第01讲 平方根、立方根（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 平方根、立方根（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】．平方根及其性质 1.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 ，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ，表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 . 2. 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根 . 【知识点02】．算术平方根 1.算术平方根的定义 非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 . 表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” . 2.算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 个数不同  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ± 名称 关系 算术平方根  平方根 区别 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数  正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 4. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 【知识点03】．立方根 1.立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 ，那么x 叫作a 的立方根 . 表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 . 特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 则表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 . 2. 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方 . 特别解读： 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 【知识点04】．立方根的性质 1.立方根的性质 (1)正数的立方根是一个正数； (2)负数的立方根是一个负数； (3)0 的立方根是 0. 2.平方根与立方根的比较 平方根  立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在中，被开方数 a 是任意数 联系  ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 【知识点05】．用计算器求一个数的立方根 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 . 步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 . 【题型一】求一个数的算术平方根 例1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）16的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．256 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）定义新运算“☆”：☆，则 ． 变式2．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【题型二】与算术平方根有关的规律探索题 例2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下表， ． 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【题型三】算术平方根的实际应用 例3．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）手工课上，老师让同学们用大正方形纸片制作一个装饰品，在大正方形纸片中放置两个小正方形，如图所示，已知两个小正方形的面积分别为，重叠部分的面积为1，现在老师问同学们空白部分的面积为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布的面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整的圆形绣布，用于绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 变式3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【题型四】平方根概念理解 例4．下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 变式2．本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 【题型五】求一个数的平方根 例5．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D． 变式1．的平方根是 ． 变式2．求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【题型六】已知一个数的平方根，求这个数 例6．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 变式1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如果一个正数的平方根是和，那么的值是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）一个正数x的平方根是与，则x是多少？ 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）一个正数的两个平方根分别是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【题型七】立方根概念理解 例7．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．1的立方根是 C．0没有平方根 D．存在算术平方根等于它本身的数 变式1．2是 的立方根； 的立方根是． 变式2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【题型八】求一个数的立方根 例8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）的立方根是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）计算：． 【题型九】已知一个数的立方根，求这个数 例9．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 变式1．若，则a的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知的算术平方根为2，的立方根是，求的平方根． 【题型十】立方根的实际应用 例10．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【题型十一】算术平方根和立方根的综合应用 例11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【题型十二】计算器——平方根和立方根 例12．在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是（   ） A． B． C． D． 变式1．用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： （1） ； （2） ． 变式2．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 一、单选题 1．3的算术平方根是（   ） A．9 B． C． D． 2．的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 3．在中，负数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 6．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 9．若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 10．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 二、填空题 11．的平方根是 ． 12．已知的值（约）为 ． 13．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 14．已知，，且，则的值为 ． 三、解答题 15．学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 16．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的立方根． 17．求下列各数的立方根． (1)216； (2)1； (3)． 18．求下列各式中的值． (1) (2) 19．求下列各式的值： (1) (2) (3) 20．计算： (1)； (2)； (3) 21．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 22．在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 23．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平方根、立方根（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】．平方根及其性质 1.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 ，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ，表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 . 2. 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根 . 【知识点02】．算术平方根 1.算术平方根的定义 非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 . 表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” . 2.算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 个数不同  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ± 名称 关系 算术平方根  平方根 区别 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数  正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 4. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 【知识点03】．立方根 1.立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 ，那么x 叫作a 的立方根 . 表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 . 特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 则表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 . 2. 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方 . 特别解读： 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 【知识点04】．立方根的性质 1.立方根的性质 (1)正数的立方根是一个正数； (2)负数的立方根是一个负数； (3)0 的立方根是 0. 2.平方根与立方根的比较 平方根  立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在中，被开方数 a 是任意数 联系  ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 【知识点05】．用计算器求一个数的立方根 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 . 步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 . 【题型一】求一个数的算术平方根 例1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）16的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．256 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的求解方法是解题关键． 根据算术平方根的定义、结合即可得． 【详解】解：， ∴16的算术平方根为4． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）定义新运算“☆”：☆，则 ． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了新定义运算，求算术平方根，根据新定义运算结合运算法则计算即可得解，解题的关键是理解新定义运算． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查求算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解题关键． （1）按算术平方根的定义求出相应数的算术平方根即可． （2）按算术平方根的定义求出相应数的算术平方根即可． （3）按算术平方根的定义求出相应数的算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ∴的算术平方根是12，即． （2）解：， ∴的算术平方根是0.06，即． （3）解：， ∴的算术平方根是，即． 【题型二】与算术平方根有关的规律探索题 例2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键． 根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得． 【详解】解：， A、； B、； C. ； D. ． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查与算术平方根有关的探究规律探究．通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，…，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】解：通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵，…， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下表， ． 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查求算术平方根，涉及二次根式除法运算，由表中数据可知，当时，，从而，由算术平方根定义及二次根式除法运算求解即可得到．熟记算术平方根求法及二次根式除法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由表中数据可知，当时，， ， 则， 故答案为：． 【题型三】算术平方根的实际应用 例3．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）手工课上，老师让同学们用大正方形纸片制作一个装饰品，在大正方形纸片中放置两个小正方形，如图所示，已知两个小正方形的面积分别为，重叠部分的面积为1，现在老师问同学们空白部分的面积为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为、、， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，求出图2中正方形的面积，可得结论． 【详解】解：由题意图2中正方形的面积为， ∴图2中正方形的边长为． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布的面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整的圆形绣布，用于绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)； (2)不能够裁出来，见解析． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键． （1）设绣布的长为，宽为，根据长方形的面积公式列式得，解得，即可求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆的面积公式列式得，解得，得直径，即可求解． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得，即，解得：， ， ， 绣布的长为，宽为， 绣布的周长为． （2）解：不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为， 根据题意，得：，即， ，解得：（负值舍去）． ，即圆形绣布的直径大于长方形绣布的宽， 不能够裁出来． 变式3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【答案】(1)小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒 (2)此时细线的长度是22.5米 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键． （1）直接把代入关系式，即可求出t的值． （2）直接把代入关系式，即可求出l的值． 【详解】（1）解：已知，当时， 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒． （2）解：当时， 答：此时细线的长度是22.5米． 【题型四】平方根概念理解 例4．下列各数：，其中一定有平方根的数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义．根据有理数的乘方和绝对值的性质进行计算并判断出各数的正负情况，再根据正数和0有平方根解答． 【详解】解：0有平方根， ，有平方根， ，有平方根， ，没有平方根， ，没有平方根， ，有平方根， 中，当时，没有平方根， 综上所述，一定有平方根的数共有4个． 故选：B． 变式1．已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】4 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，依此列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 变式2．本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：类比探索：（1），，； 表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：； ②16的四次方根：； ③0的四次方根是：0； ④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①±1；②±2；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）， 故答案为：； （2）∵，，， ∴． 故答案为：． 【题型五】求一个数的平方根 例5．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根为， 故选：D． 变式1．的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的平方根是． 故答案为：． 变式2．求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【答案】(1) (2)/ 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 【题型六】已知一个数的平方根，求这个数 例6．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的概念是解题的关键；由题意易得，然后可得a的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这个数为； 故选C． 变式1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如果一个正数的平方根是和，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）一个正数x的平方根是与，则x是多少？ 【答案】49 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，根据一个数的平方根有两个，且互为相反数，得，解得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数x的平方根是与， ∴， 解得， 当时，， ∴． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）一个正数的两个平方根分别是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，由即可求解； （2）根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别是， ， ， 这个正数为． ∴； （2）解：，， ， 的立方根为． 【题型七】立方根概念理解 例7．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．1的立方根是 C．0没有平方根 D．存在算术平方根等于它本身的数 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】A．负数没有平方根，故A选项说法不正确，不符合题意； B．1的立方根是1，故B选项说法不正确，不符合题意； C．0的平方根是0，故C选项说法不正确，不符合题意； D．1的算术平方根是它本身，故D选项说法正确，符合题意； 故选：D． 变式1．2是 的立方根； 的立方根是． 【答案】 8 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 变式2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 【题型八】求一个数的立方根 例8．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求立方根．根据立方根的定义和性质直接计算即可． 【详解】解： 故选：A 变式1．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根．根据已知等式，利用立方根的定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）计算：． 【答案】12 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算算术平方根，立方根，然后计算加减法即可． 【详解】解：原式     ． 【题型九】已知一个数的立方根，求这个数 例9．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式1．若，则a的值为 ． 【答案】125 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题考查了立方根的性质，将已知条件两边同时立方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：125． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知的算术平方根为2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根，立方根，平方根，先根据算术平方根，立方根的定义列方程求出x和y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：因为的算术平方根为2， 所以， 解得． 因为的立方根是， 所以， 解得， 所以． 因为9的平方根是， 所以的平方根是． 【题型十】立方根的实际应用 例10．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1)； (2)棱长变为原来的2倍． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的实际应用及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式是解题的关键． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程，解方程即可； （2）根据题意，计算出正方体变化后的体积，根据体积公式，计算出变化后的棱长，即可得解． 【详解】（1）设正方体的棱长为，由题意得：， 解得：， 答：该正方体的棱长为6cm； （2）当正方体的体积变为原来的8倍，即体积为 设此时正方体的棱长为， 由题意得：， 解得：， 答：它的棱长变为原来的2倍． 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 【题型十一】算术平方根和立方根的综合应用 例11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【题型十二】计算器——平方根和立方根 例12．在用计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题主要考查了用计算器求算术平方根，解题的关键是掌握用计算器求算术平方根的按键顺序和方法．根据用计算器求算术平方根的方法，即可进行解答． 【详解】解：计算器求45的算术平方根时，需要用到的按键是， 故选：B． 变式1．用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： （1） ； （2） ． 【答案】 2.924 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查了用计算器进行数的开立方，解题的关键是按要求取近似值．先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：2.924； （2）， 故答案为：． 变式2．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 【答案】(1)31 (2) (3) 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】此题考查的是用计算器计算一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的按键顺序是解决此题的关键． （1）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （2）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （3）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． 【详解】（1）解：依次按键，显示31． ． （2）依次按键，显示：． ． （3）依次按键，显示：……． ． 一、单选题 1．3的算术平方根是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义；根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根是平方等于a的非负数． 【详解】解：算术平方根指非负数中平方等于原数的数；3的算术平方根需满足两个条件：1. 平方后等于3；2. 结果非负； 选项A：9的平方为81，不等于3，排除； 选项B：的平方为3，且，符合条件； 选项C：包含负数，而算术平方根仅取非负值，排除； 选项D：为负数，且平方为，排除； 故选：B． 2．的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的平方根，先计算的值，再求其平方根，根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：， ∴4的平方根是， 故选：C 3．在中，负数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，有理数的乘方计算，求一个数的算术平方根，先计算乘方和算术平方根，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：， 在中，负数有，共3个， 故选：B． 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，根据算术平方根，立方根，平方根的定义逐一进行化简即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项成立，符合题意； 故选：． 5．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根，绝对值，相反数与立方根，熟记概念是解题的关键． 判断各组数是否互为相反数，即和是否为零，需计算每组数值并验证. 【详解】解：A、，，，不是相反数，不符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，是相反数，符合题意； D、，不是相反数，不符合题意； 故选：C． 6．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 8．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解． 【详解】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 9．若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 10．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点为非负数的性质以及解二元一次方程组．本题先依据非负数的性质(算术平方根和绝对值均为非负数，其和为时各自为)列出关于的二元一次方程组，再求解方程组得到的值，最后将其代入结合负数奇次幂的性质算出结果． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ①＋②，得：， 把代入方程①： ， 解得：， 将，代入． 故选：A． 二、填空题 11．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根，原式先计算，再计算的平方根即可． 【详解】解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 12．已知的值（约）为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，根据，，可得答案，为干扰项． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 14．已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次根式的意义与化简以及绝对值，根据绝对值的意义及二次根式的性质正确得出a，b的值是解题关键． 直接利用绝对值的意义以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴； 当时，，符合题意； ∴； 综上可得：的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 15．学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 【答案】每块地板砖的边长为米 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据实际意义平方根取正是解答本题的关键． 根据18平方米正好用了50块地板砖求得每块地板砖的面积，再利用算术平方根即可解答． 【详解】解：面积为，正好用了50块正方形地板砖， 每块地板砖的面积为：， 每块地板砖的边长为米． 16．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：， 综上所述，，． （2）解：， ， 的立方根为3． 17．求下列各数的立方根． (1)216； (2)1； (3)． 【答案】(1)6 (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． （1）根据立方根的概念进行计算即可． （2）根据立方根的概念进行计算即可． （3）根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 的立方根是6，即； （2）解：， 的立方根是1，即； （3）解：， ， 的立方根是，即． 18．求下列各式中的值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性即可； （1）由题意得或，据此即可求解； （2）由题意得，进一步得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴或； 解得：或； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； 19．求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可； （2）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可； （3）对于两个非负实数a、b，满足，那么a就叫做b的算术平方根，，据此求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解：． 20．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平方根解方程即可得解； （2）利用立方根解方程即可得解； （3）先计算立方根、算术平方根，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 21．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键． （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 22．在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7 (2) (3)， 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 23．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【答案】(1)64 (2)－7 (3)点D表示的数是0或4 【分析】（1）根据非负数的性质即可确定出、的值，然后代入进行计算即可得； （2）根据是最小的正整数，确定出点、点的对称点所表示的数，通过计算即可得出与点重合的点表示的数； （3）分点在点的左边、点在点，之间、点在点的右边三种情况进行讨论即可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 【点睛】本题考查的是非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系是解决此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $