期末复习讲义（压轴篇）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（综合压轴篇） 题型一、函数性质综合 题型二、恒成立问题 题型三、零点问题 题型四、最值问题 题型五、抽象函数的综合应用 题型六、函数与方程综合应用 题型七、定义新函数 题型八、定义新概念新性质 题型一、函数性质综合 1. （24-25浦东新区高一上期末）已知函数的表达式为 . （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明:函数在区间上是严格减函数. 【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，发现定义域不关于原点对称,故可直接判断不是奇函数也不是偶函数； （2）利用单调性的定义，按步骤：“任取值，作差，定号，下结论”证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为不关于原点对称, 所以既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 任取 则 ， 因为所以， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数. 2. （24-25闵行区高一上期末）已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 【答案】（1）奇函数，理由见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断即可； （2）根据函数单调性定义证明即可. 【小问1详解】 是奇函数，理由如下： 当时，的定义域为，关于原点对称， ， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 当时，的定义域为，关于原点对称，， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 综上，为奇函数. 【小问2详解】 时，，设，则 因为，所以，， 所以，即，即， 根据函数单调性定义知，在区间上是严格增函数． 3. （24-25奉贤区高一上期末）已知函数，其中． （1）当且时，求的值； （2）在下面三问中选一个，若都选，只按第（1）问阅卷． ①当时，求函数的值域． ②判断时函数在内的单调性，请说明理由． ③判断函数的奇偶性，请说明理由． 【答案】（1）； （2）选①，值域为；选②，在内的单调递增，理由见解析；选③，当时，为偶函数，为其他值时，为非奇非偶函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得到方程，求出； （2）选①，由基本不等式求出值域；选②，定义法判断函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；选③，考虑，，由函数定义域和奇偶性定义入手，得到答案. 小问1详解】 时，，故， 故，即， 令，故，解得或（舍去）， 故，故； 【小问2详解】 若选①，， 因为，所以由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的值域为； 若选②，在内单调递增，理由如下： 任选，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， ， 所以，在内单调递增； 若选③，当时，为偶函数，为其他值时，为非奇非偶函数，理由如下： ，若，此时，解得， 故的定义域为， 若，即且时，定义域不关于原点对称， 为非奇非偶函数； 若，此时， 此时， 由于， 故为非奇非偶函数； 若，恒成立，定义域为R， ，， 当，即时，为偶函数， 当，即， 由于无论为任何正值，恒成立， 即不可能为奇函数； 综上，当时，为偶函数，时，为非奇非偶函数； 4. （24-25向明中学高一上期末）已知函数（常数）. （1）若，且，求的值； （2）若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； （3）当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意利用换元法令可得，解出t的值进而即可求出的值； （2）利用定义法（作差法），分别取且，，然后作差比较与的大小，根据单调性的定义证明即可； （3）根据奇函数可得，由（2）可知当时，则原不等式可转化为存在使得不等式成立，对进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 设可得即，解得， 所以，即. 【小问2详解】 设且， ， 由可得即， 由可得，故， 又，所以， 所以即， 所以函数在上是严格增函数. 【小问3详解】 因为的定义域为， 当为奇函数时，由解得，所以， 检验：，满足题意， 由（2）可知当时在上是严格增函数，所以， 则原不等式可转化为存在使得不等式成立， 只需的最小值小于0即可，令 因为一元二次函数的开口向上，对称轴为， ①即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； ②当即时，当时，函数取得最小值，解得或， 所以； ③当即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； 综上的取值范围. 【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论： ①存在解；恒成立； ②存在解；恒成立； ③存在解；恒成立； ④存在解；恒成立 题型二、恒成立问题 5. （24-25上海实验学校高一期末）幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 小问1详解】 因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. 【小问2详解】 对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 6. 设，已知，. （1）求证：函数不是偶函数； （2）若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； 【小问2详解】 对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 7. （24-25晋元高级中学高一上期末）已知函数（且，）是偶函数，函数（且）. （1）求的值； （2）若函数有零点，求a的取值范围： （3）当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意建立等式，化简得到即可求出的值； （2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数图象与直线有交点求解； （3）根据，，使得恒成立，由求解. 【小问1详解】 ∵恒成立，∴函数的定义域为， ∵函数为偶函数，所以，即， ∴，则， ∴. 【小问2详解】 ， 有零点，即有解， 即方程有解， 则与有交点， 当时，∵∴函数，∴与没有交点，舍去； 当时，令，函数在上单调递增， ∵在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，即的值域为 此时方程有解，即. 综上所述： 【小问3详解】 ， 当时，， ，当且仅当，即时取等号，所以， 因为，，使得恒成立， 所以， 即对任意恒成立， ∵，∴对任意恒成立， 令函数，所以函数在上单调递减，故， 故． 【点睛】方法点睛，将双变量不等式在对应区间上成立问题，需要转换为两个函数在各区间上函数值的最值的大小关系，接下来就是求两个函数在对应区间上的最值了. 题型三、零点问题 8. 已知，其中. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； （3）记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义判断； （2）作出函数与的图像，数形结合并利用联立方程组的方法，由交点个数求的取值范围； （3）函数的零点转化为对应方程的根，利用韦达定理求的取值范围. 【小问1详解】 定义域为，关于原点对称， 记 当，故函数是偶函数； 当，故函数既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 结合函数图像，只需考虑与有且只有一个公共点时， 得到有且只有一个解， 即只有一个解，由解得， 结合图像，有，所以. [另解]若与的图像只有三个公共点，即有三个根. 即有三个根； 即方程有一根，方程有两个根； 将函数分别与函数和函数相交得. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由在区间上有两个不同的零点， 得方程在上有两个不同的实根，. 由韦达定理得， 于是， 因为，所以. 即取值范围为. 9．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知函数 （1）当时，求证在上是单调递减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的零点个数. 【答案】（1）证明见解析. （2）.（3）见解析 【分析】（1）先求出，再利用函数的单调性的定义证明；（2）等价于恒成立，再换元利用二次函数的最值解答得解；（3）得，再令，结合函数的图象分析分类讨论得解. 【解析】（1）当时， 因为，所以， 设， 所以 因为， 所以， 所以. 所以在上是单调递减函数； （2）因为对任意的，不等式恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 设，所以在上恒成立， 当t＞0时，的最大值为，此时. 所以. （3）令得 所以，令 作图得函数的图象为：    当时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【点睛】本题主要考查函数的单调性的证明和不等式的恒成立问题，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质 (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对任意，都有，代入即可得出答案； （2）设，利用零点存在性定理即可证得结论； （3）令，可知函数具有性质，分三种情况，结合零点存在性定理证得结论. 【解析】（1）函数具有性质， 所以对任意，都有， 令，则，所以． （2）函数具有性质的可知： 存在，使得，即，   设， 因为，， 所以在区间上函数存在零点，        取，则，此时函数具有性质． （3）令，可知的图像是一条连续不断的曲线， 因为函数具有性质，则，即， 可得，即函数具有性质， 若，则1即为零点； 因为，若，则，矛盾，故， 若，则，，， 可得. 取，即可使得， 又因为的图像连续不断， 所以，当时，函数在上存在零点， 当时，函数在上存在零点， 若，则由，可得， 由，可得， 由，可得. 取，即可使得， 又因为的图像连续不断， 所以，当时，函数在上存在零点， 当时，函数在上存在零点， 综上所述：函数在内存在零点，即函数在存在零点. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 题型四、最值问题 11．（23-24高一上·上海·期末）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． (1)若，证明：； (2)若，且，求实数a的取值范围； (3)若，且，求函数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用集合定义证明即可； （2），化简，通过判别式小于0，求出的范围即可． （3）由，推出，得到对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时，分别求解最小值即可． 【解析】（1）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有， 则，，则， 所以，解得：， 不满足对定义域内任意x都有，． （2）由 ， 故； （3）由， 即 对任意都成立， 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递增， ； 当时，令在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在单调递增， ； 当时，令在上单调递减，在上单调递增， 在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以． 综上：. 12. 设函数(，且)． （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在上的最小值为-2，求实数的值． 【答案】（1）是奇函数且单调递减； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的定义即可判断和证明； （2）由解得，由（1）知为减函数且为奇偶函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式等价于，利用二次函数恒成立即可求解； （3）由可得，，令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解． 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的奇函数； 任取，，且， ， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 所以上单调递减， 【小问2详解】 即，所以， 因为，所以， 由（1）知在上单调递减的奇函数， 原不等式等价于， 所以，即恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是： 【小问3详解】 ，即， 解得：或（舍） 所以， 令，则在单调递增， 所以， ，对称轴为， 当时，，解得：或（舍） 当时，， 解得：不符合题意， 综上所述：． 【点睛】对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围． 13. （24-25松江区高一上期末）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . （1）求函数 的表达式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; （3）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得，再由的值，可求得，从而得到 的表达式. （2）用定义法判断证明在上的单调性即可. （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意函数是定义域为 的奇函数， 所以，所以 又，解得. 此时，经检验，该函数为奇函数． 故. 【小问2详解】 函数在上递增，证明如下： 任取，则，， 因为，，所以， 所以，故在上递增. 【小问3详解】 由（1）得 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数， ， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数，   ，符合题意 综上可知：. 即实数的取值范围是：. 14. 已知函数，且不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解； （2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围. 【小问1详解】 不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. 【小问2详解】 因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 15. 已知函数，其中、是非空数集，且，设，； （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （3）若，且，，单调递增函数，求集合、； 【答案】(1) ；(2) ；(3) ,其中或者,其中或者 或者 【解析】 【分析】(1)根据,分别代入对应的分段区间求解集合的范围再求并集即可. (2)先假设推出矛盾,故可得.代入可得,再分析当时与题设矛盾可得. (3)先根据函数的单调性确定,,再证明在上存在分界点的话,这个分界点应该满足的性质,最后根据此性质写出满足题意的集合即可. 【详解】(1)因为,所以, 因为,所以. 故. (2)若,则,不符合要求. 所以,所以,因为,所以,解得. 若则 . 因为,所以的原象且 所以得,与前提矛盾. 故 (3)因为是单调递增函数,所以对任意的有,所以 所以,同理可证.若存在,使得, 则,于是, 记, 所以,同理可知… 由,得, 所以. 所以,故, 即,此时 . 对于任意,取中的自然数, 则.所以. 综上所述,满足要求的必有如下表示： ,其中或者 ,其中或者 或者 【点睛】本题主要考查了函数与集合的综合运用,需要根据题意确定元素与区间的包含关系.同时也考查了根据函数的单调性分析集合的问题,需要根据题意找到临界点满足的性质,属于难题. 题型五、抽象函数的综合应用 16. 若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有， （1）比较与的大小关系； （2）判断是否为上的增函数，并说明理由； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2）函数在上不为增函数，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得分，，两种情况讨论，得出矛盾，从而得到，进而得到； （2）令函数，其中，结合单调性的定义，即可得到结论； （3）由（1）知，恒成立，结合时，得到，再分和，分别证得和，进而证得结论. 【小问1详解】 解：当时， 都有， 若， 可得， 则， 此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）； 若， 可得， 则， 此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）； 所以，当时，有， 此时函数在区间上有最小值和最大值， 因时，函数无最小值， 所以，当，有，即， 若，则，可得， 此时函数时，函数存在最小值，矛盾， 综上可得，. 【小问2详解】 解：函数在上不为增函数， 例如：函数，其中， 显然函数满足题设，例如，如图所示， 所以，任取，且时，不恒满足， 故在不为增函数. 【小问3详解】 证明：由（1）知，当时，恒成立， 又由 所以，当时，可得，即， 所以当时，则存在正整数使得， 则， 所以当时，，同理可证：当时，， 所以，当时，必然存在正整数，使得，所以， 当时，，显然成立； 综上可得：当时，. 【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解： 1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化； 2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解. 17．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数” (1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由； (2)当时，证明：是“J形函数”； (3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)否，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）作差可得，根据的任意性，无法判断该式符号，即可说明； （2）作差可得，即可证明得出结论； （3）代入化简可得，.由“J形函数”的概念整理化简可得，，进而即可得出实数a的取值范围. 【解析】（1）解：不是“J形函数”，理由如下： 当时，有，，， 则. 因为，所以与0的关系不确定， 不能得出，所以不是“J形函数”. （2）证明：当时，有，，， 则， 所以， 显然有对恒成立， 所以有对恒成立， 所以是“J形函数”. （3）解：由已知可得，，， 所以. 因为函数为“J形函数”， 所以有， 即. 由，可得； 由可得，. 当时，该式恒成立，满足； 当时，有恒成立. 因为，所以. 综上可得，或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简.只要得出恒成立，即可说明是“J形函数”. 题型六、函数与方程综合应用 18. （24-25洋泾中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数单调增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可直接求出a值，再检验即可； （2）利用函数单调性的定义及指数运算的性质验证即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 当时，，定义域R上恒满足， 故满足题意，所以. 【小问2详解】 根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； 小问3详解】 根据题意，若关于的方程只有一个实根， 令，则，则问题等价转化为方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 19. （24-25洋泾中学高一期末）已知，其中a为常数. （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的解析式； （3）若在上存在n个不同的点，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，转化为不等式组，进而即得； （2）利用函数的奇偶性及周期性结合条件即得； （3）分，，，讨论，根据二次函数的性质结合条件进而即得. 【小问1详解】 当时，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，， 因为是以2为周期的偶函数， 所以， 由，且，得， 所以当时，， 所以当时，， ， 即当时，； 【小问3详解】 ①当时，函数上单调递增， 所以， 所以， 解得； ②当时，函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得； ③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 于是 令，解得或，不符合题意； ④当时，则函数分别在、上单调递增，在上单调递减， 所以 ， 令，解得或，不符合题意； 综上，所求实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值后，转化为最值问题，然后结合二次函数的图象和性质即得． 题型七、定义新函数 20. 若函数在定义域内某区间上是严格增函数，而在区间上是严格减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”. （1）判断，在区间上是否是“弱增函数”（不需证明）？ （2）若（其中常数，）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件； （3）已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围. 【答案】（1）不，是 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“弱增函数”的定义进行判断； （2）根据“弱增函数”的定义、二次函数和对勾函数的性质特点可知参数的取值范围； （3）根据绝对值函数的解法先去绝对值，在不同区间内利用“弱增函数”的定义进行求解. 【小问1详解】 解：由于在上是严格增函数，所以在区间上不是“弱增函数”； 在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，所以在区间上是“弱增函数”． 【小问2详解】 由题意可知，（其中常数，）满足在上是增函数 ∴对称轴，解得 满足在上是减函数，故此必为对勾函数 ∴对勾函数单调性分界点， ∴综上：，． 【小问3详解】 由题意可知： 在区间上，若为“弱增函数”，则必满足为严格增函数，为严格减函数，即 ； 同理：在区间上，若为“弱增函数”，则必满足； 在区间上，若为“弱增函数”，则必满足； 在区间上，若为“弱增函数”，则必满足无解. 综上所述：的取值范围 21. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】（1）函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【小问1详解】 对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； 【小问2详解】 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； 【小问3详解】 对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可 22. 定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． （1）已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； （2）已知函数是“型函数”，求p和b的值； （3）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【小问1详解】 由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. 【小问2详解】 由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. 【小问3详解】 由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 23. 对于定义在区间上的函数，若． （1）已知，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）、 （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案． 【小问1详解】 解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. 【小问2详解】 解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 【小问3详解】 解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 24. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数.满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点. （1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由 （2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围. （3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对. 【答案】（1）是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，故满足； （2）由条件可知， 则有，解出，再结合范围可求出范围； （3）根据条件表示出（1），化简整理可得，结合的范围可求出的范围． 【详解】（1）由题意可知，存在成立， 则是区间上的“平均值函数”； （2）由题意知存在，，知，即， 则，因为，所以， 而在有解，不妨令， 解得或，则，解得，综上 （3）由题意的，则，且， 由题意可知，即，所以， 因为，所以，则，又因为，，则，当时，； 所以是满足条件的实数对. 【点睛】本题是新定义问题，根据条件逐一进行判断即可，属于中档题． 25. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 小问3详解】 由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 题型八、定义新概念新性质 26. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）已知函数，求函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求函数的不动点，即求方程的根，即求方程的解； （2）二次函数（）恒有两个相异的不动点，等价于方程有两个不等实根，对于任意的恒成立，只需要不等式恒成立，求实数a的取值范围即可； （3）在区间上，函数有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形. 【小问1详解】 设为不动点，因此，即， 解得或，所以为函数的不动点． 小问2详解】 方程，即， 有， 因为，于是得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式， 依题意，对于任意的，不等式恒成立， 只需关于未知数的方程无实数根， 则判别式， 整理得，解得， 所以实数a的取值范围是． 【小问3详解】 由，得， 由于函数在上有且只有一个不动点， 即在上有且只有一个解 令 ①，则，解得； ②，即时， 方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去； ③，即时， 方程可化为，另一个根为1，满足； ④，即，解得， （i）当时，方程的根为，满足； （ii）当时，方程的根为，不符合题意，舍去； 综上，m的取值范围是或． 27. 若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． （1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （2）求函数在内的“区间”； （3）设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是函数的一个“区间”,理由见解析； （2）; （3）不存在,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数知识,求出在上的值域，进而判断即可; （2）设的 “区间”为,借助二次函数的性质确定的值域为，建立方程组计算即可； （3）求出函数在区间上的所有“区间”的并集，分离参数，转化为求二次函数的值域问题计算即可. 【小问1详解】 结合题意可得：， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，， 当或时，， 故此时函数的值域为，而此时 所以区间不是函数的一个“区间”. 【小问2详解】 设的 “区间”为,则的值域为， 此时在单调递减， 则，解得， 所以的 “区间”为. 【小问3详解】 由（2）知在上的 “区间”为, 当时，则， 而函数在上的值域为， 所以在上不存在这样的区间， 所以在上满足条件的区间为， 由，可得函数为奇函数， 同理易得：当，的“区间”为， 所以， 要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解, 则当，，即 且在单调递减; 当，，即 因为, 所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于利用函数的定义域和值域及单调性求出“区间”，以及如何求解二次函数在闭区间的值域，综合性很强，属于难题. 28. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可. （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案. （3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【小问1详解】 设，则，函数为奇函数，故， ，则，， 函数为奇函数，满足， ，设，，解得或（舍） 即，解得，故 【小问2详解】 设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故. 【小问3详解】 根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述： ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 29. 设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. （1）若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； （2）设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； （3）设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 【答案】（1）函数不在集合A上封闭，函数在集合A上封闭 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合所给新定义，利用函数单调性得出定义域为时的函数值域即可得解； （2）结合所给新定义，分、及进行讨论即可得； （3）利用反证法，由函数和的图象都是连续的曲线，运用零点的存在性定理中蕴含的思想，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 【小问1详解】 由函数在区间上单调递增，故， 故函数不在集合A上封闭； 由函数在区间上单调递减，故， 此时有，故函数在集合A上封闭； 【小问2详解】 当时，由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时； 当时，由 ， 此时函数不可能在集合B上封闭； 当时， 由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时， 综上所述，的最大值为； 【小问3详解】 假设不存在，使得， 即对任意，， 由函数的图象是连续的曲线， 故对任意，恒成立或恒成立， 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 故存在，使得. 【点睛】关键点点睛：最后一问利用反证法，结合函数和的图象都是连续的曲线，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 30. 对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” （1）若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： （2）判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； （3）若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定函数单调性，结合“等域区间”的定义，列式计算即得. （2）假定函数存在“等域区间”，结合函数单调性，构造方程，再判断方程解的情况即得. （3）借助的单调性及“等域区间”的定义，将问题转化为是方程的两个同号的实数根，再结合二次函数与韦达定理求解问题. 【小问1详解】 函数是R上的增函数， 由区间是函数的“等域区间”，得，解得， 所以. 【小问2详解】 函数在和上都单调递增， 假设是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即方程有两个不等实根m，n， 而方程化为：，，即无实根， 所以函数不存在“等域区间”. 【小问3详解】 函数在和上均为增函数， 而是函数的“等域区间”，则在上单调， 于是或，因此在上为增函数， 则，即是方程的两个同号且不等的实根， 是方程，即的两个同号的不等实根， 于是，解得或， 此时，且， 因此， 所以当时，取得最大值. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 31. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示） 【答案】（1）①是，②不是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质定义列不等式，假设若不为偶函数，即，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数； （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【小问1详解】 对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得， 取时，有， 所以不具有性质； 【小问2详解】 设二次函数满足性质， 则对任意，满足， 若不为偶函数，即，即， 即，取， 则，矛盾， 所以，此时， 满足，即为偶函数； 【小问3详解】 由于，函数的定义域为， ， 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即， 即， 由于函数在上递增，得， 即， 当时，得，对任意实数恒成立， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解，求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（综合压轴篇） 题型一、函数性质综合 题型二、恒成立问题 题型三、零点问题 题型四、最值问题 题型五、抽象函数的综合应用 题型六、函数与方程综合应用 题型七、定义新函数 题型八、定义新概念新性质 题型一、函数性质综合 1. （24-25浦东新区高一上期末）已知函数的表达式为 . （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明:函数在区间上是严格减函数. 2. （24-25闵行区高一上期末）已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 3. （24-25奉贤区高一上期末）已知函数，其中． （1）当且时，求的值； （2）在下面三问中选一个，若都选，只按第（1）问阅卷． ①当时，求函数的值域． ②判断时函数在内的单调性，请说明理由． ③判断函数的奇偶性，请说明理由． 4. （24-25向明中学高一上期末）已知函数（常数）. （1）若，且，求的值； （2）若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； （3）当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 题型二、恒成立问题 5. （24-25上海实验学校高一期末）幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 6. 设，已知，. （1）求证：函数不是偶函数； （2）若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 7. （24-25晋元高级中学高一上期末）已知函数（且，）是偶函数，函数（且）. （1）求的值； （2）若函数有零点，求a的取值范围： （3）当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围. 题型三、零点问题 8. 已知，其中. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； （3）记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围. 9．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知函数 （1）当时，求证在上是单调递减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的零点个数. 10．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质 (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点. 题型四、最值问题 11．（23-24高一上·上海·期末）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有． (1)若，证明：； (2)若，且，求实数a的取值范围； (3)若，且，求函数的最小值． 12. 设函数(，且)． （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在上的最小值为-2，求实数的值． 13. （24-25松江区高一上期末）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . （1）求函数 的表达式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; （3）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 14. 已知函数，且不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 15. 已知函数，其中、是非空数集，且，设，； （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （3）若，且，，单调递增函数，求集合、； 题型五、抽象函数的综合应用 16. 若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有， （1）比较与的大小关系； （2）判断是否为上的增函数，并说明理由； （3）证明：当时，． 17．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数” (1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由； (2)当时，证明：是“J形函数”； (3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围. 题型六、函数与方程综合应用 18. （24-25洋泾中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 19. （24-25洋泾中学高一期末）已知，其中a为常数. （1）当时，解不等式； （2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的解析式； （3）若在上存在n个不同的点，使得，求实数a的取值范围. 题型七、定义新函数 20. 若函数在定义域内某区间上是严格增函数，而在区间上是严格减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”. （1）判断，在区间上是否是“弱增函数”（不需证明）？ （2）若（其中常数，）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件； （3）已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围. 21. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 22. 定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． （1）已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； （2）已知函数是“型函数”，求p和b的值； （3）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 23. 对于定义在区间上的函数，若． （1）已知，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 24. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数.满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点. （1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由 （2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围. （3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对. 25. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 题型八、定义新概念新性质 26. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）已知函数，求函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 27. 若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． （1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （2）求函数在内的“区间”； （3）设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 28. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 29. 设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. （1）若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； （2）设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； （3）设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 30. 对于定义域为 的函数 ，若存在区间 (其中 ，使得函数同时满足：①函数 在 上是严格增函数或严格减函数；②当定义域是 时，函数 的值域也是 ,则称 是函数 的“等域区间” （1）若区间 是函数的“等域区间”，求实数 的值： （2）判断函数 是否存在“等域区间”，并说明理由； （3）若区间 是函数 的一个“等域区间”，求 的最大值. 31. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $