第5章 函数的概念、性质及应用 期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版第一册

该高中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理了函数的概念、性质及应用，按“概念-性质-应用”逻辑呈现，涵盖定义域、单调性等18个题型，用思维导图关联奇偶性与对称性等内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如定义域求解巩固概念，综合题如单调性与奇偶性综合应用培养推理能力，结合指数增长模型等实例发展模型意识。提供解题模板与易错点解析，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

【原卷版】 （沪教版）微专题 《第5章 函数的概念、性质及应用》期末复习 掌握函数的定义、三要素及表示方法，能判断两个函数是否为同一函数。熟练运用单调性、奇偶性、零点的定义与判定方法，结合图像分析函数性质，理解对称性与上述性质的关联。会求解常见函数的定义域、值域，能利用函数性质解决最值、不等式求解、参数范围确定等问题。注重数形结合思想，提升用函数模型解决实际应用问题的能力，同时强化逻辑推理与运算求解素养。 题型1：函数的概念及其表示 题型2：分段函数 题型3：函数的定义域 题型4：函数的值域 题型5：根据函数的定义域、值域求参数 题型6：函数奇偶性的判断 题型7：利用奇偶性求值（解析式） 题型8：函数奇偶性的综合应用 题型9：函数的单调性的判断 题型10：定义法判断与证明函数的单调性 题型11：求函数的单调区间 题型12：由函数的单调性求解函数或参数 题型13：函数单调性的综合应用 题型14：利用函数单调性求最值或值域 题型15：根据函数的最值求参数 题型16：函数关系的建立 题型17：用函数观点求解方程与不等式 题型18：*反函数 题型1：函数的概念及其表示 例1．（1）下列各图中，不能表示函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 （2）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 题型2：分段函数 例2．（1）已知分段函数，则方程的解的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2）函数，满足的的取值范围　　 A． B． C．或 D．或 题型3：函数的定义域 例3．（1）函数的定义域是 （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型4：函数的值域 例4．（1）函数的值域为 ． （2）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为 . 题型5：根据函数的定义域、值域求参数 例5．（1）已知集合为使函数的定义域为R的的取值范围，集合（为常数，）．若是的必要条件，试求实数的取值范围． （2）已知函数 (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若，恒成立，直接写出的取值范围. 题型6：函数奇偶性的判断 例6．（1）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数， (1)求函数定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 题型7：利用奇偶性求值（解析式） 例7．（1）设函数，若，则 ． （2）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数 . 题型8：函数奇偶性的综合应用 例8．（1）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 （2）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)求不等式：在的解集. 题型9：函数的单调性的判断 例9．（1）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 （2）函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 题型10：定义法判断与证明函数的单调性 例10．（1）已知函数，其中，是常数. (1)当，时， ①判断函数在上的单调性，并用定义证明； ②已知两个不相等的正数m，n满足，求证：； (2)当时，求证：函数的图象关于点中心对称. （2）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)已知奇函数在上单调递增，证明在上单调递增． 题型11：求函数的单调区间 例11．（1）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． （2）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型12：由函数的单调性求解函数或参数 例12．（1）已知定义在上的函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． （2）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型13：函数单调性的综合应用 例13．（1）命题在上为单调增函数. 命题（）在R上为单调递增函数，则命题P是命题Q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 （2）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型14：利用函数单调性求最值或值域 例14．（1）若函数，则函数的值域为（     ） A． B． C． D．,2] （2）已知函数的定义域为，则是有最小值2的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型15：根据函数的最值求参数 例15．（1）已知函数（）有最小值，则实数a的取值范围是 . （2）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为 题型16：函数关系的建立 例16．（1）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（    ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 （2）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m. 题型17：用函数观点求解方程与不等式 例17．（1）已知函数，则方程实数根的个数为（    ） A．6 B．7 C．10 D．11 （2）已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 题型18：*反函数 例18．（1）若函数的反函数的图象过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 （2）已知方程与的实数根分别为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 1. 函数的概念： （1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数. （2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素.函数的值域由其定义域和对应法则决定.两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的. （3）函数的图像是表示两数性质的直观有力的工具. 2. 函数的性质： （1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数.奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性. （2）对于定义在上的函数，设区间是的子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立,就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立,就称函数在区间上是严格减函数.这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势. （3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标. 3. 函数的应用： （1）在建立函数关系时，需要注意其定义域. （2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段. （3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解. *4. 反函数： （1） 反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系. （2） 如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数. （3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。 1．已知定义域为的函数满足，则（    ） A．102 B．101 C．100 D．99 【答案】B 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数则（　　） A． B． C． D． 5．小柯同学利用几何画板探究函数图象，在他输入一组a，b的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小柯同学输入的参数值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 6．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是 7．若，为真命题，则的取值范围为 8．幂函数过点，则不等式的解集为 9．函数的定义域是 ． 10．函数的定义域为的定义域为 ． 11．函数在[3,4]上最大值比最小值大1，则 ． 12．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数a的取值范围是 13．已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为 . 14．函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为 ． 15．若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 16．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 17．已知函数是偶函数. (1)求实数的值. (2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围. 18．已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 19．已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 20．对于定义在D上的函数，若存在区间与满足，则称在和上是一致的，其中与分别表示在上的最大值与最小值. (1)若（），函数在和上是一致的，求b的最大值； (2)定义在上的函数，在时，，且满足对任意的，都有，求在和上的解析式.若记集合，请直接写出（不需要证明）； (3)对任意闭区间，规定为该区间的长度.已知定义在上的函数满足①当时，；②在任意闭区间上都同时存在最大值和最小值.证明：“（）”的充要条件为“在任意两个长度相等的闭区间上是一致的”. 【解析版】 （沪教版）微专题 《第5章 函数的概念、性质及应用》期末复习 掌握函数的定义、三要素及表示方法，能判断两个函数是否为同一函数。熟练运用单调性、奇偶性、零点的定义与判定方法，结合图像分析函数性质，理解对称性与上述性质的关联。会求解常见函数的定义域、值域，能利用函数性质解决最值、不等式求解、参数范围确定等问题。注重数形结合思想，提升用函数模型解决实际应用问题的能力，同时强化逻辑推理与运算求解素养。 题型1：函数的概念及其表示 题型2：分段函数 题型3：函数的定义域 题型4：函数的值域 题型5：根据函数的定义域、值域求参数 题型6：函数奇偶性的判断 题型7：利用奇偶性求值（解析式） 题型8：函数奇偶性的综合应用 题型9：函数的单调性的判断 题型10：定义法判断与证明函数的单调性 题型11：求函数的单调区间 题型12：由函数的单调性求解函数或参数 题型13：函数单调性的综合应用 题型14：利用函数单调性求最值或值域 题型15：根据函数的最值求参数 题型16：函数关系的建立 题型17：用函数观点求解方程与不等式 题型18：*反函数 题型1：函数的概念及其表示 例1．（1）下列各图中，不能表示函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【提示】根据函数的定义进行判断即可； 【答案】B； 【解析】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B； 【说明】本题考查了函数关系的判断； （2）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【提示】运用赋值法可求解； 【答案】； 【解析】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为：； 【说明】本题考查了求抽象函数的解析式； 题型2：分段函数 例2．（1）已知分段函数，则方程的解的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【提示】根据给定函数，分段解方程即可得解； 【答案】B； 【解析】函数，由，得或， 解得或，解得， 所以方程有3个解. 故选：B； 【说明】本题通过分段函数，综合考查了求函数零点或方程根的个数； （2）函数，满足的的取值范围　　 A． B． C．或 D．或 【提示】分和两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解． 【答案】； 【解析】当时， 即，，，， 当时， 即，， 综上， 或， 故选：． 题型3：函数的定义域 例3．（1）函数的定义域是 【提示】利用给定函数有意义列出不等式组求出定义域； 【答案】； 【解析】函数有意义，则，解得， 所以所求定义域为. 故答案为： 【说明】本题考查了具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【提示】利用抽象函数的定义域的求法计算即可； 【答案】； 【解析】由得， 对于函数，需使，解得． 故答案为：； 【说明】本题考查了抽象函数的定义域； 题型4：函数的值域 例4．（1）函数的值域为 ． 【提示】结合指数函数的值域，和分式的分母不为0的要求可求解； 【答案】； 【解析】由题意得，且， 故， 从而，即 ， 所以函数的值域为． 故答案为：； 【说明】本题考查了复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域； （2）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为 . 【提示】利用高斯函数的定义得到的解析式，作出函数图象，进而得到值域即可. 【答案】； 【解析】由高斯函数的定义可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1. 绘制的图象，如图所示，    由图可知，的值域为. 故答案为： 【说明】本题主要考查了分段函数的值域或最值、函数新定义； 题型5：根据函数的定义域、值域求参数 例5．（1）已知集合为使函数的定义域为R的的取值范围，集合（为常数，）．若是的必要条件，试求实数的取值范围． 【提示】根据定义域为可求，再根据条件关系得到包含关系，从而求得参数的取值范围； 【答案】； 【解析】因为函数的定义域为，故，故， 因为是的必要条件，故为的子集， 而，故，故. 【说明】根据集合的包含关系求参数、已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 （2）已知函数 (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若，恒成立，直接写出的取值范围. 【提示】（1）根据不等式的解集为求的取值范围. （2）结合对数函数的定义域和单调性列式求解即可. （3）问题转化为当时，恒成立，可求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由恒成立，可得. 即实数的取值范围为. （2）当时，. 由. 因为或； . 所以不等式的解集为. （3）因为，， 当时，恒成立. 所以只需保证时，即可，即，恒成立. 因为函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为， 所以当时，，故. 即的取值范围. 【说明】本题考查了已知函数的定义域求参数、由对数函数的单调性解不等式、求对数函数的定义域 题型6：函数奇偶性的判断 例6．（1）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【提示】根据给定条件，分析函数的奇偶性及的正负即可判断. 【答案】A； 【解析】函数的定义域为， ，函数是偶函数，图象关于轴对称，排除D， 而，排除BC，A选项符合题意. 故选：A 【说明】本题考查了求对数型复合函数的定义域、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 （2）已知函数， (1)求函数定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 【提示】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【答案】(1)；(2)偶函数，证明见解析；(3). 【解析】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. （2）函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. （3）依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 【说明】本题考查了函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 题型7：利用奇偶性求值（解析式） 例7．（1）设函数，若，则 ． 【提示】设，证得函数为奇函数，得到，根据题意，由，求得，即可求解. 【答案】； 【解析】设，则， 由函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，则，所以 因为， 可得，所以. 故答案为：. 【说明】本题考查了由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 （2）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数 . 【提示】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得； 【答案】； 【解析】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 【说明】本题考查了由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的定义与判断 题型8：函数奇偶性的综合应用 例8．（1）若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【提示】根据函数为奇函数，利用特殊值求得a的值，再根据奇函数定义验证函数为奇函数，即可确定答案. 【答案】C； 【解析】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：C 【说明】本题综合考查了函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数 （2）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)求不等式：在的解集. 【提示】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判断方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判断方法，即可得证； （3）由为奇函数，把不等式转化为，分和，两种情况讨论，分别列出不等式，即可求解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）解：函数为奇函数， 证明如下：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是定义域上的奇函数. （2）证明：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是的单调递增函数. （3）解：由（1）知：函数为奇函数， 则不等式，可化为， 当时，无意义，不满足题意； 当时，可得， 因为是的单调递增函数，所以，解得，所以； 当时，， 则不等式即为， 整理得，可得， 因为，所以，解得， 所以的解集为， 综上可得，不等式在上的解集为. 【说明】本题考查了由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 题型9：函数的单调性的判断 例9．（1）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【提示】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【答案】B； 【解析】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 【说明】本题考查了抽象函数的定义域、复合函数的单调性 （2）函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据复合函数单调性可排除AC；由可排除B，得解. 【答案】D； 【解析】函数可化为， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 同理，函数在上单调递减， 又，故ABC错误，选项D满足以上条件， 故选：D. 【说明】本题考查了函数图像的识别、复合函数的单调性 题型10：定义法判断与证明函数的单调性 例10．（1）已知函数，其中，是常数. (1)当，时， ①判断函数在上的单调性，并用定义证明； ②已知两个不相等的正数m，n满足，求证：； (2)当时，求证：函数的图象关于点中心对称. 【提示】（1）①根据函数的单调性的定义求证即可； ②由可得，再结合基本不等式求证即可； （2）验证即可求证. 【答案】(1)①函数在上单调递增，证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）①当，时，， 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，，，则， 所以，则， 所以函数在上单调递增. ②由，得，则， 由于，则， 而，则，即. （2）当时，， 则 ， 所以函数的图象关于点中心对称. 【说明】本题主要考查了定义法判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的对称性、基本（均值）不等式的应用 （2）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)已知奇函数在上单调递增，证明在上单调递增． 【提示】（1）由奇函数的性质，即可得出在时的解析式； （2），由已知可得，根据奇函数的性质可得，又，根据函数的单调性即可证明在上单调递增． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，则，. 因为函数是定义域为R的奇函数，所以有， 所以当时，， 所以函数的解析式为. （2）证明：设. 因为在上单调递增，所以有. 又，所以. 因为是奇函数，所以，， 又，所以，所以. 即，有成立， 所以在上单调递增． 【说明】本题考查了定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式 题型11：求函数的单调区间 例11．（1）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【提示】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【答案】C 【解析】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 【说明】本题考查了求函数的单调区间 （2）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【提示】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【答案】B； 【解析】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 【说明】本题考查了求函数的单调区间、复合函数的单调性、具体函数的定义域 题型12：由函数的单调性求解函数或参数 例12．（1）已知定义在上的函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【提示】变形恒成立的不等式并构造函数，探讨函数的奇偶性及在上的单调性，进而确定在上的单调性，再变形给定不等式求解即得答案； 【答案】D； 【解析】对任意的且均有， 不妨设，则，即， 令，则当时，，函数在上单调递增， 而，则， 因此函数为奇函数，在上单调递增，则函数在上为增函数， 不等式， 即，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【说明】本题考查了根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断； （2）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可； 【答案】B； 【解析】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 【说明】本题考查了根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 题型13：函数单调性的综合应用 例13．（1）命题在上为单调增函数. 命题（）在R上为单调递增函数，则命题P是命题Q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【提示】由二次函数在给定区间上的单调性可得，解得；根据分段函数的单调性判断方法可得，最后由充要条件的判断方法即得答案. 【答案】C； 【解析】由在上为单调增函数， 因，则需使，解得，又，故得 即命题等价于； 而由（）在R上为增函数， 可得函数在上单调递增，在上单调递增， ，则，即命题Q等价于. 故命题P是命题Q的充要条件. 故选：C. 【说明】本题考查了根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值、探求命题为真的充要条件 （2）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【提示】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【答案】B 【解析】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 【说明】本题考查了根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 题型14：利用函数单调性求最值或值域 例14．（1）若函数，则函数的值域为（     ） A． B． C． D．,2] 【提示】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【答案】B； 【解析】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：B 【说明】本题考查了利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域、求对数函数的最值 （2）已知函数的定义域为，则是有最小值2的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据基本不等式、对钩函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【答案】A； 【解析】因为，所以，当且仅当时， 函数有最小值2，所以充分性成立； 令，得，要使，则且，所以必要性不成立. 综上，是函数有最小值2的充分不必要条件. 故选：A 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件、根据函数的最值求参数 题型15：根据函数的最值求参数 例15．（1）已知函数（）有最小值，则实数a的取值范围是 . 【提示】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围. 【答案】； 【解析】由， 要使有最小值， 则函数在上为减函数或常函数，在上为增函数或常函数， 所以，解得， 则实数a的取值范围是. 故答案为： 【说明】本题考查了根据函数的单调性求参数值 （2）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为 【提示】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【答案】 【解析】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 【说明】本题主要考查了利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 题型16：函数关系的建立 例16．（1）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（    ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【提示】设该生物原来的数量为，由题意知，，进而根据指数函数的性质及对数的运算性质求解即可. 【答案】D； 【解析】设该生物原来的数量为， 由题意知，，则， 所以， 因为，所以的最小值为12． 故选：D． 【说明】本题考查了利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 （2）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m. 【提示】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可. 【答案】； 【解析】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 【说明】本题主要考查了利用二次函数模型解决实际问题、一元二次不等式的实际应用 题型17：用函数观点求解方程与不等式 例17．（1）已知函数，则方程实数根的个数为（    ） A．6 B．7 C．10 D．11 【提示】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【答案】D； 【解析】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 【说明】本题考查了分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 （2）已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【提示】根据，可得的定义域，所以，即可得在上恒成立，根据在上的单调性，可得k的范围，又，根据对数的运算性质，可得，利用换元法，令，可得在上有唯一实数根，分别讨论和两种情况，根据函数的性质，求得k值，综合即可得答案. 【答案】A； 【解析】因为的定义域为，所以，解得， 所以的定义域为， 由，得在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以当时，，所以， 又， 所以， 则，即， 令，则在上有唯一实数根， 令，， 当时，令，则，即，解得，符合题意， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以只需，解得， 因为，所以此时无解， 综上，实数k的取值范围是. 故选：A 【说明】本题考查了抽象函数的定义域、对数的运算性质的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题； 题型18：*反函数 例18．（1）若函数的反函数的图象过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【提示】先求出的反函数，将点代入反函数的解析式求出，进而确定的解析式，即可求出. 【答案】D； 【解析】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 【说明】本题考查了求对数函数的解析式、求反函数、对数的运算 （2）已知方程与的实数根分别为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【提示】由函数与的图象关于直线对称，并且也关于直线对称，得到两条直线的交点坐标为，进而得到答案. 【答案】A； 【解析】因为函数与的图象关于直线对称， 且直线也关于直线对称，且两条直线的交点坐标为， 所以直线与曲线的两交点关于点对称， 所以，可得． 故选：A． 【说明】本题考查了函数对称性的应用、反函数的性质应用、函数与方程的综合应用 1. 函数的概念： （1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数. （2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素.函数的值域由其定义域和对应法则决定.两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的. （3）函数的图像是表示两数性质的直观有力的工具. 2. 函数的性质： （1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数.奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性. （2）对于定义在上的函数，设区间是的子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立,就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立,就称函数在区间上是严格减函数.这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势. （3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标. 3. 函数的应用： （1）在建立函数关系时，需要注意其定义域. （2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段. （3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解. *4. 反函数： （1） 反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系. （2） 如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数. （3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。 1．已知定义域为的函数满足，则（    ） A．102 B．101 C．100 D．99 【答案】B 【解析】中，令得， 解得或1， 令得，若，上式整理得， 但不一定等于0，故不成立， 若，则， 此时， ，满足，满足要求， 故. 故选：B 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，由题可知函数 的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数 ， 当时，，故C、D项错误，A项正确. 故选：A. 4．已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B. 5．小柯同学利用几何画板探究函数图象，在他输入一组a，b的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小柯同学输入的参数值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由图象可知，图象始终位于轴上方，所以，再由图象渐近线位于，图象渐近线位于轴左侧，所以. 6．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是 【答案】 【解析】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示，    易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 7．若，为真命题，则的取值范围为 【答案】 【解析】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 8．幂函数过点，则不等式的解集为 【答案】 【解析】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 9．函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】要使函数有意义，，解得且 所以函数的定义域为. 故答案为：. 10．函数的定义域为的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，令， ，所以的定义域为， ，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11．函数在[3,4]上最大值比最小值大1，则 ． 【答案】或 【解析】因为函数在上最大值比最小值大1， 当时，函数单调递增， ， 解得，符合题意； 当时，函数单调递减， ， 解得，符合题意； 故答案为：或. 12．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】当时，因，所以为减函数，故； 当时，因，所以为减函数，故. 因为函数存在最小值，需使，解得， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．已知定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且，则不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】定义在上的偶函数满足对任意的，都有， 所以在上单调递减， 根据偶函数的对称性可得，在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 当或或时，， 则不等式可得或， 所以或. 故答案为：或. 14．函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为 ． 【答案】和 【解析】当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时，在上单调递减，单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，在单调递减，在单调递增， 综上，函数在上的单调增区间为和． 故答案为：和． 15．若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】对任意的，不等式恒成立， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 则，因此，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 16．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【提示】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解析】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 17．已知函数是偶函数. (1)求实数的值. (2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围. 【提示】（1）根据偶函数的性质即可求出值. （2）将零点问题转化为函数值域问题，结合函数单调性求出值域即可. 【答案】(1)-1；(2) 【解析】（1）因为函数是偶函数，所以， 而， 所以，化简得， 即对任意成立，所以. （2）由（1）知，，则. 在时存在零点，即方程在时有解. 令（），则只需求出的值域. . 令，， 因函数在定义域上为增函数，函数为减函数， 所以在时单调递减， 所以，即. 因此实数a的取值范围为. 18．已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【提示】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于的等式与不等式，可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）①写出函数的解析式，利用对勾函数的单调性可写出函数的增区间和减区间； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【答案】(1) (2)①减区间为，增区间为；② 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故. （2）①由（1）可得， 当时，， 由题中结论可知，函数在上的减区间为，增区间为； ②当时，函数、在上均为减函数，此时函数在上为减函数， 则，解得，舍去； 当时，函数在上为减函数，此时，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，舍去， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得，舍去. 综上所述，. 19．已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 【提示】（1）转化为对任意的求解； （2）转化为任意为真命题，求即可； （3）令，则，再对分类讨论求解． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）若函数的定义域为，则对任意的， 由于函数的图象为开口向上的抛物线， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. （2）命题为假命题 则任意为真命题， ， 而，等号成立时，， 因此，实数的取值范围是． （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不满足条件，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 20．对于定义在D上的函数，若存在区间与满足，则称在和上是一致的，其中与分别表示在上的最大值与最小值. (1)若（），函数在和上是一致的，求b的最大值； (2)定义在上的函数，在时，，且满足对任意的，都有，求在和上的解析式.若记集合，请直接写出（不需要证明）； (3)对任意闭区间，规定为该区间的长度.已知定义在上的函数满足①当时，；②在任意闭区间上都同时存在最大值和最小值.证明：“（）”的充要条件为“在任意两个长度相等的闭区间上是一致的”. 【提示】（1）由题目所给定义，讨论在的单调性以及最值即可； （2）根据的解析式，结合递推关系，来求和上的解析式；根据题干要求，结合图像得出； （3）根据题目所给定义，分别证明充分性、必要性即可. 【答案】(1) (2)时，；时，； (3)证明见解析 【解析】（1）因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为函数在和上是一致的，又， 所以当时，， 则此时，不符合题意， 当时，， 此时，符合题意， 当时， ， 此时，不符合题意， 所以的最大值为； （2）因为，所以，满足， 所以当时，， 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以； 画出这三段的图象，如图： 当时，， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 因为， 则当时，符合题意， 当时，， 此时， 在其他区间，的情况同理， 则. （3）充分性：设（），则， 即对任意，当区间长度相同时，不变， 即在任意两个长度相等的闭区间上是一致的. 必要性：设在任意两个长度相等的闭区间上是一致的， 由题意， 当时，不妨设， 设，则当时， ， 即， 设，且， 则， 则， 则， 即，， 所以当时，成立， 重复此过程，可证当，成立， 即对于区间长度为时，成立，可得区间长度为时，成立， 当趋于正无穷时，趋于正无穷，且该区间可以向左右无限延伸， 则可得上均有成立； 同理对于当时，，可得上均有. 第17页，共65页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $