精品解析：山东省滨州市首都师范大学附属滨州中学2025-2026学年九年级上学期第三次过关练习数学试题

2025-2026学年度第一学期第三次过关练习 九年级数学试题(A) 温馨提示： 1．本试卷分第|卷和第I卷两部分，共4页，满分120分．考试用时90分钟，考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔，将自已的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定位置上． 3．第|卷每小题选出答案后，请务必用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案标号．答案不能写在试卷上． 4．第I卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答卷必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置，不能写在试题卷上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷(选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的) 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程有一根是，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程的根，解题的关键是正确理解方程的根．将已知根代入方程求参数即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一根是， ∴ ∴， 故选：． 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 4. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 它的图象分布在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数中的时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，根据这个性质选择则可． 【详解】解：A、∵，图象必经过点，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，∴函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵，∴反比例函数图象位于第一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意； D、∵当时，，不能等于0，∴故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 8. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于； ②的最大值是； ③汽车刹车后到停下来等于． 其中，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式，可得或，即可判断①；把二次函数转化为顶点式，即可判断②和③，综上即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 解得或， ∴汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于，故①正确； ∵， ∴的最大值是，故②正确； ∵当时，的最大值是， 即汽车刹车后到停下来等于，故③错误； 综上，正确的结论有个， 故选：． 9. 如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 10. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 若，则 C. 最多有三个实数根 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 第II卷（非选择题共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，采用列举法求解，总共有5种颜色，随机选择2种，共有10种等可能情况，正好选中淡与清是其中一种情况，因此概率为 ． 【详解】解：从焦、浓、重、淡、清五色中随机选择两色，那么有焦浓，焦重，焦淡，焦清，浓重，浓淡，浓清，重淡，重清，淡清等10种等可能情况，其中正好选中淡与清只有1种组合，因此概率为 ． 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：根据题意， ∵将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度， ∴所得抛物线解析式为：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 13. 已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由反比例函数解析式可得函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案． 【详解】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2， ∴△ADE与△ABC的面积比为1：4． ∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3． ∵△ADE的面积是1， ∴四边形DBCE的面积是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 15. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转120°后得到对应的线段CF，则线段DF的最小值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°． ∵∠ECF＝120°， ∴∠1＝∠2． 由旋转可得：EC＝FC， 又四边形ABCD是菱形 ∴BC=DC ∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴DF＝BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． ∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB=2 , ∴BH＝2×sin60°＝3， 当E与H重合时，BE最小值是3， ∴DF的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、菱形的性质、三角形全等、锐角三角函数、垂线段最短和动点问题，属于几何综合题，中档难度．解题的关键是由旋转的性质想到连接BE，构造全等． 三．解答题（共8小题，共70分） 16. 解方程： （1） （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程； （3）根据因式分解法解一元二次方程； （4）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，∵， ∴， ∴或 ∴． 【小问2详解】 由题意，， ， ∴或 ． 【小问3详解】 由题意，， ∴或 ． 【小问4详解】 由题意，， ． ． ． ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点对称的； （2）将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； （3）若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形、平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）找到三角形三个顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据图象即可解题． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图： 由图可知，． 18. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）证明，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ，，， ， ； 【小问2详解】 解 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，分别连接． （1）___________；___________； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集___________； （3）求的面积； 【答案】（1）2，1； （2）或； （3）； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点的问题． （1）将代入，求得，； （2）由（1）可得，结合函数图象，即可求解； （3）根据一次函数求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解： 一次函数与反比例函数的图象相交于两点，将点的坐标代入得： 解得：， 反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得：， 解得：， 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解：关于的不等式的解集或；理由如下： 由（1）可得， 由函数图象可得：关于的不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：一次函数经过点， ， ， 一次函数的解析式为， 当时，， 故， ， 又，， ． 20. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 21. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为； （2）不能围成花圃，理由见解析． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【小问1详解】 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； 【小问2详解】 解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 22. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求的最大值与最小值之差； （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的解法，的最值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将已知两点坐标代入函数解析式中，求得b，c的值； （2）先写出二次函数解析式，求出最小值，再在内求出最大值，从而可求得的最大值与最小值之差； （3）分、且、三种情况讨论，分别求出的值． 【小问1详解】 解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵函数，， ∴函数的解析式为， ， 二次项系数为， 所以抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值2， 当时，在内， 取，则， 取，则， 所以二次函数的最小值为2，最大值为， 所以的最大值与最小值之差为； 【小问3详解】 ①当时， 仅当时，取得最小值，此时； 仅当时，取最大值，此时； 所以， 解得：， ， 不符合； ②当且时，即，此时最小值为2， 当取得最大值时， 即时，， 所以， 此时最大值为， 所以， 解得：或， ， 不符合， 所以此时； 当取得最大值时， 即时，， 所以， 此时最大值为， 所以， 解得：或， 因为， 所以不符合， 所以此时； ③当时，即， 仅当，取得最小值， 此时， 仅当，取得最大值， 此时， 所以， 解得：， 因为， 所以不符合， 综上所述，的值为或． 23. 在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接． 【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次过关练习 九年级数学试题(A) 温馨提示： 1．本试卷分第|卷和第I卷两部分，共4页，满分120分．考试用时90分钟，考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔，将自已的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定位置上． 3．第|卷每小题选出答案后，请务必用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案标号．答案不能写在试卷上． 4．第I卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答卷必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置，不能写在试题卷上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷(选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的) 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程有一根是，则是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 4. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 它的图象分布在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 7. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于； ②的最大值是； ③汽车刹车后到停下来等于． 其中，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 10. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 若，则 C. 最多有三个实数根 D. 当时，y随x的增大而减小 第II卷（非选择题共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为__________． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式_________． 13. 已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 14. 如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ___． 15. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，，点E为AD所在直线上的一个动点．连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转120°后得到对应的线段CF，则线段DF的最小值为___． 三．解答题（共8小题，共70分） 16. 解方程： （1） （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点对称的； （2）将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； （3）若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 18. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，分别连接． （1）___________；___________； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集___________； （3）求的面积； 20. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是切线； （2）若，，求长． 21. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 22. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求的最大值与最小值之差； （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值． 23. 在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接． 【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $