第4章 幂函数、指数函数与对数函数 期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期沪教版数学必修第一册

该高中数学讲义以幂函数、指数函数与对数函数为核心，通过知识框架图系统梳理三类函数的定义、图象及性质，按“定义理解-定义域值域-图象性质-综合应用”的逻辑构建知识脉络，用对比表格呈现不同函数单调性、定义域的差异，突出幂指数与底数对函数特征的影响等重难点。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如通过幂函数图象辨析题（例3）培养几何直观，结合指数函数单调性解不等式（例8）发展逻辑推理，综合问题（例12）提升数学建模能力。每个题型配“提示-解析-说明”三步骤指导，基础题巩固概念，综合题深化思维，助力不同层次学生提升，教师可依托题型分布实施精准复习教学。

【原卷版】 （沪教版）微专题 《第4章 幂函数、指数函数与对数函数》期末复习 掌握幂函数的定义、图像与性质，能根据幂指数的取值（正、负、分数等）分析函数的定义域、值域、单调性；理解指数函数的概念，熟悉其图像特征与单调性，能运用指数运算法则进行化简计算；掌握对数的定义、性质及运算法则，理解对数函数的概念、图像与性质，能结合三类函数的性质解决方程、不等式、最值等实际问题，提升数形结合与函数建模的能力。 题型1：幂函数的定义及其应用 题型2：幂函数的定义域和值域 题型3：幂函数的图象与性质及应用 题型4：与幂函数相关的综合问题 题型5：指数函数的定义及其应用 题型6：指数函数的定义域和值域 题型7：指数函数的图象与性质及应用 题型8：与指数函数相关的综合问题 题型9：对数函数的定义及其应用 题型10：对数函数的定义域和值域 题型11：对数函数的图象与性质及应用 题型12：与对数函数相关的综合问题 题型1：幂函数的定义及其应用 例1．（1）下列函数中是幂函数的是（     ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 （2）已知幂函数满足，则的值为 题型2：幂函数的定义域和值域 例2．（1）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（     ） A．14 B．7 C．23 D．11 （2）已知函数则函数值域是 题型3：幂函数的图象与性质及应用 例3．（1）若幂函数，，在第一象限的图像如图所示，则（     ） A． B． C． D． （2）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）若，试求的取值范围. 题型4：与幂函数相关的综合问题 例4．（1）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________. （2）已知幂函数在上单调递增，函数，对于任意的， 存在，使得成立，则实数的取值范围是 题型5：指数函数的定义及其应用 例5．（1）若指数函数的图象过点，则的解析式为（     ） A． B． C． D． （2）已知函数，则 . 题型6：指数函数的定义域和值域 例6．（1）设函数，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． （2）求下列函数的定义域与值域 ①；②． 题型7：指数函数的图象与性质及应用 例7．（1）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 （2）设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8：与指数函数相关的综合问题 例8．（1）已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （2）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型9：对数函数的定义及其应用 例9．（1）已知对数函数（且）的图象过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 （2）已知则 ． 题型10：对数函数的定义域和值域 例10．（1）函数的定义域为 . （2）已知，，则函数的值域为 . 题型11：对数函数的图象与性质及应用 例11．（1）已知，“”是“函数 在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）如图，对数函数图象上的点A与x轴上的点和C构成以BC为斜边的等腰直角三角形，若与右侧的相似，的直角顶点E在函数的图象上，顶点C，D在轴上，且两个三角形的相似比为，则 ． 题型12：与对数函数相关的综合问题 例12．（1）设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数. ①当时，求该函数的值域； ②求不等式的解集； ③若对于恒成立，求的最小值. 1. 幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体. 2. 幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 3. 指数函数（，）的定义域是全体实数. 4. 指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 5. 对数函数的定义域是正数全体. 6. 对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 1．下列函数不是幂函数的是（     ） A． B． C． D． 2．满足的实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知，且的图象如图所示，则等于（ ） A．4 B． C． D． 4．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 6．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________. 7．已知函数，则 . 8．函数且的图象经过点，则 . 9．已知指数函数的图象过点，则 . 10．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数m的值为 11．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 12．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 13．若函数定义域为，则a的取值范围是 . 14．已知函数，则值域为 15．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 . 16．设函数，为常数，且． （1）求的值； （2）求使的的取值范围； （3）设函数，对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知指数函数，且的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）若函数是奇函数， ①求实数的值； ②判断并用定义法证明函数的单调性. 18．已知函数，且，满足且为增函数. （1）求实数的值； （2）设在上的最小值为，求实数的值； （3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 19．设函数 （1）解不等式； （2）已知对任意的实数，恒成立，求证：； （3）当时，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 20．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 【解析版】 （沪教版）微专题 《第4章 幂函数、指数函数与对数函数》期末复习 掌握幂函数的定义、图像与性质，能根据幂指数的取值（正、负、分数等）分析函数的定义域、值域、单调性；理解指数函数的概念，熟悉其图像特征与单调性，能运用指数运算法则进行化简计算；掌握对数的定义、性质及运算法则，理解对数函数的概念、图像与性质，能结合三类函数的性质解决方程、不等式、最值等实际问题，提升数形结合与函数建模的能力。 题型1：幂函数的定义及其应用 题型2：幂函数的定义域和值域 题型3：幂函数的图象与性质及应用 题型4：与幂函数相关的综合问题 题型5：指数函数的定义及其应用 题型6：指数函数的定义域和值域 题型7：指数函数的图象与性质及应用 题型8：与指数函数相关的综合问题 题型9：对数函数的定义及其应用 题型10：对数函数的定义域和值域 题型11：对数函数的图象与性质及应用 题型12：与对数函数相关的综合问题 题型1：幂函数的定义及其应用 例1．（1）下列函数中是幂函数的是（     ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【提示】根据幂函数的定义即可逐一判断； 【答案】C； 【解析】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C； 【说明】本题考查了判断函数是否是幂函数； （2）已知幂函数满足，则的值为 【提示】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答； 【答案】； 【解析】依题意，设，则， 所以； 【说明】本题考查了求幂函数的解析式、求幂函数的值； 题型2：幂函数的定义域和值域 例2．（1）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（     ） A．14 B．7 C．23 D．11 【提示】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案； 【答案】A； 【解析】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故选：A； 【说明】本题考查了求幂函数的定义域、求幂函数的值域、判断集合的子集（真子集）的个数； （2）已知函数则函数值域是 【提示】结合分段函数的单调性来求得的值域. 【答案】； 【解析】当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为. 题型3：幂函数的图象与性质及应用 例3．（1）若幂函数，，在第一象限的图像如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【提示】在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．观察幂函数的第一象限图象，由此可得m，n，p的大小关系； 【答案】B； 【解析】因为在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴； 所以， 故选：B； 【说明】本题考查了幂函数图像的判断及应用； （2）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据幂函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【答案】A； 【解析】因为是定义在上的增函数，又， 所以，解得， 因为由可推出，而由无法推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. （3）若，试求的取值范围. 【提示】根据幂函数的定义域，将分成：同时大于零、同时小于零、三种情况，结合幂函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【答案】 【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是. 【说明】本题主要考查幂函数的定义域和单调性的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式组的解法； 题型4：与幂函数相关的综合问题 例4．（1）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________. 【提示】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围； 【答案】； 【解析】因为函数是幂函数，则，， 在上单调递减，则，可得， ，在上的值域为， 在上的值域为， 根据题意有，的范围为. 故答案为：； （2）已知幂函数在上单调递增，函数，对于任意的， 存在，使得成立，则实数的取值范围是 【提示】首先根据幂函数的性质得到，分别求出函数和在区间的值域，再结合题意即可得到答案； 【答案】； 【解析】因为幂函数在上单调递增， 所以，即. ，则的值域为， 又因为函数在上为增函数， 所以，的值域为， 因为，，使得成立， 所以，解得； 题型5：指数函数的定义及其应用 例5．（1）若指数函数的图象过点，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【提示】设，（且），代入点运算求解即可. 【答案】B； 【解析】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【说明】本题考查了求指数函数解析式； （2）已知函数，则 . 【提示】由分段函数解析式可得答案. 【答案】； 【解析】由题，，则. 故答案为： 【说明】本题考查了指数函数的判定与求值、求分段函数解析式或求函数的值 题型6：指数函数的定义域和值域 例6．（1）设函数，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【提示】求出的定义域后可求的定义域， 【答案】D； 【解析】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 【说明】本题考查了求指数（型)函数的定义域； （2）求下列函数的定义域与值域 ①；②． 【提示】①根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. ②根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【答案】①定义域为，值域为. ②定义域为，值域为 【解析】①由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． ②函数的定义域为． ． 故的值域为． 【说明】本题考查了求指数（型)函数的定义域、求指数型复合函数的值域、求指数型复合函数的定义域 题型7：指数函数的图象与性质及应用 例7．（1）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【提示】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【答案】D 【解析】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 【说明】本题考查了根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用 （2）设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据必要性、充分性的定义，结合一元二次不等式的解集性质、指数函数的单调性进行求解即可. 【答案】B； 【解析】对于来说， 若，则有，显然成立， 若，要想关于的不等式对一切恒成立， 只需， 综上所述，的取值范围为； 因为指数函数（且）在上单调递减， 所以有，则的取值范围为， 显然， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 【说明】本题综合考查了判断命题的必要不充分条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由指数（型）的单调性求参数 题型8：与指数函数相关的综合问题 例8．（1）已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据给定条件，构造函数，再利用函数单调性定义确定单调性，进而列式求出参数值. 【答案】D； 【解析】令函数， 对于任意的，当时， 由，得，即， 因此函数是上的减函数，则，解得 所以实数的取值范围是. 故选：D 【说明】本题考查了定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数； （2）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【提示】利用复合函数法求出函数的减区间，结合已知条件可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【答案】A； 【解析】令，， 内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数的减区间为，增区间为， 因为函数在区间上单调递减，则， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 【说明】本题考查了由指数（型）的单调性求参数 题型9：对数函数的定义及其应用 例9．（1）已知对数函数（且）的图象过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【提示】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【答案】C； 【解析】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 【说明】本题考查了求对数函数的解析式、对数的运算性质的应用 （2）已知则 ． 【提示】根据分段函数计算函数值即可； 【答案】； 【解析】因为则． 故答案为：. 【说明】本题考查了求对数函数的解析式、求分段函数值 题型10：对数函数的定义域和值域 例10．（1）函数的定义域为 . 【提示】利用二次根式和对数函数的定义域性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【答案】； 【解析】令，解得. 故答案为： 【说明】本题考查求对数函数的定义域、具体函数的定义域； （2）已知，，则函数的值域为 . 【提示】根据给定条件，利用对数函数直接求出值域； 【答案】R； 【解析】当时，函数的定义域为， 函数的真数的取值集合为， 所以函数的值域为R. 故答案为：R； 【说明】本题主要考查了求对数型复合函数的值域； 题型11：对数函数的图象与性质及应用 例11．（1）已知，“”是“函数 在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】分别求出“”和“函数 在上为增函数”的充要条件，即可判断. 【答案】C； 【解析】由，得.所以函数 在上为增函数； 由函数 在上为增函数，得.所以. 所以“”是“函数 在上为增函数”的充要条件. 故选：C. 【说明】本题综合考查了充要条件的证明、比较指数幂的大小、研究对数函数的单调性； （2）如图，对数函数图象上的点A与x轴上的点和C构成以BC为斜边的等腰直角三角形，若与右侧的相似，的直角顶点E在函数的图象上，顶点C，D在轴上，且两个三角形的相似比为，则 ． 【提示】设，，根据直角三角形的性质结合相似三角形的性质，结合图象推得，解出.进而得出，代入解析式即可得出答案. 【答案】； 【解析】设，，，则. 因为与的相似比为， 所以，所以. 又，所以， 所以. 所以，整理可得，，解得（舍去）或. 又为等腰直角三角形，所以. 由可得，， 所以，解得（舍去负值）， 所以，. 故答案为：. 【说明】本题综合考查了对数的运算、对数函数图象的应用 题型12：与对数函数相关的综合问题 例12．（1）设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【提示】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围. 【答案】D； 【解析】命题：，的定义域是， 即对于任意，恒成立. 当时，不恒成立. 当时，二次函数要恒大于， 则需满足. 解不等式，可得. 所以当命题为真时，. 命题：，的值域是， 这意味着能取遍所有大于的值. 当时，能取遍所有大于的值. 当时，二次函数的图象开口向上， 要使其能取遍所有大于的值，则需， 解不等式可得，即. 当时，二次函数的图象开口向下，不能取遍所有大于的值， 所以当命题为真时，. 命题，中至少有一个是真命题的反面是，都为假命题. 当为假命题时，；当为假命题时，或. 所以，都为假命题时，. 那么命题，中至少有一个是真命题时，，即. 故选：D. 【说明】本题考查了对数函数最值与不等式的综合问题、求对数型复合函数的定义域、判断命题的真假； （2）已知函数. ①当时，求该函数的值域； ②求不等式的解集； ③若对于恒成立，求的最小值. 【提示】①令将函数转化为二次函数，在固定区间上根据二次函数单调性求值域； ②由，令，得，通过解一元二次不等式求解集； ③令将恒成立转化为恒成立，再利用函数单调性求函数的最大值即可. 【答案】①；②；③ 【解析】①已知函数，令，由得，函数转化为二次函数，，则二次函数，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值为，由，可知当时，取最大值为5， 故当时，函数的值域为. ②由题意知，令，则 ， 即，解得或； 当时，即，解得， 当时，即，解得， 故不等式的解集为. ③由于对于恒成立，令，对于，则，即对于恒成立， 所以对于恒成立； ∵函数和函数在上都单调递增， ∴函数在上单调递增，则当时，它的最大值为， 故当时，对于恒成立， 所以的最小值为. 【说明】本题综合考查了对数的运算与恒成立问题 1. 幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体. 2. 幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 3. 指数函数（，）的定义域是全体实数. 4. 指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 5. 对数函数的定义域是正数全体. 6. 对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 1．下列函数不是幂函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 2．满足的实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正， 在为减函数，且函数值为负， 等价于， 或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 3．已知，且的图象如图所示，则等于（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中图象知，函数过，，则，所以． 又，所以（负值舍去），故， ． 故选：B 4．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为； 2年后剩余质量为年后剩余质量为， 即， 则与的函数关系式是． 故选：B. 5．已知函数若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数对任意的，且，都有， 所以函数在上单调递增， 当时，在上递减，不合题意； 当时，在上是常函数，不合题意； 当时，所以，即 ，解得 ， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得， 又其图象过点， 所以，所以， 则， 则，解得或， 令， 则函数在上递增，在上递减， 又因函数为减函数， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 7．已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为： 8．函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 9．已知指数函数的图象过点，则 . 【答案】 【解析】因为是指数函数，可设， 将坐标代入得，所以. 故答案为：. 10．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数m的值为 【答案】2 【解析】由函数是幂函数，且在上单调递增， 可得，解得. 故选：B. 11．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【解析】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 12．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 13．若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 14．已知函数，则值域为 【答案】 【解析】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 15．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，由， 可得在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 由题意，，则，解得. 故答案为：. 16．设函数，为常数，且． （1）求的值； （2）求使的的取值范围； （3）设函数，对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【提示】（1）利用代入法进行求解即可； （2）利用指数函数的单调性进行求解即可； （3）根据指数函数的单调性，结合任意性的定义进行求解即可. 【答案】(1)3；(2)；(3) 【解析】（1）； （2）， 所以的取值范围为； （3）， 设， 因为函数是实数集上的增函数， 所以是实数集上的增函数， 当时，， 所以要想对任意的不等式恒成立， 只需， 所以实数的取值范围为. 17．已知指数函数，且的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）若函数是奇函数， ①求实数的值； ②判断并用定义法证明函数的单调性. 【提示】（1）将点代入即可求得函数的解析式； （2）先利用奇函数的性质求的值，然后用定义法证明函数的单调性. 【答案】(1)；(2)①；②单调递增，证明见解析 【解析】（1）由题知，，且过点， 所以， ， ； （2）①由题知，是奇函数， 因为，所以恒成立， 所以的定义域为，， 检验：当时，的定义域为， 故是奇函数，满足题意，； ②函数在上单调递增，证明如下： 在上单调递增. 18．已知函数，且，满足且为增函数. （1）求实数的值； （2）设在上的最小值为，求实数的值； （3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【提示】（1）由结合函数单调性即可求解； （2）首先把变形为分，进行讨论即可求解； （3）不等式转化为，利用二次函数性质求出的最大值即可求解. 【答案】（1）2；（2）5；（3） 【解析】（1）因为，所以，解得或， 当时，为增函数，符合题意， 当时，为减函数，不符合题意， 故. （2）由（1）可知，， 则， 因为为增函数，且，所以， 当，即时，时，，解得，不合题意，舍去； 当，即时，时，，解得或（舍去）. 综上所述，. （3）不等式即为，化简得， 令，因为，则，， 由二次函数性质可知当，即时，， 所以的取值范围为. 19．设函数 （1）解不等式； （2）已知对任意的实数，恒成立，求证：； （3）当时，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 【提示】（1）分、两种情况讨论，结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （2）由结合已知条件，即可得到的单调性，从而得证； （3）结合函数的单调性可得在恒成立，再参变分离结合函数的性质计算可得. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，． 【解析】（1）当时，为上的减函数， 则不等式即为，解得， 所以； 当时，为上的增函数， 则不等式，即为， 解得， 所以； 综上可得； （2）因为， 又恒成立， 所以为上的增函数，所以； （3）当时，函数在上的增函数， 可知， 则在恒成立， 由在恒成立，可得在恒成立， 令，则， 令，，则在上单调递增，， 又由于时，恒成立，即恒成立，所以， 综上所述． 20．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 【提示】（1）根据型函数的定义进行判断即可； （2）分离参数，利用二次函数知识求解最值即可； （3）根据满足条件的实数对，得出，根据系数关系可得答案. 【答案】（1）不是型函数，是型函数 （2）；（3） 【解析】（1）因为不可能恒成立，所以不是型函数； 因为，令，所以是型函数. （2）因为任意，恒成立，所以恒成立， 令，因为，所以，则， 由于，的最小值为， 所以，即. （3）因为是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以， 所以，，即. 第13页，共45页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $