第01讲 相交线（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 相交线（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】邻补角与对顶角 1. 邻补角、对顶角的概念和性质 名称 概念 性质 图形 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 如图，∠ 1 与∠ 2，∠ 2 与∠ 3， ∠ 3 与∠ 4， ∠ 4与∠ 1 都是邻补角 邻补角互补，用数学语言表示：如图， ∠ 1+ ∠2=180°， ∠ 2+ ∠3=180°， ∠ 3+ ∠4=180°， ∠ 4+ ∠1=180° 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 如图，∠ 1 与∠ 3，∠ 2 与∠ 4 是对顶角 对顶角相等，用数学语言表示：如图，∠ 1= ∠ 3， ∠ 2=∠ 4 2.对顶角与邻补角的区别与联系 邻补角 对顶角 区别 数量关系 邻补角互补 对顶角相等 位置关系 由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成 对顶角必须由两条直线相交形成 相同点 ①都是两个角之间的关系, 要成对出现；②对顶角与邻补角都有公共顶点 【知识点02】垂线 1. 垂直：一般地，当两条直线a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a 与b 互相垂直，记作“a ⊥ b”. 符号语言：由角的度数，得两直线的位置关系 (1)如图7.1-3，因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可 (2)如图7.1-3，因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°由两直线的位置关系，得角的度数 2. 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图7.1-3，AB⊥CD，垂足为O. 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1. 在同一平面内，经过一点(在已知直线上或直线外)画已知直线的垂线，通常有两种画法. (1)用三角尺画. 具体画法如下： 步骤  内容  图示 一“落”  让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线 二“移”  沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三“画”  沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)用量角器画，如图7.1-6 与图7.1-7 所示. 2. 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.存在且唯一 不要忽略前提条件 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，点P 为直线l 外一点，PO ⊥ l，垂足为O，称PO 为点P 到直线l 的垂线段 图示 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 如图，点P 与直线l 上各点的连线中， 线段PO 最短 图示 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，线段PO 的长度是点P 到直线l 的距离 图示 注意： (1)垂线与垂线段的区别:垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段,长度可度量.如上图，PO所在直线是垂线,线段PO是垂线段. (2)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是几何图形,而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度,是一个数量. (3)点到直线的距离与两点的距离的区别:点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度.如上图,线段的长度是点，的距离. 【知识点05】同位角、内错角、同旁内角 1. 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称“三线八角”. 定义 举例 图示 同位角 如右图，∠ 1 与∠ 5 这两个角分别在直线AB，CD的同一侧(上方)，并且都在直线EF 的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 右图中，∠ 1与∠ 5，∠ 2与∠ 6，∠ 3与∠ 7，∠ 4与∠ 8 是同位角 内错角 如右图，∠ 3 与∠ 5 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF两侧(∠ 3 在直线EF 左侧，∠ 5 在直线EF 右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 右图中，∠ 3与∠ 5，∠ 4与∠ 6 是内错角 同旁内角 如右图，∠ 3 与∠ 6 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且都在直线EF 的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角 右图中，∠ 3与∠ 6，∠ 4与∠ 5 是同旁内角 图形解读 同位角、内错角、同旁内角可以用手势表示出来(两个大拇指表示被截直线, 食指表示截线)，如图7.1-10 所示. 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转) 【题型一】对顶角的定义 例1．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）写出对顶角的定义： 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【题型二】对顶角相等 例2．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 变式1．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 变式2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【题型三】邻补角的定义理解 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 例5．（2024七年级下·上海·专题练习）两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ． 变式1．（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，和是邻补角的是（   ） A．B．C． D． 变式2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 【题型四】找邻补角 例6．（24-25七年级下·福建漳州·月考）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 变式1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ． 变式2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点是内部的一条射线． (1)写出和的邻补角； (2)写出图中所有的对顶角． 【题型五】利用邻补角互补求角度 例7．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，过直线上一点O作射线，若，则 ． 变式1．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，直线与直线相交于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交，，求的度数． 【题型六】垂线的定义理解 例9．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个正方形的两条对角线有什么位置关系？请画一画，量一量． 【题型七】画垂线 例10．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型八】垂线段最短 例11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【题型九】点到直线的距离 例12．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 变式1．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 变式2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【题型十】同位角、内错角、同旁内角 例13．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 例14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 一、单选题 1．如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 4．下列说法正确的是（    ） A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．若两个角是对顶角，则这两个角相等 C．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 D．所有的对顶角相等 5．如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A．     B． C． D． 6．如图，点是直线外的一点，点A、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（　　） A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 7．如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 二、填空题 11．如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ． 12．已知点O在直线AB上，以点O为端点的两条射线OC和OD互相垂直，若∠BOC＝40°，则∠AOD的度数是 ． 13．如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 14．如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与 是同位角，∠4与 是内错角，∠4与 是同旁内角． 三、解答题 15．如图，分别过点P作的两边的垂线． 16．古城黄冈的旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋波”便是其八景之一．如图，你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中）大小的方案吗？ 17．如图，直线相交于点O，． (1)的对顶角是________；的余角有________． (2)若与的度数之比为，求，的度数． 18．如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠COE的邻补角； (2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角； (3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数． 19．如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 20．如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数． 21．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使． （1）如图①，若平分，则的度数是_______； （2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时， ①若，求的度数； ②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 相交线（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】邻补角与对顶角 1. 邻补角、对顶角的概念和性质 名称 概念 性质 图形 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 如图，∠ 1 与∠ 2，∠ 2 与∠ 3， ∠ 3 与∠ 4， ∠ 4与∠ 1 都是邻补角 邻补角互补，用数学语言表示：如图， ∠ 1+ ∠2=180°， ∠ 2+ ∠3=180°， ∠ 3+ ∠4=180°， ∠ 4+ ∠1=180° 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 如图，∠ 1 与∠ 3，∠ 2 与∠ 4 是对顶角 对顶角相等，用数学语言表示：如图，∠ 1= ∠ 3， ∠ 2=∠ 4 2.对顶角与邻补角的区别与联系 邻补角 对顶角 区别 数量关系 邻补角互补 对顶角相等 位置关系 由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成 对顶角必须由两条直线相交形成 相同点 ①都是两个角之间的关系, 要成对出现；②对顶角与邻补角都有公共顶点 【知识点02】垂线 1. 垂直：一般地，当两条直线a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a 与b 互相垂直，记作“a ⊥ b”. 符号语言：由角的度数，得两直线的位置关系 (1)如图7.1-3，因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可 (2)如图7.1-3，因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°由两直线的位置关系，得角的度数 2. 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图7.1-3，AB⊥CD，垂足为O. 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1. 在同一平面内，经过一点(在已知直线上或直线外)画已知直线的垂线，通常有两种画法. (1)用三角尺画. 具体画法如下： 步骤  内容  图示 一“落”  让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线 二“移”  沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三“画”  沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)用量角器画，如图7.1-6 与图7.1-7 所示. 2. 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.存在且唯一 不要忽略前提条件 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，点P 为直线l 外一点，PO ⊥ l，垂足为O，称PO 为点P 到直线l 的垂线段 图示 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 如图，点P 与直线l 上各点的连线中， 线段PO 最短 图示 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，线段PO 的长度是点P 到直线l 的距离 图示 注意： (1)垂线与垂线段的区别:垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段,长度可度量.如上图，PO所在直线是垂线,线段PO是垂线段. (2)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是几何图形,而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度,是一个数量. (3)点到直线的距离与两点的距离的区别:点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度.如上图,线段的长度是点，的距离. 【知识点05】同位角、内错角、同旁内角 1. 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称“三线八角”. 定义 举例 图示 同位角 如右图，∠ 1 与∠ 5 这两个角分别在直线AB，CD的同一侧(上方)，并且都在直线EF 的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 右图中，∠ 1与∠ 5，∠ 2与∠ 6，∠ 3与∠ 7，∠ 4与∠ 8 是同位角 内错角 如右图，∠ 3 与∠ 5 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF两侧(∠ 3 在直线EF 左侧，∠ 5 在直线EF 右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 右图中，∠ 3与∠ 5，∠ 4与∠ 6 是内错角 同旁内角 如右图，∠ 3 与∠ 6 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且都在直线EF 的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角 右图中，∠ 3与∠ 6，∠ 4与∠ 5 是同旁内角 图形解读 同位角、内错角、同旁内角可以用手势表示出来(两个大拇指表示被截直线, 食指表示截线)，如图7.1-10 所示. 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转) 【题型一】对顶角的定义 例1．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，逐一判定选项的正误即可． 【详解】解：A、两个角没有公共顶点，则与不是对顶角，不符合题意； B、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； C、的两边是两边的反向延长线，且与有公共顶点，则与是对顶角，符合题意； D、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）写出对顶角的定义： 【答案】两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题关键． 【详解】解：对顶角的定义：两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角 故答案为：两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【知识点】对顶角的定义 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 【题型二】对顶角相等 例2．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴    ， 故选：B． 例3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 本题观察图形中与的位置关系，判断其对应的角的性质，进而确定的依据． 【详解】解：由图可知，与是对顶角． 已知，因此． 故答案为：对顶角相等． 变式1．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：， 答：的度数为． 【题型三】邻补角的定义理解 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 例5．（2024七年级下·上海·专题练习）两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ． 【答案】邻补角 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可得到答案． 【详解】解：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 故答案为：邻补角． 变式1．（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，和是邻补角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：有公共顶点，一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义判断即可． 【详解】解：A．没有公共顶点，不是邻补角，故A不符合题意； B．没有公共顶点，不是邻补角，故B不符合题意． C．没有公共顶点，不是邻补角，故C不符合题意； D．符合邻补角的定义，故D符合题意； 故选D． 变式2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 【答案】见解析 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查了等角的补角相等．利用邻补角的关系求得，，据此即可证明． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 【题型四】找邻补角 例6．（24-25七年级下·福建漳州·月考）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【知识点】找邻补角 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ． 【答案】和 【知识点】找邻补角 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 变式2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点是内部的一条射线． (1)写出和的邻补角； (2)写出图中所有的对顶角． 【答案】(1)的邻补角为的邻补角为 (2)与互为对顶角，与互为对顶角 【知识点】对顶角的定义、找邻补角 【解析】略 【题型五】利用邻补角互补求角度 例7．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度．根据互为邻补角的两个角的和为．已知一个角为，则其邻补角，即可作答． 【详解】解：依题意，邻补角， 故选：C． 例8．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，过直线上一点O作射线，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，直线与直线相交于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查邻补角的性质，根据邻补角互补即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交，，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义，熟悉掌握邻补角与对顶角定义是解题的关键． 利用邻补角互补的定义求出的度数，再利用对顶角得到，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型六】垂线的定义理解 例9．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个正方形的两条对角线有什么位置关系？请画一画，量一量． 【答案】两条对角线互相垂直，图见解析 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题主要考查在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和不相交，即相交和平行，若两直线相交，则它们有一个交点或无数个交点（重合）；若两直线平行，则它们无交点，据此得出结论即可． 【详解】解：在一个正方形中，两条对角线是互相垂直的，如下图， 在正方形中，经测量，对角线． 【题型七】画垂线 例10．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 变式1．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 【题型八】垂线段最短 例11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【详解】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 【题型九】点到直线的距离 例12．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 【题型十】同位角、内错角、同旁内角 例13．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【详解】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 例14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角相等 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 一、单选题 1．如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同旁内角的识别，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．据此即可求解； 【详解】解：∵两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角， ∴与是同旁内角的是， 故选：B 2．如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角，据此求解即可． 【详解】的邻补角是． 故选：D． 3．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 4．下列说法正确的是（    ） A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．若两个角是对顶角，则这两个角相等 C．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 D．所有的对顶角相等 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义及性质，对每个选项分别判断、解答出即可． 本题考查了对顶角的定义及性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；对顶角相等．熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角； ∴选项A、C错误； 根据对顶角的性质：对顶角相等； ∴选项D错误； 故选：B． 5．如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A．     B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 6．如图，点是直线外的一点，点A、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（　　） A．线段的长是点到直线的距离 B．、、三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； 利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析判断即可． 【详解】A．根据点到直线的距离的定义∶即点到这一直线的垂线段的长度．因为，垂足是B，故此选项正确，不符合题意； B．、、三条线段中，依据垂线段最短可知最短，说法正确，故此选项不符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，说法正确，故此选项不符合题意； D．线段的长是点到直线的距离，说法错误，故此选项符合题意． 故选：D． 7．如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角的定义和对顶角，根据题意得，结合已知得即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 8．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 9．下列说法正确的是（　　） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，平行公理，对顶角，垂线的相关定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等；故A不正确，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故B不正确，不符合题意； C、对顶角相等，故C正确，符合题意； D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据平行线的判定，平行公理，对顶角，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义． 10．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 二、填空题 11．如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算，垂直的定义，解题的关键是掌握夹角等于90度的两条直线互相垂直． 先求出的度数，再根据垂直的定义，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 12．已知点O在直线AB上，以点O为端点的两条射线OC和OD互相垂直，若∠BOC＝40°，则∠AOD的度数是 ． 【答案】50°或130° 【分析】需要分类讨论：分OC、OD在AB的同侧和异侧两种情况分别求解． 【详解】解：∵OC，OD互相垂直， ∴∠COD=90°． 当OC、OD在AB的同侧时，如图1， ∵∠BOC=40°， ∴∠AOD=180°-90°-40°=50°； 当OC、OD在AB的异侧时，如图2， ∵∠BOC=40°， ∴∠AOD=180°-（90°-40°）=130°； 故答案是：50°或130°． 【点睛】本题考查了垂线，角的运算．注意数形结合数学思想的应用． 13．如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 【答案】/64度 【分析】根据得，结合，得到，结合解答即可． 本题考查了垂直的意义，余角的性质，对等角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与 是同位角，∠4与 是内错角，∠4与 是同旁内角． 【答案】 ∠1， ∠2， ∠5、∠3 【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可. 【详解】解：如图，射线DE、DC被直线AB所截得的用数字表示的角中，∠4与∠1是同位角，∠4与∠2是内错角，∠4与∠5、∠3是同旁内角． 故答案为∠1，∠2，∠5、∠3． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 三、解答题 15．如图，分别过点P作的两边的垂线． 【答案】见解析 【分析】根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画垂线，熟知画垂线的方法是解题的关键． 16．古城黄冈的旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋波”便是其八景之一．如图，你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中）大小的方案吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了对顶角相等的定义，熟悉其知识点是解题的关键. 【详解】解：能； 如图，分别延长至点， 量出的度数，． 17．如图，直线相交于点O，． (1)的对顶角是________；的余角有________． (2)若与的度数之比为，求，的度数． 【答案】(1)；与 (2)， 【分析】本题考查了对顶角、余角、邻补角，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对顶角，余角定义求解，即可解题； （2）根据已知条件得到与的度数，再根据邻补角定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：的对顶角是； ， ， ， ， 则的余角有与， 故答案为：，与； （2）解：，与的度数之比为， ， ， ． 18．如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠COE的邻补角； (2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角； (3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数． 【答案】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠FOC=150°． 【分析】（1）根据邻补角的定义（两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角）可得，∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD两个角； （2）根据对顶角的定义（一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点）可得，∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF； （3）由∠BOF=90°可得：AB⊥EF，所以∠AOF=90°，由∠AOC=∠BOD可得：∠AOC =60°，由∠FOC=∠AOF+∠AOC即可求出∠FOC的度数； 【详解】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD； （2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF； （3）∵∠BOF=90°， ∴AB⊥EF ∴∠AOF=90°， 又∵∠AOC=∠BOD=60° ∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°． 19．如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， 由角平分线的性质可得， 又∵，， ∴， ∴的补角是或． 故答案为：或； （2）由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 20．如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为； (3)的度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）由条件平分可得，再由条件可得，通过等量代换即可得到的度数； （2）由条件，并结合（1）的结论，可得，再利用为平角找出等量关系列出等式，即可求解的度数； （3）分射线在的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算的度数，再根据与互补的关系即可得解． 【详解】（1）平分， ． ， 同理，， ， ． （2）由题可知，， ． ， ， 由题可知为平角， ， 即， ， 的度数为． （3）当在内部时，如图①， 则． ； 当在外部时，如图②， 则， ． 综上所述，的度数为或． 21．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使． （1）如图①，若平分，则的度数是_______； （2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时， ①若，求的度数； ②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示． 【答案】（1）；（2）①80°；②． 【分析】（1）由题意根据角平分线可得∠BOD=30°，∠BOE=90°，进而可得∠AOE的度数； （2）①由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：2可得∠BOD=40°，∠BOE=100°，进而可得∠AOE的度数； ②由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：n可得，再由①的思路可得答案． 【详解】解：（1）因为平分，， 所以，， 所以． 故答案为：； （2）①因为，， 所以， 所以， 所以． ②． 因为，， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查角的运算，注意掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $