专题09三角形与全等三角形（知识清单）（6大考点+13大题型+5大易错+8大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了“三角形与全等三角形”内容，涵盖三角形概念、内角外角、全等三角形性质判定、角平分线及线段垂直平分线等6大核心考点，构建从基础概念到综合应用的递进式知识网络。 清单通过13大重难题型分层突破、5大易错点警示误区、8大方法技巧提炼模型，如“一线三等角”“手拉手”等全等模型标注重难点，培养学生几何直观与推理能力。设计“易错点对比表”和“模型辅助线作法”，如“倍长中线构造全等”实例，助力学生自主梳理知识，辅助教师精准教学。

专题09三角形与全等三角形 （6大考点+13大题型+5大易错+8大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点） 考点01三角形的有关概念 考点02三角形的内角与外角 考点03全等三角形及其性质 考点04全等三角形的判定及应用 考点05角平分线的性质 考点06线段的垂直平分线 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01三角形的三边关系 题型02三角形的主要线段 题型03三角形的内角和 题型04三角形的外角的性质 题型05全等三角形的性质 题型06全等三角形的判定条件 题型07证明两个三角形全等 题型08全等三角形的性质与判定 题型09全等三角形的应用 题型10角平分线的性质 题型11线段垂直平分线的性质 题型12三角形与尺规作图 题型13全等三角形综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（5个易混易错点） 易错点01对三角形的高的理解 易错点02三角形的中线与周长差和面积问题 易错点03三角形的三边关系 易错点04三角形求角或边时漏解 易错点05全等三角形的性质与判定 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：三角形的外角基本模型 技巧02：全等三角形的基本模型：倍长中线 技巧03：全等三角形的基本模型：一线三等角 技巧04：全等三角形的基本模型：手拉手模型 技巧05：全等三角形的基本模型：半角模型 技巧06：全等三角形的基本模型：截长补短法 技巧07：全等三角形的基本辅助线：作平行线 技巧08：全等三角形的基本辅助线：作垂直 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力 1.了解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，理解三角形的三边关系及稳定性； 2.探索并证明三角形的内角和定理，理解三角形的外角的概念和三角形的外角和 3.理解全等三角形的概念，探索并掌握全等三角形的判定方法，并会简单的应用. 4.探索并掌握角平分线的性质和判定、线段垂直平分线的性质定理. 考点01三角形的有关概念 1． 三角形： （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形具有稳定性． 2．三角形的主要线段： （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3.三角形的三边关系： （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 考点02三角形的内角与外角 1．三角形内角和定理： （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2.三角形外角的性质： （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 考点03全等三角形及其性质 1. 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2.全等三角形的性质： （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 考点04全等三角形的判定及应用 3.全等三角形的判定： （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 4.全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 考点05角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 判定（逆定理）： 如果一个点在角的内部，并且到角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上 考点06线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质： （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 几何语言：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， P 是 l 上任意一点，则 PA=PB （3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型01三角形的三边关系 【典例1】若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式练习】 1．（2025·青海西宁·一模）下列线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 3．（2025·河北邯郸·三模）已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是 三角形． 题型02三角形的主要线段 【典例2】如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是 ． 【变式练习】 4．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 5．（2024·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 6．（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 题型03三角形的内角和 【典例3】如图，在中，点是边上一点，连接，点关于的对称点恰好在边上，连接，若，，则的度数为 ． 【变式练习】 7．（2026·全国·模拟预测）如图，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是 三角形 9．（2025·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 题型04三角形的外角的性质 【典例4】将一副直角三角板如图放置，已知，，则 【变式练习】 10．（2025·陕西榆林·一模）如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃武威·一模）小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ． 题型05全等三角形的性质 【典例5】如图，，点A，C，E在同一条直线上，交于点F，若，，则的长为 ． 【变式练习】 13．（2025·贵州·模拟预测）如图，两块全等的直角三角板如图放置，使点B落在边上，已知，当时，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·河北·一模）如图，，若，，则的长为 ． 题型06全等三角形的判定条件 【典例6】如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 16．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若，添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在和中，，若点是线段的中点，则下列哪个条件不能使和全等（   ） A． B． C． D． 题型07证明两个三角形全等 【典例7】如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【变式练习】 19．（2025·陕西渭南·一模）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接，求证：平分． 20．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 题型08全等三角形的性质与判定 【典例8】如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 【变式练习】 22．（2023·上海普陀·一模）如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时，；④在旋转过程中，当点D到的距离最短时，的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是： ． 24．（2026·全国·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型09全等三角形的应用 【典例9】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，①求证：；②若，，则______°． (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【变式练习】 25．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1． 【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长． 26．（2025·江苏南京·一模）【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）． (1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）． (2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可． 乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）． 题型10角平分线的性质 【典例10】如图，中，，，以B为圆心，以小于长度的任意长为半径作弧，分别与边，交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点D，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式练习】 27．（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 28．（2025·四川广元·一模）如图， 在中， ， ， 按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以为圆心， 大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点， 连接， 则的周长为 ． 29．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 题型11线段垂直平分线的性质 【典例11】如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F． （1）若，，则 ； （2）若，，则 （用含m，n的代数式表示）． 【变式练习】 30．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 31．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 32．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别交边，于点，． 若，，则线段的长为 ． 题型12三角形与尺规作图 【典例12】已知：如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求证：． 【变式练习】 33．（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 34．（2024·吉林长春·模拟预测）综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作平行线的三种方案：①作同位角相等，得到平行线；②作垂直于同一条直线的两条直线，得到平行线；③作角的平分线与等腰三角形，得到平行线．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（    ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 35．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，点在边上，连接，过点在右侧作射线．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 36．（2025·甘肃定西·一模）如图，在中，． (1)作的角平分线，交于点D；（尺规作图，保留痕迹） (2)在的延长线上任取一点E，连接．求证：； (3)当时，四边形是什么图形？请说明理由． 题型13全等三角形综合问题 【典例13】如图，，平分，点B是射线上一定点，点C在射线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点B顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点D和点E． (1)请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)请探究线段和之间的数量关系，写出结论并证明． 【变式练习】 37．（25-26九年级上·重庆·月考）数学爱好者小育发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：． 小育的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程 证明：是的角平分线，， ∴① ． 是的角平分线，， ． ∴② ． 在和中， ∴④ ． 由此他得到结论：三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 38．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D在线段的延长线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，过点E作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 39．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 易错点01对三角形的高的理解 【错因】三角形的高的理解不到位而出错 【避错关键】本题的易错点在于看到垂直就认为是高.判断三角形一边上的高要符合两个条件：一是垂线段过这条边所对的顶点；二是垂线段的垂足在这条边（或该边的延长线)上， 【典例】 1．画中边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在锐角三角形中，．若甲，乙，丙三位同学分别用尺规作该三角形的高，作法如下图所示，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙和丙对 C．只有甲和丙对 D．甲，乙，丙都对 易错点02三角形的中线与周长差和面积问题 【错因】不能熟练掌握三角形中线的性质 【避错关键】三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分、这两部分的周长差等于两边之差 【典例】 3．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长． （2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长． 4．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为 ． 5．如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为 ． 易错点03三角形的三边关系 【错因】在求线段的长或周长时忽略三角形的三边关系 【避错关键】已知两边长求第三边长的步骤 (1)列：根据三角形三边关系正确列出不等式（组）： (2)解：解不等式（组），得出第三边长的取值范围； (3)定：根据题目条件确定第三边长的值 【典例】 6． 已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 7．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 8．［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 易错点04三角形求角或边时漏解 【错因】没有对题目和图形进行正确的讨论 【避错关键】易错点在于题目没有明确说明三角形是锐角三角形还是钝角三角形，不同的三角形结论不同，容易出现考虑不全面从而出现漏解的错误， 【典例】 9．在中，，BD是AC边上的高，，求的度数． 易错点05全等三角形的性质与判定 【错因】不能熟练掌握三角形全等的判定 【避错关键】公共边、对顶角、公共角、同角的余角（或补角）相等，这些隐含条件在题干中不会直接给出，在证明时要特别注意挖掘这些重要条件， 【典例】 10．如图，中，点D在直线上，点F在直线延长线上，，，． (1)如图①，求证：； (2)图②和图③中线段、、之间有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 11．已知，在中，，点是射线上任意一点，连接，过点作，垂足为点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)如图1，当点在线段上，且时，求的长； (2)如图2，当点在的延长线上时，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 技巧01：三角形的外角基本模型 《方法技巧》 内角平分线 + 外角平分线模型： 在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于一点E，则∠E = ∠A。 两外角平分线模型： △ABC中，∠B与∠C的外角平分线交于点F（旁心），则∠BFC = 90° - ∠A。 【典例】 1．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 2．如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 技巧02：全等三角形的基本模型：倍长中线 《方法技巧》 1.(1)倍长中线：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后与三角形的另外一个顶点相连，根据“SAS”构造全等三角形； (2)从三角形另外两个顶点向中线作垂线段，利用“AAS”构造全等三角形.利用中线构造全等三角形多用于证明线段之间的关系. 2.解题思路：题干中出现三角形一边的中线（或与中点有关的线段）以及中点，通常考虑利用中线构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题. 【典例】 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小林的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．   B．  C．    D． (2)的取值范围是________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中进行研究； 【问题解决】如图②，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 4．【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 技巧03：全等三角形的基本模型：一线三等角 《方法技巧》 一线三等角模型是一个常见的模型，两个相等角的一边在同一条直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在这两个相等角的顶点所确定的线段或线段延长线上，两边分别位于这条直线的同侧或异侧，且与两相等的角的两边相交（一直线上有三个相等的角一般可证全等). 【典例】 5．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 6．（1）问题发现：如图1，，将边绕点顺时针旋转得到线段，在射线上取点，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化？如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为，点是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 技巧04：全等三角形的基本模型：手拉手模型 《方法技巧》 两个具有公共顶点的多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等三角形，这样的图形称为共点旋转模型.为了更加直观，我们形象地称其为手拉手模型. 【典例】 7．（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 8．综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是 ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 技巧05：全等三角形的基本模型：半角模型 《方法技巧》 核心特征： 共顶点：存在一个共顶点的两个角（通常是大角和小角）。 半角关系：小角的度数是 大角度数的一半。最典型的是：大角90°，小角45°；大角120°，小角60°；大角60°，小角30°等。 等线段：从该顶点出发的两条线段长度相等（例如，在正方形中，两条邻边相等）。 简单来说，就是 “大角含半角，邻边相等” 的基本结构。 【典例】 9．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 10．如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 技巧06：全等三角形的基本模型：截长补短法 《方法技巧》 1.所谓截长补短其实包含两层意思，即“截长”和“补短”.所谓“截长”就是将三条线段中最长的线段分成两条，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明截剩的另一条线段与已知的另一条线段的大小关系；所谓“补短”就是将一个已知的较短线段延长，使延长部分与另一个已知线段相等，然后求出两条已知 线段拼成的线段与最长线段的关系.主要用来证明三条线段间的和差问题，即当条件或结论中出现a十b=c或a一b=c时，用截长补短法， 【典例】 11．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 12．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 技巧07：全等三角形的基本辅助线：作平行线 【典例】 13．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 14．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 技巧08：全等三角形的基本辅助线：作垂直 【典例】 15．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF． （1）求证：∠CAB＝∠CAD； （2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值． 16．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 一、单选题 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 2．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·一模）如图中的照片是某处栏杆的拐角，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 5．（2025·云南·模拟预测）某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告： 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 已知地面、桌面均为水平面， 调查问题：的度数为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，点在边上，，若，则的度数为（    ） A．125° B．135° C．145° D．155° 7．（2026·江西·模拟预测）在中，，平分，交于点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 8．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝5，面积为15，则BM+MD长度的最小值为（　） A．6 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中,平分，过点B作，垂足为D，连接．若的面积为，则的面积为 ． 13．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    15．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后对应的坐标是 ． 16．（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 三、解答题 17．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 18．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 19．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 20．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 21．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 22．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 23．（2026·西藏·模拟预测）好学的小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证：根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．再写出证明过程，小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，请你帮他用符号表示已知，求证，并写出证明过程． 24．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09三角形与全等三角形 （6大考点+13大题型+5大易错+8大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点） 考点01三角形的有关概念 考点02三角形的内角与外角 考点03全等三角形及其性质 考点04全等三角形的判定及应用 考点05角平分线的性质 考点06线段的垂直平分线 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01三角形的三边关系 题型02三角形的主要线段 题型03三角形的内角和 题型04三角形的外角的性质 题型05全等三角形的性质 题型06全等三角形的判定条件 题型07证明两个三角形全等 题型08全等三角形的性质与判定 题型09全等三角形的应用 题型10角平分线的性质 题型11线段垂直平分线的性质 题型12三角形与尺规作图 题型13全等三角形综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（5个易混易错点） 易错点01对三角形的高的理解 易错点02三角形的中线与周长差和面积问题 易错点03三角形的三边关系 易错点04三角形求角或边时漏解 易错点05全等三角形的性质与判定 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：三角形的外角基本模型 技巧02：全等三角形的基本模型：倍长中线 技巧03：全等三角形的基本模型：一线三等角 技巧04：全等三角形的基本模型：手拉手模型 技巧05：全等三角形的基本模型：半角模型 技巧06：全等三角形的基本模型：截长补短法 技巧07：全等三角形的基本辅助线：作平行线 技巧08：全等三角形的基本辅助线：作垂直 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力 1.了解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，理解三角形的三边关系及稳定性； 2.探索并证明三角形的内角和定理，理解三角形的外角的概念和三角形的外角和 3.理解全等三角形的概念，探索并掌握全等三角形的判定方法，并会简单的应用. 4.探索并掌握角平分线的性质和判定、线段垂直平分线的性质定理. 考点01三角形的有关概念 1． 三角形： （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形具有稳定性． 2．三角形的主要线段： （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3.三角形的三边关系： （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 考点02三角形的内角与外角 1．三角形内角和定理： （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2.三角形外角的性质： （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 考点03全等三角形及其性质 1. 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2.全等三角形的性质： （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 考点04全等三角形的判定及应用 3.全等三角形的判定： （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 4.全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 考点05角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 判定（逆定理）： 如果一个点在角的内部，并且到角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线上 考点06线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质： （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 几何语言：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， P 是 l 上任意一点，则 PA=PB （3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型01三角形的三边关系 【典例1】（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 【变式练习】 1．（2025·青海西宁·一模）下列线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可． 【详解】解：A选项：，长度为、、的线段不能构成三角形，故A选项不符合题意； B选项：，长度为、、的线段能构成三角形，故B选项符合题意； C选项：，长度为、、的线段不能构成三角形，故C选项不符合题意； D选项：，长度为、、的线段不能构成三角形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 3．（2025·河北邯郸·三模）已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键． 对，通过分组因式分解进行形式变形，再根据三角形中的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴①， 又∵a，b，c是的三边， ∴， ∴①式中只能，即， ∴一定是等腰三角形． 故答案为：等腰． 题型02三角形的主要线段 【典例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题时要注意三角形的中线和周长的综合应用．先根据的周长求出，再根据三角形中线的定义求得，即可求出结果． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：8． 【变式练习】 4．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 5．（2024·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 6．（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、直角三角形三条高线的交点为直角顶点，位于三角形边上，不在外部，不符合反例要求； 、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 故选：． 题型03三角形的内角和 【典例3】（24-25九年级下·陕西榆林·月考）如图，在中，点是边上一点，连接，点关于的对称点恰好在边上，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】80 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质和三角形内角和定理．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质是解题的关键． 由三角形外角性质得，由轴对称得，由三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ 由折叠得， ∴． 故答案为：80． 【变式练习】 7．（2026·全国·模拟预测）如图，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和计算角度是解题的关键． 由得，由得，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 9．（2025·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． 题型04三角形的外角的性质 【典例4】（2025·山东济南·模拟预测）将一副直角三角板如图放置，已知，，则 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质等知识点． 由直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式练习】 10．（2025·陕西榆林·一模）如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 11．（2025·甘肃武威·一模）小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中求角度，涉及平行线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到相关角度关系是解决问题的关键． 先由平行线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，最后根据外角性质表示出即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点在边上，，， ， 在中，，，则， 是的一个外角， ， 故选：B． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，的度数，找出规律即可求解． 【详解】解：， ∴， 即第一个等腰三角形的底角度数为； ， ∴， 即第二个等腰三角形的底角度数为； 同理可得： 第三个等腰三角形的底角度数为； 第四个等腰三角形的底角度数为； … 综上所述，第个等腰三角形的底角的度数是； ∴第个等腰三角形的底角度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形中角度规律，涉及等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，由前面几个等腰三角形，找出底角度数规律是解题的关键． 题型05全等三角形的性质 【典例5】（2025·四川成都·模拟预测）如图，，点A，C，E在同一条直线上，交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质．根据全等三角形的性质，可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式练习】 13．（2025·贵州·模拟预测）如图，两块全等的直角三角板如图放置，使点B落在边上，已知，当时，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据，得到，进而得到，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵两块全等的直角三角板，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 14．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 先证明，根据，可得，得到，则，即可解答． 【详解】解：令与的交点为E，如图 ∵，，， ∴，， ∴ 即 ∵， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴． 故选D． 15．（2025·河北·一模）如图，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质分别求出、，计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：4． 题型06全等三角形的判定条件 【典例6】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定方法是关键．依据题意，添加各个选项的条件后逐个分析判断可以得解． 【详解】解：A，添加，结合，， ∴不能满足判定的条件，故A符合题意． B，添加，结合，， ∴，故B不符合题意． C，添加，结合，， ∴，故C不符合题意． D，添加，结合，， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 【变式练习】 16．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若，添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得出，，再根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 当添加时，， ， ， ，所以A选项不符合题意； 当添加时， ， ， ，所以B选项不符合题意； 当添加时， ，， ， ，所以C选项不符合题意； 当添加时，，， ， ∴不能判断，所以D选项符合题意． 故选：D． 17．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 18．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在和中，，若点是线段的中点，则下列哪个条件不能使和全等（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，通过全等三角形的判定，平行线的性质逐一判断即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 【详解】解：、∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、若，不能证明和全等，原选项符合题意； 、∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 题型07证明两个三角形全等 【典例7】（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【变式练习】 19．（2025·陕西渭南·一模）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据题意证得，可得，即可求解． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ， 平分． 20．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型08全等三角形的性质与判定 【典例8】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分 【分析】（1）根据中点的定义求出，根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出，，则，再根据平行四边形的判定与性质求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：与互相平分． 【变式练习】 22．（2023·上海普陀·一模）如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．用证明，得，可证，从而说明、、正确． 【详解】解：设交于点． 点是的中点， ， ， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选项，，正确． 故选：． 23．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时，；④在旋转过程中，当点D到的距离最短时，的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是： ． 【答案】①②③④ 【分析】本题根据题意证明，可判断①，由三角形外角性质可判断②，证明，根据相似的性质算出，可判断③，取中点F，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，当运动到点时，点D到的距离最短，求出，证明，再由即可求解． 【详解】解：和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，，，, ， ， ，， 故①正确； 设， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； 取中点F，连接， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，如图， ∴当运动到点时，点D到的距离最短，如图： ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的定义等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（2026·全国·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化求解是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，根据折叠的性质得出，，进而可得，根据证明； （2）根据平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得，根据平角的定义得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，． 矩形沿折叠得到四边形， ，， 即， ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ， 又折叠， ， ． ， ． 题型09全等三角形的应用 【典例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，①求证：；②若，，则______°． (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)①求证：；②． (2) 【分析】（1）①根据证明可得证；②根据得到，结合，，得，解答即可． （2）延长，，二线交于点M，证明，结合已知，解直角三角形即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角形全等的判定，灵活解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴； ②根据， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：55． （2）延长，，二线交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式练习】 25．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1． 【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长． 【答案】（1），两点间的距离约米；（2）的长为米 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）过点作交于点，根据，求出，再根据三角形的内角和，求出，最后根据，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，则，得到，再把米，米，代入即可求解． 【详解】（1）过点作交于点， ∵， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， 答：计算，两点间的距离约米； （2）∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 答：的长为米． 26．（2025·江苏南京·一模）【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）． (1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）． (2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可． 乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）． 【答案】(1)米 (2)三角形全等 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了三角形全等. 故答案为：三角形全等. 题型10角平分线的性质 【典例10】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，，，以B为圆心，以小于长度的任意长为半径作弧，分别与边，交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点D，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作，垂足为E，先根据角平分线的作图和性质得出，再通过证明得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作，垂足为E，则， 由题意得，平分， ∵，则， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 【变式练习】 27．（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点D到的距离为的长，即点D到的距离为8，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作法得：平分， ∴点D到和的距离相等，即点D到的距离为的长， ∴点D到的距离为8， ∴的面积． 故选：C． 28．（2025·四川广元·一模）如图， 在中， ， ， 按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以为圆心， 大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点， 连接， 则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用基本作图得到平分，，再证明得到，接着利用勾股定理计算出，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得到平分，， ∴ 在和中， ∴ ∴, ∵ ∴， ∴的周长． 故答案为：． 29．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型11线段垂直平分线的性质 【典例11】（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F． （1）若，，则 ； （2）若，，则 （用含m，n的代数式表示）． 【答案】 16 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由中垂线的性质得，由得，由勾股定理得，进而求得，从而求出； （2）思路方法同（1）． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； 故答案为：16； （2）∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 【变式练习】 30．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 31．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 32．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别交边，于点，． 若，，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、垂直平分线的性质及直角三角形性质的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键． 【详解】∵在平行四边形中，，（由得），， ∴过点作于点， 在中，，， ∴，根据“含角的直角三角形中，角对的直角边是斜边的一半”， ∴， 再根据勾股定理，，即， ∵，， ∴， 在中，，根据勾股定理，， ∴， ∵，且， ∴，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，且斜边为， ∴， ∵，，三角形内角和为， ∴， ∵平行四边形中，内错角相等， ∴，即， ∵由作图步骤知直线是线段的垂直平分线， ∴，为等腰三角形，， ∴， 设与相交于点，∵是的垂直平分线， ∴是中点， ∴​， 在中，，​（或用含角的直角三角形性质）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型12三角形与尺规作图 【典例12】（2024·广东·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作角平分线及平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的作法可得答案； （2）由平行四边形的性质可知，，所以，再结合已知可推出，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 【变式练习】 33．（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 34．（2024·吉林长春·模拟预测）综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作平行线的三种方案：①作同位角相等，得到平行线；②作垂直于同一条直线的两条直线，得到平行线；③作角的平分线与等腰三角形，得到平行线．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（    ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 【详解】解：图2的依据是同位角相等，两直线平行；图3的依据是垂直于同一条直线的两条直线平行；图1的依据是角的平分线与等腰三角形，得到平行线． 故答案为：②③①． 故选：C． 35．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，点在边上，连接，过点在右侧作射线．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查相似三角形的尺规作图，涉及知识点：相似三角形的判定（两角对应相等）、尺规作角．解题方法是利用 “两角对应相等的三角形相似”，通过尺规作角使与的角对应相等；解题关键是确定相似三角形的对应角，易错点是作角时的对应关系错误．解题思路：由且，通过尺规作，其与射线的交点即为点． 【详解】解：要使，已知，只需使（两角对应相等，三角形相似）． 通过尺规作，射线与射线的交点，满足． 如图所示， 作图步骤： 1、以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 2、取为半径，以为圆心画弧，与步骤1的弧交于点； 3、连接并延长交于点； 36．（2025·甘肃定西·一模）如图，在中，． (1)作的角平分线，交于点D；（尺规作图，保留痕迹） (2)在的延长线上任取一点E，连接．求证：； (3)当时，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形，见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”及全等三角形和平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，可得答案； （2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，利用边角边即可判定； （3）根据菱形的判定定理，可得答案． 【详解】（1）解：如图， 即为所求；      （2）∵平分， ∴， ． 在和中， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 由（2）得， ∴四边形是菱形． 题型13全等三角形综合问题 【典例13】（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，，平分，点B是射线上一定点，点C在射线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点B顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点D和点E． (1)请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)请探究线段和之间的数量关系，写出结论并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形的综合问题，涉及到三角形全等的判定及性质的综合应用，解直角三角形、旋转的性质等知识点，熟练运用这些知识是解题关键． （1）结论：，只要证明即可． （2）结论：，先可得，再证明即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图3，作于，于， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，作于，于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由①知， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式练习】 37．（25-26九年级上·重庆·月考）数学爱好者小育发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：． 小育的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程 证明：是的角平分线，， ∴① ． 是的角平分线，， ． ∴② ． 在和中， ∴④ ． 由此他得到结论：三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）利用角平分线的性质可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：是的角平分线，，， ， 是的角平分线，，， ． ． ，， ， 在和中， ， ． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 故答案为：；；；． 38．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D在线段的延长线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，过点E作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由旋转的性质可知，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，设，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ， ∵， ， ， 在中，， ∴， 设，则有， ∴， 解得， ∴ ∴． 39．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 易错点01对三角形的高的理解 【错因】三角形的高的理解不到位而出错 【避错关键】本题的易错点在于看到垂直就认为是高.判断三角形一边上的高要符合两个条件：一是垂线段过这条边所对的顶点；二是垂线段的垂足在这条边（或该边的延长线)上， 【典例】 1．画中边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 2．在锐角三角形中，．若甲，乙，丙三位同学分别用尺规作该三角形的高，作法如下图所示，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙和丙对 C．只有甲和丙对 D．甲，乙，丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，尺规作图，三角形高的定义，熟练掌握尺规作图是解题的关键．根据垂直平分线的性质及三角形内角和定理、三角形高的定义进行判断甲的作法；根据直径所对的圆周角是直角判断乙的作法；根据作一个角等于已知角得出，然后根据三角形内角和定理、三角形高的定义进行判断丙的作法． 【详解】解：甲的作法： 由作图痕迹可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 即是上的高， 故正确； 乙的作法： 由作图痕迹可知是的垂直平分线， 为圆的直径， ， 即是上的高， 故正确； 丙的作法： 由作图痕迹可知， ， ， ， 即是上的高， 故正确； 故选：D． 易错点02三角形的中线与周长差和面积问题 【错因】不能熟练掌握三角形中线的性质 【避错关键】三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分、这两部分的周长差等于两边之差 【典例】 3．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长． （2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）或者；（2）周长为或者10 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论． （2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案． 【详解】设腰长为2x,底为y，根据题意得： ① 解得： 三边为10,10,7 ② 解得： 三边为8,8,11 故本题答案为：或者 ①当时，解，此时，能构成三角形． 此时周长为10 ②当时，解，此时不能构成三角形． ③当，解得， 此时，能构成三角形，周长为＝7 综上，三角形的周长为7或者10． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题． 4．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形中线的性质，掌握好三角形的中线平分面积是解题关键． 根据三角形的中线平分面积的性质，，，，计算出答案即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 同理可得，，． 故答案为：8． 5．如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的7倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等，可得，，，，，，，的面积都相等， ∴， 同理， ， ， 以此类推，． 故答案为：． 易错点03三角形的三边关系 【错因】在求线段的长或周长时忽略三角形的三边关系 【避错关键】已知两边长求第三边长的步骤 (1)列：根据三角形三边关系正确列出不等式（组）： (2)解：解不等式（组），得出第三边长的取值范围； (3)定：根据题目条件确定第三边长的值 【典例】 6． 已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 【详解】（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； （2）若两条边长a和都是腰，则，解得，不符合题意，舍去； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，全面分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1)该三角形最短边的最小值4； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 8．［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【答案】(1)4 (2)，是“好运三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． 易错点04三角形求角或边时漏解 【错因】没有对题目和图形进行正确的讨论 【避错关键】易错点在于题目没有明确说明三角形是锐角三角形还是钝角三角形，不同的三角形结论不同，容易出现考虑不全面从而出现漏解的错误， 【典例】 9．在中，，BD是AC边上的高，，求的度数． 【答案】60°或30° 【分析】分两种情况，首先画出图形，根据三角形高线的定义可得∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理或三角形外角的性质求出∠C的度数即可． 【详解】分两种情况： （1）当为锐角三角形时，如图1所示， 在中，∵BD是AC边上的高， ∴， ∴， 又∵， ∴. ∵， ∴. （2）当为钝角三角形时，如图2所示， 在中，∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 综上，∠C的度数为60°或30°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，分情况讨论并作出图形是解题关键，注意不要漏解. 易错点05全等三角形的性质与判定 【错因】不能熟练掌握三角形全等的判定 【避错关键】公共边、对顶角、公共角、同角的余角（或补角）相等，这些隐含条件在题干中不会直接给出，在证明时要特别注意挖掘这些重要条件， 【典例】 10．如图，中，点D在直线上，点F在直线延长线上，，，． (1)如图①，求证：； (2)图②和图③中线段、、之间有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)图②中；图③中 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证，再证明≌，即可得出结论； （2）先证，再证明≌，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴； （2）解：图②：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴； 图③：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴． 11．已知，在中，，点是射线上任意一点，连接，过点作，垂足为点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)如图1，当点在线段上，且时，求的长； (2)如图2，当点在的延长线上时，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）证明，得出； （2）证明得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：线段、和的数量关系为， 证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 技巧01：三角形的外角基本模型 《方法技巧》 内角平分线 + 外角平分线模型： 在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于一点E，则∠E = ∠A。 两外角平分线模型： △ABC中，∠B与∠C的外角平分线交于点F（旁心），则∠BFC = 90° - ∠A。 【典例】 1．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 2．如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②错误； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 技巧02：全等三角形的基本模型：倍长中线 《方法技巧》 1.(1)倍长中线：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后与三角形的另外一个顶点相连，根据“SAS”构造全等三角形； (2)从三角形另外两个顶点向中线作垂线段，利用“AAS”构造全等三角形.利用中线构造全等三角形多用于证明线段之间的关系. 2.解题思路：题干中出现三角形一边的中线（或与中点有关的线段）以及中点，通常考虑利用中线构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题. 【典例】 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小林的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．   B．  C．    D． (2)的取值范围是________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中进行研究； 【问题解决】如图②，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方式即可求得答案； （2）根据，即可求得答案； （3）延长至点，使，连接，证明，结合和，即可求得答案． 【详解】（1）解：在和中 ∴． 故选：B （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： （3）如图所示，延长至点，使，连接．    在和中 ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 4．【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2），见解析； 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握倍长中线构造全等是解题的关键； （1）延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，证明，求出，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）延长到H使得，连接，证明，再证明，即可得证． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 延长到H使得，连接， ∵，，； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 技巧03：全等三角形的基本模型：一线三等角 《方法技巧》 一线三等角模型是一个常见的模型，两个相等角的一边在同一条直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在这两个相等角的顶点所确定的线段或线段延长线上，两边分别位于这条直线的同侧或异侧，且与两相等的角的两边相交（一直线上有三个相等的角一般可证全等). 【典例】 5．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 6．（1）问题发现：如图1，，将边绕点顺时针旋转得到线段，在射线上取点，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化？如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为，点是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作 ，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）发生变化，． 证明：由（1）得，，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵线段逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键． 技巧04：全等三角形的基本模型：手拉手模型 《方法技巧》 两个具有公共顶点的多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等三角形，这样的图形称为共点旋转模型.为了更加直观，我们形象地称其为手拉手模型. 【典例】 7．（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 8．综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是 ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）的最小值为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）通过旋转性质得，结合、证，得；由且（等腰顶角），得与关系． （2）利用旋转得，结合推导，再由证，得． （3）延长到使，证得，确定的轨迹，过作，求长度即最小值． 【详解】（1）解：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ，， 故答案为：，， （2）证明：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ； （3）延长到，使，则， ，， ，， 由旋转得，， ， ，即， 又，， ， ， 在过且与夹角为的直线上， 过作于，则为的最小值， 在中，，， ，即的最小值为． 技巧05：全等三角形的基本模型：半角模型 《方法技巧》 核心特征： 共顶点：存在一个共顶点的两个角（通常是大角和小角）。 半角关系：小角的度数是 大角度数的一半。最典型的是：大角90°，小角45°；大角120°，小角60°；大角60°，小角30°等。 等线段：从该顶点出发的两条线段长度相等（例如，在正方形中，两条邻边相等）。 简单来说，就是 “大角含半角，邻边相等” 的基本结构。 【典例】 9．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 10．如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由勾股定理直接求解； （2）①如图1，延长到点G，使，连结，先证明，再证明，即可求解；②依题意得，记的周长，则，故（I）当秒时，点在线段上，点在上，由①知，II）当时，点与点重合，不存在；III）当时，点在延长线上，点在延长线上，如图2，在上取点G，使，连结，同理可得，，． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：①它们的关系为．理由如下 如图1，延长到点G，使，连结， 又， ，， ， 又， 即 ②依题意得，记的周长， ，， ， （I）当秒时，点在线段上，点在上， 由①知 ， II）当时，点与点重合，不存在. III）当时，点在延长线上，点在延长线上， 如图2，在上取点G，使，连结， 同理可得， 综上所述，当秒时周长为， 当时，不存在. 当秒时，周长为． 技巧06：全等三角形的基本模型：截长补短法 《方法技巧》 1.所谓截长补短其实包含两层意思，即“截长”和“补短”.所谓“截长”就是将三条线段中最长的线段分成两条，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明截剩的另一条线段与已知的另一条线段的大小关系；所谓“补短”就是将一个已知的较短线段延长，使延长部分与另一个已知线段相等，然后求出两条已知 线段拼成的线段与最长线段的关系.主要用来证明三条线段间的和差问题，即当条件或结论中出现a十b=c或a一b=c时，用截长补短法， 【典例】 11．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 技巧07：全等三角形的基本辅助线：作平行线 【典例】 13．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 14．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 技巧08：全等三角形的基本辅助线：作垂直 【典例】 15．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF． （1）求证：∠CAB＝∠CAD； （2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）由旋转旋转可得△CAB≌△CFD，再根据全等三角形的性质和∠ABC+∠ADC=180°，即可得∠CAB=∠CAD； （2）根据∠ABD=90°，AB=3，BD=4，可得AD的长，再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据△BCE和△CDE同高，即可得S1：S2的值． 【详解】解：（1）证明：由旋转旋转可知：△CAB≌△CFD， ∴∠CDF=∠CBA，∠F=∠CAB，CA=CF， ∵∠CBA+∠CDA=180°， ∴∠CDF+∠CDA=180°， ∴A、D、F三点共线， ∵AC=CF， ∴∠F=∠CAD， ∴∠CAB=∠CAD； （2）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N， ∴∠ABE=∠AME=90°， 在△ABE和△AME中， ， ∴△ABE≌△AME（AAS）， ∴AM=AB=3，BE=ME， ∵∠ABD=90°，AB=3，BD=4， ∴AD==5， ∴DM=2，设BE=EM=x，则DE=4-x ∴x2+22=（4-x）2， 解得x=1.5， ∴BE=1.5，DE=2.5， ∴S1：S2=BE•CN：DE•CN=． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 16．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，进而可得； （2）过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，由角平分线的性质定理和判定定理可得，根据可得； （3）过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【详解】（1）解：是中的遥望角， 平分，平分， ，， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，   平分，，， ， 同理， ， ，， 平分，即， ， ； （3）证明：如图，过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，   ，，， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 平分， 平分， 是中的遥望角． 【点睛】本题考查角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，三角形外角的定义和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据利用三角支架可以固定平板电脑的位置，得出这样做的数学原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 2．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 3．（2025·湖北·一模）如图中的照片是某处栏杆的拐角，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先根据，得，再结合三角形内角和为180度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴； 故选：D． 5．（2025·云南·模拟预测）某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告： 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 已知地面、桌面均为水平面， 调查问题：的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质、平行线的判定和性质，解题的关键是能正确做出辅助线． 延长交于点Q，则，过点B作，则，根据题意得，则，结合即可； 【详解】解： 延长交于点Q，则， 过点B作，则， ∵地面、桌面均为水平面，， ∴， ∴， 则 故选：C 6．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，点在边上，，若，则的度数为（    ） A．125° B．135° C．145° D．155° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 先在直角三角形中求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 7．（2026·江西·模拟预测）在中，，平分，交于点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出. 【详解】解：∵，，平分， ∴， 故选：A． 8．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 9．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝5，面积为15，则BM+MD长度的最小值为（　） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 连接、，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， 连接、，如图， ∵（当且仅当M点在上时取等号）， ∴的最小值为， ∵，D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴长度的最小值为． 故选：A． 二、填空题 11．（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中,平分，过点B作，垂足为D，连接．若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 平分，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    【答案】 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后对应的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．根据题意画出图形，过点P作轴于点C，过点作轴于点D，首先证明，然后得到，即可得出答案． 【详解】解：过点P作轴于点C，过点作轴于点D， 则 ， ∵旋转， ∴ ∴ ， ． 在和中， ， ． ∵ ， ， ， ∵点在第四象限， ． 故答案为：． 16．（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点O到的距离，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵的两个外角的平分线，相交于点O， ∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离， ∴点到的距离等于点O到的距离， ∵点O到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴的面积为； 故答案为：7． 三、解答题 17．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 18．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 20．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作； ． 21．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 22．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 【详解】解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 23．（2026·西藏·模拟预测）好学的小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证：根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．再写出证明过程，小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，请你帮他用符号表示已知，求证，并写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．掌握三角形全等的判定定理并能灵活应用是解决本题的关键．可设，，和分别是和的中线，且，易得，利用可求得，那么，进而根据可得． 【详解】解：已知，如图：和中，，，和分别是和的中线，且， 求证：． 证明：∵和分别是和的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 24．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $