第03讲 同底数幂的除法（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 同底数幂的除法（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的除法 同底数幂的除法的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相除,底数 不变,指数相减. (a≠0,m,n是正整数,m>n) . 【知识点02】零指数幂 零指数幂的性质 文字语言 推导 符号表示 任何不等于0的数的 0次幂等于1. 如果把公式(𝑎≠0,𝑚，𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛)推广到𝑚=𝑛 的情形，那么有 ，而，所以规定=1(𝑎≠0) . =1(𝑎≠0)>. 【知识点03】负整数指数幂 1.负整数指数幂的性质 文字语言：任何不等于0的数的−n(n是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数. 符号表示：(a≠0,n是正整数). 2.整数指数幂的运算性质 学习了零指数幂和负整数指数幂后,指数的取值范围由正整数推广到了全体整数,之前学过的所有幂的运算性质对整数指数幂都适用. 整数指数幂的运算性质可以归结为： 名称 式子表示 同底数幂的乘法 (𝑚,𝑛是整数) . 幂的乘方 (𝑚,𝑛是整数) . 积的乘方 (𝑚是整数) . 同底数幂的除法 (𝑚,𝑛是整数，𝑎≠0) . 商的乘方 (𝑛是整数，𝑏≠0) . 说明：因为,，所以同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法，商的乘方可转化为积的乘方. 这样，整数指数幂的运算性质可以合并为表格中的前3条. 【知识点04】用科学记数法表示绝对值小于1的数 1.用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地,用科学记数法可以把一个绝对值小于1的数表示成的形式,其中1≤|a|<10,n 是正整数. 2.用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤 （1）确定a:a是绝对值大于或等于1且小于10的数.（a的符号和原数的符号一致，与指数的符号无关） （2）确定n:确定n的方法有两种,①n的值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）;②小数点向右移动到第一个不为0的数字的后边,小数点移动了几位,n的值就等于几. （3）将原数用科学记数法表示为的形式（其中1≤|a|<10,n 是正整数）. 【题型一】同底数幂的除法运算 例1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题可根据同底数幂的除法法则进行计算.同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，为正整数，且)；利用指数运算法则，将 转化为 ，然后代入已知条件计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故选：C． 例2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减． 根据同底数幂除法法则的逆运用进行计算即可得解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 例3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）已知，，求． 【答案】27 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂除法运算，同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据，得出，整理得出，得出，然后再将进行变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知，的值是（    ） A． B．2 C．0.5 D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相除的运算法则解题． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·江苏·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【知识点】同底数幂的除法运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 【题型二】同底数幂除法的逆用 例4．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的除法．根据同底数幂的除法法则，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂除法的逆用，把变形为，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 例6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求的值． 【答案】． 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用， 逆用同底数幂相除法则，及幂的乘方法则可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 变式1．（2025·江苏无锡·一模）如果，，则（　　） A．10 B．3 C．20 D．75 【答案】B 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，逆用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，逆用同底数幂的除法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：4． 变式3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)；；5；3； (2)见解析 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的运算及逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）小明的做法利用幂的乘法的逆运算即可求解，小丽的做法利用同底数幂的除法的逆用求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【详解】（1）小明做如下尝试： ∵，， ∴， 小丽做如下尝试： ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：；；5；3；； （2）证明：小明： 两式的左边与左边相乘，右边与右边相乘，得 ∴ ∴． 小丽： ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型三】幂的混合运算 例7．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】幂的混合运算、幂的乘方的逆用 【分析】逆用幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则，准确计算． 例8．（23-24七年级下·江西抚州·月考）已知，则 ． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】此题考查了幂的运算，根据幂的运算法则得到和得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 例9．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算： 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项． 【详解】解： ． 变式1．（23-24七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 变式2．若，则满足条件的x值为 ． 【答案】或2 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了整式的幂运算，任意非零数的零次幂等于1；1的任意次幂均等于1；的偶次幂等于1，据此分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当，则； 当时，则； 当时，则，此时（舍去）， 故答案为：或2． 变式3．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 【题型四】零指数幂 例10．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 例11．（23-24七年级下·江苏泰州·月考）若代数式有意义，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零指数幂，根据一个非零数的零指数幂为1求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 例12．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，求的整数值． 【答案】的整数值为或． 【知识点】零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了零次幂，乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论，即当时，则为整数；当，时；当，为偶数时，进行计算作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，则为整数， ∴， 故，符合题意； ∴当，时， ∴， 故，符合题意； ∴当，为偶数时， ∴， 故，不符合题意； 综上：的整数值为或． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，，则a，b，c的大小关系是  （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握幂的运算是解决本题的关键． 分别计算a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A ． 变式2．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知，则 ． 【答案】1或4 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零指数幂以及有理数的乘方运算．根据，，（为整数），进行分类讨论求解即可． 【详解】解：当时：，此时，满足题意； 当时，即时：，满足题意； 当时：即时，，不满足题意； 综上：当或时，； 故答案为：1或． 变式3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空：___________，___________，___________． (2)记．求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【知识点】零指数幂、同底数幂相乘、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义运算的含义，同底数幂乘法的应用，零次幂的含义，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律． （1）根据示例要求，直接可求解； （2）根据同底数幂乘法可得，可得，进一步可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，． （2）证明：∵， ∴，，； ∵ 又∵， ∴， ∴． 【题型五】负整数指数幂 例13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 例14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】（1）本题可根据乘方的意义、零指数幂的运算法则以及负整数指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加减运算． （2）根据幂的乘方、同底数幂的乘除法法则分别化简各项，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及整式的运算，涉及乘方的意义、零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识点．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·期末）用分数表示的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的运算法则：（其中），计算即可，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选： D． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果有意义，则x满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂，掌握负指数幂中底数不为零是解题的关键．根据负指数幂底数非零即可得到正确答案． 【详解】解：要使有意义，必须使， ∴ 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型六】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例15．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）花粉直径约为，数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 例16．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有左右，0.000032用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·江苏·期末）“平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某种生物细胞的直径约为米，若用科学记数法表示此数据应为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此写出结论． 【详解】解： 故答案为： 【题型七】还原用科学记数法表示的小数 例17．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）已知某种气体的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（   ） A．0.000132 B．0.0132 C．0.00132 D． 【答案】C 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法：（其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：用小数表示为0.00132． 故选：C 例18．（23-24七年级上·江苏淮安·月考）每立方厘米的空气质量约为g，用小数把它表示为 g． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】根据科学记数法的表示方法，可得原数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学计数法，小数表示的科学计数法的指数是负几，小数点向左移动几个单位． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、有理数大小比较 【分析】本题考查实数比较大小．根据题意将三个数统一为相同指数后比较系数即可． 【详解】解：将均转换为以为指数的形式： ，，， ∵， ∴对应的数的大小关系为， 故选：B． 变式2．（2024七年级下·江苏·专题练习）用小数表示为 ． 【答案】0.002 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．一个用科学记数法表示的数还原成原数时，要先判断指数的正负．为正时，小数点向右移动个数位；为负时，小数点向左移动个数位． 【详解】解：用小数表示的结果为0.002． 故答案为：0.002． 变式3．（2023七年级下·全国·专题练习）空气的密度是，用小数把它表示出来． 【答案】0.001293 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】根据负整数指数幂进行运算即可． 【详解】解析：， 答：用小数表示为0.001293． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂运算法则． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在近期热播电影《哪吒之魔童闹海》里，哪吒用莲藕“重塑肉身”，近期我国科研团队用“莲藕重塑”思维，研制出厚度约为0.0000000005米的单原子层金属，成功为金属“重塑金身”，开创了二维金属研究新领域，将数0.0000000005用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，有理数的大小比较，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又∵， ∴． 故选：A． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，掌握法则是关键．根据同底数幂的除法法则进行计算即可．底数不变，指数相减． 【详解】解：， 故选：B． 4．（22-23七年级下·江苏连云港·月考）某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】将科学计数法转化为一般计数法即可． 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，明确负整数指数幂的含义是解题的关键． 5．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查乘方，负整数指数次幂和零指数次幂，有理数的比较大小，先根据乘方，负整数指数次幂和零指数次幂的运算法则计算，然后比较大小解答即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下列各式运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法与除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不符合题意； B、，则此项不符合题意； C、，则此项符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：C． 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了幂的运算，同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，代数求值等知识点，解题的关键是掌握各运算的逆应用． 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的代数式，代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入上式得， 原式， 故选：B． 8．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：A 【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 10．如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂相除，准确的计算是解决本题的关键． 根据相关的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算： ； ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的混合运算 【分析】利用同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． 13．计算结果是 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法．根据幂的乘方和同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．若，，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算法则，熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，、为整数）是解题的关键．本题可根据同底数幂的除法运算法则对进行变形，再将已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键． （1）（2）利用负整数指数幂、积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． 故答案为：，． 16．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 17．已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】逆向运用同底数幂的乘除法法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 18．新定义一种运算，其法则为，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．已知：，，求的值为 ． 【答案】4 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】逆用同底数幂除法和幂的乘方的法则即得，法则是同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂除法和幂的乘方运算法则，是解题关键． 三、解答题 20．计算：． 【答案】7 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】先根据乘方、负指数幂、零指数幂和绝对值的计算进行化简，在进行有理数的加减运算． 本题考查了乘方、有理数的加减运算和绝对值，解题的关键是掌握乘方、有理数的加减运算和绝对值的相关计算． 【详解】解： 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． （1）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 22．（24-25七年级下·江苏南京·月考）某种液体每升含有个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌．现准备将该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？ 【答案】要用这种杀菌剂升 【知识点】同底数幂的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了同底数幂乘除法的实际应用及科学记数法，解题的关键是：理解题意正确列式．先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解， 【详解】解：根据题意知，要用这种杀菌剂（滴）， 要用（升）， 答：要用这种杀菌剂升． 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算： (1)若，，，求： ①求的值； ②求的值； (2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②10； (2)，见解析． 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的运算法则的逆运用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和积的乘方法则并能灵活逆用． （1）①利用同底数幂的除法法则逆运算求解；②利用积的乘方法则逆运算求解； （2）利用积的乘方法则逆运算探索数量关系． 【详解】（1）①解：； ②解：； （2）解：关系： 因为，所以 24．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式； ． 25．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算 (1)如果，，求的值． (2)已知x、y满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘法的逆用；根据公式逆用化简计算即可． （1）由同底数幂的乘法公式得，代值计算即可； （2）由同底数幂的除法公式及幂的乘法公式得，代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：， ， ∴． 26．已知（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)2 (2)3 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）先对等号的左边进行变形，列出关于x的方程式即可； （2）先对等号的左边进行变形，列出关于a的方程式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 27．已知，若实数a、b、c满足等式，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】（1）直接逆用同底数幂的乘法和幂的乘方计算； （2）直接逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算； （3）先用同底数幂的乘法求出的值，再判断其与的关系． 【详解】（1）． （2）． （3）∵， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂的运算和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 28．根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂的除法运算、解一元一次方程（二）——去括号、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，即可得到结果； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用化简原式，然后代入已知条件，即可得到结果； （3）根据题意，由同底数幂的乘法得到，由同底数幂的除法得到，然后利用幂的乘方及幂的乘方的逆用对方程进行变形，再将，代入到方程中，解方程，即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，，，， ，， 即：，， ， ， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，幂的乘方的逆用，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则及一元一次方程的解法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 同底数幂的除法（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的除法 同底数幂的除法的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相除,底数 不变,指数相减. (a≠0,m,n是正整数,m>n) . 【知识点02】零指数幂 零指数幂的性质 文字语言 推导 符号表示 任何不等于0的数的 0次幂等于1. 如果把公式(𝑎≠0,𝑚，𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛)推广到𝑚=𝑛 的情形，那么有 ，而，所以规定=1(𝑎≠0) . =1(𝑎≠0)>. 【知识点03】负整数指数幂 1.负整数指数幂的性质 文字语言：任何不等于0的数的−n(n是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数. 符号表示：(a≠0,n是正整数). 2.整数指数幂的运算性质 学习了零指数幂和负整数指数幂后,指数的取值范围由正整数推广到了全体整数,之前学过的所有幂的运算性质对整数指数幂都适用. 整数指数幂的运算性质可以归结为： 名称 式子表示 同底数幂的乘法 (𝑚,𝑛是整数) . 幂的乘方 (𝑚,𝑛是整数) . 积的乘方 (𝑚是整数) . 同底数幂的除法 (𝑚,𝑛是整数，𝑎≠0) . 商的乘方 (𝑛是整数，𝑏≠0) . 说明：因为,，所以同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法，商的乘方可转化为积的乘方. 这样，整数指数幂的运算性质可以合并为表格中的前3条. 【知识点04】用科学记数法表示绝对值小于1的数 1.用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地,用科学记数法可以把一个绝对值小于1的数表示成的形式,其中1≤|a|<10,n 是正整数. 2.用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤 （1）确定a:a是绝对值大于或等于1且小于10的数.（a的符号和原数的符号一致，与指数的符号无关） （2）确定n:确定n的方法有两种,①n的值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）;②小数点向右移动到第一个不为0的数字的后边,小数点移动了几位,n的值就等于几. （3）将原数用科学记数法表示为的形式（其中1≤|a|<10,n 是正整数）. 【题型一】同底数幂的除法运算 例1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，的值为 ． 例3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）已知，，求． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知，的值是（    ） A． B．2 C．0.5 D． 变式2．（24-25七年级下·江苏·期末）计算： ． 变式3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【题型二】同底数幂除法的逆用 例4．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若，则（    ） A． B． C．2 D．3 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果，则 ． 例6．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求的值． 变式1．（2025·江苏无锡·一模）如果，，则（　　） A．10 B．3 C．20 D．75 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，，则的值为 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【题型三】幂的混合运算 例7．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 例8．（23-24七年级下·江西抚州·月考）已知，则 ． 例9．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算： 变式1．（23-24七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2．若，则满足条件的x值为 ． 变式3．（1）计算： （2）计算： 【题型四】零指数幂 例10．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 例11．（23-24七年级下·江苏泰州·月考）若代数式有意义，则 ． 例12．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，求的整数值． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，，则a，b，c的大小关系是  （    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知，则 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空：___________，___________，___________． (2)记．求证：． 【题型五】负整数指数幂 例13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： 例14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·期末）用分数表示的结果是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果有意义，则x满足的条件是 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【题型六】用科学记数法表示绝对值小于1的数 例15．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）花粉直径约为，数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 例16．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有左右，0.000032用科学记数法可以表示为 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏·期末）“平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某种生物细胞的直径约为米，若用科学记数法表示此数据应为 ． 【题型七】还原用科学记数法表示的小数 例17．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）已知某种气体的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（   ） A．0.000132 B．0.0132 C．0.00132 D． 例18．（23-24七年级上·江苏淮安·月考）每立方厘米的空气质量约为g，用小数把它表示为 g． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级下·江苏·专题练习）用小数表示为 ． 变式3．（2023七年级下·全国·专题练习）空气的密度是，用小数把它表示出来． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在近期热播电影《哪吒之魔童闹海》里，哪吒用莲藕“重塑肉身”，近期我国科研团队用“莲藕重塑”思维，研制出厚度约为0.0000000005米的单原子层金属，成功为金属“重塑金身”，开创了二维金属研究新领域，将数0.0000000005用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·江苏连云港·月考）某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若，，，．则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下列各式运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 10．如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 二、填空题 11．计算： ． 12．计算： ； ． 13．计算结果是 ． 14．若，，则 ． 15．计算： （1） ． （2） ． 16．若有意义，则的取值范围是 ． 17．已知，则 ． 18．新定义一种运算，其法则为，则 ． 19．已知：，，求的值为 ． 三、解答题 20．计算：． 21．计算： (1)； (2)． 22．（24-25七年级下·江苏南京·月考）某种液体每升含有个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌．现准备将该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？ 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简．根据要求完成下列计算： (1)若，，，求： ①求的值； ②求的值； (2)若，，，探索，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) 25．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算 (1)如果，，求的值． (2)已知x、y满足，求的值． 26．已知（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 27．已知，若实数a、b、c满足等式，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求出、、之间的数量关系． 28．根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $