浙江省温州实验学校2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2024-2025学年浙江省温州实验学校九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）已知点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，则线段OA的长度可能是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．7cm 2．（3分）一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，是黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）已知线段a＝4.5，线段b＝2，则线段a，b的比例中项线段c的长是（　　） A．2 B．3 C．4.5 D．9 4．（3分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2 5．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象和x轴的一个交点是（﹣3，0），则该图象与x轴的另一个交点的坐标是（　　） A．（5，0） B．（3，0） C．（0，15） D．（0，5） 6．（3分）如图，AB为⊙O直径，弦CD与AB相交，连结AC，BC，AD，若∠CAB＝42°，则∠D的度数为（　　） A．42° B．48° C．52° D．58° 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点C（﹣3，﹣1）的对应点为C′（6，2），则点A（﹣2，1）的对应点A′的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2） 8．（3分）如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝60°，∠BDC＝110°，则点A，D之间的距离为（　　） A．asin30°﹣bcos55° B．acos30°﹣bsin55° C．asin30°﹣bsin55° D．acos30°﹣bcos55° 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）二次函数y＝x2+2x+3的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＞﹣1时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜t＜﹣1时，y1＞y2＞0 C．当﹣5＜t＜﹣3时，y2＜y1＜0 D．当t＜﹣5时，y1＜y2＜0 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝5，则sinA的值为 　 　 ． 12．（3分）二次函数y＝（x+2）2+3的顶点坐标是 　 　 ． 13．（3分）如图，⊙O的半径为4，∠AOB＝45°，则的长为 　 　 （结果保留π）． 14．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G，DE＝6cm，则HG为 　 　 cm． 15．（3分）如图，汽车A在某港口O的正北150km处，以90km/h的速度向正南方向行驶．同时，邮轮B在港口O的正东30km处，以30km/h的速度向正西方向行驶，则经过 　 　 小时，A和B之间的距离最近． 16．（3分）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，作DE∥BC交AC于点E，CD，BE相交于点F，记△DBF的面积为x，△BCF的面积为y．已知△DEF的面积为3，则y关于x的函数表达式为 　 　 ，若△ADE的面积为13，则的值为 　 　 ． 三、解答题（本题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（8分）已知实数a，b满足，求的值． 18．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率（用画树状图或列表法说明）． 19．（8分）如图1，平行四边形ABCD内接于⊙O． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形． （2）如图2，连结OA，OD，∠AOD＝90°，AD＝8，求阴影部分面积． 20．（8分）已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹． （1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1． （2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC． 21．（8分）如图，在⊙O中，弦CD⊥直径AB，点E在上，且，连结CE，DB，DE，DE交AB于点F，使DE＝DB． （1）求证：； （2）求证：△DCE∽△BFD． 22．（8分）数学与生活：测量二号楼的高度． 素材1：如图，从点O看一号楼，观测楼顶点P的仰角是30°，向前走90m到达A点，测得楼顶点P的仰角是60°． 素材2：一架无人机悬停在点H处，在此处测得一号楼顶部E的俯角为37°，二号楼顶部F的俯角为53°，点H到地面距离HM为90m，且．（参考数据： 任务1：根据素材1的测量数据，求出一号楼CE的高度．（保留根号） 任务2：根据素材2的测量数据，求出二号楼DF的高度．（保留根号） 23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数）的图象经过点A（4，5），对称轴为直线x＝﹣2． （1）求二次函数的表达式． （2）若点B（m，n）是二次函数y＝ax2+bx+3图象上一点，若点B向上平移k（k＞0）个单位长度，向左平移k个单位长度后，仍在y＝ax2+bx+3的图象上． ①求m关于k的关系式； ②当k＝12，m≤x≤m+4时，求二次函数y＝ax2+bx+3的最大值与最小值的差． 24．（12分）如图1，在圆内接四边形ABCD中，AD＞BC，延长AD至点E，延长BA至点F，连结EF，延长CD交EF于点G，使∠EGD+∠DAB＝180°． （1）请找出一个与∠EGD相等的角，并说明理由． （2）如图2，连结AC，BD，使EF＝BD，延长CB，DA交于点H． ①求证：； ②求证：AE＝AC． 2024-2025学年浙江省温州实验学校九年级（上）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A A B D D B A 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）已知点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，则线段OA的长度可能是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【解答】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm， ∴线段OA的长度＜5cm． 故选：A． 2．（3分）一个布袋里装有7个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，是黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式可得答案． 【解答】解：从中任意摸出1个球共有10种等可能结果，是黑球的有2种结果， 所以是黑球的概率为， 故选：C． 3．（3分）已知线段a＝4.5，线段b＝2，则线段a，b的比例中项线段c的长是（　　） A．2 B．3 C．4.5 D．9 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【解答】解：∵线段a＝4.5，b＝2，线段c是线段 a，b的比例中项， ∴c2＝ab＝4.5×2＝9， ∴c＝3（负值舍去）． 故选：B． 4．（3分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2 【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2）， ∴所得抛物线的解析式为y＝x2+2． 故选：A． 5．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象和x轴的一个交点是（﹣3，0），则该图象与x轴的另一个交点的坐标是（　　） A．（5，0） B．（3，0） C．（0，15） D．（0，5） 【分析】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣3，0）， ∴﹣9﹣6+c＝0． ∴c＝15． ∴二次函数y＝﹣x2+2x+15． 令y＝0，则﹣x2+2x+15＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝5． ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（5，0）． 故选：A． 6．（3分）如图，AB为⊙O直径，弦CD与AB相交，连结AC，BC，AD，若∠CAB＝42°，则∠D的度数为（　　） A．42° B．48° C．52° D．58° 【分析】由AB为⊙O直径，则∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得∠B＝48°，最后由圆周角定理即可求解． 【解答】解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， 由条件可知∠B＝48°， ∴∠D＝∠B＝48°， 故选：B． 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点C（﹣3，﹣1）的对应点为C′（6，2），则点A（﹣2，1）的对应点A′的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2） 【分析】由题意得△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，则可得点A′的横坐标为﹣2×（﹣2）＝4，纵坐标为1×（﹣2）＝﹣2，即点A′的坐标为（4，﹣2）． 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点C（﹣3，﹣1）的对应点为C′（6，2）， ∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2， ∵A（﹣2，1）， ∴点A′的横坐标为﹣2×（﹣2）＝4，纵坐标为1×（﹣2）＝﹣2， ∴点A′的坐标为（4，﹣2）． 故选：D． 8．（3分）如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝60°，∠BDC＝110°，则点A，D之间的距离为（　　） A．asin30°﹣bcos55° B．acos30°﹣bsin55° C．asin30°﹣bsin55° D．acos30°﹣bcos55° 【分析】连接BC，连接AD并延长交BC于点E，证明AD是BC的垂直平分线，△ABC是等边三角形，再由等边三角形的性质得∠BAD＝∠CAD＝30°，∠BDE＝∠CDE＝55°，然后在Rt△BDE和Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义求出DE和AE的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BC，连接AD并延长交BC于点E， ∵AB＝AC，DB＝DC，∠BAC＝60°， ∴AD是BC的垂直平分线，△ABC是等边三角形， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，∠BDE＝∠CDE∠BDC＝55°， 在Rt△BDE中，BD＝b，DE＝BD•cos55°＝bcos55°， 在Rt△ABE中，AB＝a，AE＝AB•cos30°＝acos30°， ∴AD＝AE﹣DE＝acos30°﹣bcos55°， ∴点A，D之间的距离为acos30°﹣bcos55°， 故选：D． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作AB的垂线，垂足为M，求出△ABD的面积，进而得出DM的长，再根据重心的性质得出即可解决问题． 【解答】解：过点D作AB的垂线，垂足为M， ∵点E为△ABC的重心， ∴点D为AC的中点，， ∴AD． 又∵∠C＝90°， ∴AB， ∴， ∴DM． 又∵EF∥DM， ∴△BEF∽△BDM， ∴， ∴EF． 故选：B． 10．（3分）二次函数y＝x2+2x+3的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＞﹣1时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜t＜﹣1时，y1＞y2＞0 C．当﹣5＜t＜﹣3时，y2＜y1＜0 D．当t＜﹣5时，y1＜y2＜0 【分析】根据解析式可得对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向上，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，函数有最小值2，然后根据图象和性质判断即可． 【解答】解：∵二次函数为y＝x2+2x+3， ∴对称轴是直线x1， 又∵抛物线开口向上， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，函数有最小值1﹣2+3＝2， 当t＞﹣1时，﹣1＜t＜t+4， ∴y2＞y1＞2＞0，故选项A符合题意； 当﹣3＜t＜﹣1时，1＜t+4＜3， ∴y2＞y1＞0，故选项D不符合题意； 当﹣5＜t＜﹣3时，﹣1＜t+4＜1， ∴y1＞y2＞0，故选项C不符合题意； 当t＜﹣5时，t＜t+4＜﹣1， ∴y1＞y2＞0，故选项D不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝5，则sinA的值为 　　 ． 【分析】根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝5， ∴sinA， 故答案为：． 12．（3分）二次函数y＝（x+2）2+3的顶点坐标是 　（﹣2，3）　 ． 【分析】二次函数的解析式的表示形式是顶点式，由此即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2+3的表达形式是顶点式， ∴顶点坐标为（﹣2，3）， 故答案是：（﹣2，3）． 13．（3分）如图，⊙O的半径为4，∠AOB＝45°，则的长为 　π　 （结果保留π）． 【分析】直接利用弧长公式进行计算即可． 【解答】解：的长为π． 故答案为：π． 14．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G，DE＝6cm，则HG为 　2　 cm． 【分析】连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，由圆内接正六边形的性质得∠BOC＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，CD＝DE＝6cm，则∠AOE＝120°，所以∠ACE∠AOE＝60°，因为∠DCE∠DOE＝30°，所以∠DCH＝90°，因为∠HDC∠BOC＝30°，所以DH＝2CH，由CDCH＝6cm，求得CH＝2cm，再证明∠HCG＝∠HGC＝60°，则HG＝CH＝2cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，DE＝6cm， ∴∠BOC＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA360°＝60°，CD＝DE＝6cm， ∴∠AOE＝∠EOF+∠FOA＝120°， ∴∠ACE∠AOE＝60°， ∵∠DCE∠DOE＝30°， ∴∠DCH＝∠ACE+∠DCE＝90°， ∵∠HDC∠BOC＝30°， ∴DH＝2CH， ∵CDCH＝6cm， ∴CH＝2cm， ∵∠HGC＝∠HDC+∠DCE＝60°， ∴∠HCG＝∠HGC＝60°， ∴HG＝CH＝2cm， 故答案为：2． 15．（3分）如图，汽车A在某港口O的正北150km处，以90km/h的速度向正南方向行驶．同时，邮轮B在港口O的正东30km处，以30km/h的速度向正西方向行驶，则经过 　1　 小时，A和B之间的距离最近． 【分析】当邮轮B行驶到港口O时，A和B之间的距离最近，根据路程÷速度＝时间即可得到结论． 【解答】解：当邮轮B行驶到港口O时，A和B之间的距离最近， ∵OB＝30km， ∴邮轮B行驶D的时间为30÷30＝1小时， 答：经过1小时，A和B之间的距离最近， 故答案为：1． 16．（3分）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，作DE∥BC交AC于点E，CD，BE相交于点F，记△DBF的面积为x，△BCF的面积为y．已知△DEF的面积为3，则y关于x的函数表达式为 yx2 ，若△ADE的面积为13，则的值为 　　 ． 【分析】由DE∥BC，推出△DEF∽△CBF，可得（）2，即（）2，推出yx2.由△ADE∽△ABC，推出（）2＝（）2，可得，构建方程组求出x，y可得结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴（）2， ∴（）2， ∴yx2． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2＝（）2， ∴， ∴13y＝48+6x+3y， ∴10y﹣6x﹣48＝0， ∴10x2﹣6x﹣48＝0， 整理得5x2﹣9x﹣72＝0， 解得x或﹣3（舍去）， ∴y， ∴． 故答案为：yx2，． 三、解答题（本题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（8分）已知实数a，b满足，求的值． 【分析】把化简为1，代入即可得解． 【解答】解：已知实数a，b满足， ∴1＝21． 18．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率（用画树状图或列表法说明）． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 共有16种等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的结果有：（1，3），（2，4），共2种， ∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率为． 19．（8分）如图1，平行四边形ABCD内接于⊙O． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形． （2）如图2，连结OA，OD，∠AOD＝90°，AD＝8，求阴影部分面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出∠A＝∠C，再由∠A+∠C＝180°求出∠A的度数，据此可解决问题． （2）用扇形OAD的面积减去△AOD的面积即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C． 又∵平行四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠A＝∠C＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． （2）解：∵OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴△AOD是等腰直角三角形． 又∵AD＝8， ∴OA＝OD， ∴，， ∴S阴影＝8π﹣16． 20．（8分）已知△ABC中，AB＝AC．完成下列尺规作图，保留作图痕迹． （1）如图1，作△ADE，使△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1． （2）如图2，在BC上取一点D，使△DBA∽△ABC． 【分析】（1）由题意得△ADE与△ABC的相似比为2：1，结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）结合相似三角形的判定，作∠BAD＝∠C，交BC于点D，则点D即为所求． 【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，且△ADE与△ABC的周长比为2：1， ∴△ADE与△ABC的相似比为2：1． 如图1，△AD'E'和△AD''E''均满足题意． （2）如图2，作∠BAD＝∠C，交BC于点D， ∵∠ABC＝∠DBA， ∴△DBA∽△ABC， 则点D即为所求． 21．（8分）如图，在⊙O中，弦CD⊥直径AB，点E在上，且，连结CE，DB，DE，DE交AB于点F，使DE＝DB． （1）求证：； （2）求证：△DCE∽△BFD． 【分析】（1）由DE＝DB，得，由AB是⊙O的直径，CD⊥AB，得，所以，即可由，证明； （2）由，，推导出，则∠CDE＝∠B，由，证明∠E＝∠BDF，则△DCE∽△BFD． 【解答】证明：（1）∵DE＝DB， ∴， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴∠CDE＝∠B， ∵， ∴∠E＝∠BDF， ∴△DCE∽△BFD． 22．（8分）数学与生活：测量二号楼的高度． 素材1：如图，从点O看一号楼，观测楼顶点P的仰角是30°，向前走90m到达A点，测得楼顶点P的仰角是60°． 素材2：一架无人机悬停在点H处，在此处测得一号楼顶部E的俯角为37°，二号楼顶部F的俯角为53°，点H到地面距离HM为90m，且．（参考数据： 任务1：根据素材1的测量数据，求出一号楼CE的高度．（保留根号） 任务2：根据素材2的测量数据，求出二号楼DF的高度．（保留根号） 【分析】任务1：根据三角形的外角性质得到∠OPA＝30°，得到∠OPA＝∠POA，证明PA＝OA＝90m，再根据正弦的定义计算即可； 任务2：过点E作EG⊥HM于G，过点F作FN⊥HM于N，根据正切的定义求出EG，进而求出MD，再根据正切的定义计算即可． 【解答】解：任务1：由题意可知：∠POA＝30°，∠PAB＝60°，OA＝90m， 则∠OPA＝∠PAB﹣∠POA＝30°， ∴∠OPA＝∠POA， ∴PA＝OA＝90m， 在Rt△PAB中，PB＝PA•sin∠PAB＝9045（m）， 答：一号楼CE的高度为45m； 任务2：过点E作EG⊥HM于G，过点F作FN⊥HM于N， 则MG＝PB＝45m，EG＝CM， ∴HG＝HM﹣MN＝（90﹣45）m， 在Rt△EGH中，tan∠HEG， ∴EG（120﹣60）m， ∵， ∴MD（120﹣60）＝（90﹣45）m， 在Rt△FNH中，tan∠HFN， ∴HN＝NF•tan∠HFN＝（90﹣45）（120﹣60）m， ∴FD＝NM＝HM﹣HN＝90﹣（120﹣60）＝（6030）m， 答：号楼DF的高度为（6030）m． 23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数）的图象经过点A（4，5），对称轴为直线x＝﹣2． （1）求二次函数的表达式． （2）若点B（m，n）是二次函数y＝ax2+bx+3图象上一点，若点B向上平移k（k＞0）个单位长度，向左平移k个单位长度后，仍在y＝ax2+bx+3的图象上． ①求m关于k的关系式； ②当k＝12，m≤x≤m+4时，求二次函数y＝ax2+bx+3的最大值与最小值的差． 【分析】（1）利用待定系数法，将点A（4，5），对称轴为直线x＝﹣2代入函数表达式以及对称轴公式即可； （2）①先求出点B平移后的点的坐标，再将这两点坐标代入二次函数表达式得到两个关于m，k的等式，化简即可；②由k＝12和①问的结论求出m，进而可得x的取值范围是﹣4≤x≤0，因二次函数开口向上且对称轴为直线x＝﹣2，故当﹣4≤x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，当﹣2＜x≤0时，y随着x的增大而增大，当x＝﹣2时，y取得最小值，x＝0或﹣4时，y取得最大值，进而解决问题． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数）的图象经过点A（4，5）且对称轴为直线x＝﹣2， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）①∵点B（m，n）在二次函数图象上， ∴， 点B向上平移k（k＞0）个单位长度，向左平移k个单位长度后的点为（m﹣k，n+k）在二次函数图象上， ∴， 将代入得， ， 解得：m， ∴m关于k的关系式为m； ②当k＝12时，m12﹣10＝﹣4， ∴m+4＝0， ∴﹣4≤x≤0， ∵二次函数开口向上且对称轴为直线x＝﹣2， ∴在﹣4≤x≤0的范围内： x＝﹣2时，y取得最小值y， x＝0或﹣4时，y取得最大值y＝3， 3， ∴当k＝12，m≤x≤m+4时，二次函数的最大值与最小值的差为． 24．（12分）如图1，在圆内接四边形ABCD中，AD＞BC，延长AD至点E，延长BA至点F，连结EF，延长CD交EF于点G，使∠EGD+∠DAB＝180°． （1）请找出一个与∠EGD相等的角，并说明理由． （2）如图2，连结AC，BD，使EF＝BD，延长CB，DA交于点H． ①求证：； ②求证：AE＝AC． 【分析】（1）根据圆内接四边形 到现在即可得到结论； （2）①证明∠DCB＝∠EGD，得EF∥BH，可证△AEF∽△AHB，由此可得结论； ②证明△HAC∽△HBD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：∠C＝∠EGD， 理由：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠DAB＝180°， ∵∠EGD+∠DAB＝180°， ∴∠C＝∠EGD； （2）证明：①∵在圆内接△ABC中，D为圆上一圆， ∴∠DCB+∠DAB＝180°， ∵∠EGD+∠DAB＝180°， ∴∠DCB＝∠EGD， ∴EF∥BH， ∴△AEF∽△AHB， ∴； ②∵， ∴， ∵∠DHB＝∠CHA，∠HDB＝∠HCA， ∴△HAC∽△HBD， ∴， ∴ 又∵EF＝BD， ∴AE＝AC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/15 10:19:07；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $