精品解析：宁夏银川唐徕回民中学西校区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

银川市唐徕中学西校区2025~2026学年第一学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，9，12 2. 下列整数中，与的值最接近的是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线垂线段叫作这点到直线的距离 4. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 某农科所对当地小麦灌浆期连续31天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这31天内累计需水量（单位：）与天数（单位：天）之间的关系如图所示，则与之间的函数关系为（　　） A. B. C. D. 6. 小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（ ） A. 第2~7名之间 B. 在第8~15名之间 C. 在第16~21名之间 D. 在第21~25名之间 7. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 10. 如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是______． 11. 如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 12. 如图是某学校的平面图，若综合楼在点，食堂在点，则教学楼在点__________． 13. 将直线向上平移5个单位长度，得到直线，则________． 14. 平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 15. 某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是________分． 16. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为______． 0 1 2 8 三、解答题（本大题共6个小题，每题6分，共36分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： （1） （2） 19. 苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 （1）这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； （2）如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 20. 如图，在下面所给出的平面直角坐标系中 （1）标出，，顺次连接A，B，C，A，得到． （2）作出关于轴对称的； （3）写出、、坐标：_____；_____；_____ （4）若的内部有一点，则点在内部的对应点的坐标是_____． 21. 如图，在四边形中，，，，．连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 22. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，平分，且，求的度数． 四、解答题（23、24题各8分，25、26题各10分，共36分） 23. 2025宁夏银川马拉松于5月18日7时30分鸣枪开跑，2.8万名跑友从人民广场西街出发，分别奔向人民广场西街（马拉松）、花博园东门（半程马拉松）、宁夏亲水体育中心（欢乐跑）的终点．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，两人同时抵达第一个补给点，乙在该补给点处停留休息了一会儿，，分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）请求出这段时间内，，的解析式分别是多少？ （2）乙休息完后继续出发，则乙经过补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 24. 中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． （1）求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． （2）若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 25. 小明用的练习本可在甲，乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本元．但甲商店的优惠条件是：购买本以上，从第本开始按标价七折卖；乙商店的优惠条件是：从第本开始就按标价的八五折卖．若小明购买练习本数量为本，在甲商店购买后的总费用为元，在乙商店购买后的总费用为元． （1）写出，与之间的函数关系式． （2）购买多少本练习本时，这两家商店的收费一样？ （3）小明现有元，最多可买多少本练习本？ 26. 【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学西校区2025~2026学年第一学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，9，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，2，的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为1，，2的三边可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，6，7的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6，9，12的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列整数中，与的值最接近的是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的值最接近的整数是7． 故选：A． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可． 【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意； 、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 5. 某农科所对当地小麦灌浆期连续31天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这31天内累计需水量（单位：）与天数（单位：天）之间的关系如图所示，则与之间的函数关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式．设与之间的函数关系为，将，代入计算即可． 【详解】解：设与之间的函数关系为， 将，代入得：， 解得：， ∴． 故选：B． 6. 小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（ ） A. 在第2~7名之间 B. 在第8~15名之间 C. 在第16~21名之间 D. 在第21~25名之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图，小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为，再结合全班箱线图的大致位置判断即可． 【详解】解：根据全校成绩的箱线图得到：小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为分， 对应全班成绩的箱线图发现在上四分线之上，第一名之下， 全班32人参加学校的英文听力测验，上四分线在从小到大排名的第名之上， ∴小明在班上排名至少超过24人，但不是第一名，即排名在第2~7名之间， 故选：A． 7. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 10. 如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图-最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： 此时； 如图2所示展开时： 此时， 它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 11. 如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，， ， 点所表示的数为， 的值为． 故答案为：． 12. 如图是某学校的平面图，若综合楼在点，食堂在点，则教学楼在点__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立出坐标系是解题的关键． 根据综合楼和食堂的坐标建立坐标系，然后根据教学楼在坐标系中的位置写出其坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系， ∴教学楼在点， 故答案为：． 13. 将直线向上平移5个单位长度，得到直线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握一次函数图象上下平移时“上加下减”的截距变化规则（斜率保持不变）． 根据一次函数图象向上平移5个单位的“上加”规则，写出直线平移后的解析式，再与直线的解析式对比，列方程求解． 【详解】解：一次函数图象向上平移5个单位，遵循“上加下减”规则， 直线向上平移5个单位后，解析式为； 又平移后得到直线， ， 解得． 故答案为：． 14. 平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 15. 某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是________分． 【答案】91 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键．根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的权重，然后求和即可． 【详解】解：小华这学期的美术成绩为： （分）． 故答案为：91． 16. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为______． 0 1 2 8 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．由秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，可设函数关系式为，把，代入可求得，即得一次函数的解析式，再令，列方程求解即可． 【详解】解：秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 所挂物重． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共6个小题，每题6分，共36分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式与完全平方公式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先利用二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差和完全平方公式计算，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 由，得：， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由，得：， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 19. 苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 （1）这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； （2）如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【答案】（1）850，750，700 （2）平均数最适合用来估计，25500元． 【解析】 【分析】本题考查的是平均数、众数和中位数，熟练掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义、平均数定义进行解答即可； （2）可用平均一天的营业额乘以总天数即可得出答案． 【小问1详解】 解：这一周营业额的平均数为元． 把这些数从小到大排列为：700，700，700，750，800，1100，1200，则中位数是750元； ∵700出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是700元； 故答案为：850，750；700． 【小问2详解】 解：平均数最适合用来估计． （元）． 答：估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额为25500元． 20. 如图，在下面所给出的平面直角坐标系中 （1）标出，，顺次连接A，B，C，A，得到． （2）作出关于轴对称的； （3）写出、、的坐标：_____；_____；_____ （4）若的内部有一点，则点在内部的对应点的坐标是_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），，； （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据坐标找出坐标点，顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据坐标系上的点，直接写出坐标即可； （4）根据关于y轴对称点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 【小问3详解】 点、、的坐标为：，，； 故答案为：，，； 【小问4详解】 若的内部有一点，点在内部的对应点的坐标是. 故答案为： 21. 如图，在四边形中，，，，．连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等． （1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理逆定理可得，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 22. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，平分，且，求的度数． 【答案】（1），理由见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案； （2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 四、解答题（23、24题各8分，25、26题各10分，共36分） 23. 2025宁夏银川马拉松于5月18日7时30分鸣枪开跑，2.8万名跑友从人民广场西街出发，分别奔向人民广场西街（马拉松）、花博园东门（半程马拉松）、宁夏亲水体育中心（欢乐跑）的终点．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，两人同时抵达第一个补给点，乙在该补给点处停留休息了一会儿，，分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）请求出这段时间内，，的解析式分别是多少？ （2）乙休息完后继续出发，则乙经过补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和绝对值的应用，解题的关键是明白题目时间和距离补给点距离的关系； （1）根据图像中的数据和行程关系即可求得各自的函数的解析式； （2）结合题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知甲乙都是匀速运动， 对于：从到时，行驶距离为， 则甲的速度为， 所以的关系式为： ， 对于：从到时，行驶距离为， 则乙的速度为， 则的关系式为：； 【小问2详解】 由题意得：， 即， 化简得， ①当时， 解得， ②当时， 解得， 答：乙经过补给点后或时间，甲乙两名选手相距． 24. 中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． （1）求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． （2）若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】（1）3辆；116人 （2）36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【解析】 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； 【小问2详解】 解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 25. 小明用的练习本可在甲，乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本元．但甲商店的优惠条件是：购买本以上，从第本开始按标价七折卖；乙商店的优惠条件是：从第本开始就按标价的八五折卖．若小明购买练习本数量为本，在甲商店购买后的总费用为元，在乙商店购买后的总费用为元． （1）写出，与之间的函数关系式． （2）购买多少本练习本时，这两家商店的收费一样？ （3）小明现有元，最多可买多少本练习本？ 【答案】（1）（为整数），（为非负整数） （2）购买本时，两家收费一样 （3）元最多买本 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是准确理解优惠条件，建立函数关系． （1）根据题意，可以分别写出和关于的函数关系式； （2）先判定范围：本及以内甲单价高于乙单价，故只考虑的情况，令等于，然后求出即可解答； （3）将代入（1）中相应的函数解析式，分别计算在甲、乙商店用元能购买的数量，求出相应的值即可解答． 【小问1详解】 解：甲商店： ①且为整数时，无优惠，； ②且为整数时，前本按原价，后本七折，； 综上（为整数）， 乙商店：全程八五折，（为非负整数）； 【小问2详解】 设购买本练习本时，这两家商店的收费一样（，因为时）， 令， 解得， 答：购买本时，两家收费一样； 【小问3详解】 甲商店：代入， 解得， 乙商店：代入， 解得，故最多买本， 元最多买本， 答：小明现有元，最多可买本练习本． 26. 【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【解析】 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $