第9章因式分解单元培优闯关测试题-2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

第9章因式分解单元培优闯关测试题（苏科版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子从左到右的变形．属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 4．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 5．若多项式的公因式是，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．将因式分解后，则“□”内所填的整式为（   ） A．x B． C．2x D． 7．下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 9．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 10．计算 等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 12．因式分解： ． 13．多项式的公因式是 14．已知，，则的值为 ． 15．若，．则 ． 16．分解因式： ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 18．分解因式： (1) (2) 19．乘法公式计算与因式分解： (1)乘法公式计算： (2)因式分解： 20．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 21．阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 22．通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： (1)因式分解：______； (2)代数式的最小值为______； (3)若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 23．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 24．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式 ． 例2. 若，利用配方法求M的最小值； ； ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求M的最小值； (3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章因式分解单元培优闯关测试题（苏科版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子从左到右的变形．属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积形式，变形方向为从左（多项式）到右（乘积），据此求解即可． 【详解】解：A、左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不符合题意； B、右边为平方和形式，非乘积，不符合题意； C、左边为多项式，右边为，符合因式分解，符合题意； D、左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不符合题意． 故选C． 2．下列多项式不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，主要涉及平方差公式和完全平方公式，据此判断每个多项式是否能表示为公式形式，即可作答． 【详解】解：A、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B、，无法用公式法进行因式分解，故该选项符合题意； C、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； D、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 4．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 5．若多项式的公因式是，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】公因式的确定需要取各项系数的最大公约数，以及各项都含有的相同字母的最低次幂．本题中，公因式是，说明在多项式中，的最低次幂是，因此的次数必须不小于． 【详解】解：A、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； B、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； C、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； D、当时，的次数为，不小于，此时公因式中的次数应为，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点公因式的确定方法，解题关键是明确公因式中相同字母的指数取各项中最低的那个，因此需要保证． 6．将因式分解后，则“□”内所填的整式为（   ） A．x B． C．2x D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．通过提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 7．下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式，掌握因式分解的定义是解本题的关键． 根据因式分解的定义和公式判断每个选项即可． 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，不是乘积形式，故C错误； 选项D：，是提取公因式，正确； 故选：D． 8．已知的三边分别长为，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 通过方程的非负性求出的值，再应用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是以a为斜边的直角三角形． 故选：A． 9．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 10．计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．多项式的公因式是 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 14．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 15．若，．则 ． 【答案】0 【分析】本题考查代数式求值、利用完全平方公式和平方差公式因式分解，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键． 根据完全平方公式以及平方差公式将进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：0． 16．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)不是；理由见解析 (3)是；理由见解析 (4)是；理由见解析 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知因式分解的定义是关键． 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 【详解】（1）解：是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （2）不是因式分解，因为变形后的式子不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （4）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． 18．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 19．乘法公式计算与因式分解： (1)乘法公式计算： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和分解因式，熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ． （2）由（1）得，，， ． 21．阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 22．通过课堂学习可知，多项式及叫做完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，常采用配方法进行变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，保证整个式子的值不变，通过这种方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式的过程为：； 再如：求代数式最小值的过程为：，则当时，有最小值，最小值是－8． 根据上述方法解决下列问题： (1)因式分解：______； (2)代数式的最小值为______； (3)若，，判断M、N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)；证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，不等式的性质，完全平方公式等知识点． （1）根据题干方法求解即可； （2）根据题干方法求解即可； （3）先计算，再由配方法将其化为，最后根据平方的非负性和不等式的性质得到，即可比较大小． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， 故答案为：； （3）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴． 23．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)② (2)①；②琳琳的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式与几何图形，平方差公式分解因式，因式分解的应用，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将代入求得； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【详解】（1）解：由图1得阴影部分面积为，由图2得阴影部分面积为， 所以可得到的等式是， 故答案为：②； （2）解：， 又，， 所以， 所以； 解：琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为，则面积为， 后来地的面积为， 所以她家这块地的面积减少了． 24．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式 ． 例2 若，利用配方法求M的最小值； ； ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求M的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键． （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 的最小值为 ∴M的最小值是. （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∵ ∴的值满足三角形三边关系 ∴的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $