第9章 因式分解（单元自测卷）八年级数学新教材苏科版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第9章因式分解单元自测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D 0 B 0 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.3m(x-2y) 10.(a-2 11.18 12.x= 1-m 13.3a+2b 14.4 15.7 16.(x-6(x+3) 17.3 18.0 三、解答题：本题共9小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(6分) 27y2-18x3y 【详解】(1)解： =9y3y-2x2） 3分 3x(a-b)-2y(b-a) (2)解： =3x(a-b)+2y(a-b) =(3x+2y)a-b) 6分 20.(6分) 16ab2-12a2b 【详解】(1)解： =4ab(4b-3a … 3分 -4x2y+4y2-y (2) =-y4x2-4xy+y2】 =-y(2x-y)2 6分 21.(6分) 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 202+202×196982 【详解】(1)解： =2022+2×202×98+982 =(202+98)2 =3002 =90000；3分 71913 13 (2)解：1 ×15 -17 -17×-19-15 13 月-训 =-26 6分 22.(6分) 【详解】证明： (3n+22-(n+22 =(3n+2+n+2)(3n+2-n-2 =(4n+4)-2n) =8n(n+1) 3分 ,n为正整数， n(n+1 是2的倍数， 8n(n+1) 是16的倍数， .原式能被16整除.… 6分 23.(7分) 【详解】(1)解：过程中使用了完全平方公式. m2+2mn+2n2-6n+13 =m2+2n+n2+n2-6n+9+4 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(m+n2+(n-3+4 当m+m=0,(n-3=0时，式子取到最小值， 此时，m=-n,n=3,m=-3;… 3分 (2)解：2x-4+32+6y+4 =2x2-4xy+2y2+y2+6y+4 =2x2-2y+y2）+y2+6y+9)-5 =2(x-y2+y+3)2-5 (x-y)2≥0.(y+3≥0 2(x-y2+(y+3)2-52-5 当且仅当=y=-3 3时，2r2-4+3y2+6+ 有最小值5 7分 24.(8分) 【详解】(1)解：-2y+2y2+8y+16=0 :r-2w+y+y2+8y+16=0 :x-+(y+42=0 (x-y月2≥0.(y+42≥0 :(x-y2=0(y+42=0 .x-y=0,y+4=0, ∴.x=y=-4, w=(-4×-4=16 4分 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：a+-12a-16b+10=0 :a-12a+36)+B-16b+64=0 :(a-6)+(b-82=0 .(a-6)2≥0(b-8)2≥0 a-6°=0(b-82=0 ∴.a-6=0,b-8=0, .a=6,b=8, ..b-a<c<b+a, .8-6=2<c<8+6=14」 :边长为c的边为最大边，且c为正整数， .C的值可以为8,9,10,11,12,13.8分 25.(8分) 【详解】(1)解：：x+3x-a)=r+(3-d)x-3a=2-x-12 .3-a=-1, 解得：a=4. 故答案为：4；2分 (2)解：(2r+3(x-2)=2r2-x-6=2x2-br-6 .b=1 故答案为：1；… 5分 (3)解：设另一个因式为x+),得2 2x2-9x-k=（2x-1(x+n 则2r-9x-k=2+2m-1x-n .2n-1=-9,-k=-n, 解得n=-4,k=-4, 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 另一个因式为x-4,k的值为-4. 8分 26.(8分) 【详解】(1)解：边长为a的正方形减去边长为b的正方形， 则利余部分的面积为4-6】 正方形剩余部分拼成长方形的面积为a+b(a-b) 故-2=(a+bl1(a- 应用：根据题意可知阴影部分的面积为×10-元×9+元×8-元×72+…+元x22-元x =m[102-9）+(82-72）++22-1P] =元[10+9(10-9)+(8+7)(8-7)+…+(2+10(2-1)] =π[10+9+…+2+1川 10×11 =πX 2 =55π， 故所有阴影部分的面积为55π. a2-6=(a+ba-b；应用：55. 4分 (2)解：据图可知，正方形BCD的边长为a+b,则面积为a+b 构成正方形 D的有两个正方形，面积分别为“，，两个全等长方形，面积为2b, AB 根据两种方式表示的面积相等，可得(a+b)-a2+2ab+b2】 应用：设AC=x,则BC=18-x, 则=合小，s(1， S+S2=23π 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6+8-2 化简得+18-刘2=184 :根据完全平方公式展开x+18-x]=2+2x18-+18-刘2 将x+18=刘=18代入，可得18=218-+184，即18-到=70 :点F为半圆上点D正上方一点， 5DFx BC×4×aC. 22 s518-动-号0=175. 故阴影部分面积为175。 答：(a+b)=a2+2ab+b2 应用：175 8分 27.(9分) 【详解】（)解：图1：大正方形的面积可以表示为：(a+b 还可以表示为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2, ∴.(a+b)2=a2+2ab+b2 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：(a-, a2-ab-b(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 还可以表示为： ∴(a-b12=a2-2ab+b2 故答案为：(a+°=d2+2ab+B,(a-b2=a2-2ab+ .3分 (2)a+b)2=a2+2ab+b2=53+2x14=81 又：a>0,b>0, a+b=V81=9. 617 ⊙学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 (a-b)2=a2-2ab+b2=53-2×14=25 又a>b, .a-b=√25=5 a2-b2=(a+b)(a-b)=9x5=45 5分 (3)设2026-x=a,2024-x=b, 则0-b=(2026--(2024-x刘=2026-x-2024+x=2 (2026-x(2024-x=2025 ∴.ab=2025 ∴.(2026-x)2+x-2024)2=a2+b2=(a-b)+2ab=22+2×2025=4054 。7分 (4)设1C=0,BC=b,则a+h=m,S=a+, 5sb-a+-d+6-m--m 4.9分 R. 7/7 第9章 因式分解 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 6．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 7．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 8．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．用提公因式法分解因式： 10．因式分解： ． 11．已知，则 ． 12．已知，请你用含，的代数式表示， ． 13．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是 （用含的式子表示）． 14．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 15．若实数x满足，则代数式的值为 ． 16．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 17．已知，，，则代数式的值为 ． 18．若，则的和为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）对下列式子进行因式分解． (1)； (2)． 20．（6分）分解因式： (1)； (2)． 21．（6分）利用因式分解进行简便计算： (1)． (2)． 22．（6分）已知为正整数，求证：能被16整除． 23．（7分）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． (2)求多项式的最小值． 24．（8分）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长均为正整数，且满足，求的最大边的边长可能是哪些值？ 25．（8分）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 26．（8分）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 27．（9分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项中都含有的公因式． 通过提取多项式中各项的公共因子，确定公因式．公因式是指多项式中各项都含有的因式． 【详解】∵ ， ， ∴ 公因式为 ． 故选B． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 根据平方差公式逐项验证即可得到答案． 【详解】解：平方差公式为 = ； 选项A： = ，符合公式，可分解； 选项B： = ，非平方差形式； 选项C：，为平方和，不符合题意； 选项D：，为完全平方，不符合题意； 故选：A 4．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 5．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值；将代数式通过因式分解后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 6．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选D． 7．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用（提取公因式法、平方差公式），先提取公因式，再用平方差公式分解因式，得到，结合给定的对应关系，即可得出密码信息． 【详解】解： ∵，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”， ∴密码是由“信”，“爱”，“我”，“立”这四个汉字组成的， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 8．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．用提公因式法分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是关键；通过识别多项式中各项的公因式，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11．已知，则 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用．将式子因式分解后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：18． 12．已知，请你用含，的代数式表示， ． 【答案】 【分析】本题考查“等式的性质”“因式分解”，熟练运用等式的性质进行变形是解题关键． 通过等式的性质，将已知等式转化为关于 的表达式即可． 【详解】由 ，根据等式的性质2，可得 ， 根据等式的性质1，将含x的项移到等式左边，得， 根据等式的性质2，可得 ， 故答案为：． 13．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，拼成的大正方形面积等于9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，因此求出9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片的面积之和，再利用完全平方公式把面积的表达式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴拼成的大正方形的边长为， 故答案为：． 14．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 15．若实数x满足，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得，把所求式子可变形为，代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 16．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 17．已知，，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 18．若，则的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）对下列式子进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键： （1）提取公因式分解因式即可； （2）先将式子变形，再提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ；.......................................................................................................................3分 （2）解： ．....................................................................................................................6分 20．（6分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ；........................................................................................................................3分 （2） ．..........................................................................................................................6分 21．（6分）利用因式分解进行简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1)90000 (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便运算，涉及完全平方公式和提取公因式法： （1）利用完全平方公式计算即可； （2）提出公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ；.....................................................................................................................................3分 （2）解： ．.......................................................................................................................................6分 22．（6分）已知为正整数，求证：能被16整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．先根据平方差公式进行运算，然后进行判断即可． 【详解】证明： ．...............................................................................................................................3分 为正整数，是2的倍数， ∴是16的倍数， ∴原式能被16整除．................................................................................................................6分 23．（7分）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． ， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，；.............................................................................................3分 （2）解： ， ，， ， ∴当且仅当时，有最小值．......................................7分 24．（8分）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长均为正整数，且满足，求的最大边的边长可能是哪些值？ 【答案】(1)16 (2)可能是8，9，10，11，12，13 【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，构成三角形的条件，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）仿照题意可得，由非负数的性质求出x、y的值即可得到答案； （2）仿照题意可得，由非负数的性质可求出a、b的值，则由构成三角形的条件可求出c的取值范围，再结合边长为c的边为最大边，且c为正整数即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；............................................................................................................4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边长为c的边为最大边，且c为正整数， ∴c的值可以为8，9，10，11，12，13．................................................................................8分 25．（8分）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)另一个因式为，k的值为 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：4；............................................................................................................................2分 （2）解：∵， ∴． 故答案为：1；............................................................................................................................5分 （3）解：设另一个因式为，得， 则， ∴，， 解得，， ∴另一个因式为，k的值为．.....................................................................................8分 26．（8分）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）；应用：（2）；应用： 【分析】本题考查面积法推导乘法公式，乘法公式的应用，圆的面积公式，通过“面积相等”建立代数恒等式是解题关键． （1）恒等式：用面积法表示剪后图形的两种面积，可得平方差公式；阴影面积：将阴影部分面积拆为平方差形式，然后逆用公式，简化为整数之和，求和即可； （2）恒等式：用面积法表示“拼成的大正方形”的两种面积，可得完全平方和公式；阴影面积：先设为，则，用半圆面积列方程，然后用完全平方变形求出，整体代入计算阴影面积即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形， 则剩余部分的面积为， 正方形剩余部分拼成长方形的面积为， 故； 应用：根据题意可知阴影部分的面积为 ， 故所有阴影部分的面积为． 答：；应用：．..............................................................................4分 （2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为， 构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为， 根据两种方式表示的面积相等，可得； 应用：设，则， 则，， ， ， 化简得， 根据完全平方公式展开， 将代入，可得，即， 点为半圆上点正上方一点， ， ． 故阴影部分面积为． 答：；应用：．..............................................................................8分 27．（9分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 【答案】(1)， (2)， (3)4054 (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，．............................................3分 （2）， 又，， ． ， 又， ． ．....................................................................................5分 （3）设，， 则， ， ． ．.......................7分 （4）设，，则，， ．.................................9分 学科网（北京）股份有限公司2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $