第02讲 无理数和实数（知识详解+11典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 无理数和实数（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】无理数 1. 定义 无限不循环小数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环. 2. 三种常见形式 (1)开方开不尽的数，如，，…； (2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0). 3. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式. 【知识点02】实数的概念及分类 1.定义 有理数和无理数统称为实数. 特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. (2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行. 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点03】实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点的关系 实数和数轴上的点一一对应 . (1)“一一对应”包含两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为，，则AB=|－|. 【知识点04】实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 . 1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0； 2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1； 3.绝对值： 【知识点05】实数的运算 1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 . 2. 实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc)； 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc. 【知识点06】.实数的大小比较 1. 利用数轴比较实数的大小  对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 . 2. 利用法则比较实数的大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .两个正数 , 绝对值大的数较大 . 两个负数，绝对值大的数反而小 . 【题型一】无理数 例1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 例2．在实数，，，，中，无理数有 个． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（22-23七年级下·安徽安庆·月考）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 变式3．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【题型二】无理数的大小估算 例3．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 对于实数a，我们规定：用表示a的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即， 【应用】 （1）填空：_______． （2）若，求出满足题意的所有x的整数值． 【拓展】 （3） 如果我们将正实数a的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 【题型三】无理数整数部分的有关计算 例4．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【题型四】实数的分类 例5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）实数、、、中属于分数的是（    ） A． B． C． D．2 例6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）把下列各数填在相应的横线上（只需填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0.111． 分数：__________________________； 无理数：_________________________． 变式1．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 变式2．把下列各数的序号填入相应的括号内：①，②，③，④，⑧，⑨（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：___________； 负整数：___________； 正有理数：___________； 无理数：___________． 变式3．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【题型五】实数的性质 例7．实数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 变式1．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 变式2．的相反数是 ． 【题型六】实数与数轴 例8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示． (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【题型七】实数的大小比较 例9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）在实数，0，，中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【题型八】实数的混合运算 例10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下面三个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整有理数，它们的和与商都是整数．其中正确的结论是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 变式1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【题型九】程序设计与实数运算 例11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 变式1．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【题型十】新定义下的实数运算 例12．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）对a，b，定义运算“*”如下：，已知，则实数m等于 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【题型十一】与实数运算相关的规律题 例13．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 一、单选题 1．由下表可得精确到百分位的近似值是（    ） … … A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646 2．在实数3.14，，，中，无理数是（   ） A．3.14 B． C． D． 3．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．在1、0、π、这四个数中，最小的数是（ ） A．1 B．0 C．π D．-2 6．已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是(    ) A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1 8．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 9．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．实数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系是    11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 12．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是 ． 13．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 三、解答题 14．判断下列各数是有理数还是无理数． （每相邻两个1之间逐次增加一个0），． 15．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 16．计算： (1) (2) 17．定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 18．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 19．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 20．对于正数x，规定．例如：． (1)______；______． (2)猜想：______．证明你的猜想． (3)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 无理数和实数（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】无理数 1. 定义 无限不循环小数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环. 2. 三种常见形式 (1)开方开不尽的数，如，，…； (2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0). 3. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式. 【知识点02】实数的概念及分类 1.定义 有理数和无理数统称为实数. 特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. (2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行. 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点03】实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点的关系 实数和数轴上的点一一对应 . (1)“一一对应”包含两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为，，则AB=|－|. 【知识点04】实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 . 1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0； 2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1； 3.绝对值： 【知识点05】实数的运算 1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 . 2. 实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc)； 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc. 【知识点06】.实数的大小比较 1. 利用数轴比较实数的大小  对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 . 2. 利用法则比较实数的大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .两个正数 , 绝对值大的数较大 . 两个负数，绝对值大的数反而小 . 【题型一】无理数 例1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A．，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； B．，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D．，是正整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 例2．在实数，，，，中，无理数有 个． 【答案】2 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题考查无理数的识别，解题关键是掌握无理数的定义，即无限不循环小数叫作无理数，常见的无理数有，开不尽方的数，含的式子等，据此对给出的数进行判断． 【详解】解：为有理数，，是分数，属于有理数； 无理数有：，总共两个， 故答案为：2． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数概念理解 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 变式2．（22-23七年级下·安徽安庆·月考）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【答案】 3 4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、无理数、加减消元法 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】解：（1）∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 变式3．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【知识点】无理数 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互质的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互质的整数矛盾， 是无理数． 【题型二】无理数的大小估算 例3．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用．先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出其周长，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵一个正方形的面积是15， ∴它的边长是，周长为， ∵， ∴． ∴估计它的周长大小在15与16之间． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 对于实数a，我们规定：用表示a的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即， 【应用】 （1）填空：_______． （2）若，求出满足题意的所有x的整数值． 【拓展】 （3）如果我们将正实数a的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 【答案】（1）3；（2）4或5或6或7或8；（3）3次 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算、算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）估算出，即可得解； （2）由题意可得，由此即可得解； （3）根据题干所给例子，结合算术平方根，计算即可得解． 【详解】解：（1）因为， ∴，即， ∴． （2）因为，，， 所以， 所以的整数值为4或5或6或7或8． （3）因为， 所以，即， 故第1次运算：，11的算术平方根为； 因为， 所以，即， 第2次运算：，的算术平方根为； 因为， 所以，即， 第3次运算：，1的算术平方根为1． 故对实数经过3次运算之后的结果是1． 【题型三】无理数整数部分的有关计算 例4．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估计．根据可得，即可求得的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根、立方根． （1）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据立方根的定义求解即可； （2）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 【题型四】实数的分类 例5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）实数、、、中属于分数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】有理数的分类、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，根据题意找出分数，即可求解． 【详解】解：、是无理数，是分数、是整数． 故选：C． 例6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）把下列各数填在相应的横线上（只需填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0.111． 分数：__________________________； 无理数：_________________________． 【答案】分数：④⑤⑦；无理数：②③⑥． 【知识点】有理数的分类、无理数、实数的分类 【分析】本题考查了分数和无理数的概念，解题的关键是准确理解分数和无理数的定义并据此对给出的数进行分类． 先明确分数和无理数的定义，再根据定义逐一判断所给的数，最后将其序号填入相应类别． 【详解】分数的判断： 分数是有理数的一种表现形式，可以表示为两个整数之比．④，是两个整数和2的比，属于分数；⑤，也是两个整数和2的比，属于分数；⑦0.111是有限小数，有限小数可以转化为分数形式，例如，属于分数， 所以分数为④⑤⑦； 无理数的判断： 无理数，也称为无限不循环小数．②是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，属于无理数；③，因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，属于无理数；⑥是一个常见的无限不循环小数，属于无理数， 所以无理数为②③⑥． 变式1．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 变式2．把下列各数的序号填入相应的括号内：①，②，③，④，⑧，⑨（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：___________； 负整数：___________； 正有理数：___________； 无理数：___________． 【答案】④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨ 【分析】本题考查了实数的分类． 分别根据分数的定义、负整数的定义、正有理数的定义、无理数的定义作答即可． 【详解】解：， 分数：④⑦⑧； 负整数：①③； 正有理数：⑦⑧； 无理数：②⑤⑨． 故答案为：④⑦⑧，①③，⑦⑧，②⑤⑨． 变式3．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类和概念是解题的关键． 根据实数的分类，逐一判断，即可求解． 【详解】解：，， 有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数， 有理数集合为，0，，，，； 无理数是无限不循环小数， 无理数集合为，（每两个2之间依次多一个1）； 正实数是大于0的实数， 正实数集合为，，，，（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于0的实数， 负实数集合为，． 【题型五】实数的性质 例7．实数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】首先判断的正负性，然后根据绝对值的意义即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，掌握其意义是解题的关键． 变式1．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】实数概念理解 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 变式2．的相反数是 ． 【答案】﹣3 【知识点】实数的性质 【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：的相反数是：． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查相反数的定义，理解定义是解题关键． 【题型六】实数与数轴 例8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较大小是解题的关键．由数轴可得，，，再逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴， 结合选项可知，只有选项D正确． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）如图，在数轴上，以表示数1，2的点为顶点作边长为单位1的小正方形，以表示数1的点为圆心，小正方形的对角线为半径画圆，与数轴分别相交于点（点在右），则点到原点的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，点表示的数为，即可得出点表示的数为，从而得出答案． 【详解】解：∵半圆的半径为， ∴的长度为半圆的直径，即， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴点到原点的距离为， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示． (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【答案】(1)2，，无理数 (2)见解析； 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解； （2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形的面积为，即 以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴相交于点 点表示的数为 说明无理数也可以在数轴上进行表示 故答案为：2，，无理数 （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 【题型七】实数的大小比较 例9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）在实数，0，，中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是：． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据具体情况适当转化形式再比较．当一个是带根号形式另一个是分数形式时，可同时平方，比较平方后的大小，它们的大小关系一致；当一个是立方根形式另一个是平方根形式时，可以找一个中间的整数作为桥梁，再比较大小即可． 【详解】解：①，， ， ②，， ， 故答案为：①，②． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【题型八】实数的混合运算 例10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下面三个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整有理数，它们的和与商都是整数．其中正确的结论是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】无理数、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数混合运算是运算顺序和运算法则．根据题意逐个举例进行判断即可． 【详解】解：①，故①正确，符合题意； ②，故②正确，符合题意； ③，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，先根据算术平方根、立方根、二次根式的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型九】程序设计与实数运算 例11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了立方根的计算、无理数、程序图等知识点，读懂程序框图的走向是解题关键． 依据转换器流程，先求出的立方根是，是有理数；取立方根为是无理数直接输出． 【详解】解：当输入时，由的立方根是，是有理数； 当时，由的立方根是是无理数， 所以输出y的值是． 故选：C． 变式1．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 【题型十】新定义下的实数运算 例12．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． 根据题目所给的定义，求解即可． 【详解】解：． 故选C． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）对a，b，定义运算“*”如下：，已知，则实数m等于 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算 【分析】先利用新定义的运算法则，将转化为我们熟悉的实数的运算，根据已知条件需分两种情况进行讨论，即可求得答案． 【详解】解：当时，，解得，不符合题意，舍去； 当时，，解得或（不符合题意，舍去）， 综上可知，， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 【题型十一】与实数运算相关的规律题 例13．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 【答案】 （或） 【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字规律探索以及算术平方根的运算，解题的关键是找出的规律表达式．先通过观察已知的的表达式，找出的一般规律，再根据规律分别计算的值以及的值． 【详解】（1）解：； 可得规律． 当时，； （2）解：由可得： 其中1有10个， ． 故答案为：；（或）． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题，关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，即可求解； （2）观察题中的几个计算结果，即可求解； （3）根据（2）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，…， ∴， 故答案为：； （3）解：可得， ∴ ． 一、单选题 1．由下表可得精确到百分位的近似值是（    ） … … A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646 【答案】B 【分析】此题主要考查估算无理数大小以及近似数和有效数字，小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】， 精确到百分位的近似值是2.65． 故选：B． 2．在实数3.14，，，中，无理数是（   ） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可． 【详解】选项A：3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数； 选项B：是分数，属于有理数； 选项C：，是整数，属于有理数； 选项D：无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 3．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 4．如图，数轴上表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算，正确估算无理数的大小是解决本题的关键． 估算出的大小即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上表示的点是点D， 故选：D． 5．在1、0、π、这四个数中，最小的数是（ ） A．1 B．0 C．π D．-2 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 解：∵在1、0、π、这四个数中只有， ∴在1、0、π、这四个数中，最小的数是． 故选D． 6．已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 7．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是(    ) A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1 【答案】D 【详解】设点C所对应的实数是x． 根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有 ， 解得． 故选D． 8．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 9．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 二、填空题 10．实数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系是    【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置比较大小，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴ 故答案为：． 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了平方法比较两个数的大小，对于带根号的实数的大小关系的比较，平方法是比较常用的一个技巧．只需比较与的大小关系，即可得到与的大小关系，然后再进行判断． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 12．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键熟练掌握实数的运算法则．首先求出64的平方根，然后再计算出其立方根即可． 【详解】解：由题意得当输入x的值是64时， ，， ， 故答案为：． 13．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 三、解答题 14．判断下列各数是有理数还是无理数． （每相邻两个1之间逐次增加一个0），． 【答案】无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）；有理数：， 【分析】本题主要考查了实数分类，无理数和有理数定义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无理数是指无限不循环小数，整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：无理数：（每相邻两个1之间逐次增加一个0）； 有理数：，． 15．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，之间； (2)在，之间； (3)在，之间； 【分析】本题考查的是无理数的估算； （1）由可得，即可得到答案； （2）由可得，即可得到答案； （3）由，可得，即可得到答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在，之间； （2）解：∵， ∴， ∴在，之间； （3）解：∵， ∴， 即， ∴在，之间 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根及乘方的定义分别运算，再合并即可； （2）根据算术平方根、立方根及乘方的定义分别运算，再合并即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 18．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 19．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴的相反数为． 20．对于正数x，规定．例如：． (1)______；______． (2)猜想：______．证明你的猜想． (3)求的值． 【答案】(1)1，1 (2)1，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． （1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【详解】（1）解：， ∴ ， 故 故答案为：1，1． （2）解： 证明： （3）解：原式 1 学科网（北京）股份有限公司 $