2>0恒成立，所以f(x)在(-w,0)上单调递减，在(0，+w)上单调递 增， 此时f(x)最多两个零点，不成立： ②当a<0时，令f()=0,则有x=0或者x=n2 I当a<-2时，1n2<0,此时f在 ,ln2 上单调递减， 在n2,0】 上递增，[0，+o)上单调递减， a [f(0)>0, [a<-5, in-2) -2n2-3<0, 所以a∈(-2e,-5); a a Ⅱ当-2<a<0时，1n2>0,此时f(d在(-0,0)上单调递减， 上递增， a [n之，+m上单调递减 f(0)<0, a>-5, 所以ae(侵0月 当a=-2时，此时f(x)在R上单调递减，显然不成立 …(17分) 数学参考答案·第7页（共7页） 数学试卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 已知全集 ，，则 A． } B． } C． {2} D． {} 2. 已知复数 满足 ，则 A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知不同的直线 ， 和不重合的平面 ，，，则使 成立的一个充分条件可以是 A． B． C． 𝑛 D． 4. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 A． 向左平移 个单位 B． 向右平移 个单位 C． 向左平移 个单位 D． 向右平移 个单位 5. 某班上午有 5 节课，现需安排数学课 2 节，语文课、英语课、物理课各 1 节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有 A．6 种 B．8 种 C．12 种 D．24 种 6. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 , 则关于的不等式 的解集为 A． ) B． ) C． 5) D． 7. 已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上异于原点 的一点，点 在 轴正半轴上，且 ，，则四边形 的面积是 A．8 B．16 C．32 D． 8. 已知 ，则 的最小值是 A．e B．1 C． D． 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分 9. 给出以下 26 个数据: 46.5，47.5，52.5，52.5，53.5，53.5，54.0，55.5，55.5， 56.5，56.5，57.5，57.5，59.5，60.5，61.0，61.0，61.5， 61.5，61.5，62.5，62.5，63.0，68.5，69.5，69.5 对于以上所给的数据，下列选项正确的是 A． 中位数为 57.5 B． 极差为 23 C． 众数为 61.5 D．80% 分位数为 61.5 10. 如图 1, 在空间四边形 中，， 分别是线段 ， 的中点，， 分别是线段 ， 上的动点且 ，则下列说法正确的是 A． 平面 B． 四点共面，且 平面 C． 若 ，则 与 的交点在直线 上 D． 若 平面 ，则 11. 已知数列 满足 。设数列 满足: ，数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是 A． 8 B． C． D． 的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 在平面直角坐标系中，已知 、、，则 。 13. 的展开式中，常数项为 (用数字作答)。 14. 设直线系 ，其中 。若正方形 的四条边都在 中的直线上，则该正方形的面积是 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 13 分) 为进一步提升学生思想认识，某中学开展 "矢志百年初心，赓续青春力量" 的团员知识竞赛活动，全校共有 1000 名学生参与了本次活动，根据他们的竞赛成绩，绘制了如图 2 所示的统计图，其中竞赛成绩在的人数是成绩在的人数的 3 倍。现需要从成绩不低于 80 分的学生中按照分层抽样抽取 6 人作进一步了解。 (1) 抽取的这 6 人中，竞赛成绩在、的学生分别是多少人？ (2) 从这 6 人中再随机选取 3 人，记选取的 3 人中成绩位于的人数为随机变量, 求 的分布列和数学期望。 16.(本小题满分 15 分) 在 中，角 、、 的对边分别是, , 。已知 ，。 (1) 求证: 是钝角三角形； (2) 求 的面积的最大值。 17.(本小题满分 15 分) 如图 3, 已知三棱柱 的侧面 是长方形，底面 是等腰直角三角形且 ， 是 的中点。 (1) 求证: 平面 ; (2) 若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值。 18.(本小题满分 17 分) 已知椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为 ，斜率为 的直线 交椭圆于 ， 两点。 (1) 求椭圆 的方程； (2) 若点 在直线上，点 是线段 的中点， 为坐标原点，若 上存在点 使得 ，求直线 的斜率 。 (3) 已知点 是 上的一点，若 ，当点 到直线 的距离最大时，求直线 的方程。 19.(本小题满分 17 分) 已知函数 (1) 若 ，求曲线 在 处的切线方程； (2) 若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围； (3) 若 有三个零点，求实数 的取值范围。 数学 第1页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $