第13讲 函数的应用（复习讲义，3考点12题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 函数及其图象 第13讲 函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 21 命题点一 一次函数的应用 题型01一次函数与方案分配问题 题型02一次函数与利润问题 题型03一次函数与行程问题 题型04一次函数与梯度计价问题 命题点二 反比例函数的应用 题型01反比例函数与行程问题 题型02反比例函数与工程问题 命题点三 二次函数的应用 题型01二次函数与图形问题 题型02图形运动问题 题型03拱桥问题 题型04销售问题 题型05投球问题 题型06喷水问题 05·重难突破·思维进阶难 75 突破一 一次函数与几何综合 突破二 反比例函数与几何综合 突破三 二次函数综合 06·优题精选·练能提分 87 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的实际应用 / / / 能运用一次函数解决简单的实际问题，如行程、工程、利润等问题 反比例函数的实际应用 / / 北京卷T25（节水策略与函数模型） 能运用反比例函数解决简单的实际问题，如密度、压强等问题 二次函数的实际应用 北京卷T26（函数与四边形动态问题） / 北京卷T25（清洗策略与函数模型） 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；能运用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题，如最大利润、最省材料等问题 函数与几何综合应用 北京卷T25（图像） 北京卷T8（函数与菱形旋转问题） 北京卷T28（函数与圆综合问题） 能综合运用函数、几何知识解决动态几何、存在性问题等综合题 命题预测 1. 一次函数与分段函数结合的实际应用题（如收费问题、行程问题）；2. 二次函数的最值问题在利润、面积中的应用，强调建模与分类讨论；3. 函数与几何动态问题（动点、旋转）结合，考查数形结合与转化思想 考点一 一次函数的应用 1.常见场景 行程问题：速度、时间、路程的线性关系（如匀速行驶的路程与时间）。 销售问题：单价固定时，总价与数量的关系；阶梯收费（如分段计费的水费、电费）。 工程问题：工作效率固定时，工作量与工作时间的关系。 2.解题步骤 设自变量（如时间、数量）和因变量（如路程、总价）。 分析数量关系，列出一次函数解析式。 结合自变量的实际取值范围（如时间非负、数量为整数），求解问题（如最值、特定值）。 1．（2024·北京·模拟预测）一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了 4 个时间点观光船与码头的距离，其中 t 表示时间，y 表示观光船与码头的距离． 0 3 6 9 625 550 475 400 如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为175 m 时，所用时间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用，写出函数的关系式是解题的关键． 先求出与的函数关系式，再将代入函数式，即可得出答案． 【详解】解：由题意：设解析式为：， 当，， ∴， 解得： ∴， 当时， 即， 解得：． 故选：B． 2．（2025·北京房山·二模）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） (1)通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】(1)图象见解析 (2)①毫升；②天 【分析】本题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． （1）将表格数据在坐标系中描点、连线，即可求解． （2）①观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【详解】（1）描点，连线，如图， （2）①解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； 当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 3．（2024·北京房山·一模）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人） 每车租金 （元∕天） 900 800 550 则租车一天的最低费用为 元. 【答案】1450 【分析】根据题意，求出大巴车，中巴车，小巴车每个座位的费用，方案中最好有大巴车，写出方案再进行比较即可. 【详解】解：大巴车每个座位的费用为：（元）， 中巴车每个座位的费用为：（元）， 小巴车每个座位的费用为：（元）， 方案1：用大巴车，需要2辆，费用为：1800元. 方案2：用中巴车，需要2辆，费用为：1600元. 方案3：用小巴车，需要3辆，费用为：元. 方案4：用大巴车1辆和中巴车1辆，费用为：1700元. 方案5：用大巴车1辆和小巴车1辆，费用为：1450元. 则租车一天的最低费用为1450元. 故答案为1450. 【点睛】此题主要考查了方案的选择，解题的关键是读懂题意，找出几种方案进行比较． 4．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 考点二 反比例函数的应用 1.常见场景 压强问题：压力固定时，压强与受力面积的关系（）。 行程问题：路程固定时，速度与时间的关系（）。 工程问题：工作量固定时，工作效率与工作时间的关系（）。 2.解题关键：确定不变量作为值，明确自变量的取值范围（，因实际问题中数量非负）。 1．（2023·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，；；；；，… 由此可得出p和V的函数关系是为： 故选：D． 2．（2023·北京通州·一模）由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随着的增大而减小，当时，， ∴若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 3．（2023·北京西城·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)； ②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)； ③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(　　)    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：，符合题意； ②由人均面积等于总面积除以总人口得：，即，符合题意； ③由加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了，可知每公里油耗为：，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：，不符合题意； 综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键． 4．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 考点三 二次函数的应用 1.代数求最值 顶点式中，当时，抛物线开口向上，时，有最小值；当时，抛物线开口向下，时，有最大值。 一般式中，最值公式：最值，对应。 2.实际问题中的最值 常见场景：最大利润（利润=单件利润×销量）、最大面积（如矩形、抛物线型场地面积）、抛体运动的最大高度。 易错点：考虑自变量的实际取值范围，若顶点横坐标不在取值范围内，需根据增减性求端点处的最值。 1．（2025·北京大兴）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点，不重合． ①当时，求的长； ②若的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) 的值为，的值为． (2) 当时，求的长为． 若的长随的增大而增大，的取值范围为或． 【分析】本题考查求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的综合，二次函数的图象和性质． （1）把代入，可得的值，从而可得点的坐标，代入，即可得的值； （2）当时，点、的横坐标为，代入对应解析式，可得点、的纵坐标，即可得的长；由已知可得，，分段讨论，当时，写出长度的表达式，由二次函数的性质，可得的取值范围，由图象可知，当时，不符合题意，当时，符合题意，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为，的值为． （2）解：∵，， ∴抛物线的解析式为， 当时，点、的横坐标为， 在中，令，得， 在中，令，得， ∴，， ∴， ∴当时，求的长为． 由已知可得，， 由得，， ∵点，不重合， ∴，且， 当时，的长随的增大而减小，不符合题意， 当时，， ∵的长随的增大而增大， ∴， ∴， 当时，的长随的增大而增大，符合题意， ∴若的长随的增大而增大，的取值范围为或． 2．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，点到的距离为，以为直径在上方作半圆，点是上的动点，过点作的垂线，设，直线截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为（单位：），（单位：），部分数据如下： (1)当时，与与对应关系的部分数据如下表： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.45 1.23 2.15 a 4.13 5.05 5.83 6.28 0 0.25 b 2.25 4.00 5.75 7.00 7.75 8.00 根据以上信息，回答下列问题： ①___________，___________（结果保留小数点后两位）； ②通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数图象； ③根据以上数据和函数图象，若，则___________时，（结果保留小数点后一位）； (2)当时，对于___________（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)①3.14，1.00；②见详解；③1.4 (2) 【分析】本题主要考查了画函数图像，扇形面积公式以及二次函数的其他应用，等知识得出和的面积公式是解题的关键． （1）①利用扇形面积公式以及相似三角形的性质分别表示出和，然后分别代入x，即可求出a，b的值． ②描点，连线，画出函数图像即可． ③根据函数图像即可得出答案． （2）当时，保持不变，变为原来的一半，根据图像比较即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，O为的中点， ∴，， 当时，点O和点P重合，则， 当时， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 则； 描点，连线，画出函数图像如下： ③根据函数图像可知，若，则时，； （2）解：当时，可知保持不变，为时面积的一半， 根据（1）②图像可知 故当时，对于， 故答案为：． 3．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 4．（2025·北京石景山·二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； （2）解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 一次函数与方案分配问题 1.变量设定失误：混淆自变量（核心分配量）与因变量（优化目标），或忽略自变量的实际约束（如非负、整数要求）。 2.函数建模错误：列y=kx+b时数量关系转化出错，导致k、b的符号或数值偏差。 3.约束条件遗漏：未找全隐含限制（如两种分配量均非负、资源总量上限），或忽略自变量的整数属性，得出非实际方案。 4.增减性判断颠倒：混淆k的符号与最优解的对应关系，如k>0时误取x最小值，k<0时误取x最大值。 5.验证环节缺失：求出最优解后未代入约束条件检验，导致方案不符合题干要求（如超出资源总量、数量为负）。 6.多方案漏算：自变量取值为有限整数时，未逐一计算对比函数值，直接凭增减性判断，遗漏潜在最优方案。 【典例】（2024·北京延庆）自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本，每月应付的租书金额为y元． （1）分别写出两种租书方式下，y与x之间的函数关系； （2）若小彬在一月内为班级租25本书，试问选用哪种租书方式合算？ 【答案】（1）方式1： y=x；方式2：y=12+0.4x；（2）选用方式2合算 【分析】（1）根据题意，可以分别写出方式一和方式二，y与x之间的函数关系； （2）将x＝25代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的花费情况，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）由题意可得， 方式一：y与x之间的函数关系是y＝x， 方式二：y＝12＋0.4x； （2）当x＝25时， 方式一的花费为：y＝25， 方式二的花费为：y＝12＋0.4×25＝22， ∵25＞22， ∴选择方式二租书方式合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式1】（2025·北京海淀）某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型 月费 （元/月） 套餐内包含内容 套餐外资费 国内数据流量（MB） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫 套餐1 18 100 0 0．29元/MB 0．19元/分钟 套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50 套餐4 48 500 50 小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（    ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 【答案】C 【分析】根据付费情况分别计算出四个套餐下，使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟时应付的费用，然后进行比较即可得出答案. 【详解】A．    套餐1：（元）； B．    套餐2：（元）； C．    套餐3：（元）； D．    套餐4：（元）； 85.5>85>76.5>66.5，套餐3付费最少. 故选C. 【点睛】每个套餐应付费用为基础月费+超出套餐流量产生费用+超出国内主叫分钟产生费用. 【变式2】甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）. 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A地 20 15 12 12 B地 25 20 10 8 设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.     （1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？     （2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？ 【答案】(1) 从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元．(2) 总共有4种方案. 【详解】试题分析: （1）由甲库运往A地水泥x吨，根据题意首先求得甲库运往B地水泥（100-x）吨，乙库运往A地水泥（70-x）吨，乙库运往B地水泥（10+x）吨，然后根据表格求得总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数解析式的增减性，即可知当x=70时，总运费w最省，然后代入求解即可求得最省的总运费． （2）利用条件：运费不能超过38000元，即w≤38000和要求运送的水泥数是10吨的整数倍即可求出符合题意的x值，进而得到总共有几种运送方案． 试题解析: （1）解：设甲库运往A地粮食x吨，则甲库运到B地（100-x）吨，乙库运往A地（70-x）吨，乙库运到B地 [80-（70-x）]=（10+x）吨. 根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x）=-30x+39200(0≤x≤70)． ∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)． ∵一次函数中w=-30x+39200中，k=-30＜0 ∴w的值随x的增大而减小 ∴当x=70吨时，总运费w最省， 最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元） 答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元． （2）解： 因为运费不能超过38000元， 所以w=-30x+39200≤38000， 所以x≥40 又因为40≤x≤70， 所以满足题意的x值为40,50,60,70， 所以总共有4种方案. 点睛: 此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解． 题型02 一次函数与利润问题 1.单件利润计算错误：混淆“单件利润=售价-进价”的公式，误算为“进价-售价”，或忽略折扣、附加成本（如运费、损耗）对单件利润的影响。 2.销量函数建模失误：销量与售价（或其他变量）的一次函数关系斜率符号颠倒（如售价越高销量越低，斜率应为负，却误写为正），或混淆自变量与因变量。 3.总利润函数构建偏差：总利润=单件利润×销量，将两个一次函数相乘时展开计算出错，或误把单件利润/销量的函数当作总利润函数。 4.自变量取值范围遗漏：未考虑售价≥进价、销量≥0等实际约束，或忽略题目中售价/销量的上限、下限要求，导致解超出合理范围。 5.增减性判断颠倒：总利润为一次函数 y=kx+b时，混淆k的符号与最优解的对应关系（k>0取自变量最大值，k<0取最小值），错判利润最值的位置。 6.整数限制忽略：售价、销量等需为整数的变量，算出小数解后未调整，导致方案不符合实际交易场景。 7.隐含条件忽视：漏看优惠活动、限购数量、成本变动等隐含条件，这些条件会改变单件利润或销量的函数关系，引发建模错误。 【典例】（2025·北京顺义）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ． 【答案】 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间． 【分析】设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则 ， 整理得：， ∵，，都为非负整数， ∴当时，，， ∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间； 设住宿总费用为：元，而，则 ， ∵， ∴当最大，有最小值， ∵，，，都为非负整数， ∴时最大， 此时，； ∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间． 故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键． 【变式1】（2024·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元． 【答案】 【分析】设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 由题意，得：， ∴． ∴． ∵每种物资至少装运1辆车， ∴． 解得：， 设总费用为，则 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∵，且为整数， ∴当时，总费最少，最少费用为元． 此时． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点． 【变式2】（2023·北京门头沟·一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为 元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是 ． 【答案】 6100 3，6，1或9，2，1或6，4，1 【分析】（1）列式计算即可求解； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，分①，或②，或③，三种情况讨论，利用a，b，c都是正整数以及一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）依题意得(元)； 故答案为：6100； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y， 则，即， 整理得， ∵a，b，c都是正整数， ∴则必须是3的倍数， ∴①，或②，或③，； 分类讨论， ①当，，时，，不合题意，舍去； 当时，，， ∴， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时； ②当，，时，由（1）得，不合题意，舍去； 当时，，， ∴， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时； ③当，时，，，或，或 当，，时，，不合题意，舍去； 当，或时，； 综上，如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或9，2，1或6，4，1． 故答案为：3，6，1或9，2，1或6，4，1． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确的分类是解题的关键，注意租用甲型客车有优惠活动． ►题型03 一次函数与行程问题 1.变量对应混淆：颠倒一次函数 s=vt+s0中自变量（时间t）与因变量（路程s）的关系，或忽略截距s0的实际意义（初始位置/已走路程）。 2.单位未统一：计算时混用不同单位（如速度单位 km/h 与时间单位 min、路程单位 m 与 km），导致斜率v（速度）数值计算错误。 3.斜率意义误解：误将一次函数斜率k的符号、数值理解错误，如相向而行时速度和的斜率符号、同向追及时速度差的斜率符号判断颠倒。 4.相遇/追及条件转化失误：相遇时“路程和等于总距离”、追及时“路程差等于初始距离”的关系，转化为函数等式时符号或等量关系出错。 5.自变量取值范围遗漏：忽略时间t≥0、路程s不超过总距离等实际约束，得出负数时间、超量程路程等无效解。 6.函数图象读取偏差：从行程图象中读取速度时，误算两点间的横坐标差（时间差）或纵坐标差（路程差），导致速度计算错误；或混淆“静止状态”（图象水平，斜率为0）与“匀速运动”（图象倾斜，斜率为定值）。 7.多对象运动建模疏漏：涉及多个运动物体时，未分别建立一次函数模型，或混淆不同物体的速度、初始位置，导致联立方程求解错误。 【典例】（2024·北京西城·二模）一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离． 0 3 6 9 675 600 525 450 如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为（    ） A．25min B．21min C．13min D．12min 【答案】B 【分析】根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式． 【详解】解：根据记录表知，每3 min钟，观光船与码头的距离缩短75m， ∴y与x的函数表达式为一次函数关系， 设y与x的函数表达式为y=kx+b，由记录表得： ， 解得：． ∴y与x的函数表达式为y=-25x+675． 当y=150时，150=-25x+675， 解得x=21， ∴从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为21min， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，在解答时利用待定系数法求出一次函数解析式是关键． 【变式1】（2025·北京东城）两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，此函数为正比例函数，比例系数为；当时，函数值没有发生变化；当时，y随x的增大而减小，比例系数为，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键． 【变式2】（2023·北京·模拟预测）甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均同一路线上速匀行驶，乙到B地后即停车等甲．甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为（　　） A．0.25小时 B．0.5小时 C．1小时 D．2.5小时 【答案】B 【分析】根据速度=路程÷时间，可求甲骑自行车的速度为10÷1=10千米/小时，根据乙出发0.25小时追上甲，设乙速度为a千米/小时，列方程求出乙速度，设追上后到达B地用b小时，根据追及路程列方程求解，再把两个时间相加即可求解． 【详解】解：由图像可得：甲骑自行车的速度为10÷1=10千米/小时，乙出发0.25小时追上甲， 设乙速度为a千米/小时， 0.25a=1.25×10， 解得：a=50， ∴乙速度为50千米/小时， 设乙追上甲后到达B地用b小时， 50b-10b=10， 解得：b=0.25， ∴乙从A地到B地所用的时间为0.25+0.25=0.5（小时）， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用追及问题的关系式得到乙开汽车的速度． ►题型04 一次函数与梯度计价问题 1.分段点归属错误：混淆梯度计价的临界点区间归属（如“不超过100”含100，“超过100”不含100），导致分段函数的定义域边界取值错误。 2.单价与函数斜率混淆：梯度计价中每一段的一次函数斜率对应该档单价，易将不同档位的单价混用，或误把“起步费”当作斜率代入计算。 3.跨档费用计算失误：计算超档位总费用时，未按“首档总价+超档部分×对应单价”分步算，直接用总量乘某一档单价，导致结果偏差。 4.分段函数建模疏漏：遗漏某一档的函数表达式，或写错各段定义域（如忽略用量非负的基本约束），导致函数模型不完整。 5.反向计算档位误判：已知总费用求用量时，未先判断费用所属档位，直接用总费用除以某一档单价，忽略跨档情形，得出错误用量。 6.单位与附加条件忽视：未统一计价单位（如水量“吨”与“立方米”、电量“度”与“千瓦时”），或漏看“最低消费”“阶梯优惠”等隐含条件，导致函数截距或斜率错误。 7.端点重复/遗漏计算：分段函数的临界点重复计入两段费用，或完全遗漏，造成总费用多算、少算。 【典例】“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【答案】(1)， (2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元 (3)王林选择方案一花费更少，见解析 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用； （1）根据题意分别列出函数关系式即可； （2）依据题意联立方程组并求解即可求出点P的坐标，再结合实际说出实际意义即可； （3）根据图象进行分析，当时，；当时，即可求出结果． 【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为， 方案二费用与剪发次数的函数关系式为； （2）依据题意联立方程组得：， 解得， ∴点， 点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元； （3）选择方案一花费更少． 理由：根据图象可知：当时，；当时，； ∴当时，； ∴王林选择方案一花费更少． 【变式1】每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】(1) (2)50957.1元 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【详解】（1）解：， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 【变式2】某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 命题点二 反比例函数的应用 ►题型01 反比例函数与行程问题 1.模型适用前提混淆：忽略反比例函数“路程固定”的核心条件（s=vt，s为定值时v与t成反比），误将匀速变路程（一次函数）场景用反比例建模。 2.变量对应失误：颠倒v（速度）与t（时间）的反比例关系，错列表达式，或混淆自变量与因变量。 3.单位未统一计算*：混用速度（km/h、m/min）、时间（h、min）、路程（km、m）单位，导致路程s计算错误，进而反比例函数解析式偏差。 4.增减性前提遗漏：忽略反比例函数“同一象限内”的增减性要求（行程中v>0、t>0仅在第一象限），误跨象限判断速度与时间的变化关系。 5.多段行程建模疏漏：涉及分段行程（部分路段路程固定、部分匀速）时，混淆反比例与一次函数模型，或误将多段路程总和当作单段固定路程代入。 6.图象读取偏差：误将反比例双曲线当作直线解读，或从图象中读取v、t时，横纵坐标对应颠倒，导致速度、时间计算错误。 7.反向计算档位误判：已知速度/时间求对应量时，未先确认路程是否固定，直接套用反比例公式，忽略路程变化的情形，得出无效解。 【典例】如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 30．（2025九年级上·北京·专题练习）小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系． (1)写出v与t之间的函数关系式； (2)若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？ 【答案】(1) (2)20分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将实际问题转化为函数问题是解题的关键． （1）根据路程速度时间的关系求解即可； （2）将代入（1）中的关系式求解即可． 【详解】（1）解：因为路程 = 速度×时间，已知路程为1200米， 所以，即（）； （2）解：当时，，解得． 所以他从家到学校需要20分钟． 【变式】年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如表关系： 厘米 米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是　　； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为　　米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，与正确理解题意是解题的关键． （1）设与的函数解析式为，待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入反比例函数解析式，即可求解； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 根据表格可得反比例函数经过点， 代入可得， 故反比例函数解析式为． 故答案为：． （2）解：当时，， ∴当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 故答案为：． （3）解：当时，即， 解得： ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是厘米． 题型02 反比例函数与工程问题 1.模型适用前提混淆：忽略反比例函数“工作总量固定”的核心条件（w=pt，w为定值时，工作效率p与工作时间t成反比），误将工作总量变化的场景（一次函数模型）用反比例建模。 2.变量对应与表达式写错：颠倒效率p与时间t的反比例关系，错列解析式，或混淆自变量（效率/时间）与因变量。 3.单位不统一致误差：混用效率单位（如工作量/天、工作量/小时）与时间单位（天、小时），未统一单位就计算工作总量w，导致反比例函数参数偏差。 4.增减性前提遗漏：忽略反比例函数“同一象限内”的增减性要求（工程中p>0、t>0仅在第一象限），误判效率与时间的变化关系（如认为效率越高时间一定越长）。 5.多主体合作建模失误：多人/多设备合作时，误将单个效率与总时间挂钩，未先计算总效率（各效率之和），再结合固定总量建立反比例关系，导致联立求解错误。 6.分段工程模型混淆：涉及分段工程（部分路段总量固定、部分变化）时，混淆反比例与其他函数模型，或误将多段工作量总和当作单段固定总量代入计算。 7.反向计算忽略总量验证：已知效率/时间求对应量时，未先确认工作总量是否固定，直接套用反比例公式，忽略总量变化或额外工作量（如返工、附加任务）的影响，得出无效解。 8.隐含条件忽视：漏看“工作时间非负”“效率上限”“多人协作时间同步”等隐含条件，导致解析式定义域错误或方案不符合实际工程场景。 【典例】（2024·北京通州）某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 【答案】(1)v＝ (2)实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量 【分析】对于（1），先求出土方的总量，再根据实际平均每天运输的土方量总量总天数得出答案； 对于（2），将代入关系式求出v，再用求出的结果减去原计划每天运输的土方可得答案． 【详解】（1）根据题意，得 ； （2）当时，， （）． 答：实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，列出反比例函数关系式是解题的关键． 【变式1】陕西的面食文化丰富多彩，具有深厚的历史底蕴和多样的制作工艺．其中扯面已有年的历史．厨师张师傅将一定质量的面团做成扯面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过点． (1)求与之间的函数表达式． (2)当张师傅扯出的面条的横截面面积为时，他扯出的面条的总长度是多少米？ 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)扯出的面条的总长度是 【分析】本题考查的知识点是反比例函数与实际问题、求反比例函数解析式、求反比例函数值，解题关键是熟练掌握求反比例函数解析式的方法． （1）设反比例函数的函数表达式为，将点坐标代入求出的值即可； （2）将代入由（1）中得到的反比例函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的函数表达式为， 其图象经过点， ， 即与之间的函数表达式为． （2）解：由（1）得，与之间的函数表达式为， 则当时，， 扯出的面条的总长度是． 【变式2】（2025·北京专题）某工厂制作一批零件，每天制作的零件数x（个）与需要的天数y（天）成反比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若要在10天内完成这批零件的制作，每天至少需要制作多少个零件？ 【答案】(1) (2)100 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据每天制作的零件数x与需要的天数y成反比例关系设出函数解析式，把已知条件代入求出比例系数即可； （2）把代入（1）中求出的函数解析式即可求出，再根据反比例函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：因为每天制作的零件数x与需要的天数y成反比例关系，所以设（）． 将，代入， 得， 解得． 所以y与x之间的函数关系式为． （2）当时，，解得． ∵中，， ∴y随着的增大而减小， ∴当时，， 即每天至少需要制作100个零件． 命题点三 二次函数的应用 题型01 二次函数与图形问题 1.坐标与边长转化失误：直接将点的横/纵坐标当作图形边长，忽略坐标差的绝对值；涉及负坐标时，未正确计算线段长度，导致边长、周长计算错误。 2.函数与图形交点求解疏漏：联立二次函数与直线/曲线方程时计算出错，或漏解二次方程的根；忽略交点需满足图形位置约束（如在某象限、某线段上），保留无效交点。 3.面积计算方法误用：用坐标法求面积时，选错底和高（未选与坐标轴平行的边作底）；忽略抛物线在x轴下方部分的面积需取绝对值；组合图形拆分不合理，重复计算或遗漏部分面积。 4.顶点/对称轴与几何性质结合错误：记错二次函数顶点坐标公式，代入顶点在某直线/图形上的条件时符号出错；误判对称轴与图形的位置关系（如对称轴是否平分图形），导致参数求解偏差。 5.图形存在性问题漏解/多解：探究等腰、直角、相似三角形等存在性时，未分类讨论（如等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点）；忽略自变量取值范围，得出超出图形边界的虚假解。 6.函数定义域与图形范围不匹配：求图形上动点坐标时，未考虑抛物线开口方向、最值对坐标的限制；忽略线段、射线等图形的端点约束，导致点的坐标不符合图形实际。 7.相似/全等三角形对应关系混淆：利用相似列比例式时，对应边、对应角匹配错误；将坐标转化的边长代入比例式时，遗漏系数或算错线段长度比。 【典例】（2025·北京）如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】根据点（0,10）求出抛物线的解析式，根据矩形长和宽的比为2∶1判断四边形OECD是正方形，求出C点的坐标，根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 即可求得阴影部分的面积. 【详解】∵此二次函数的图象经过点， ∴． ∵此二次函数图象的对称轴是y轴，且矩形ABCD的长和宽的比为，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 设点C的坐标为， ∵四边形OECD是正方形， ∴，解得（舍去负值），， ∴点C的坐标是， ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的对称性及其性质是关键. 错因分析：中等题．失分原因：①没有掌握二次函数图象对称的性质；②解一元二次方程出错． 【变式1】（2024·北京房山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为边AB，BC上的动点，且DE=DF．若△DEF的面积为y，BF的长为x，则表示y与x的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再利用割补法表示出△DEF的面积，可得答案. 【详解】∵正方形ABCD的边长为4，DE=DF． ∴， ∵BF的长为x， ∴BE=x， ∴ 故选D. 【点睛】本题考查二次函数计划的图像和性质，全等三角形的判定和性质，列出函数解析式是关键. 【变式2】（2024·北京丰台）如图，边长为1的正方形的对角线、相交于点，有直角，使直角顶点P与点O重合，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为，、分别交、于E、F两点，连接交于点G，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）在旋转过程中，当与的面积之和最大时，；（5），其中正确的是 ． 【答案】（1）（2）（3）（5） 【分析】（1）由四边形是正方形，直角，易证得，则可证得结论； （2）由（1）易证得，则可证得结论； （3）由，可得，然后由正方形的性质和勾股定理，证得； （4）首先设，则，，继而表示出与的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案； （5）易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，再利用与的关系，与的关系，即可证得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，故结论正确； （2）， ， ， ，故结论正确； （3）， ， 四边形是正方形， ，， ， ，故结论正确； （4）如图，过点O作交于点， ，， ， 设，则，， ， ， 当时，最大； 即在旋转过程中，当与的面积之和最大时，，故结论错误； （5）是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ，故结论正确． 故答案为：（1）（2）（3）（5）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识．旋转前后的图象是全等的，综合几何问题经常作为一个隐含条件，解决问题的钥匙．几何中的最值问题，很多题要通过设未知量，建立函数关系，转化成二次函数最值问题，通过研究二次函数的最值，得到几何最值． 题型02 图形运动问题 1.运动坐标建模错误：动点坐标未结合运动方向（平移、旋转、对称）按规律表示，或分阶段运动时漏分段建模；参数设定不合理，导致动点坐标与二次函数解析式无法衔接。 2.运动性质与函数结合偏差：平移时误改二次函数a的值（平移不改变开口大小和方向，a不变）；旋转/对称后，顶点坐标变换错误，未同步更新二次函数顶点式。 3.定义域与运动范围不匹配：忽略动点在二次函数图象、线段、射线等图形上的运动边界，自变量取值范围超出实际运动区间，导致虚假解。 4.分类讨论遗漏/重复：探究运动后等腰、直角、相似三角形等存在性时，未按运动位置、对应关系分类（如直角顶点、等腰腰的不同情况），或重复计算重合位置的解。 5.几何量动态计算失误：运动中线段长度、面积、周长的表达式列写错误，未用坐标差绝对值、割补法等准确转化；忽略二次函数图象在x轴上下方的差异，面积计算未取绝对值。 6.运动临界条件忽视：漏判动点与二次函数顶点、对称轴、坐标轴的临界位置（如相遇、相切、端点重合），导致关键解遗漏；未结合运动时间非负、速度恒定等隐含条件。 7.函数与运动验证缺失：求出参数或坐标后，未代入二次函数解析式及运动规律验证，导致解不符合“动点在图形上运动”的核心条件。 【典例】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2tx+2． （1）求抛物线的对称轴（用含t的代数式表示）； （2）将点A（﹣1，3）向右平移5个单位长度，得到点B． ①若抛物线经过点B求t的值； ②若抛物线与线段AB恰有一个交点，结合函数图象直接写出t的取值范围． 【答案】（1）直线x＝t；（2）①t＝；②t≤﹣1或t＝1或t＞时，抛物线与线段AB有一个公共点． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可； （2）①求得B点的坐标，代入解析式就可以求得t的值； ②求顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2＋2上移动，求得抛物线与直线y＝3的交点．再求出抛物线过点A、点B时，t的值，结合图象即可求出t的取值范围． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2tx+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝t， 即抛物线的对称轴为直线x＝t； （2）点A（﹣1，3）向右平移5个长度单位，得到点B（4，3）， ①∵抛物线经过点B， ∴3＝﹣16+8t+2， 解得t＝； ②∵y＝﹣x2+2tx+2＝﹣（x﹣t）2+t2+2， ∴顶点的坐标为（t，t2+2）， 由顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2+2上移动． 把y＝3代入y＝x2+2求得x＝±1， 当抛物线过点A（﹣1，3）时，t＝﹣1． 所以t≤﹣1或t＝1或t＞时，抛物线与线段AB有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数的性质，直线与抛物线的位置关系，体现了转化思想和数形结合思想的应用． 【变式1】（2023·北京丰台·一模）我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数的图象与x轴交点的坐标为（，0），所以该函数的零点是. （1）函数的零点是 ； （2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A在x轴上.若正方形ABCD沿轴正方向滚动，即先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 . 【答案】 －5，0　 【详解】试题分析：（1）函数与x轴交点坐标（-5，0）．则零点为--5. （2）解：依题意知， 则从A落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，D点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BD为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如上，中间部分面积可看为半径为1的圆加上一个正方形面积： 故其与x轴所围成的图形面积为S= 考点：探究规律题 点评：本题难度中等．主要考查学生对几何图形面积综合探究规律掌握．为中考常见题型，要求学生培养数形结合思想，运用到考试中去． 【变式2】（2024·北京朝阳·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱FAPG；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y（平方单位），y＞0，点F与点C重合时运动停止，设点P的运动时间为x秒． (1)直接写出点G落在BC边上时x的值． (2)求y与x的函数关系式． (3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或1 【分析】（1）当点G在BC上时，则AP+BP＝AB，根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，用含x的式子表示AP、BP的长，再列方程求出x的值； （2）当0＜x≤，y等于平行四边形FAPG的面积，当＜x≤2时，y等于平行四边形FAPG的面积减去一个等腰直角三角形的面积，当2＜x≤4时，y等于△ABC的面积减去一个等腰直角三角形的面积，按这三种情况分别求出y关于x的函数关系式； （3）有两种情况，即当点G落在AB边的中线上和点G落在AC边的中线上时，直线GC或直线GB平分△ABC的面积，列方程求出相应的x的值即可． 【详解】（1）解：解：如图1，点G在BC上， ∵∠B＝90°，AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝45°， ∵PF⊥AC， ∴∠AFP＝90°， ∴∠A＝∠APF＝45°， ∴AF＝PF； ∵四边形FAPG是平行四边形， ∴PGAC，AF＝PG， ∴AF＝PG＝PF，∠BPG＝∠A＝45°，∠BGP＝∠C＝45°， ∵PA＝2x， ∴AF＝PG＝PF＝AP•sin45°＝2x•＝x， ∴PB＝BG＝PG•sin45°＝x•＝x， ∵PA+PB＝AB＝4， ∴2x+x＝4， 解得，x＝． （2）解：解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝4， ∴AC＝， 当点F与点C重合时，则x＝，解得，x＝4， 当点P与点B重合时，则2x＝4，解得x＝2． 当0＜x≤时，如图2， y＝S平行四边形FAPG＝AF•PF＝x•x， 即y＝2x2； 当＜x≤2时，如图3，PG交BC于点M，FG交BC于点N，作PQ⊥FG于点Q， ∵∠BMP＝∠C＝45°＝∠BPG， ∴MB＝PB＝4﹣2x； ∵∠FPG＝∠AFP＝90°，PG＝PF，FG＝AP＝2x， ∴FQ＝GQ， ∴PQ＝FG＝×2x＝x； ∵FGAB， ∴∠BPQ＝∠PQF＝90°， ∴∠B＝∠BPQ＝∠PQN＝90°， ∴四边形BPQN是矩形， ∴BN＝PQ＝x， ∵∠G＝∠A＝45°，∠NMG＝∠C＝45°， ∴∠G＝∠NMG， ∴GN＝MN＝x﹣（4﹣2x）＝3x﹣4， ∴y＝S平行四边形FAPG﹣S△NMG＝2x2﹣（3x﹣4）2， 即y＝﹣x2+12x﹣8； 当2＜x≤4时，如图4， ∵∠CFN＝∠A＝∠C＝45°， ∴FN＝CN＝4﹣x， ∵∠CNF＝∠ABC＝90°， y＝S△ABC﹣S△NCF＝×4×4﹣（4﹣x）2， 即y＝﹣x2+4x． 综上所述， （3）解：如图5，点G在△ABC的中线CK上，则直线CG平分△ABC的面积， ∵PGAC， ∴△PKG∽△AKC， ∴ ， ∵AK＝ ， ∴PK＝2﹣2x， ∴， 解得，x＝ ； 如图6，点G在△ABC的中线BL上，则直线BG平分△ABC的面积， ∵BL⊥AC， ∴∠FPG＝∠PFL＝∠FLG＝90°， ∴四边形PFLG是矩形， ∴FL＝PG＝AF＝x， ∵AL＝AC＝×4＝2 ∴x+x＝2， 解得，x＝1， 综上所述，x的值为或1． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及图形动点题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题． 题型03 拱桥问题 1.坐标原点设定失误：未选择拱脚、顶点等特殊位置设原点，导致抛物线解析式复杂且计算出错；误将原点设为非对称点，无法利用抛物线对称性简化求解。 2.开口方向与a的符号混淆：拱桥抛物线必开口向下（a<0），易误写为a>0，导致顶点坐标、最值计算完全偏差，与拱桥实际形状不符。 3.跨度与坐标对应错误：混淆“拱桥跨度”（两拱脚水平距离）与抛物线与x轴交点的关系，误将单拱脚横坐标当作跨度，或未用交点距离计算跨度，导致参数求解错误。 4.单位不统一致误差：混用长度单位（如米、分米、厘米），未统一单位就代入计算拱高、跨度，导致二次函数解析式中系数、常数项偏差。 5.自变量取值范围忽略：未结合拱桥跨度限定自变量（水平距离）的取值范围，超出拱脚之间的范围求解，得出无实际意义的虚假解。 6.拱高计算与顶点混淆：误将顶点横坐标当作拱高，或未通过顶点纵坐标（结合原点位置）计算实际拱高；忽略顶点纵坐标的符号（开口向下时顶点纵坐标为正，对应最大拱高）。 7.反向计算漏解/错解：已知某高度求对应水平距离时，未利用抛物线对称性（同一高度对应两个水平位置），导致漏解；或未验证解是否在拱桥跨度范围内，保留无效解。 8.建模遗漏实际条件：忽略桥面厚度、荷载导致的高度偏移，或误将拱线当作桥面（未区分拱顶到桥面、拱顶到地面的高度差），导致解析式与实际拱桥不符。 9.对称性应用失误：未利用抛物线对称轴（过顶点且垂直于跨度）简化计算，如误判对称轴位置，导致求对称点坐标、分段距离时出错。 【典例】（2023·北京平谷·二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 【答案】(1) (2)五个桥洞的总跨度的长为米 【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）根据二次函数的平移，分别令，，，求得每个桥洞的跨度即可求解． 【详解】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线的解析式为 ∵抛物线过点．解得 （2）令， 解得：， ； ∵的表达式：，的表达式： 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动 当时， 解得：， ； 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动， 当时， 解得：， ∴ ∴五个桥洞的总跨度的长为米．    【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键． 【变式1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表： x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6 y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99 (1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）； (3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能 【分析】（1）根据表格中数据进行描点、连线即可； （2）根据图象得出时，或，然后可得答案； （3）根据表格中数据求出和时纵坐标的值，求得其差得出船靠中间行驶时，船左右两边到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）由图象可得：当时，或， ∴拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度约是米， 故答案为：； （3）由表格中数据可得，当时，；当时，， 当时，；当时，， ∵米， ， ∴这艘船能安全通过， 故答案为：能． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键． 【变式2】（2025·北京顺义）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． (3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1)6，． (2)见解析 (3)隧道需标注的限高应为4.5米 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可； （3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6， 设 ∵D的坐标为 ∴，解得 ∴． 故答案为：6，． （2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示： （3）解：令，可得 隧道需标注的限高应为（米）． 答：隧道需标注的限高应为4.5米． 【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键． 题型04 销售问题 1.单件利润计算偏差：混淆“单件利润=售价-进价”公式，误算为“进价-售价”；或漏算折扣、运费、损耗等附加成本，导致单件利润数值错误。 2.销量函数斜率错判：销量与售价的一次函数关系中，斜率符号颠倒（如售价上涨销量下降，斜率应为负，却误写为正），导致销量表达式与实际销售规律不符。 3.总利润函数构建失误：总利润=单件利润×销量，将两个一次式相乘展开时符号、系数计算出错；或误将单件利润/销量的函数直接当作总利润函数。 4.自变量取值范围遗漏：未考虑售价≥进价、销量≥0的基本约束；忽略库存上限、限购数量等隐含条件，导致最优售价超出实际可售范围。 5.最值求解忽略定义域：直接套用顶点式求最优售价，未验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内（如顶点售价低于进价时，最值应取区间端点）。 6.一元二次方程解的取舍失误：已知总利润求售价时，解出两个根后未结合实际筛选（如舍去负数售价、超出合理定价区间的解），或遗漏符合条件的根。 7.分段销售建模疏漏：存在多档位折扣、分段返利等场景时，未分区间构建二次函数模型；或区间临界点归属错误，导致分段利润计算重复/遗漏。 8.单位与统计口径混淆：混用不同货币单位（如元、万元）或销量统计单位（如件、箱）；误将“每涨1元销量降5件”的比例关系，错配为“每降1元销量降5件”。 【典例】（2025·北京西城）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 (1)若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 (2)为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】(1)；； (2)A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出提价后的单套利润和销量，再根据总利润=单套利润销量列出式子； （2）A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，则，据此整理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：A套餐提价后的利润为元，销量为套， ； B套餐提价后的利润为元，销量为元， ； （2）设A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w， 则； ， ， ， 当时，利润最大为6984元． 答：A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元． 【变式1】（2025·北京通州）某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． (1)当时，每件的利润是______，总利润为______． (2)若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； (3)销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】(1)10元，4000元 (2)， (3)销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元 【分析】本题考查了二次函数的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据利润等于售价减去进价，总利润等于单件利润乘数量，进行计算，即可作答． （2）总利润等于单件利润乘数量，进行化简，得，又因为销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，故； （3）先得，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， 则， ∴（元）， 即当时，每件的利润是10元，总利润为4000元． （2）解：依题意，， 整理得， ∵规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元， ∴； （3）解：由（2）得设总利润为元，则与的函数表达式是， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 在时，有最大值，越靠近对称轴时，函数值越大， ∵， ∴把代入， 得， 即销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元． 【变式2】（2025·北京西城）某公司可以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)当时，每件的利润是________元，总利润为________元； (2)若设总利润为元，则与的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； (3)销售单价定为多少元时，此时总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】(1)10；4000 (2) (3)销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元 【分析】本题主要考查了求一次函数值，求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据售价减去进价得出单件利润，再根据单件利润乘以销售量得出总利润； 对于（2），根据总利润等于单件利润乘以销售量列出关系式，并整理，再根据售价不低于成本价，不高于70元求出自变量取值范围； 对于（3），先将二次函数配方得出顶点式，再根据抛物线的开口方向和对称轴，可得当时，函数值随着x的增大而增大，然后将代入关系式求出最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， 每件的利润为：（元）；总利润为：（元）； 故答案为：10；4000； （2）解：根据题意，得，且； 故答案为：；； （3）解：二次函数， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数值随着x的增大而增大， ∴当时，元， 所以销售单价定为70元时，此时总利润最大，最大利润是6000元． 题型05 投球问题 1.坐标设定失误：未合理选择原点（如出手点、地面某点），或坐标轴方向混淆（如y轴误设向下），导致抛物线开口方向与a的符号不匹配（投球轨迹开口向下，a<0，方向错易误写a>0）；忽略出手点初始高度，误将原点设为出手点却未补充初始高度参数。 2.a的符号与开口方向颠倒：投球轨迹（忽略空气阻力）必为开口向下的抛物线，易误写为a>0，导致顶点坐标、最大高度计算完全偏离实际运动轨迹。 3.变量对应混淆：颠倒水平距离（自变量x）与竖直高度（因变量y）的关系，或误将运动时间当作自变量代入二次函数（投球问题多以水平距离建模，时间建模需结合物理公式，易出错）。 4.顶点意义误解：误将顶点横坐标当作总水平射程，实则顶点横坐标是“达到最大高度时的水平距离”，顶点纵坐标才是最大高度；混淆“最大高度”与“射程”的计算逻辑。 5.落地点/目标点高度忽略：默认落地点或目标点（如篮筐）高度为0（地面），忽略实际高度差（如篮筐距地面3.05米），导致列方程时等式右边错误，求解偏差。 6.方程解的取舍不当：已知高度求水平距离时，二次方程的两个根未结合投球方向筛选（舍去向后的负根、超出实际射程的根），保留无效解。 7.单位不统一致误差：混用长度单位（如水平距离用米、高度用厘米），未统一单位就代入计算，导致二次函数系数、常数项偏差，影响后续求解。 8.出手点与轨迹验证缺失：列写解析式后，未代入出手点坐标验证（如出手点(0, h)需满足函数），或未结合实际投球角度验证轨迹合理性，导致建模错误未被发现。 9.射程计算错误：射程是落地点与出手点的水平距离，易直接用顶点横坐标翻倍计算（仅对称抛物线适用），忽略出手点与落地点高度不一致的情况。 【典例】（2024·北京西城）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)11.25， (2) (3)她当天的比赛不能成功完成此动作 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米   对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴    ∵ ∴； （3）解： ∴点坐标为     ∴ ∴    当时，     ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 【变式1】（2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【详解】（1）解：当时，， 故击球点的高度为； （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， （3）第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 【变式2】（2023·北京东城·一模）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】(1)， (2)乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出； （2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去. 【详解】（1）解：乒乓球竖直高度的最大值 依题意，， ∴与的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴与的函数关系式为. （2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 题型06 喷水问题 1.坐标原点设定不当：未选择喷水口、地面等特殊位置设原点，导致抛物线解析式复杂；或混淆坐标轴方向（如y轴误设向下），使开口方向与a的符号矛盾（喷水轨迹开口向下，a<0）；忽略喷水口自身高度，误将喷水口设为原点却未计入初始高度参数。 2.a的符号与开口方向颠倒：喷水轨迹为开口向下的抛物线，易误写为a>0，导致最大喷水高度、轨迹走向计算完全偏离实际。 3.变量对应混淆：颠倒水平喷射距离（自变量x）与竖直高度（因变量y）的关系；或误将喷射时间当作自变量建模（需结合物理公式，复杂度高易出错）。 4.顶点意义误解：误将顶点横坐标当作总喷射射程，实则顶点横坐标是达到最大高度时的水平距离；忽略喷水口与落地点高度差，直接将顶点横坐标翻倍算射程（仅对称抛物线适用）。 5.实际高度条件忽略：默认落地点高度为0（地面），但未考虑喷水目标高度（如喷到花台、水面）；或漏算喷水口距地面的初始高度，导致列方程时常数项错误。 6.方程解的取舍不当：已知高度求水平距离时，二次方程的两个根未结合喷射方向筛选，保留负根（反向喷射）或超出实际喷射范围的无效解。 7.单位不统一致误差：混用米、厘米等长度单位，未统一单位就代入计算，导致二次函数系数偏差，影响射程、高度的求解精度。 8.多喷头/分段喷水建模疏漏：多个喷头同时喷水时，混淆不同喷头的解析式参数；分段调节喷水压力时，未分区间构建函数模型，或区间临界点归属错误。 9.轨迹验证缺失：列写解析式后，未代入喷水口坐标验证；或未结合实际喷射范围限定自变量取值，导致模型与实际喷水轨迹不符。 【典例】某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 【变式1】（2023·北京西城·一模）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． (2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项） 【答案】(1)①；②能；见解析 (2)A、C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，运用待定系数法求出函数解析式以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；②把代入①中解析式求出y的值与比较即可； （2）根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可判断． 【详解】（1）解：①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线解析式为； ②当时，， ∵， ∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树； （2）解：∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， ∴当时，，即，故A正确，符合题意； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当时，，即，故B不正确，不符合题，C符合题意； 抛物线对称轴为， ∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外， ∴，故D不正确，不符合题意． 故答案为：A、C． 【变式2】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见详解 (2)1.5 (3)2.1米 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高， 即， 故答案为：1.5． （3）根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入，得， 抛物线的解析式为：， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于， ， 解得， 水管高度至少向上调节1.6米， （米， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 突破一 一次函数与几何综合 【典例】（2024·北京西城·模拟预测）如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得点的运动轨迹是直线，作点关于这条直线的对称点，连接与直线的交点即是的周长最小值时的点，求出，再根据两点之间的距离公式即可求出此时，进而求解即可． 【详解】解：， ， 的周长为， 当取得最小值时，的周长最小． 为的直径， ， 点是直线上的动点，点是上的动点， 点的运动轨迹为． 过点作直线的对称点，可知点在直线上， 连接，交直线于点，连接，如图． 此时的最小值即为． 直线与直线相互平行，且， ， 点的坐标为 ∴ ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、圆的性质、对称性，能够找到使最小时点的位置是解答本题的关键． 【变式】（2023·北京海淀·三模）如图，已知点，轴，垂足为，交直线于点，若点是直线上的一个动点，，，则当点运动时，点随之运动，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】作垂直，取的中点，连接、、、，首先证明点在射线上运动，推出当垂直时，的值最小，最小为的长． 【详解】解：如图1所示，作垂直于点，取的中点，连接、、、，   在和中， ， ， 、、、四点共圆， ， 垂直于点， ， ， 点在射线上运动， 当时，的值最小，最小值为的长， 在中， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数上点坐标的特征，利用转化思想找到点的运动轨迹，从而推出何时长度最短为解题关键． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】（2025·北京西城）一次函数与反比例函数图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． （1）若点的横坐标为，求一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，当时，求的取值范围． 【答案】（1）；点的坐标为；（2）或． 【分析】（1）把代入反比例函数图象上可求点A坐标，再将点A代入一次函数解析即可求出m，最后联立解析式即可求出交点坐标； （2）分m>0,m<0两种情况，画出图形求出点A、B、C坐标（用m代数式表示）进而根据列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时，，∴． ∴，． ∴一次函数的表达式为． 当时，解得，； 点的坐标为． （2）当时，一次函数，即：C点坐标为：(0，m)， ∵一次函数与反比例有两个交点，当时，即，，即， ∴或时，， 又∵点的横坐标小于点的横坐标． 故点的横坐标，点的横坐标； ①当时，此时，如解图①         ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即： ∴，整理得：， 结合，解得：， ②当时，，此时，如解图② ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴，整理得：， ∴， 结合解得：， 综上所述：的取值范围为： 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、利用二次函数的图像解不等式，根据函数解析式求出交点坐标是关键，问题（2）由已知确定不等式、求二次不等式解是难点． 【变式1】（2024·北京房山）图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合，可知四边形ABCD是平行四边形，设B点坐标为，则C点坐标为，即可求出BC=，利用勾股定理可得，①利用菱形的性质即可判断；②根据正方形的性质，可知AB⊥AD，即有a=5，求出B点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，将四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，即可判断． 【详解】：∵BC⊥y轴， ∴， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设点B点坐标为，则C点坐标为，结合A点坐标为(5,0)， ∴BC=，， ①当a=5时，BC=，AB=，此时AB＜BC， 当a=1时，BC=，AB=，此时AB＞BC， 随着a值的变化，显然存在AB=BC的情况，则平行四边形ABCD可能是菱形，故①正确； ②若平行四边形ABCD是正方形，则AB⊥AD，此时A、B的横坐标相等， ∴a=5，此时BC=，AB=，AB≠BC， 故平行四边形ABCD不可能是正方形，故②错误； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)， 当a=5时，BC=，AB=， 周长为：2(AB+BC)=， 当a=1时，BC=，AB=， 周长为2(AB+BC)=， 显然此时上述二者的周长不相等，故③错误； ④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，如图， 则有四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积， ∴， ∵，， ∴，故面积为定值， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征． 【变式2】如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，，n时，点的坐标是 ；过点作x轴的垂线，垂足为，再过点作于点，以点、、为顶点的的面积记为，按照以上方法继续作图，可以得到，…，，其面积分别记为，…，，则 ．        【答案】 / 【分析】由点在上和的横坐标为2，可得点的坐标．求出、、、、的纵坐标，从而可计算出、、、的高，进而求出、、、，从而得出的值．本题主要考查反比例函数的性质，依据函数图像探索坐标值规律变化，进而考查三角形面积之和． 【详解】因为点在上且的横坐标为2，可得点的坐标是． 当时，的纵坐标为2，当时，的纵坐标为1，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，…，当时，的纵坐标为， 则， ， ， ， … ． ∴． 突破三 二次函数综合 【典例】（2025·北京海淀）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由； ②若对于，都有，求m的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）①；见解析；② 【分析】（1）直接利用对称轴公式即可求出． （2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴．由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，即可求出．②通过计算可知，点为抛物线上关于对称轴对称的两点， 分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：Ⅰ当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时，不符题意；Ⅱ当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时，不符题意；Ⅲ当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时，符合题意．即有，即． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线； （2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴； ∴图形G如图． ∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小； ∵， ∴． ②通过计算可知，为抛物线上关于对称轴对称的两点， 下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置： Ⅰ如图，当y轴在点P左侧时（含点P）， 经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，，不符题意； Ⅱ如图，当y轴在点Q右侧时（含点Q）， 点M，N分别和点P，Q重合，，不符题意； Ⅲ如图，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q）， 经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，，符合题意． 此时有，即． 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题为二次函数综合题．考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难．利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键． 【变式1】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式求出即可； （2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线（）的对称轴为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，， ∴，都在对称轴右侧， ∵当时，y随x的增大而增大，且， ∴； （3）∵，， ∵， ∴距离对称轴更近，，则的中点在对称轴的右侧， ∴， 解得：． 【变式2】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ， 顶点为； （2）解：抛物线， 点，，在抛物线上， ，，， ， ，即， 解可得或， 或， ， 或， 解， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 1．（2025·北京平谷）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　） A．300度 B．500度 C．250度 D．200度 【答案】C 【分析】先求出反比例函数解析式，然后求出当时y的值即可得到答案． 【详解】解：设近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的反比例函数解析式为， ∵小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，， ∴小明的近视镜度数可以调整为250度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于能够正确求出反比例函数解析式． 2．（2025·北京）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：设与的一次函数解析式为， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即与的函数解析式为， 当时，， 故选：A． 3．（2023·北京昌平·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点的分别规律即可得出结论． 【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，：    观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上， ∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键． 4．在观察某细胞分裂的实验中，细胞的总面积S（单位：）随时间t（单位：h）的变化如下：在时，S与t可近似看成一次函数关系；当时，S与t的函数关系满足，已知细胞的总面积S随时间t的变化的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．当时，t每增加，细胞的总面积增加 B．当时，细胞总面积S随t的增大而减小 C．当时， D．当时，细胞总面积为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，先由待定系数法求出一次函数解析式，即可判断A选项，根据函数图象可判断B、C选项；将代入一次函数解析式计算，即可判断D选项． 【详解】解：∵当时，S与t可近似看成一次函数关系，故设表达式为， 将点代入，得， 解得， ， 故A选项说法正确； 观察函数图象可知当时，细胞总面积S随t的增大而减小， 故B选项说法正确； 当时，若，则， 当时，若，根据题图可知，， 综上，当时，或3， 故C选项说法错误； 当时，， 故D选项说法正确． 故选：C． 5．（2023·北京门头沟·一模）如图，正方形的边长为2，点E是上一动点（点E与点A，B不重合），点F在延长线上，，以，为边作矩形．设的长为x，矩形的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长、相交与点，然后用含的式子表示面积，得到关于的函数解析式，根据图像即可判断． 【详解】解：如图，延长、相交与点， 则四边形为矩形，， 所以 这个函数的图像为抛物线，开口向下，只有C答案符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，根据矩形的性质通过数形结合建立函数模型是求解的关键． 6．（2025·北京）已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，几何问题与二次函数，设在正方形的边长为a，首先可证得四边形、都是矩形，四边形、都是正方形，可求得，，再由，即可求得则y与x之间的函数关系，据此即可判定． 【详解】解：设在正方形的边长为a， 四边形是正方形， ，，，， 过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N， 四边形、都是矩形， 四边形、都是正方形， ， ， ， 该函数的图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 7．（2024·北京西城·模拟预测）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 设，根据菱形和矩形的性质，求出与、S与x的函数解析式，从而得出结论． 【详解】连接对角线，，交于点，如图：    根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 故选：C． 8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 9．（2024·北京西城）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 10．（2024·北京）姗姗和帆帆制作一些手工艺品参加爱心义卖活动，统计了9月份前7天的销售单价x与销售量y之间的关系，如下表格所示： 天数 1 2 3 4 5 6 7 销售单价x（元） 销售量y（个） 随着手艺的熟练，成本的变化如图1所示：从第1天的元开始，到第7天的时候成本变成了9元，之后的成本就可以一直保持在9元，第8天开始销售量与销售单价之间满足一次函数关系．前7天的销售量y与销售单价x之间满足函数关系；前7天的每天利润与销售单价x之间也满足函数关系；成本稳定成9元之后的每天利润与销售单价x之间满足函数关系分别为（    ）． A．一次函数关系；二次函数关系；二次函数关系； B．二次函数关系；一次函数关系；一次函数关系； C．一次函数关系；一次函数关系；二次函数关系； D．一次函数关系；二次函数关系；一次函数关系 【答案】C 【分析】由表可知每降低一元增加10个，即可得到前7天是一次函数，根据利润等于单价乘以数量即可得到利润与销售单价x之间，7天后成本不变根据 润等于单价乘以数量即可得到答案． 【详解】解：由表可知每降低一元增加10个， ∴，为一次函数； 由利润公式可得， 是一次函数； 由利润公式可得， 是二次函数； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数实际应用题中销售利润问题，解题的关键是根据题意得出等量关系式． 11．（2023·北京西城·一模）设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（      ） A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 【答案】D 【分析】本题根据设出连续三年总支出，再两两相减得到连续两年的差值即可知道连续两年的每年的检修费，再根据总支出得到平均每年检修费． 【详解】由题意得， 前n年支出总费用为万元， 前年支出总费用为：万元； 前年支出总费用为：万元； 易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元， 故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误； 第一到第五年总支出费用为万元， 故平均每年检修费用为万元， 故C错误． 年总支出为万元， 年总支出为万元， 所以年平均每年检测费用为万元，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及基本不等式在实际生活中的应用，解题的关键是理解变量之间的关系． 12．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，若当时，对每一个x的值，都有整数n，使得成立，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的解析式求解及不等式关系，正确得出是解答本题的关键． （1）通过已知点坐标求函数解析式，需掌握待定系数法； （2）理解函数值的不等式关系，进行分析m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得， ∴函数； （2）解：当时，需存在整数满足， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 分两种情况：①，，而，此情况存在， ∴； ②，，而，无法保证对所有成立，故此种情况不存在， 综上，． 13．（2024·北京·二模）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 【答案】(1)见解析 (2)最高气温为 ，最低气温为 (3)需要 【分析】本题考查描点法画函数图象，待定系数法，根据图象获取信息，一次函数与二次函数的应用等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据题意，描点连线即可； （2）运用待定系数法求函数解析式，根据图象即可得出最值； （3）求出气温以下持续时间即可得解． 【详解】（1）解：依题意描点连线，绘图如下： （2）当时， 依题意可知点是此时抛物线的顶点， 设此时解析式为： ∵5时至12时，y与t近似满足函数关系． ∴， ∴此时解析式为：， 令，得：， 由图可知：最高气温为 ，最低气温为 ， （3）当时，y与t近似满足一次函数关系， 设此时解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， 此时解析式为：， 令，解得：， 当时， 令，解得：， ∴当时，，即气温在以下， ∴气温以下持续时间为：， ∵， ∴， ∴该植物次日需要采取防霜措施． 故答案为：需要． 14．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 【答案】(1)4，3 (2)①见解析；②不断减小 (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：，， ，， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 1．（2025·北京·一模）某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：min）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 31 57 78 90 97 100 (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图）中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ． 【答案】(1)①；②画图见解析 (2)， 【分析】（）由表格可知，的值每增加，的值增加，进而即可求解； （）①根据表格数值描点连线画出图象即可；②根据题意可求出的值及与的函数关系式，进而画出图象即可求解； 本题考查了函数的综合应用，理解题意是解题的关键 【详解】（1）解：①由表格可知，的值每增加，的值增加， ∴， 故答案为：； ②根据表格数据描点连线画出函数图象如下： （2）解：∵时，， ∴安培； 由题意得，充电模式一的电流：， 当时，；当时，， ∴充电模式一的充电电流与充电时间的函数关系图象如下： 由函数图象可知，当时，两种充电模式的电流相同， ∴剩余电量相差约， 故答案为：，． 2．（2024·北京通州）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 【答案】(1)①，；②上，1；③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到 (2)见解析， (3) 【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由，结合提示信息可得答案；③由，结合提示信息可得答案； （2）先判断是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移进行画图即可，结合函数的图象可得时x的范围； （3）先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”． 【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为； ②∵， ∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到； ③∵， ∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． （2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到； ∴其对称中心是．图象如图所示：    由，得， 解得，经检验符合题意． 结合图象可得，当时，． （3）当时， ， 则由，解得：，经检验符合题意， 即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， ∴点在函数的图象上， 则，解得：， 经检验符合题意； ∴， 当， 解得：，经检验符合题意； 即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 3．小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）． 小强根据他学习函数的经验做了如下的探究．下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型： 设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米．则y关于x的函数表达式为________；列表（相关数据保留一位小数）： 根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表： x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 17 10 8.3 8.2 8.7 9.3 10.8 11.6 描点、画函数图象： 如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 观察分析、得出结论： 根据以上信息可得，当x＝________时，y有最小值． 由此，小强确定篱笆长至少为________米． 【答案】见解析 【分析】根据题意：一边为x米，面积为4，则另一边为米，篱笆长为y=2（x）=2x，由x═（）2+4可得当x=2，y有最小值，则可求篱笆长． 【详解】根据题意：一边为x米，面积为4，则另一边为米，篱笆长为y=2（x）=2x ∵x（）2+（）2=（）2+4，∴x4，∴2x8，∴当x=2时，y有最小值为8，由此小强确定篱笆长至少为8米． 故答案为y=2x，2，8． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，完全平方公式的运用，关键是熟练运用完全平方公式． 4．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． (1)已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； (2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)或． 【分析】本题考查了几何新定义，勾股定理，圆内接四边形对角互补，切线的性质，坐标与图形，理解新定义是解题的关键； （1）先进行定义分析，得出，的长度临界值为四点共圆， ①根据定义即可求解； ②根据定义得出点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点，进而将点和分别代入一次函数解析式，即可求解； （2）根据定义得出点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部，找出范围，进而将正方形从左到右移动找到临界值，即可求解． 【详解】（1）解：定义分析，如图，满足点与点在直线的异侧，过点分别作的垂线，垂足分别为 根据勾股定理可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即重合， ∴符合条件的四边形，，如图， 又∵， ∴，即的长度临界值为四点共圆，且包括圆上的点， ①∵点，，，，， ∴只有点使得，，且 ∴点是点关于线段的“平衡点” ②作的外接圆，则圆心为的垂直平分线的交点，如图， 由定义可得，点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点， 当经过和时，即 将代入，解得， 将代入，解得： ∴； （2）解：∵半径为2，是的弦，且， ∴是等边三角形， 如图，点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部， 设的中点为，，则在的外接圆上，此时为直径， ∵是的弦， ∴点关于线段的“平衡点”在以，为半径的圆弧内部，不包括为半径的圆上部分，包括为半径的圆上部分， ∵， ∴，， ∵点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”， 如图，当正方形与为半径的圆在轴的负半轴外切时， ∴ 解得：， 如图，当正方形的一个顶点在以为半径的圆上时， 解得：或（舍去） ∴ 继续移动正方形，如图，当在以为半径的圆上时， ∴ 解得：（舍去）或 当正方形与为半径的圆在轴的正半轴外切时， ∴ ∴ 综上所述，或． 5．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． (1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)，； (2)；；． 【分析】（）根据新定义可得在为圆心，为半径的圆上，进而根据点的坐标到)的距离为，即可求解； （）根据一次函数的性质即可求出的值； 线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移得出，则，由线段经过反射平移后与轴的夹角不变，所以，进而得出，结合图形即可求解； 当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，，求出，根据 ，再解方程． 【详解】（1）解：由点关于的对称点， ∵， ∴在为圆心，为半径的圆上，如图所示， ∵，，， ， ∴根据图形可知，在上， 故答案为：，； （2）解：∵经过点， ∴当时，， 故答案为：； ∵， ∴， 如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴， ∵线段经过反射平移后与轴的夹角不变， ∴， ∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形， ∴ ∴，， 结合图形，可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时， ； 如图所示，当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，的半径的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键． 6．（2024·北京海淀）在平面直角坐标系中，是拋物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围； (3)若对于，存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)且． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、增减性： （1）根据对称轴进行计算，得，再把代入，即可作答． （2）因为是拋物线，所以把分别代入，得出对应的，再根据联立式子化简，计算即可作答． （3）先求出，再分三类，当①时，②当时，③当且时，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 即 ∴拋物线 ∵抛物线经过点 ∴把代入 得 解得； （2）解：由（1）知拋物线 ∵是拋物线上任意两点， ∴ ∵且，都有， ∴ 解得或 （3）解：∵是拋物线上任意两点，对称轴为直线 ，抛物线开口向下， ∴，即， ①当时，一定存在大于的值； ②当时，， ∴，解得：， ∴ ③当且时，， ∴，解得：， ∴且， 综上所述：且 1．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息： a．20名男生的臂展与身高数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174 臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183 臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 185 b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 身高 175 m 173 臂展 170 169 c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，） d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线． 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中、的值： ， ； (2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数； (3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度． 【答案】(1)； (2)人 (3)身高为男生的臂展长度约为. 【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体； （1）根据中位数与众数的含义可得答案； （2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为，再乘以总人数即可； （3）把代入即可得到答案. 【详解】（1）解：由表格信息可得：； ； （2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为： （人）； （3）解：∵， 当时，， ∴身高为男生的臂展长度约为. 2．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 函数及其图象 第13讲 函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 一次函数的应用 题型01一次函数与方案分配问题 题型02一次函数与利润问题 题型03一次函数与行程问题 题型04一次函数与梯度计价问题 命题点二 反比例函数的应用 题型01反比例函数与行程问题 题型02反比例函数与工程问题 命题点三 二次函数的应用 题型01二次函数与图形问题 题型02图形运动问题 题型03拱桥问题 题型04销售问题 题型05投球问题 题型06喷水问题 05·重难突破·思维进阶难 35 突破一 一次函数与几何综合 突破二 反比例函数与几何综合 突破三 二次函数综合 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的实际应用 / / / 能运用一次函数解决简单的实际问题，如行程、工程、利润等问题 反比例函数的实际应用 / / 北京卷T25（节水策略与函数模型） 能运用反比例函数解决简单的实际问题，如密度、压强等问题 二次函数的实际应用 北京卷T26（函数与四边形动态问题） / 北京卷T25（清洗策略与函数模型） 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；能运用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题，如最大利润、最省材料等问题 函数与几何综合应用 北京卷T25（图像） 北京卷T8（函数与菱形旋转问题） 北京卷T28（函数与圆综合问题） 能综合运用函数、几何知识解决动态几何、存在性问题等综合题 命题预测 1. 一次函数与分段函数结合的实际应用题（如收费问题、行程问题）；2. 二次函数的最值问题在利润、面积中的应用，强调建模与分类讨论；3. 函数与几何动态问题（动点、旋转）结合，考查数形结合与转化思想 考点一 一次函数的应用 1.常见场景 行程问题：速度、时间、路程的线性关系（如匀速行驶的路程与时间）。 销售问题：单价固定时，总价与数量的关系；阶梯收费（如分段计费的水费、电费）。 工程问题：工作效率固定时，工作量与工作时间的关系。 2.解题步骤 设自变量（如时间、数量）和因变量（如路程、总价）。 分析数量关系，列出一次函数解析式。 结合自变量的实际取值范围（如时间非负、数量为整数），求解问题（如最值、特定值）。 1．（2024·北京·模拟预测）一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了 4 个时间点观光船与码头的距离，其中 t 表示时间，y 表示观光船与码头的距离． 0 3 6 9 625 550 475 400 如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为175 m 时，所用时间为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·北京房山·二模）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） (1)通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 3．（2024·北京房山·一模）某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人） 每车租金 （元∕天） 900 800 550 则租车一天的最低费用为 元. 4．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 考点二 反比例函数的应用 1.常见场景 压强问题：压力固定时，压强与受力面积的关系（）。 行程问题：路程固定时，速度与时间的关系（）。 工程问题：工作量固定时，工作效率与工作时间的关系（）。 2.解题关键：确定不变量作为值，明确自变量的取值范围（，因实际问题中数量非负）。 1．（2023·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 2．（2023·北京通州·一模）由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是 ． 3．（2023·北京西城·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)； ②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)； ③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(　　)    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 考点三 二次函数的应用 1.代数求最值 顶点式中，当时，抛物线开口向上，时，有最小值；当时，抛物线开口向下，时，有最大值。 一般式中，最值公式：最值，对应。 2.实际问题中的最值 常见场景：最大利润（利润=单件利润×销量）、最大面积（如矩形、抛物线型场地面积）、抛体运动的最大高度。 易错点：考虑自变量的实际取值范围，若顶点横坐标不在取值范围内，需根据增减性求端点处的最值。 1．（2025·北京大兴）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点，不重合． ①当时，求的长； ②若的长随的增大而增大，求的取值范围． 2．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，点到的距离为，以为直径在上方作半圆，点是上的动点，过点作的垂线，设，直线截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为（单位：），（单位：），部分数据如下： (1)当时，与与对应关系的部分数据如下表： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.45 1.23 2.15 a 4.13 5.05 5.83 6.28 0 0.25 b 2.25 4.00 5.75 7.00 7.75 8.00 根据以上信息，回答下列问题： ①___________，___________（结果保留小数点后两位）； ②通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数图象； ③根据以上数据和函数图象，若，则___________时，（结果保留小数点后一位）； (2)当时，对于___________（填“>”“=”或“<”）． 3．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 4．（2025·北京石景山·二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 一次函数与方案分配问题 1.变量设定失误：混淆自变量（核心分配量）与因变量（优化目标），或忽略自变量的实际约束（如非负、整数要求）。 2.函数建模错误：列y=kx+b时数量关系转化出错，导致k、b的符号或数值偏差。 3.约束条件遗漏：未找全隐含限制（如两种分配量均非负、资源总量上限），或忽略自变量的整数属性，得出非实际方案。 4.增减性判断颠倒：混淆k的符号与最优解的对应关系，如k>0时误取x最小值，k<0时误取x最大值。 5.验证环节缺失：求出最优解后未代入约束条件检验，导致方案不符合题干要求（如超出资源总量、数量为负）。 6.多方案漏算：自变量取值为有限整数时，未逐一计算对比函数值，直接凭增减性判断，遗漏潜在最优方案。 【典例】（2024·北京延庆）自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本，每月应付的租书金额为y元． （1）分别写出两种租书方式下，y与x之间的函数关系； （2）若小彬在一月内为班级租25本书，试问选用哪种租书方式合算？ 【变式1】（2025·北京海淀）某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型 月费 （元/月） 套餐内包含内容 套餐外资费 国内数据流量（MB） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫 套餐1 18 100 0 0．29元/MB 0．19元/分钟 套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50 套餐4 48 500 50 小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（    ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 【变式2】甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）. 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A地 20 15 12 12 B地 25 20 10 8 设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.     （1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？     （2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？ 题型02 一次函数与利润问题 1.单件利润计算错误：混淆“单件利润=售价-进价”的公式，误算为“进价-售价”，或忽略折扣、附加成本（如运费、损耗）对单件利润的影响。 2.销量函数建模失误：销量与售价（或其他变量）的一次函数关系斜率符号颠倒（如售价越高销量越低，斜率应为负，却误写为正），或混淆自变量与因变量。 3.总利润函数构建偏差：总利润=单件利润×销量，将两个一次函数相乘时展开计算出错，或误把单件利润/销量的函数当作总利润函数。 4.自变量取值范围遗漏：未考虑售价≥进价、销量≥0等实际约束，或忽略题目中售价/销量的上限、下限要求，导致解超出合理范围。 5.增减性判断颠倒：总利润为一次函数 y=kx+b时，混淆k的符号与最优解的对应关系（k>0取自变量最大值，k<0取最小值），错判利润最值的位置。 6.整数限制忽略：售价、销量等需为整数的变量，算出小数解后未调整，导致方案不符合实际交易场景。 7.隐含条件忽视：漏看优惠活动、限购数量、成本变动等隐含条件，这些条件会改变单件利润或销量的函数关系，引发建模错误。 【典例】（2025·北京顺义）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ． 【变式1】（2024·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元． 【变式2】（2023·北京门头沟·一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为 元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是 ． ►题型03 一次函数与行程问题 1.变量对应混淆：颠倒一次函数 s=vt+s0中自变量（时间t）与因变量（路程s）的关系，或忽略截距s0的实际意义（初始位置/已走路程）。 2.单位未统一：计算时混用不同单位（如速度单位 km/h 与时间单位 min、路程单位 m 与 km），导致斜率v（速度）数值计算错误。 3.斜率意义误解：误将一次函数斜率k的符号、数值理解错误，如相向而行时速度和的斜率符号、同向追及时速度差的斜率符号判断颠倒。 4.相遇/追及条件转化失误：相遇时“路程和等于总距离”、追及时“路程差等于初始距离”的关系，转化为函数等式时符号或等量关系出错。 5.自变量取值范围遗漏：忽略时间t≥0、路程s不超过总距离等实际约束，得出负数时间、超量程路程等无效解。 6.函数图象读取偏差：从行程图象中读取速度时，误算两点间的横坐标差（时间差）或纵坐标差（路程差），导致速度计算错误；或混淆“静止状态”（图象水平，斜率为0）与“匀速运动”（图象倾斜，斜率为定值）。 7.多对象运动建模疏漏：涉及多个运动物体时，未分别建立一次函数模型，或混淆不同物体的速度、初始位置，导致联立方程求解错误。 【典例】（2024·北京西城·二模）一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离． 0 3 6 9 675 600 525 450 如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为（    ） A．25min B．21min C．13min D．12min 【变式1】（2025·北京东城）两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（2023·北京·模拟预测）甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均同一路线上速匀行驶，乙到B地后即停车等甲．甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为（　　） A．0.25小时 B．0.5小时 C．1小时 D．2.5小时 ►题型04 一次函数与梯度计价问题 1.分段点归属错误：混淆梯度计价的临界点区间归属（如“不超过100”含100，“超过100”不含100），导致分段函数的定义域边界取值错误。 2.单价与函数斜率混淆：梯度计价中每一段的一次函数斜率对应该档单价，易将不同档位的单价混用，或误把“起步费”当作斜率代入计算。 3.跨档费用计算失误：计算超档位总费用时，未按“首档总价+超档部分×对应单价”分步算，直接用总量乘某一档单价，导致结果偏差。 4.分段函数建模疏漏：遗漏某一档的函数表达式，或写错各段定义域（如忽略用量非负的基本约束），导致函数模型不完整。 5.反向计算档位误判：已知总费用求用量时，未先判断费用所属档位，直接用总费用除以某一档单价，忽略跨档情形，得出错误用量。 6.单位与附加条件忽视：未统一计价单位（如水量“吨”与“立方米”、电量“度”与“千瓦时”），或漏看“最低消费”“阶梯优惠”等隐含条件，导致函数截距或斜率错误。 7.端点重复/遗漏计算：分段函数的临界点重复计入两段费用，或完全遗漏，造成总费用多算、少算。 【典例】“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下： (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． 【变式1】每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【变式2】某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 命题点二 反比例函数的应用 ►题型01 反比例函数与行程问题 1.模型适用前提混淆：忽略反比例函数“路程固定”的核心条件（s=vt，s为定值时v与t成反比），误将匀速变路程（一次函数）场景用反比例建模。 2.变量对应失误：颠倒v（速度）与t（时间）的反比例关系，错列表达式，或混淆自变量与因变量。 3.单位未统一计算*：混用速度（km/h、m/min）、时间（h、min）、路程（km、m）单位，导致路程s计算错误，进而反比例函数解析式偏差。 4.增减性前提遗漏：忽略反比例函数“同一象限内”的增减性要求（行程中v>0、t>0仅在第一象限），误跨象限判断速度与时间的变化关系。 5.多段行程建模疏漏：涉及分段行程（部分路段路程固定、部分匀速）时，混淆反比例与一次函数模型，或误将多段路程总和当作单段固定路程代入。 6.图象读取偏差：误将反比例双曲线当作直线解读，或从图象中读取v、t时，横纵坐标对应颠倒，导致速度、时间计算错误。 7.反向计算档位误判：已知速度/时间求对应量时，未先确认路程是否固定，直接套用反比例公式，忽略路程变化的情形，得出无效解。 【典例】如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 30．（2025九年级上·北京·专题练习）小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系． (1)写出v与t之间的函数关系式； (2)若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？ 【变式】年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如表关系： 厘米 米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是　　； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为　　米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 题型02 反比例函数与工程问题 1.模型适用前提混淆：忽略反比例函数“工作总量固定”的核心条件（w=pt，w为定值时，工作效率p与工作时间t成反比），误将工作总量变化的场景（一次函数模型）用反比例建模。 2.变量对应与表达式写错：颠倒效率p与时间t的反比例关系，错列解析式，或混淆自变量（效率/时间）与因变量。 3.单位不统一致误差：混用效率单位（如工作量/天、工作量/小时）与时间单位（天、小时），未统一单位就计算工作总量w，导致反比例函数参数偏差。 4.增减性前提遗漏：忽略反比例函数“同一象限内”的增减性要求（工程中p>0、t>0仅在第一象限），误判效率与时间的变化关系（如认为效率越高时间一定越长）。 5.多主体合作建模失误：多人/多设备合作时，误将单个效率与总时间挂钩，未先计算总效率（各效率之和），再结合固定总量建立反比例关系，导致联立求解错误。 6.分段工程模型混淆：涉及分段工程（部分路段总量固定、部分变化）时，混淆反比例与其他函数模型，或误将多段工作量总和当作单段固定总量代入计算。 7.反向计算忽略总量验证：已知效率/时间求对应量时，未先确认工作总量是否固定，直接套用反比例公式，忽略总量变化或额外工作量（如返工、附加任务）的影响，得出无效解。 8.隐含条件忽视：漏看“工作时间非负”“效率上限”“多人协作时间同步”等隐含条件，导致解析式定义域错误或方案不符合实际工程场景。 【典例】（2024·北京通州）某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 【变式1】陕西的面食文化丰富多彩，具有深厚的历史底蕴和多样的制作工艺．其中扯面已有年的历史．厨师张师傅将一定质量的面团做成扯面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过点． (1)求与之间的函数表达式． (2)当张师傅扯出的面条的横截面面积为时，他扯出的面条的总长度是多少米？ 【变式2】（2025·北京专题）某工厂制作一批零件，每天制作的零件数x（个）与需要的天数y（天）成反比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若要在10天内完成这批零件的制作，每天至少需要制作多少个零件？ 命题点三 二次函数的应用 题型01 二次函数与图形问题 1.坐标与边长转化失误：直接将点的横/纵坐标当作图形边长，忽略坐标差的绝对值；涉及负坐标时，未正确计算线段长度，导致边长、周长计算错误。 2.函数与图形交点求解疏漏：联立二次函数与直线/曲线方程时计算出错，或漏解二次方程的根；忽略交点需满足图形位置约束（如在某象限、某线段上），保留无效交点。 3.面积计算方法误用：用坐标法求面积时，选错底和高（未选与坐标轴平行的边作底）；忽略抛物线在x轴下方部分的面积需取绝对值；组合图形拆分不合理，重复计算或遗漏部分面积。 4.顶点/对称轴与几何性质结合错误：记错二次函数顶点坐标公式，代入顶点在某直线/图形上的条件时符号出错；误判对称轴与图形的位置关系（如对称轴是否平分图形），导致参数求解偏差。 5.图形存在性问题漏解/多解：探究等腰、直角、相似三角形等存在性时，未分类讨论（如等腰三角形的腰、直角三角形的直角顶点）；忽略自变量取值范围，得出超出图形边界的虚假解。 6.函数定义域与图形范围不匹配：求图形上动点坐标时，未考虑抛物线开口方向、最值对坐标的限制；忽略线段、射线等图形的端点约束，导致点的坐标不符合图形实际。 7.相似/全等三角形对应关系混淆：利用相似列比例式时，对应边、对应角匹配错误；将坐标转化的边长代入比例式时，遗漏系数或算错线段长度比。 【典例】（2025·北京）如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【变式1】（2024·北京房山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为边AB，BC上的动点，且DE=DF．若△DEF的面积为y，BF的长为x，则表示y与x的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京丰台）如图，边长为1的正方形的对角线、相交于点，有直角，使直角顶点P与点O重合，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为，、分别交、于E、F两点，连接交于点G，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）在旋转过程中，当与的面积之和最大时，；（5），其中正确的是 ． 题型02 图形运动问题 1.运动坐标建模错误：动点坐标未结合运动方向（平移、旋转、对称）按规律表示，或分阶段运动时漏分段建模；参数设定不合理，导致动点坐标与二次函数解析式无法衔接。 2.运动性质与函数结合偏差：平移时误改二次函数a的值（平移不改变开口大小和方向，a不变）；旋转/对称后，顶点坐标变换错误，未同步更新二次函数顶点式。 3.定义域与运动范围不匹配：忽略动点在二次函数图象、线段、射线等图形上的运动边界，自变量取值范围超出实际运动区间，导致虚假解。 4.分类讨论遗漏/重复：探究运动后等腰、直角、相似三角形等存在性时，未按运动位置、对应关系分类（如直角顶点、等腰腰的不同情况），或重复计算重合位置的解。 5.几何量动态计算失误：运动中线段长度、面积、周长的表达式列写错误，未用坐标差绝对值、割补法等准确转化；忽略二次函数图象在x轴上下方的差异，面积计算未取绝对值。 6.运动临界条件忽视：漏判动点与二次函数顶点、对称轴、坐标轴的临界位置（如相遇、相切、端点重合），导致关键解遗漏；未结合运动时间非负、速度恒定等隐含条件。 7.函数与运动验证缺失：求出参数或坐标后，未代入二次函数解析式及运动规律验证，导致解不符合“动点在图形上运动”的核心条件。 【典例】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2tx+2． （1）求抛物线的对称轴（用含t的代数式表示）； （2）将点A（﹣1，3）向右平移5个单位长度，得到点B． ①若抛物线经过点B求t的值； ②若抛物线与线段AB恰有一个交点，结合函数图象直接写出t的取值范围． 【变式1】（2023·北京丰台·一模）我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数的图象与x轴交点的坐标为（，0），所以该函数的零点是. （1）函数的零点是 ； （2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A在x轴上.若正方形ABCD沿轴正方向滚动，即先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 . 【变式2】（2024·北京朝阳·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱FAPG；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y（平方单位），y＞0，点F与点C重合时运动停止，设点P的运动时间为x秒． (1)直接写出点G落在BC边上时x的值． (2)求y与x的函数关系式． (3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值． 题型03 拱桥问题 1.坐标原点设定失误：未选择拱脚、顶点等特殊位置设原点，导致抛物线解析式复杂且计算出错；误将原点设为非对称点，无法利用抛物线对称性简化求解。 2.开口方向与a的符号混淆：拱桥抛物线必开口向下（a<0），易误写为a>0，导致顶点坐标、最值计算完全偏差，与拱桥实际形状不符。 3.跨度与坐标对应错误：混淆“拱桥跨度”（两拱脚水平距离）与抛物线与x轴交点的关系，误将单拱脚横坐标当作跨度，或未用交点距离计算跨度，导致参数求解错误。 4.单位不统一致误差：混用长度单位（如米、分米、厘米），未统一单位就代入计算拱高、跨度，导致二次函数解析式中系数、常数项偏差。 5.自变量取值范围忽略：未结合拱桥跨度限定自变量（水平距离）的取值范围，超出拱脚之间的范围求解，得出无实际意义的虚假解。 6.拱高计算与顶点混淆：误将顶点横坐标当作拱高，或未通过顶点纵坐标（结合原点位置）计算实际拱高；忽略顶点纵坐标的符号（开口向下时顶点纵坐标为正，对应最大拱高）。 7.反向计算漏解/错解：已知某高度求对应水平距离时，未利用抛物线对称性（同一高度对应两个水平位置），导致漏解；或未验证解是否在拱桥跨度范围内，保留无效解。 8.建模遗漏实际条件：忽略桥面厚度、荷载导致的高度偏移，或误将拱线当作桥面（未区分拱顶到桥面、拱顶到地面的高度差），导致解析式与实际拱桥不符。 9.对称性应用失误：未利用抛物线对称轴（过顶点且垂直于跨度）简化计算，如误判对称轴位置，导致求对称点坐标、分段距离时出错。 【典例】（2023·北京平谷·二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 【变式1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表： x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6 y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99 (1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）； (3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过． 【变式2】（2025·北京顺义）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． (3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 题型04 销售问题 1.单件利润计算偏差：混淆“单件利润=售价-进价”公式，误算为“进价-售价”；或漏算折扣、运费、损耗等附加成本，导致单件利润数值错误。 2.销量函数斜率错判：销量与售价的一次函数关系中，斜率符号颠倒（如售价上涨销量下降，斜率应为负，却误写为正），导致销量表达式与实际销售规律不符。 3.总利润函数构建失误：总利润=单件利润×销量，将两个一次式相乘展开时符号、系数计算出错；或误将单件利润/销量的函数直接当作总利润函数。 4.自变量取值范围遗漏：未考虑售价≥进价、销量≥0的基本约束；忽略库存上限、限购数量等隐含条件，导致最优售价超出实际可售范围。 5.最值求解忽略定义域：直接套用顶点式求最优售价，未验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内（如顶点售价低于进价时，最值应取区间端点）。 6.一元二次方程解的取舍失误：已知总利润求售价时，解出两个根后未结合实际筛选（如舍去负数售价、超出合理定价区间的解），或遗漏符合条件的根。 7.分段销售建模疏漏：存在多档位折扣、分段返利等场景时，未分区间构建二次函数模型；或区间临界点归属错误，导致分段利润计算重复/遗漏。 8.单位与统计口径混淆：混用不同货币单位（如元、万元）或销量统计单位（如件、箱）；误将“每涨1元销量降5件”的比例关系，错配为“每降1元销量降5件”。 【典例】（2025·北京西城）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 (1)若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 (2)为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【变式1】（2025·北京通州）某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． (1)当时，每件的利润是______，总利润为______． (2)若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； (3)销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 【变式2】（2025·北京西城）某公司可以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)当时，每件的利润是________元，总利润为________元； (2)若设总利润为元，则与的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； (3)销售单价定为多少元时，此时总利润最大，最大总利润是多少？ 题型05 投球问题 1.坐标设定失误：未合理选择原点（如出手点、地面某点），或坐标轴方向混淆（如y轴误设向下），导致抛物线开口方向与a的符号不匹配（投球轨迹开口向下，a<0，方向错易误写a>0）；忽略出手点初始高度，误将原点设为出手点却未补充初始高度参数。 2.a的符号与开口方向颠倒：投球轨迹（忽略空气阻力）必为开口向下的抛物线，易误写为a>0，导致顶点坐标、最大高度计算完全偏离实际运动轨迹。 3.变量对应混淆：颠倒水平距离（自变量x）与竖直高度（因变量y）的关系，或误将运动时间当作自变量代入二次函数（投球问题多以水平距离建模，时间建模需结合物理公式，易出错）。 4.顶点意义误解：误将顶点横坐标当作总水平射程，实则顶点横坐标是“达到最大高度时的水平距离”，顶点纵坐标才是最大高度；混淆“最大高度”与“射程”的计算逻辑。 5.落地点/目标点高度忽略：默认落地点或目标点（如篮筐）高度为0（地面），忽略实际高度差（如篮筐距地面3.05米），导致列方程时等式右边错误，求解偏差。 6.方程解的取舍不当：已知高度求水平距离时，二次方程的两个根未结合投球方向筛选（舍去向后的负根、超出实际射程的根），保留无效解。 7.单位不统一致误差：混用长度单位（如水平距离用米、高度用厘米），未统一单位就代入计算，导致二次函数系数、常数项偏差，影响后续求解。 8.出手点与轨迹验证缺失：列写解析式后，未代入出手点坐标验证（如出手点(0, h)需满足函数），或未结合实际投球角度验证轨迹合理性，导致建模错误未被发现。 9.射程计算错误：射程是落地点与出手点的水平距离，易直接用顶点横坐标翻倍计算（仅对称抛物线适用），忽略出手点与落地点高度不一致的情况。 【典例】（2024·北京西城）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【变式1】（2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【变式2】（2023·北京东城·一模）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 题型06 喷水问题 1.坐标原点设定不当：未选择喷水口、地面等特殊位置设原点，导致抛物线解析式复杂；或混淆坐标轴方向（如y轴误设向下），使开口方向与a的符号矛盾（喷水轨迹开口向下，a<0）；忽略喷水口自身高度，误将喷水口设为原点却未计入初始高度参数。 2.a的符号与开口方向颠倒：喷水轨迹为开口向下的抛物线，易误写为a>0，导致最大喷水高度、轨迹走向计算完全偏离实际。 3.变量对应混淆：颠倒水平喷射距离（自变量x）与竖直高度（因变量y）的关系；或误将喷射时间当作自变量建模（需结合物理公式，复杂度高易出错）。 4.顶点意义误解：误将顶点横坐标当作总喷射射程，实则顶点横坐标是达到最大高度时的水平距离；忽略喷水口与落地点高度差，直接将顶点横坐标翻倍算射程（仅对称抛物线适用）。 5.实际高度条件忽略：默认落地点高度为0（地面），但未考虑喷水目标高度（如喷到花台、水面）；或漏算喷水口距地面的初始高度，导致列方程时常数项错误。 6.方程解的取舍不当：已知高度求水平距离时，二次方程的两个根未结合喷射方向筛选，保留负根（反向喷射）或超出实际喷射范围的无效解。 7.单位不统一致误差：混用米、厘米等长度单位，未统一单位就代入计算，导致二次函数系数偏差，影响射程、高度的求解精度。 8.多喷头/分段喷水建模疏漏：多个喷头同时喷水时，混淆不同喷头的解析式参数；分段调节喷水压力时，未分区间构建函数模型，或区间临界点归属错误。 9.轨迹验证缺失：列写解析式后，未代入喷水口坐标验证；或未结合实际喷射范围限定自变量取值，导致模型与实际喷水轨迹不符。 【典例】某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【变式1】（2023·北京西城·一模）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． (2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项） 【变式2】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 突破一 一次函数与几何综合 【典例】（2024·北京西城·模拟预测）如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为 ． 【变式】（2023·北京海淀·三模）如图，已知点，轴，垂足为，交直线于点，若点是直线上的一个动点，，，则当点运动时，点随之运动，则线段的最小值为 ．      在和中， ， ， 、、、四点共圆， ， 垂直于点， ， ， 点在射线上运动， 当时，的值最小，最小值为的长， 在中， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 突破二 反比例函数与几何综合 【典例】（2025·北京西城）一次函数与反比例函数图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． （1）若点的横坐标为，求一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，当时，求的取值范围． 【变式1】（2024·北京房山）图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2】如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，，n时，点的坐标是 ；过点作x轴的垂线，垂足为，再过点作于点，以点、、为顶点的的面积记为，按照以上方法继续作图，可以得到，…，，其面积分别记为，…，，则 ．        突破三 二次函数综合 【典例】（2025·北京海淀）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由； ②若对于，都有，求m的取值范围． 【变式1】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，总有，求m的取值范围． 【变式2】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围． 1．（2025·北京平谷）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　） A．300度 B．500度 C．250度 D．200度 2．（2025·北京）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 3．（2023·北京昌平·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 4．在观察某细胞分裂的实验中，细胞的总面积S（单位：）随时间t（单位：h）的变化如下：在时，S与t可近似看成一次函数关系；当时，S与t的函数关系满足，已知细胞的总面积S随时间t的变化的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．当时，t每增加，细胞的总面积增加 B．当时，细胞总面积S随t的增大而减小 C．当时， D．当时，细胞总面积为 5．（2023·北京门头沟·一模）如图，正方形的边长为2，点E是上一动点（点E与点A，B不重合），点F在延长线上，，以，为边作矩形．设的长为x，矩形的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京）已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x（　　） A． B． C． D． 7．（2024·北京西城·模拟预测）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 9．（2024·北京西城）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京）姗姗和帆帆制作一些手工艺品参加爱心义卖活动，统计了9月份前7天的销售单价x与销售量y之间的关系，如下表格所示： 天数 1 2 3 4 5 6 7 销售单价x（元） 销售量y（个） 随着手艺的熟练，成本的变化如图1所示：从第1天的元开始，到第7天的时候成本变成了9元，之后的成本就可以一直保持在9元，第8天开始销售量与销售单价之间满足一次函数关系．前7天的销售量y与销售单价x之间满足函数关系；前7天的每天利润与销售单价x之间也满足函数关系；成本稳定成9元之后的每天利润与销售单价x之间满足函数关系分别为（    ）． A．一次函数关系；二次函数关系；二次函数关系； B．二次函数关系；一次函数关系；一次函数关系； C．一次函数关系；一次函数关系；二次函数关系； D．一次函数关系；二次函数关系；一次函数关系 11．（2023·北京西城·一模）设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（      ） A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 12．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，若当时，对每一个x的值，都有整数n，使得成立，直接写出m的取值范围． 13．（2024·北京·二模）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 14．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 1．（2025·北京·一模）某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：min）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 31 57 78 90 97 100 (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图）中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ． 2．（2024·北京通州）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 3．小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）． 小强根据他学习函数的经验做了如下的探究．下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型： 设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米．则y关于x的函数表达式为________；列表（相关数据保留一位小数）： 根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表： x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 17 10 8.3 8.2 8.7 9.3 10.8 11.6 描点、画函数图象： 如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 观察分析、得出结论： 根据以上信息可得，当x＝________时，y有最小值． 由此，小强确定篱笆长至少为________米． 4．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． (1)已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； (2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 5．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． (1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 6．（2024·北京海淀）在平面直角坐标系中，是拋物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围； (3)若对于，存在，直接写出的取值范围． 1．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息： a．20名男生的臂展与身高数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174 臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183 臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 185 b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 身高 175 m 173 臂展 170 169 c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，） d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线． 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中、的值： ， ； (2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数； (3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $