第04讲 平方根（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 平方根（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】平方根x是任何数，a ≥ 0 1. 平方根的概念和性质 平方根  内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x叫作 a 的平方根或二次方根 . 因为(±3)²=9，所以9的平方根是±3 表示方法 正数a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正、负根号a”.a 叫作被开方数. 特别地，0 的平方根记为 7 的平方根记为± ；16 的平方根记为± 16 =±4 性质 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0 的平方根是0；(3)负数没有平方根 0.01 的平方根是±0.1；0 的平方根是0；-1 没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方.与平方互为逆运算 特别提醒：，- ，±  (a ≥ 0)的区别 -  ±  表示的意义 a 的正的平方根 a 的负的平方根 a 的平方根 【知识点02】算术平方根 1. 算术平方根的定义和表示方法 算术平方根 内容 示例 定义 正数a 有两个平方根，其中正的平方根叫作a 的算术平方根. 规定：0 的算术平方根是0 因为9 的平方根是±3，所以9 的算术平方根是3 表示方法 非负数a 的算术平方根记为，读作“根号a” 5 的算术平方根记为 2. 算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根  平方根 区 别 个数不同(0除外)  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方根表示为 ± 取值范围不同(0除外)  正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 【知识点03】用计算器求一个正数的算术平方根 在求某些数的算术平方根时，特别是当这些数很大或很小，或不易求出其算术平方根时，可利用计算器直接快速求出. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 因为计算器的型号不同，所以按键顺序可能有所不同，但一般先按 键，然后按数字键，再按 键，计算器上显示的结果就是该数的算术平方根(或其近似值) 【知识点04】算术平方根的估算 1. 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是用夹逼法. 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 例如，与50 最接近的两个完全平方数是49 和64，因为49<50<64，所以 < <，即7< <8. 2.用夹逼法按照精确度估计( a>0)的近似值 (1)确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n(m<n)之间，则的整数部分是m. (2)确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定的十分位上的数字；再用同样的方法确定其他数位上的数字，直到能按照精确度估计近似值为止. (注意：若要求精确到百分位，则估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数字) 【题型一】平方根概念理解 例1．（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 变式1．（22-23七年级下·北京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则a的值是 ． 变式2．（23-24七年级下·四川南充·月考）与是同一个正数的平方根，求a的值． 【题型二】求一个数的平方根 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D．16 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，若，则x的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 【题型三】求代数式的平方根 例3．若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 变式2．若实数b的两个不同平方根是2a－3和3a－7，求5a－b的平方根． 【题型四】已知一个数的平方根，求这个数 例4．（24-25七年级下·广东湛江·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 变式1．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【题型五】利用平方根解方程 例5．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 变式1．（24-25七年级下·云南大理·期中）式子中，的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·青海海西·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型六】求一个数的算术平方根 例6．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）实数4的算术平方根是（    ） A．16 B． C． D．2 变式1．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【题型七】利用算术平方根的非负性解题 例7．（24-25七年级下·四川泸州·月考）已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）在中，被开方数是非负数，即 0； （2）本身是非负数，即 0． 变式2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【题型八】估计算术平方根的取值范围 例8．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 变式2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【题型九】与算术平方根有关的规律探索题 例9．（22-23七年级下·山东日照·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 变式2．（23-24七年级下·广东惠州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【题型十】算术平方根的实际应用 例10．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 变式1．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 ． 变式2．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 一、单选题 1．的值是（   ） A． B． C． D． 2．观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．下列各数的算术平方根，比它本身大的是（    ） A． B．0 C．1 D． 5．若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 6．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是(   ). A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小 B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小 C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小 D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小 7．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 8．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．若，则 ； 11．已知，则的值为 ． 12．的平方根是 ． 13．如果，则的值是 ． 14．一个数的平方根是和，则 ，这个正数是 ． 15．已知，则 ． 16．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 (用含 的代数式表示)． 三、解答题 17．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 19．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 20．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？若能，试求出剪出的长方形的长与宽；若不能，请说明理由． 21．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 22．面积为2的正方形的边长究竟是多少呢？ （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由． （2）边长的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索． （3）小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？ 边长a 面积S 还可以继续算下去吗？可能是有限小数吗？ 23．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间t； (2)若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上． ①求玩具抛出前离地面的高度h； ②已知高空物体下落，物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），（单位：），h为高度（单位：m）．根据以上信息，若这处玩具质量为，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 24．探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平方根（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】平方根x是任何数，a ≥ 0 1. 平方根的概念和性质 平方根  内容  示例 定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x叫作 a 的平方根或二次方根 . 因为(±3)²=9，所以9的平方根是±3 表示方法 正数a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正、负根号a”.a 叫作被开方数. 特别地，0 的平方根记为 7 的平方根记为± ；16 的平方根记为± 16 =±4 性质 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0 的平方根是0；(3)负数没有平方根 0.01 的平方根是±0.1；0 的平方根是0；-1 没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方.与平方互为逆运算 特别提醒：，- ，±  (a ≥ 0)的区别 -  ±  表示的意义 a 的正的平方根 a 的负的平方根 a 的平方根 【知识点02】算术平方根 1. 算术平方根的定义和表示方法 算术平方根 内容 示例 定义 正数a 有两个平方根，其中正的平方根叫作a 的算术平方根. 规定：0 的算术平方根是0 因为9 的平方根是±3，所以9 的算术平方根是3 表示方法 非负数a 的算术平方根记为，读作“根号a” 5 的算术平方根记为 2. 算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根  平方根 区 别 个数不同(0除外)  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方根表示为 ± 取值范围不同(0除外)  正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 【知识点03】用计算器求一个正数的算术平方根 在求某些数的算术平方根时，特别是当这些数很大或很小，或不易求出其算术平方根时，可利用计算器直接快速求出. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 因为计算器的型号不同，所以按键顺序可能有所不同，但一般先按 键，然后按数字键，再按 键，计算器上显示的结果就是该数的算术平方根(或其近似值) 【知识点04】算术平方根的估算 1. 求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是用夹逼法. 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 例如，与50 最接近的两个完全平方数是49 和64，因为49<50<64，所以 < <，即7< <8. 2.用夹逼法按照精确度估计( a>0)的近似值 (1)确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n(m<n)之间，则的整数部分是m. (2)确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定的十分位上的数字；再用同样的方法确定其他数位上的数字，直到能按照精确度估计近似值为止. (注意：若要求精确到百分位，则估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位上的数字) 【题型一】平方根概念理解 例1．（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·北京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·四川南充·月考）与是同一个正数的平方根，求a的值． 【答案】或 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有2个，互为相反数，可知与相等或互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 解得：或． 【题型二】求一个数的平方根 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D．16 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，由此即可解答． 【详解】解：∵ 且， ∴ 的平方根是． 故选：C． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，若，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，已知 和 ，可得的值． 【详解】解： 且 时，． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． （1）由可得答案； （2）由可得答案； （3）由可得答案； 【详解】（1）解：， ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴的平方根是； （3）解： ， ∴的平方根是； 【题型三】求代数式的平方根 例3．若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 【答案】D 【知识点】求代数式的平方根 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值． 【详解】∵一个正数x的平方根为和， ∴（）+（）=0， 解得：a=7. ∴=7，=-7， ∴x=(±7)  =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值. 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求代数式的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 变式2．若实数b的两个不同平方根是2a－3和3a－7，求5a－b的平方根． 【答案】5a－b的平方根为±3 【知识点】求代数式的平方根 【详解】试题分析： 由“实数b的两个不同平方根是2a－3和3a－7”可得：(2a－3)＋(3a－7)＝0，解此方程求得a的值，再求出b的值，即可求得5a-b的平方根了. 试题解析： 由题意得(2a－3)＋(3a－7)＝0，解得a＝2. ∴b＝(2a－3)2＝1， ∴5a－b＝9， ∴5a－b的平方根为±3. 点睛：（1）若一个实数有两个不同的平方根，则这个实数是正数；（2）一个正数的两个平方根一定是互为相反数的. 【题型四】已知一个数的平方根，求这个数 例4．（24-25七年级下·广东湛江·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义和性质，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求解的值，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得， 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 【题型五】利用平方根解方程 例5．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·云南大理·期中）式子中，的值为 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·青海海西·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】先求出的值，再根据平方根的定义解答； 把看作一个整体，利用平方根的定义解答即可． 本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，熟记概念是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： 或， 解得或． 【题型六】求一个数的算术平方根 例6．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）实数4的算术平方根是（    ） A．16 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握求一个数的算术平方根的方法是解题的关键． 一个正数的平方等于，则正数是的算术平方根，由此即可求解． 【详解】解：4的算术平方根是2． 故选：D． 变式1．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，求4的算术平方根即求哪个非负数的平方等于4即可． 【详解】解：由于， 则4的算术平方根是2， 故答案为：2． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的计算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算的算术平方根，再在结果前添加负号，得到式子的值； （2）计算的算术平方根，直接得出式子的值； （3）先分别计算与​的结果，再通过减法运算求出式子的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴​． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ 原式． 【题型七】利用算术平方根的非负性解题 例7．（24-25七年级下·四川泸州·月考）已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根和绝对值，计算出字母的取值范围，化简绝对值是解决本题的关键． 根据算术平方根有意义，求出的范围，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ， ， 可得， ， ， ． 故选：D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）在中，被开方数是非负数，即 0； （2）本身是非负数，即 0． 【答案】 ≥ ≥ 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义，注意算术平方根的被开方数是非负数，算术平方根的值是非负数． （1）根据算术平方根的定义，被开方数必须是非负数进行求解即可； （2）根据算术平方根的性质，算术平方根的结果也是非负数进行求解即可． 【详解】解：（1）在实数范围内，算术平方根有意义的条件是被开方数为非负数，即； （2）表示的算术平方根，即非负平方根，因此． 故答案为：≥；≥． 变式2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【题型八】估计算术平方根的取值范围 例8．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【详解】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围、求一个数的平方根 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 【题型九】与算术平方根有关的规律探索题 例9．（22-23七年级下·山东日照·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵, ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·广东惠州·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 【题型十】算术平方根的实际应用 例10．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出正方形的边长，再根据周长为边长的4倍，即可得出结果． 【详解】解：∵面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的周长是， 故选C． 变式1．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，解题时要熟练掌握并能根据题意求出大正方形的面积是关键． 依据题意，先求出该正方形的面积为5，从而可以计算得解． 【详解】解：由题意，小正方形边长分别为1和2， 拼成的大正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为 故答案为： 变式2．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：大正方形的面积为：，即可求解； （2）假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为，则， 解得：，推出，与大正方形的边长对比即可得出结论； 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为； 故答案为：4． （2）解：假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为， 则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ∵， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 一、单选题 1．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的运算，根据，直接作答即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据题意得到在之间，得到在之间，即可得到答案． 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，求出、的值是正确解答的关键． 4．下列各数的算术平方根，比它本身大的是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】先把两个带平方的数计算出来，再求各数的算术平方根与自身作比较即可． 【详解】A．，即的算术平方根是，； B．0的算术平方根是0，； C．1的算术平方根是1，； D．，1的算术平方根是1，， 综上，可知A选项符合题意， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的基本概念，能正确计算一个数的算术平方根是解决本题的关键． 5．若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． 6．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是(   ). A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小 B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小 C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小 D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小 【答案】D 【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除． 【详解】解：A.不符合题意； B.不符合题意； C．不符合题意； D.符合题意． 故选：D． 【点睛】这道题主要考查利用算术平方根的含义及实际应用，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等． 7．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 8．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是利用平方根解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的定义直接开平方法解方程即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10．若，则 ； 【答案】1 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性，求出a，b的值再代入计算即可； 【详解】解：由题意可得：a-2=0，a=2； b-3=0，b=3； a2-b=4-3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式求值，如果几个非负代数式的和为0，那么每个代数式都等于0． 11．已知，则的值为 ． 【答案】1000 【分析】根据算术平方根求解即可．本题主要考查算术平方根的规律探究，熟练掌握被开方数与算术平方根的幂次关系是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： ． 12．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根，原式先计算，再计算的平方根即可． 【详解】解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 13．如果，则的值是 ． 【答案】17 【分析】利用算术平方根的非负性可确定x的值，然后可进一步确定y的值，最后计算的值． 【详解】根据根式的意义，， ∴，则． 将代入中得， ． ∴， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性与求代数式的值，解题的关键是根据算术平方根的非负性确定x的值． 14．一个数的平方根是和，则 ，这个正数是 ． 【答案】 -3 1 【分析】根据正数的平方根是两个互为相反数，得出方程a+4+2a+5＝0，求出a值，把a值代回任一个式子平方即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是a+4和2a+5， ∴a+4+2a+5＝0， 解得：a＝﹣3， 即这个正数是， 故答案为：﹣3；1． 【点睛】本题考查了平方根的应用，解一元一次方程，熟练掌握正数有两个平方根，是互为相反数，解一元一次方程的一般方法，是解决问题的关键． 15．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 (用含 的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，规律探索，掌握二次根式的性质和化简方法，发现代数式所呈现的规律是正确解答的关键．先计算出四个代数式的值，发现规律后进行求解即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ． 故答案为：． 三、解答题 17．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先算乘方，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （4）先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：， ∵， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴的算术平方根为； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根为4． （4）解：， ∵， ∴的算术平方根为． 18．已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和特点，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求得a，进而求得m即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 19．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 20．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？若能，试求出剪出的长方形的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；剪出的长方形的长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 长方形的长为，宽为， ， ∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 21．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 22．面积为2的正方形的边长究竟是多少呢？ （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由． （2）边长的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索． （3）小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？ 边长a 面积S 还可以继续算下去吗？可能是有限小数吗？ 【答案】（1），理由见解析；（2）1，4，1，4；（3）还可以继续算下去，不可能是有限小数． 【分析】（1）根据正方形的面积越大边长也越大，可得答案； （2）根据计算器开平方运算，可得答案； （3）根据规律，可得答案． 【详解】解：（1），理由如下： 由题意可知，三个正方形的面积分别为1，2，4， ∵正方形的面积为边长的平方， ∴面积大的正方形边长也大． （2）∵根据正方形的面积公式可得，借助计算器可得 ， ∴边长的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4． （3）还可以继续算下去，不可能是有限小数，因为一个有限小数的平方一定是一个有限小数，不可能是整数,而是正数，所以只有可能是无限小数． 【点睛】考查了平方根，关键是熟练掌握逐步缩小数值的存在范围的过程． 23．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间t； (2)若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上． ①求玩具抛出前离地面的高度h； ②已知高空物体下落，物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），（单位：），h为高度（单位：m）．根据以上信息，若这处玩具质量为，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【答案】(1)从高空抛物到落地的时间t为3s (2)①玩具抛出前离地面的高度h为；②正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由见解析 【分析】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）①将代入计算求出，②将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可． 【详解】（1）依题意，当时， ； （2）①当时，， 解得； ②正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下： 高空抛物动能， 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 24．探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $