期末复习讲义（填选压轴篇）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过题型分类系统构建知识体系，聚焦集合综合、恒成立问题、函数零点与方程的解、结论辨析、函数新定义等核心模块，以框架图形式呈现各题型内在逻辑，突出高一上学期数学重难点的关联与应用。 讲义亮点在于真题与创新题型结合，如狄利克雷函数新定义题培养抽象能力与创新意识，结论辨析题强化逻辑推理（数学思维），分层设计满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生解决复杂问题的能力。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（填选压轴篇） 题型一、集合综合 题型二、恒成立问题 题型三、函数零点问题 题型四、方程的解问题 题型五、结论辨析 题型六、函数新定义问题 题型一、集合综合 1.（24-25浦东新区高一上期末） 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，进而可得取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 2. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 11. （2024-25虹口高一上期末）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得，（1） 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或，（2） 综合（1）（2）可得：． 故答案为： 3. （2024-25虹口高一上期末）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得，（1） 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或，（2） 综合（1）（2）可得：． 故答案为： 4. （2024-25格致中学高一上期末）已知，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解. 【详解】因为， 则方程与有相同的解，不妨设为， 则，故，即，整理得， 因为， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解. 题型二、恒成立问题 5.（2024-25徐汇高一上期末） 若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 6. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为在上恒成立，又， 所以在上恒成立， 所以，其中， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可得，即可根据分段函数的性质作出函数的图象，根据恒成立，只需，即可求解. 【详解】，由题意得，解得， 当时， 画出上的函数的图象， 是由向右平移1个单位得到， 结合图象，要想恒成立， 只需，解得 又，故， 所以a的取值范围为. 故答案为: 【点睛】方法点睛：根据恒成立求解参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 8. （24-25向明中学高一上期末）已知奇函数的定义域为，当时，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数为奇函数求出函数的解析式，再分三种情况讨论，结合二次函数的图象以及左右平移的原则即可得出答案. 【详解】因为奇函数的定义域为， 所以， 令，则， 故， 所以， 所以， 当时，显然不符合题意； 当时，则，奇函数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，若对，恒成立， 则函数的图象恒在函数的上方，， 而，函数的图象是由函数的图象向右平移个单位， 画出函数和函数的图象如图所示， ， 而， ， 由，解得（和舍去）， 因为随着的图象左移至的过程中， 均有的图象恒在的图象的上方， 所以实数的取值范围是， 综上所述，实数的取值范围是.    故答案为：. 9. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 10. 若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案. 【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立， 则直线时位于上方（可重合），且位于下方（可重合）， 又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意， 由，得，此时直线为，则，即对恒成立， 则，则，即实数m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题. 题型三、函数零点与方程的解问题 11. （2024-25敬业中学高一期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 12. 已知函数，若存在满足，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象， 根据可得，，进而将问题转为，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】作出函数的图象如图， 故, ，，则，． 所以， 由于函数在上单调递减， 所以，故， 故答案为：. 13. 已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ， 方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 14. 设，若实数满足：，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示， 令，由图可知：， 且，解得， 则， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解. 【详解】，画出图像如图所示. 方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故. 设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，， 结合,得所以. 又因为，所以，所以，所以， 由于函数在上单调递减，所以， ， 所以题设方程所有实数根之和的取值范围是. 故答案为： 16. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】画出的图象如下： 因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 题型五、结论辨析 17. （24-25浦东新区高一上期末）已知，则下列结论错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的图象关于点对称 C. 若、实数，且，则 D. 若、为实数，且 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】任取、且，则，且， ， 所以，，则函数在上为增函数， 对于A选项，由可得， 所以，不等式的解集为，A对； 对于B选项，， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，若、为实数，且，则， 所以，，则，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：D. 18. （24-25建平中学高一上期末）已知函数和的定义域均为，对任意实数，存在实数，使得且．有下列两个命题：①若存在最大值存在最大值，则；②若不存在最大值，则不存在最大值．则（ ） A. ①为真命题，②为假命题 B. ①为假命题，②为真命题 C. ①为真命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两个命题真假判断，依次判断命题①和命题②的真假即可，其中命题①可利用最值的定义进行判断.命题②用反证法判断. 【详解】对于命题①，若函数存在最大值,函数存在最大值,则,, 因为对任意实数，存在实数，使得且， 所以,,即， 所以且,所以,故命题①为真命题. 对于命题②，已知不存在最大值，假设函数存在最大值， 因为对任意实数，存在实数，使得且， 所以，,故存在一个,使得， 且对任意的都有,即有最大值, 这与已知条件不存在最大值相矛盾，所以假设不成立， 即函数不存在最大值，故命题②为真命题.故选：C 【点睛】反证法常用于否定型结论的判定，如本题中的命题②的结论“不存在最大值”. 19. 已知定义在上的偶函数在上严格增，记函数．对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格增；②存在函数，函数在上严格减．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性，结合常见函数的单调性即可求解. 【详解】若，则为偶函数且在上严格增，此时，则在上严格增，故①是真命题， 若，则为偶函数且在上严格增, 则，则为上的奇函数， 先考虑时，， 由于函数为上的单调递减函数， 所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故②都是真命题， 故选：A 20. 已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题；②为真命题. B. ①为真命题；②为假命题. C. ①为假命题；②为真命题. D. ①为假命题；②为假命题. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，在R上分别讨论函数的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假. 【详解】令，. 因为，所以是奇函数， 易知幂函数R上增函数，因此也在R上增函数； 又因为，所以是偶函数， 令，假设任意且， 则 ， 由且知，， 所以， 即函数在上单调递增函数， 从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增，在上单调递减，又. 对一命题①：当时，，故，又，所以， 所以，则 ， 即成立，故命题①真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为也在R上增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②真命题. 故选：A. 【点睛】本题关键是将函数拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练应用. 21. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，依次判断： （1）由于，可得方程有且仅有三个解； （2）由于，可得方程最多三个解； （3）方程的解最多有九个解； （4）由于，可得方程有且仅有一个解. 最后可求得结果. 【详解】（1）方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g（x）是减函数，故正确． 故答案为①④． 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点之间的关系，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 22. （2024-25上海实验学校高一期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③. 【详解】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B 23. 已知函数，则对任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数奇偶性和单调性，结合函数的性质判断与的关系即可. 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为奇函数， 又， 当时，函数单调递增，单调递减， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数， 所以函数在上单调递增， 由可得，所以，故， 由可得，所以，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 24. 是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，使得． 【详解】对于①，，故①符合； 对于②，假设存在不相等，使得， 即，则， 得，这与矛盾，故②不符合； 对于③，，故③符合. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可. 25. （24-25华东师大附中高一上期末）对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数满足：，且有最小值； ②设，若，则； ③若，则为单调函数； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为__________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据方程实数根的个数分析函数性质．①用反证法判断，②利用和的解的个数相同，可判断，③举一反例，设，可判断，④利用图象平移可说明判断． 【详解】①若有最小值，则存在实数，使得，则当时，无实数根，即与矛盾，①错； ②，故当时，无实数根，，所以，所以无实数根，则．②正确； ③设，易知对任意的实数，有且只有一个根，所以，但不是单调函数，③错误； ④，为向左平移个单位所得图象对应函数（时，表示向右平移个单位），因此和的解的个数相等，所以，④正确． 故答案为：②④. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是理解新定义的意义，根据新定义问题转化为方程解的个数．这样我们或兴例说明，或通过的解的个数确定函数的性质，完成求解． 26. （24-25上海华东模范中学高一上期末）已知，且方程无实根，现有四个命题：①若，则不等式对一切成立；②若，则必存在实数使不等式成立；③方程一定没有实数根；④若，则不等式对一切成立，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断与的关系. 【详解】解：方程无实根. 或. 对一切成立, ,用代入, ,命题①正确； 同理若,则有.命题②错误,命题③正确； , 必然归为,有.命题④正确. ①③④正确 . 故选C 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大. 27. （2024-25控江中学高一上期末）已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质、特例法结合充分条件、必要条件判断可得出结论. 【详解】因为函数的定义域为， 若函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故对任意，都存在且，使得； 若对任意，都存在，使得， 不妨取，则， 即，即函数的图象关于点对称， 即对任意的，存在，使得， 但函数不是奇函数. 因此，“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的充分非必要条件. 故选：A. 28. 对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】B 【解析】 【分析】利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②. 【详解】对于①，因为在上是增函数， 且在上也是增函数， 所以在上是增函数， 则任取，且， 必有，①正确； 对于②，，②错误. 故选：B 29. 设表示，中的较小数.若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据函数的图象得出或.然后根据的取值讨论即可求解. 【详解】设，， 由可得：. 要使函数至少有3个零点，则函数至少有1个零点，则，解得：或. (1)当时，，作出函数的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不满足题意； (2)当时，设函数的两个零点分别为， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，解得：； (3)当时，，作出函数图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为3，满足题意； (4)当时，设函数两个零点分别为， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，解得：，此时， 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 题型六、函数新定义问题 30. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题②是假命题 C. ①是假命题②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 31. 已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 32. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①； ②对于任意的实数，均有； ③偶函数； ④存在无数个实数，使得； ⑤若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 其中真命题的序号为（    ） A. ①③④⑤ B. ①③④ C. ①②④⑤ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】命题①③根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②举反例即可：命题④为无理数时即满足题意；命题⑤分为无理数和为有理数两种情况进行讨论． 【详解】对①：当为无理数时，，所以； 当为有理数时，，所以，所 以对任意，恒有，故①正确； 对②：当，，而，两者显然不等，故②错误； 对③：由①知，显然其为偶函数，故③正确； 对④：当为无理数时，也为无理数，所以，此时，故④正确； 对⑤，或1， 存在三个点、、，使得为等边三角形， 不同时为0或1， 不妨设， 分析得的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，为无理数，为无理数， 即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，，， 存在，使得，且为无理数， 即，与图形一致，符合题意， 此时，，故⑤正确； 故选：A 【点睛】关键点睛：本题对⑤判断的关键是分为有理数和为无理数进行分类讨论；对①③的判断也是对分有理数和无理数进行讨论，从而解决嵌套函数的性质. 33. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数为“函数”，则关于狄利克雷函数和函数有以下四个结论： （1）； （2）函数既是偶函数又是周期函数； （3）函数图象上存在四个点、、、，使得四边形为矩形； （4）函数图象上存在三个点、、，使得为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）（2）根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性、周期性定义即可判断，对于（3）（4）需要找出点验证满足条件. 【详解】由题意，的取值为0或1，所以，故（1）错误； 因为，所以为偶函数， 对于任意非零有理数，对于任意的有理数加上一个有理数仍为有理数， 对于任意的无理数加上一个有理数仍为无理数，都有， 则函数既是偶函数又是周期函数，故（2）正确； 若取函数图象上四个点，，，， 因为，且，即，互相平分， 所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确； 函数图象上三个点，，， 即，，，因为， 所以为等边三角形，故（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）. 34. 如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，由此列方程，再利用换元法以及函数与方程的思想求得实数的取值范围. 【详解】根据题意由可得； 函数在上存在均值点，即方程在上有解， 设，则有在上有解； 即，因此函数与图象有交点， 而二次函数对称轴为，其在上的值域为， 所以可得实数的取值范围是. 故答案为： 35. （2024-25格致中学高一上期末）设且，函数、的定义域都是，且满足，（其中表示最小值）．记函数的值域为，若集合中仅有四个元素，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【解析】 分析】通过，，三类情况，结合函数单调性讨论即可； 【详解】由题意， ，， ，， 当时，，此时， 当时，单调递增，， 此时函数的值域中仅有一个元素；不符合题意， 当时，单调递增， ，，， ， ， 由于单调递增， ， ， 此时函数的值域中最多有两个元素，不符合题意； 当时，单调递减， ，，， ， 要使集合中仅有四个元素，需满足：， 即，解得：， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 36. （2024-25敬业中学高一期末）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增， 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解， 综上所述；. 故选；A. 37. （2024-25徐汇高一上期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4。 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 38. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则的“友好点对”有_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】欲求的“友好点对”，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可． 【详解】根据题意：“友好点对”，可知， 只须作出函数的图象关于原点对称的图象，与函数交点个数即为． 如图， 观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即的“友好点对”有：2个． 故答案为：2． 39. （2024-25金山高一上期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 40. （2024-25晋元高级中学高一上期末）记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③已知，若函数具有性质，则 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用性质计算可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；利用已知条件，可得，结合不等式恒成立可求得的取值范围判断③. 【详解】对于①，设函数是定义在D上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，故①正确； 对于②，对任意，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②正确； 对于③，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，， 即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故③正确． 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解； （1）； （2）； （3）； （4）. 41. （2024-25上海实验学校高一期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则不一定是封闭函数． 则下列正确的判断为（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义可得都有，都有，再判定所给定区间里是否有成立即可判断作答. 【详解】对命题：对于集合使，则,而是“封闭”函数，则，即都有， 对于集合使，则， 而， 即，故一定是“封闭”函数 是“封闭”函数,故正确； 对命题，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“[a,b]封闭”函数， 只需判断出其逆否命题的正误即可，使，则， 若，则，由解得，因为，所以， 即使，则， 满足是“[a,b]封闭”函数， 所以命题的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，错误. 故选：C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（填选压轴篇） 题型一、集合综合 题型二、恒成立问题 题型三、函数零点问题 题型四、方程的解问题 题型五、结论辨析 题型六、函数新定义问题 题型一、集合综合 1.（24-25浦东新区高一上期末） 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____. 2. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 3. （2024-25虹口高一上期末）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 4. （2024-25格致中学高一上期末）已知，若，则的最小值为______. 题型二、恒成立问题 5.（2024-25徐汇高一上期末） 若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是__________. 6. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_______． 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围______. 8. （24-25向明中学高一上期末）已知奇函数的定义域为，当时，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_____. 9. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 10. 若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是________. 题型三、函数零点与方程的解问题 11. （2024-25敬业中学高一期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若存在满足，则的取值范围为__________． 13. 已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 14. 设，若实数满足：，则的取值范围是__________． 15. 已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是_______________. 16. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________. 题型五、结论辨析 17. （24-25浦东新区高一上期末）已知，则下列结论错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的图象关于点对称 C. 若、实数，且，则 D. 若、为实数，且 ，则 18. （24-25建平中学高一上期末）已知函数和的定义域均为，对任意实数，存在实数，使得且．有下列两个命题：①若存在最大值存在最大值，则；②若不存在最大值，则不存在最大值．则（ ） A. ①为真命题，②为假命题 B. ①为假命题，②为真命题 C. ①为真命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 19. 已知定义在上的偶函数在上严格增，记函数．对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格增；②存在函数，函数在上严格减．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 20. 已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题；②为真命题. B. ①为真命题；②为假命题. C. ①为假命题；②为真命题. D. ①为假命题；②为假命题. 21. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22. （2024-25上海实验学校高一期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23. 已知函数，则对任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 24. 是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 25. （24-25华东师大附中高一上期末）对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题： ①存在函数满足：，且有最小值； ②设，若，则； ③若，则为单调函数； ④设，则． 其中所有正确命题的序号为__________． 26. （24-25上海华东模范中学高一上期末）已知，且方程无实根，现有四个命题：①若，则不等式对一切成立；②若，则必存在实数使不等式成立；③方程一定没有实数根；④若，则不等式对一切成立，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 27. （2024-25控江中学高一上期末）已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 28. 对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：设，若任取，且，则必有； 结论②：设，则有对恒成立． A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 29. 设表示，中的较小数.若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是______. 题型六、函数新定义问题 30. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题②是假命题 C. ①是假命题②是真命题 D. ①②都是假命题 31. 已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是_______． 32. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①； ②对于任意的实数，均有； ③偶函数； ④存在无数个实数，使得； ⑤若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 其中真命题的序号为（    ） A. ①③④⑤ B. ①③④ C. ①②④⑤ D. ①②④ 33. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数为“函数”，则关于狄利克雷函数和函数有以下四个结论： （1）； （2）函数既是偶函数又是周期函数； （3）函数图象上存在四个点、、、，使得四边形为矩形； （4）函数图象上存在三个点、、，使得为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是________． 34. 如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是______. 35. （2024-25格致中学高一上期末）设且，函数、的定义域都是，且满足，（其中表示最小值）．记函数的值域为，若集合中仅有四个元素，则实数的取值范围为________． 36. （2024-25敬业中学高一期末）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 37. （2024-25徐汇高一上期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 38. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则的“友好点对”有_____个． 39. （2024-25金山高一上期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 40. （2024-25晋元高级中学高一上期末）记函数的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③已知，若函数具有性质，则 其中所有正确结论的序号是______． 41. （2024-25上海实验学校高一期末）已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有，则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数． ：若是“封闭”函数，则不一定是封闭函数． 则下列正确的判断为（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $