精品解析：辽宁省阜新市彰武县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级期末考试 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 轴对称图形 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 7. “秋高气爽，丹枫迎秋”．如图，叶梢点与叶端点之间的距离为，为的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，均在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一条直线上，点D，F，B在同一条直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 阳光下旗杆的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”） 12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 20 42 66 88 杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22 则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为____________（结果精确到0．01）． 13. 如图，在菱形中，，，则对角线的长是_____． 14. 如图，在中，点D、E分别是的中点，若的面积为2，则的面积为_____． 15. 如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 18. 如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，且每个小方格的边长为1个单位长度，的顶点都在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，且点的对应点在第一象限． （1）请在网格内画出． （2）点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______． 19. 如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲车停在区的概率是__________； （2）请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 20. 如图，在中，，是的中点，是的中点，延长至点，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长． 21. 项目学习项目 背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于？ 平台回复的结果：…… 交流展示 …… 请根据以上的活动报告，解答下列问题． （1）求所使用平台前三天下载量的日平均增长率． （2）请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 22. 综合与探究： （1）问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________． （2）拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长． （3）延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）将一次函数图象向上平移个单位长度，使得与反比例函数图象只有一个交点，求m的值． （3）若点在反比例函数的图象上，F是线段延长线上的一点，过点F作直线，交反比例函数的图象于点．若，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末考试 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，将所求分式拆分为已知比例与常数之和，直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图． 根据几何体的形状，即可得左视图． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：C． 4. 下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形具有而菱形不具有的选项即可，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：、矩形和菱形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此两者均具有此性质，原选项不符合题意； 、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，原选项不符合题意； 、矩形和菱形均为轴对称图形，原选项不符合题意； 故选：． 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：D． 6. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 7. “秋高气爽，丹枫迎秋”．如图，叶梢点与叶端点之间的距离为，为的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的概念，可得，即可求解． 【详解】解：∵为的黄金分割点，且， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故选：B． 8. 已知点，，均在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质，根据比例系数为负，判断函数图象所在象限及单调性，再结合自变量大小关系求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数为，其中， ∵， ∴， ∴， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴点在第二象限，， ∵， ∴点和点在第四象限， ∴，， ∵在第四象限内，随着的增大而增大， ∴， ∴，即， 故选：D． 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先理解小孔成像的原理，再确定相似三角形的对应边，最后利用相似三角形的性质列比例即可求解． 【详解】解：由题意知，设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：A． 10. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一条直线上，点D，F，B在同一条直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意得，、，设，则，证得，根据相似三角形的性质可得，进而求出的值，从而求出的长． 【详解】解：根据题意得，、、， 设，则， 、 ，即 解得或（不符合题意，舍去）， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 阳光下旗杆的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影．根据太阳光是平行光，得到投影为平行投影，即可． 【详解】阳光下旗杆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 20 42 66 88 杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22 则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为____________（结果精确到0．01）． 【答案】0.22 【解析】 【分析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右， 估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22． 故答案为∶ 0.22． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键． 13. 如图，在菱形中，，，则对角线的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质是关键． 如图所示，连接与交于点，根据菱形的性质可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在中，点D、E分别是的中点，若的面积为2，则的面积为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：∵点D、E分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 15. 如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，利用反比例函数中k的几何意义，结合图形中线段的平行关系计算出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，设， ∵轴，轴，A，B在上， ∴设，， ∴，， ∴ ． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解： ，，， ， ， 解得，． 17. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】（1） （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． （1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入，即可得出y的值． 【小问1详解】 解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 18. 如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，且每个小方格的边长为1个单位长度，的顶点都在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，且点的对应点在第一象限． （1）请在网格内画出． （2）点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）， 【解析】 【分析】本题考查画已知图形放大或缩小倍后的位似图形，求位似图形的对应坐标． （1）根据题意可得、、，用线段顺次连接即可； （2）根据图形写出点的坐标和点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，． 19. 如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲车停在区的概率是__________； （2）请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用树状图法得出所有等可能的结果数，以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲车停放的所有可能结果有3种，停在A区的只有1种， ∴甲能够停放在A区的概率是； 【小问2详解】 解：依题意，、两个停车区域的空车位即为“”，“”，“”， 一共有6种等可能的结果，满足“甲、乙两车停在相同区域”的结果有2种，即， ∴甲、乙两辆车停在相同区域的概率为． 20. 如图，在中，，是的中点，是的中点，延长至点，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 解：不能，理由如下： 设十字框中最中间的一个数为， 由题意可得：， 解得：， ∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数， ∴十字框中的五个数字之和不能等于． （2） 【解析】 【分析】（）证明，得到，，即可得，，即得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质得，即可求证； （）由直角三角形的性质得，设，则，利用勾股定理可得，得到，再根据直角三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 项目学习项目 背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于？ 平台回复的结果：…… 交流展示 …… 请根据以上的活动报告，解答下列问题． （1）求所使用平台前三天下载量的日平均增长率． （2）请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】（1）所使用平台前三天下载量的日平均增长率为； （2） 解：猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设一段铁丝的长度为，另一段为， 根据题意，得，即， ∵， ∴方程无解， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， 答：人工智能平台回复的结果是“不能”． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键． （1）设下载量的日平均增长率为．根据第一天在某平台的下载量为100万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为121万次，列方程即可得解； （2）设一段铁丝的长度为，另一段为，由正方形的面积公式可得，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设下载量的日平均增长率为， 根据题意，得， 解得：或（舍去）， 答：所使用平台前三天下载量的日平均增长率为； 【小问2详解】 略 22. 综合与探究： （1）问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________． （2）拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长． （3）延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）6 （2） （3）是定值，为定值 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据，可得，再由相似三角形的性质解答即可； （2）证明，，可得，，即可求解； （3）设．由（2）可知，，，从而得到，，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：是定值． 设． 由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）将一次函数图象向上平移个单位长度，使得与反比例函数图象只有一个交点，求m的值． （3）若点在反比例函数的图象上，F是线段延长线上的一点，过点F作直线，交反比例函数的图象于点．若，求点G的坐标． 【答案】（1）， （2）1或9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意将点A，B代入反比例函数求出点A，B的坐标，从而求得c的值得到反比例函数表达式，再利用待定系数法求得一次函数的表达式； （2）根据题意得出直线平移后的表达式，再根据已知条件联立反比例函数表达式得到，要使与反比例函数只有一个交点，则该一元二次方程的判别式为0，列出式子并求得m的值即可； （3）先求出点E的坐标，再求得、、的平方，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点E作，由推出，从而得出直线的表达式，设点B关于直线的对称点为，且交于点H，得出的中点为，利用垂直平分线性质，勾股定理列出方程求得p值，进而得到点M的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式，联立反比例函数表达式即可求得点G的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，将点A，点B代入反比例函数得： ，整理得：，解得， ∴点，点， 将点A，点B代入一次函数得： ，解得， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线沿着y轴向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数表达式为， ∵平移后的函数与反比例函数图象只有一个交点， ∴，整理得， ∴， 解得，， ∵， ∴m的值为1或9． 【小问3详解】 解：∵点E在反比例函数图象上， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作， ∴， ∴， 易知直线的表达式为， 设点B关于直线的对称点为，且交于点H， ∴的中点为， ∵的中点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴或（不符合题意，舍去）， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 令，解得或， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $