7.1.1 角的推广 教案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.1.1 角的推广 【课程基本信息】 年级 高一 课题 角的推广 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.知道象限角. 3会用集合表示终边相同的角. 【教学重点】 任意角的概念. 【教学难点】 用集合表示终边相同的角. 【教学过程】 1、 角的概念 情境与问题：如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时， （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 设计意图：通过通俗易懂的实际情境，引领学生认识到角的概念需要推广，进而自然得出角的推广概念． （1）显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所经过的角的大小会超过360°. （2）甲、乙两人观察到的摩天轮旋转方向相反，如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一个人观察到的是顺时针旋转，由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分． 教师提问：让学生思考尝试总结角的概念. 角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边. 射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向. 正角的概念：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 负角的概念：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 零角的概念：如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.即零角的始边和终边重合. 角的表示方法：作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量． 尝试与发现：利用转角给出60°＋90°与90°-30°的几何意义． 教师提问：学生分组讨论后代表回答． 90°-30°的几何意义：射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为-30°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为：90°－30°＝60°. 二、象限角 象限角的概念：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 尝试与发现：如果三个角的终边相同．那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？ 一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍.因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为α. 三、终边相同角的表示 教师提问：学生分组讨论后代表回答． 思考一下：已知α为第二象限角，则是第几象限角？ 因为90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z，当k为奇数时，记k＝2n＋1，225°＋n·360°<<270°＋k·360°，n∈Z，此时是第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，45°＋n·360°<<90°＋n·360°，n∈Z，此时是第一象限角；综上：是第一或第三象限角． 设计意图：让学生归纳总结，可以提高学生的概括、理解能力． 【课堂例题】 例1：如图所示，已知角α的终边为射线OA，分别作出角α+90°，α-90°，α+180°的终边. 解：由角的定义可知，把角α的终边OA逆时针方向旋转90°可得α+90°的终边OB，把角α的终边OA顺时针方向旋转90°可得角α－90°的终边OC，把角α的终边OA逆时针方向旋转180°可得角α+180°的终边OD，如图. 例2：分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β≤720°的元素β写出来． （1）60°； （2）-21°. 解：（1）S={β|β=60°+k·360°，k∈Z}， 解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得-1-≤k<2-， 所以k可取－1，0或1，因此S中满足－360°≤β<720°的元素是60°＋(-1)·360°＝－300°，60°＋0·360°=60°，60°＋1·360°＝420°． （2）S＝{β|β＝-21°＋k·360°，k∈Z}， 解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得-1+≤k<2-， 所以k可取－1，0或1，因此S中满足－360°≤β<720°的元素是-21°＋0·360°＝-21°，-21°＋1·360°＝339°，-21°＋2·360°＝699°． 例3：写出终边在第一象限内的角的集合． 解：因为大于0°且小于90°的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与大于0°且小于90°的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}. 例4：写出终边在x轴上的角的集合． 解：在[0°，360°)内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为：S1＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，S2＝{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法改为S1＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}，因为{m|m=2k，k∈Z}∪{m|m=2k＋1，k∈Z}＝Z，即集合S是终边在x轴上的角的集合． 对于例题4的另一种理解：零角的终边在x轴上，零角的终边旋转180°，－180°，2×180°，2×(-180°)，…，终边仍然落在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}. 【课堂巩固】 1.若，则的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 解析：因为，所以与的终边相同，易知的终边在第三象限.故选：C. 2.若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：若是第一象限角，则，，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误.故选：C. 3.下列说法中正确的个数是( ) ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错误； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于的角可以是锐角，也可以是负角，④错误. 综上，正确的个数是2，故选B. 4.下列各角中，与角终边相同的角是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为，，，所以与角终边相同的角是.故选：A. 5.若是第二象限角，那么和都不是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案：B 解析：因为是第二象限角，所以，， 所以，，所以是第一或第三象限角，而是第三象限角，所以是第四象限角.故选B. 6.已知角，则角的终边落在第________象限. 答案：三 解析：由题意得，由角的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内. 【小结作业】 7页的课后习题 【板书设计】 7.1.1 角的推广 1.任意角的概念 2.象限角的概念 3.终边相同的角的表示 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $