第10章 分式（单元自测卷）八年级数学新教材苏科版

第10章 分式 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断每个代数式即可． 【详解】解： ，分母为5，不含字母，不是分式； ，分母为n，含字母n，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式； ，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式； ，分母为x，含字母x，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式， 是分式的有 ，，，，共4个， 故选C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的减法，根据同分母的分式的减法法则，分母不变，分子相减，进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 3．若把分式中的和都扩大10倍，那么下列分式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4．关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，考虑分母不为零的条件，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵方程，且， 两边乘得， ∴， 当 即 时解有效。 A．当时无解，故A错误； B．当时，，解可为0，故B错误； C．当时，，且满足，故解为负数，故C正确； D．当且时解为正数，但时无解，故D错误． 故选：C． 5．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 首先根据原计划速度为x米/分，实际速度比原计划快，即米/分，再根据提前5分钟到达，即原计划时间减实际时间等于5分钟列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意可列：, 故选：B． 6．若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的求值和乘法公式． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边除以得 ， 即， 又∵ ， ∴ ， 故选：B 7．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解法、分式有意义的条件、求不等式的解集．掌握分式方程的解法，利用分式方程最简公分母不为、分式方程的解为正数列出关于的不等式是解题关键．通过简化分式方程，利用分母的关系化为整式方程，解出 关于 的表达式，再根据解为正数且分母不为零得到的取值范围，最后结合自然数定义（包括 ）确定 的取值个数． 【详解】∵ 方程 ，且 ， ∴ 原方程化为 ． 移项，得 ，即 ． 两边乘 （），得 ， 展开，得 ， 整理，得 ， ∴ ． ∵方程 的解为正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∴ 的取值范围为 且 ． ∵ 为自然数（包括 0）， ∴ 可能取值为 0， 1， 3． ∴ 的所有值的个数为 3 个． 故选：A． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．分式有意义，满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此需解分母不等于零的不等式． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得 ． 故答案为：． 10．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式求值：分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意，分子且分母． 解方程，得或． 又∵，即， ∴． 故答案为：． 11．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．通过寻找最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，并对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，由已知条件通分得 ，即，然后将所求分式的分子和分母分别变形，代入化简求值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即． 则， 则， ∴． 故答案为：． 13．“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克，根据第二次进货量比第一次多40千克，列出方程即可． 【详解】解：设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克， 由题意，得． 故答案为：． 14．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ，即 ∴ 故答案为：． 15．关于x的分式方程无解，则 ； 【答案】5 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，将分式方程化简为整式方程，根据分式方程无解的条件，得到整式方程的解为分式方程的增根，代入求解a的值即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于x的整式方程总有解 ∴当关于x的分式方程无解时，关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 16．若，则的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式．由，利用完全平方公式求出的值，再求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 17．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题．通过观察给定例子=+和=+，发现对于分母为奇数的分数，可拆分为两个单位分数之和，其中第一个分母为，第二个分母为．将此法应用于和一般形式即可求解． 【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为 ，故 ． 对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，第二个单位分数的分母为，故 ． 故答案为：，． 18．若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握各运算步骤． 先解一元一次不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个奇数解的条件确定整数a的取值范围；再解分式方程，根据解为整数且分母不为零的条件筛选a的值，最后求满足条件的整数a的积． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得， ； ∴不等式组的解集为， 有且仅有2个奇数解，即奇数解为和，需满足， 解得，整数为， ， ， ， ， ， ， 解为整数且，故为整数，需为偶数， 结合取值范围，偶数值为， 经检验：当时，为整数且；当时，分母为零，舍去；当时，为整数且， 满足条件的整数为和，积为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）（1）计算： （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，解分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将小括号里的通分，再作除法； （2）先去分母，化为整式方程求解，再验根． 【详解】（1）解： ；......................................................................................................................................3分 （2）去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得：， 经检验使分母等于0， 所以是增根，原分式方程无解．...................................................................................6分 20．（6分）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式的混合运算法则化简，然后把x的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ，............................................................................................................................................3分 当时， 原式．...............................................................................................................................6分 21．（5分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元．...........................................5分 22．（7分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．.......................................................4分 （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶．................................................................................7分 23．（7分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （）解法二：设大巴车行驶的时间为，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：；..........................................................................................................3分 （2）解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：．........................................................................................................7分 24．（8分）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)11 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）利用倒数法可推出，再根据可求出的值，则可根据求出的值； （2）利用倒数法推出，，再把所求式子变形为，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；......................................................................4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ．..........................................................................................................................................8分 25．（8分）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小；..............................................2分 （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大；............................................4分 （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2；.............................................................................6分 （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，．.....................................................................................8分 26．（8分）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 【答案】(1)假分式 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减和分式的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义，熟练掌握分式的加减法则． （1）根据真假分式的定义，观察分子和分母的次数，进行判断即可； （2）把分式的分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （3）利用完全平方公式将分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （4）通过设未知数，表达三位数m和两位数n，计算时用完全平方公式，根据整除的意义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为分式的分子和分母的次数都是1， 此分式是假分式， 故答案为：假分式；...................................................................................................................2分 （2）解： 故答案为：；...............................................................................................................4分 （3）解： ， 故答案为：；.................................................................................................6分 （4）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， 则：， 所以 ， 由题意得，，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以为整数， 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，； 当时，，没有满足题意的b的值． 综上，满足条件的两位数n为36． 故答案为：36．..........................................................................................................................8分 27．（9分）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，．......................................................................................................................3分 （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ．........................................................................................................................................6分 （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8．.......................................................................................................9分 学科网（北京）股份有限公司2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D．1 3．若把分式中的和都扩大10倍，那么下列分式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 5．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）． A． B． C． D． 6．若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 7．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．分式有意义，满足的条件为 ． 10．若分式的值为0，则x的值为 ． 11．分式方程的解为 ． 12．若，则的值为 ． 13．“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为： ． 14．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝ ． 15．关于x的分式方程无解，则 ； 16．若，则的值为 ． 17．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 18．若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）（1）计算： （2）解分式方程：． 20．（6分）先化简，再求值：，其中 21．（5分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 22．（7分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 23．（7分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 24．（8分）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 25．（8分）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 26．（8分）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 27．（9分）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 第10章分式单元自测卷 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 2 3 5 6 7 8 D D B B A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.x≠3 10.-2 11.x=-3 12. 7 3. 900 800=40 (1-10%)xx 14.-101315.5 16.0217.2-2 1 元=6+662k+1k+7k+12k+可 18.-4 三、解答题：本题共9小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.(6分) 【详解】(1)解：4K-2+ x2-2x+1 x-1 =-x+2x-2.xx--2-x2 (x-12 x-1 -(x+2)(x-2),x2-x-2-x2 (x-12 x-1 =-(x+2(x-2÷--2 （x-12 x-1 =-x+2(x-2.x-1 (x-12 -x+2 =2 x-1: 3分 (2)去分母，得x(x-2)-(x+22=8, 去括号，得x2-2x-x2-4x-4=8, 合并同类项，得-6x-4=8, 解得：x=-2, 经检验x=-2使分母等于0， 所以x=-2是增根，原分式方程无解。6分 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.(6分) 【详解】解： x2-1.2x-2 x2+2x+1x2+x =x+1x-). 2(x-1) (x+1)2 x(x+1) -(x+l)(x-Dxx(x+D) (x+1)2 2(x-1) f23分 1 当x=- 时， 21 1 原式2 1 .44 2 4 21.(5分) 【详解】解：设甲型号机器人单价为x万元，则乙型号机器人单价为(120-x)万元，依题意得： 350490 x120-x 解得：x=50, 经检验，x=50是原方程的解， .120-x=70（万元)， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元. 5分 22.(7分) 【详解】(1)解：设甲种型号玩偶的单价为x元，根据题意得 400300 +5, x1.5x 两边同乘3x得，1200=600+15x, 15x=600, 解得x=40 经检验x=40是分式方程的解. 1.5x=60. 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为40元，60元.4分 (2)解：设可以采购m个乙型玩偶， 根据题意得，40(60-m+60m≤3000， 2400-40m+60m≤3000， 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20m≤600， 解得m≤30. 答：最多可以采购30个乙种型号玩偶. 7分 23.(7分) 【详解】(1)解：设大巴车的平均速度为xkmh,则中巴车的平均速度为x+10kmh, 根据题意可列方程，得 3025 x+10x 解得：x=50, 经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意， 25-251 x502 答：大巳车行驶的时间为， 3025 故答案为： ;3分 x+10x (2)解：设大巴车行驶的时间为h, 根据题意得： 3025 =10, tt 解得1=2' 1 1 经检验，t=二是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为h, 故答案为： 3025 =10.…7分 24.(8分) 【详解】1)解：“--l, :==1-1, x x x x-1-=1, x-1=2, +22+2=6 3/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 之+2+2624,4分 1 (2)解：“x-x+13' :(x=(x+山=3， -l-3, :1=3,-1=3x, xx -1=3, 2+-3x-1 =2+g-2-小-1 s2x2+-x2+1-1 1 =32+2 =118分 25.(8分) 【详解】(1)解：：当x>0时，随着x的增大，上的值随之减小， 当x>0时，随若x的增大，2+的值随之减小，上的值随之增大， 3x+13知+1=3+， .1 xx x :当x<0时，随着的增大，上的值随之减小， 当<0时，随若X的增大，3x+1=3+的值随t之减小，…2分 （2)解：4x-4r+45_4x+5=4-5, x+1x+1x+1x+1x+1 当x>0时，x+1>1>0, 当x>0时，随着x的增大，1的值随之减小，即5的值随之减小， x+1 x+1 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x>0时，随着X的塔大，4-5的值随之增大；4分 x+1 x+1 (3)解：2x+7-2x+6+1_2x+3),1 =2+ 1 x+3x+3x+3x+3 x+3 当x>-3时，x+3>0, 当x>-3时，随着的增大，3的信随之减小， 当×无限塔大时，则十3无限接近于0， 此时2x+7=2+1 x+3x+3 的值无限接近2；6分 (4)解：3x-5_3x+9-14_3x+3)14 -3、14 x+3x+3 x+3x+3 r+3, 当x>-3时，x+3>0, 当>-3时，整新的塔大，中的值之减小，摩与的值随之减小 当x>-3时，随着x的增大， 3x-5 x+3 314 的值随之增大， x+3 当x=0时， 30景 3x-5_3×1-51 x+31+3=2 .当0<x<1时， 53x-51 < 3x+3 2 …8分 26.(8分) 【详解】(1)解：因为分式的分子和分母的次数都是1， :此分式是假分式， 故答案为：假分式： 2分 (2)解： a2+2a+3 +2 =a(a+2)+3 a+2 aa+2）,3 -+ a+2a+2 3 =a+ a+2 故答案为：a+3 +2: 4分 (3)解： a2+4ab+4b2+5 a+2b （a+2b)2+5 a+2b 5/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =(a+2b)+_5 +2b’ 故答案为：(a+2b)+5 0+2b: 6分 (4)解：设m的百位数字为a,十位数字为b,则m的个位数字为2a,n的十位数字为a,个位数字为b 则：m=100a+10b+2a,n=10+b, 所以m2 (100a+10b+2a2 n 10a+b [10(10a+b)+2a]了 10a+b 100(10a+b)2+40a10a+b)+4a2 10a+b 4a2 =100(10a+b)+40a+ 10a+b 由题意得，0<a<5,0≤b≤9，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以100(10a+b)+40a+ 4d为整数， 10a+b 当=1时，。01。没有满足题意的6的值， 4a2 4 当a=2时， 4a216 10a+b20+b’没有满足题意的b的值， 当a=3时， 4a236 10a+b30+6’6=6; 当a=4时， 4a264 10a+b40+b,没有满足题意的乃的值. 综上，满足条件的两位数n为36. 故答案为：36.8分 27.(9分) 【详解】1)解：x+10=7可化为x+25=2+5, .为=5，为3=2.。3分 (2)解：“十字分式方程x-3=-1的两个解分别为5=m,5=n, .∴.mn=-3,m+n=-1, 6/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .nm m n =m2+n2 mn =(m+n)-2mn mn 1-2×(-3) -3 7 3 6分 (3)解：关于x的十字分式方程可化为x-3-2+3张。-k-3, x-3 即x-3+-2k3到=k+-2k-3, x-3 .x1-3=k,x2-3=-2k-3, .x1=k+3,x2=-2k, .xx2-7x2=-2k(k+3)-7-(-2k)=-2k2+8k=-2(k-2+8≤8， X2-73的最大值为8.9分 7/7