期末复习讲义（培优篇）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过十大考点系统构建知识体系，以框架图形式梳理集合与逻辑、函数性质、三角公式等模块，清晰呈现各考点的重难点分布及内在联系，帮助学生全面把握高一上学期核心内容。 讲义亮点在于精选名校期末真题，设计应用题（如净水设备优化问题）和新定义问题（如“G函数”“P型函数”），培养数学建模与逻辑推理素养。分层练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（培优篇） 考点01：集合与逻辑 考点02：等式与不等式 考点03：幂、指数与对数 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 考点05：函数的概念与表示方法 考点06：函数的基本性质 考点07：任意角的三角 考点08：常用三角公式 考点09：应用题 考点10：新定义问题 考点01：集合与逻辑 1. （2024-25复旦附中高一期末）若，则集合共有__________个元素. 2.（2024-25金山高一上期末） 已知集合，，则__________. 3. 已知全集，集合，则________． 4.（24-25华东师大附中进华中学高一期末）若集合，则_______ 5. 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________． 6. 用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“______”. 7. 已知集合，. （1）求； （2）当时，求函数的值域. 考点02：等式与不等式 8. 已知方程 的两个根为 ，则_________ 9. 已知方程的两根为，，则______. 10. 对于实数a、b，下面哪个不等式不恒成立（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知，，且，则的最小值为__________． 13. 已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为___________. 14. 若已知a，b，c均为正数，则的最小值为______． 15. 若一元二次不等式的解集为，则实数__________． 16. 若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________． 17. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 考点03：幂、指数与对数 18. 已知，用有理数指数幂的形式表示________. 19. 已知，用、的代数式表示 _________. 20. 已知，用、的代数式表示 _________. 21. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的______倍. 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 22. 已知幂函数的图像过点，则________． 23.（24-25向明中学高一上期末） 已知幂函数，且严格递减，则_____. 24. 若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是________. 25. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）函数的严格递减区间为_________． 26. （24-25向明中学高一上期末）函数的单调递增区间为_____. 27.（2024-25敬业中学高一期末） 已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是___________. 考点05：函数的概念与表示方法 28. 存在函数满足：都有（ ） A. B. C. D. 29. 以下图形中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 30. 函数的定义域是______. 31. 函数的定义域为__________． 32. 已知函数，则__________． 33. 已知函数在上的严格减函数，则实数的取值范围是______. 考点06：函数的基本性质 34. 若在上是严格增函数，则实数的取值范围是____________． 35. 若是偶函数，且当时，，则不等式的解集是________． 36. 定义在上的奇函数满足，当时，，则______. 37. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 38. 已知函数，若，则实数m的取值范围是________. 39. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 40. 已知，其中是常数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）若对任意实数，均有，求实数的取值范围． 考点07：任意角的三角 41. 将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合__________． 42. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是__________． 43. 在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________． 44. 用列举法写出__________. 45. 已知则_______. 46. 已知，则=__________． 47. 方程的解集为________. 48. 化简：_________ 49. 设、，且，则的最小值等于_________ 50. 已知，，则角的终边在第________象限. 51. 已知、是关于的方程的两个根. （1）求实数的值， （2）求的值. 考点08：常用三角公式 52. 已知，若，则______． 53. 已知，则__________. 54. 已知，化简：__________. 55. 已知，，则的值为______. 56. 已知，则________． 57. 在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若，则________. 58. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 59. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 60. 已知，，其中． （1）求的值； （2）求． 考点09：应用题 61. （24-25松江区高一上期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 62. （24-25长宁区高一上期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． （1）计算值，并说明其的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 63. （24-25宜川中学高一上期末）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 考点10：函数综合与新定义问题 64. （24-25长宁区高一上期末）已知． （1）当时，求函数的定义域； （2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； （3）设，若当时，函数在区间上最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 65. （24-25浦东新区高一上期末）若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. （1）若，问是否为“函数”，请说明理由； （2）若，问是否为“函数”，请说明理由: （3）若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 66. （24-25松江区高一上期末）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式： （3）若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（培优篇） 考点01：集合与逻辑 考点02：等式与不等式 考点03：幂、指数与对数 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 考点05：函数的概念与表示方法 考点06：函数的基本性质 考点07：任意角的三角 考点08：常用三角公式 考点09：应用题 考点10：新定义问题 考点01：集合与逻辑 1. （2024-25复旦附中高一期末）若，则集合共有__________个元素. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意结合对数函数单调性化简集合，即可得结果. 【详解】因为， 则， 所以，共有2个元素. 故答案为：2. 2.（2024-25金山高一上期末） 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 3. 已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的概念进行求解. 【详解】根据补集的概念可得 故答案为： 4.（24-25华东师大附中进华中学高一期末）若集合，则_______ 【分析】由指数函数性质求值域，由对数函数性质求定义域确定集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设， 对于，有，可得， 所以或， 故. 5. 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式可得，由题意分析可知是的子集，根据子集关系列式求解即可. 【详解】由可得，则，解得， 即， 若是的充分条件，则是的子集， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6. 用反证法证明命题“已知x、，且，求证：或”时，应首先假设“______”. 【答案】且 【解析】 【分析】根据反证法的原理可知. 【详解】根据反证法的原理可知，求证或时，应首先假设且. 故答案为：且 7. 已知集合，. （1）求； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出集合、后即可得； （2）由复合函数的单调性计算即可得. 【小问1详解】 由，即，可得，即， 则或， 由，即，即， 即，故， 则； 【小问2详解】 由，故， 由在上严格减函数，在上是严格增函数， 故函数在定义域内是严格减函数， 故，即， 即函数的值域为. 考点02：等式与不等式 8. 已知方程 的两个根为 ，则_________ 【答案】6 【解析】 【分析】直接解方程求解答案即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：6 9. 已知方程的两根为，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值. 【详解】由题设知：， ∴，， ∴. 故答案为：. 10. 对于实数a、b，下面哪个不等式不恒成立（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A由完全平方公式可判断是否恒成立，B由两个数绝对值的和的几何含义可判断是否恒成立，C根据对数函数的性质即可判断是否恒成立，D由基本不等式等号成立的条件即可判断是否恒成立. 【详解】A：由知：恒成立； B：由绝对值的几何含义知：恒成立； C：由，而单调递增，所以恒成立； D：当且仅当时，才能成立. 故选：D. 11. 已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据，结合即可判断；对于②，根据，，且，可得，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果. 【详解】①因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即，①正确； ②因为，，，所以， 所以，②正确； ③，当且仅当时等号成立，所以③错误； ④， 所以，当且仅当时等号成立，④正确； 所以有个不等式成立. 故选：. 12. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：2 13. 已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 14. 若已知a，b，c均为正数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为、、，所以，当且仅当时取等号；故的最小值为； 故答案为： 15. 若一元二次不等式的解集为，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根关系解出即可. 【详解】根据题意可知方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，， 故答案为：. 16. 若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 17. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式可求参数的取值范围. 【详解】解：因为不等式对任意的实数恒成立， 利用绝对值的几何意义可知，, 当且仅当时等号成立，故，则实数的取值范围是， 故答案为：. 考点03：幂、指数与对数 18. 已知，用有理数指数幂的形式表示________. 【答案】 【解析】 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【详解】. 故答案为：. 19. 已知，用、的代数式表示 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指对数互化，即可利用对数的性质求解. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 20. 已知，用、的代数式表示 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指对数互化，即可利用对数的性质求解. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 21. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的______倍. 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意结合对数运算可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：100. 考点04：幂函数、指数函数与对数函数 22. 已知幂函数的图像过点，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】由幂函数知，再代入点求出即可. 【详解】因为幂函数，所以，又幂函数图象过点， ，解得，所以. 故答案为：3. 23.（24-25向明中学高一上期末） 已知幂函数，且严格递减，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 24. 若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式可得出定点的纵坐标. 【详解】由，得， ，的坐标是， 故答案为：. 25. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）函数的严格递减区间为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 26. （24-25向明中学高一上期末）函数的单调递增区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案：. 27.（2024-25敬业中学高一期末） 已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据的单调性可得满足的不等式组，从而可求实数的取值范围. 【详解】在上是严格减函数， 故在减函数，且恒成立， 所以，故. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：与对数有关的复合函数的单调性，要利用同增异减的原则来进行判断，注意真数大于的要求. 考点05：函数的概念与表示方法 28. 存在函数满足：都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用换元法求原函数解析式，结合函数定义：对于任意自变量取值有且仅有唯一对应函数值判断是否正确即可. 【详解】A：令，则，故，显然不满足函数定义； B：令，则，故，显然不满足函数定义； C：令，则，故，显然不满足函数定义； D：令，则，故，满足函数定义. 故选：D 29. 以下图形中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论. 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A 30. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 31. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解. 【详解】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 32. 已知函数，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数解析式求出，，可得答案. 【详解】由题意，，， 所以. 故答案：1 33. 已知函数在上的严格减函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数与反比例函数的性质即可得. 【详解】由题意可得时，函数为严格减函数，即，即； 时，函数为严格减函数，即； 且当时，有，即； 综上，，即. 故答案为：. 考点06：函数的基本性质 34. 若在上是严格增函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数在上是严格增函数，列出不等式，即可得到结果. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 则，解得 所以实数的取值范围是 故答案为: 35. 若是偶函数，且当时，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件知，，不等式可转化为，再由的单调性和奇偶性可得，，从而得到不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且是偶函数， 所以在上单调递减，且 不等式等价于，即 解得或. 故答案为：或 36. 定义在上的奇函数满足，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数周期性，结合周期性、奇偶性及在时，计算即可得. 【详解】由，且该函数为奇函数， 故，即该函数周期为4， 故，对，令， 则，由该函数为奇函数，故， ，即. 故答案为：. 37. 已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 38. 已知函数，若，则实数m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式 要与比较大小，等价于，判断与的大小即可. 【详解】因为， 所以函数的定义域为， 设， 则， 即， 其中， 因为，， ， ，， 所以，即，得， 同时，指数函数在上单调递增，且，则，即， 所以，即成立， 所以函数在上单调递增，且， 若，只需，解得， 故答案是：. 39. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 40. 已知，其中是常数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）若对任意实数，均有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，令，设函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数为奇函数，可得，即，解得， 经检验：当时，，满足， 所以当时，函数为奇函数， 所以实数的值为. 【小问2详解】 解：由对任意实数，均有，即时，恒成立， 即在上恒成立， 令，设函数， 因为， 当时，即时，的最大值为，可得， 所以实数数的取值范围为． （A组） 考点07：任意角的三角 41. 将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由终边相同的角求解即可． 【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为． 则，故终边与相同的角的集合. 故答案为：. 42. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可. 【详解】设线段的中点为，则. 故答案为： 43. 在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合三角函数的定义及诱导公式求，然后即可求解. 【详解】因为，所以， 由点在角终边上，所以，即， 所以. 故答案为：. 44. 用列举法写出__________. 【答案】##{-1，3} 【解析】 【分析】对分类讨论，分别求出集合A. 【详解】要使有意义，则不能为坐标轴角. 当为第一象限角时，所以； 当为第二象限角时，所以； 当为第三象限角时，所以； 当为第四象限角时，所以； 故集合. 故答案为：. 45. 已知则_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以 46. 已知，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】化为分式，利用齐次式求解即可 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，齐次式值，将原式化为分母为1 是关键，是基础题 47. 方程的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可. 【详解】因为，所以， 若，则或， 所以或，即方程的解集为. 故答案为： 48. 化简：_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 49. 设、，且，则的最小值等于_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质得到，即可求出、的取值，即可求出的最小值. 【详解】因为、，所以、，则、， 所以，， 又因为， 所以，即， 所以，， 所以， 所以， 所以当或时取得最小值，且. 故答案为： 50. 已知，，则角的终边在第________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据，，得到角的终边在第三象限. 【详解】，， 故角的终边在第三象限. 故答案为：三 51. 已知、是关于的方程的两个根. （1）求实数的值， （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【小问1详解】 、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； 【小问2详解】 . 考点08：常用三角公式 52. 已知，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果． 【详解】因为，所以，即， 又，所以. 故答案为：. 53. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式转化为求解. 【详解】因为， 所以， . 故答案： 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 54. 已知，化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】本题考查应用二倍角公式化简，熟练掌握三角函数公式及变形是解题关键，属于中档题. 55. 已知，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正切公式计算，再利用二倍角正弦公式及同角三角函数关系化简求值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 56. 已知，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：4 57. 在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. 【详解】由已知分子分母同时除以得， . 又，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题. 58. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差化积公式直接判断即可. 【详解】由和差化积公式可知： ， ，， 因此选项C正确， 故选：C 59. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式化简式子，最后代入的值求解； （2）利用二倍角公式将式子化简，再结合同角三角函数的基本关系将式子转化为只含的形式，最后代入的值求解. 【详解】（1）已知角的终边经过点，得到. ； （2） . 60. 已知，，其中． （1）求的值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由和差公式得出，联立，且，即可解出答案； （2）求出的值，结合，即可得出答案. 【小问1详解】 ， 即， 联立，且， 解得，． 【小问2详解】 由小问1得， 则， ，则 则． 考点09：应用题 61. （24-25松江区高一上期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 【答案】（1） （2）设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元 【解析】 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即的值. 【小问1详解】 由题意得， 令即， 整理得：， 即，解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元. 62. （24-25长宁区高一上期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． （1）计算值，并说明其的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】（1），答案见解析 （2）当发车时间间隔为6分钟时，每分钟净收益最大，每分钟的净收益最大为120元 【解析】 【分析】（1）根据的解析式代入求得，其意义为间隔时间的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间. 【小问1详解】 由函数的解析式可得：， 其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量； 【小问2详解】 ①当时， 当且仅当，即时，等号成立， ②当时，. 当且仅当时等号成立， 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元． 63. （24-25宜川中学高一上期末）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可 （2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值 【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，得，所以， 当时，由，得，，得，所以， 综上，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时， （2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为 （毫克/立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为 （）， ②（）， ，当且仅当，即时取等号， 所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题 考点10：函数综合与新定义问题 64. （24-25长宁区高一上期末）已知． （1）当时，求函数的定义域； （2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； （3）设，若当时，函数在区间上最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由对数及分式的性质求函数定义域； （2）将问题化为有唯一解，且，利用二次函数的性质求参数范围，注意保证且即可； （3）根据解析式判断函数的区间单调性，进而化为在上恒成立，整理并应用换元法、对勾函数性质求右侧的最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设，则且，即， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而， 所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足， 所以； 【小问3详解】 当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，， 若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，把问题化为在上恒成立为关键. 65. （24-25浦东新区高一上期末）若函数满足：在定义域内存在，使得成立， 则称函数为“函数”. （1）若，问是否为“函数”，请说明理由； （2）若，问是否为“函数”，请说明理由: （3）若，且是“函数”，则求实数的取值范围. 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2）是“函数”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“函数”的定义验证即可； （2）若存在满足条件，根据“函数”的定义可得出，构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）令，可知关于的方程有正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 若函数为“函数”， 则，得，明显不成立， 所以不为“函数”. 【小问2详解】 若存在满足条件，即， 则，整理可得， 设，则函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 故函数为“函数”. 【小问3详解】 由条件得， 令，可得，整理可得， 所以关于方程有正根， 则，可得，解得或， 设方程的两根分别为、，则， 且，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 66. （24-25松江区高一上期末）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式： （3）若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域． 【答案】（1）函数不是“型函数”；函数是“型函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”定义，代入直接判断即可； （2）由题中条件得到对定义域中的任意都成立，变形整理即可得到答案； （3）由条件得，且，利用时，的值域为，得出时，，再利用，得出时,，依次类推可知时，，从而时，，利用得出时，，综合可得答案. 【小问1详解】 对于函数， 对定义域中的任意不可能恒成立, 因此函数不是“型函数”； 对于函数， , 故存在实数对，使对定义域中的任意都成立， 因此函数是“型函数”. 【小问2详解】 因为函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以对定义域中的任意都成立， 则， 所以且，所以. 【小问3详解】 ∵定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和， ∴，且， 由，用替换可得, ∵当时，的值域为， 当时，，，∴， 当时，，即． 由，用替换可得, 又，，则， 用替换可得. 当时, ，，∴， 当时, ，，∴， 依次类推可知，当时,， 当时，， ∴当时，， 当时，，∴， ∴， 综上可知，当时，函数的值域为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $