专题04一次函数（知识清单）（6大考点+14大题型+4大易错+4大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统覆盖一次函数专题，包含6大核心考点（概念、图象性质、平移等）、14大重难题型（定义辨析、性质应用等）、4大易混易错点及4大方法技巧，构建从基础梳理到综合应用的完整复习体系。 清单以思维导图呈现知识结构培养数学眼光，题型按难度分级标注（如“平移问题”标★★★），易错点附“左加右减”等口诀强化数学语言表达，方法技巧拆解“待定系数法四步法”培养推理意识，24道实战题适配不同学情，助力学生自主高效复习，为教师教学提供精准素材。

专题04一次函数 （6大考点+14大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点） 考点01一次函数的有关概念 考点02一次函数的图象与性质 考点03一次函数的平移 考点04待定系数法求一次函数解析式 考点05一次函数与方程、不等式之间的关系 考点06一次函数的应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（14大重难题型） 题型01正比例函数与一次函数的有关定义 题型02正比例函数与一次函数的图象 题型03正比例函数的性质 题型04根据一次函数的增减性求参数 题型05已知一次函数经过的象限求参数 题型06一次函数的平移 题型07一次函数的对称与旋转 题型08一次函数与坐标轴的交点 题型09一次函数的函数值 题型10一次函数与方程、不等式 题型11一次函数的规律探究 题型12一次函数的新定义问题 题型13一次函数的实际应用 题型14一次函数与几何综合 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01一次函数的平移 易错点02一次函数的性质的综合应用 易错点03一次函数的点的变化规律探究 易错点04一次函数与坐标轴的交点问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 技巧01：利用一次函数的性质解决最大利润问题 技巧02：利用一次函数的性质解决方案问题 技巧03：一次函数与行程问题 技巧04：一次函数与几何综合问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.理解正比例函数、一次函数的有关概念 2.能画正比例函数和一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)，并理解k>0和k＜0时图像的变化情况，掌握一次函数的有关性质，理解正比例函数、一次函数的平移问题 3.会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 4.理解一次函数与二元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 5.会用一次函数解决有关实际问题 考点01一次函数的有关概念 1.正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 2.一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 考点02一次函数的图象与性质 1.正比例函数图象的性质 （1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． （2）当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 2.一次函数的图象和性质 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-b/k，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数图象与系数的关系: 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 考点03一次函数的平移 (1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得y=k(x+m)+b的图象; (2)-次函数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得y=k(x-m)+b的图象; (3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得y=kx+b+n 的图象; (4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得y=kx+b-n的图象. 考点04待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值． 考点05一次函数与方程、不等式之间的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 2.一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3.二元一次方程（组）与一次函数的关系 考点06一次函数的应用 1.利润(费用)最值问题 通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值 2.行程问题 (1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义; (2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的取值范围; (3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的实际意义。 3.方案选取问题 方案选取问题的解题步骤 (1)建立一次函数模型; (2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计; (3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案 题型01正比例函数与一次函数的有关定义 【典例】（2025·四川乐山·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，那么的值是 . 【变式练习】 1（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为．当时，的值为 ． 4．（2025·湖北武汉·三模）若一次函数的图象过点，则 ． 题型02正比例函数与一次函数的图象 【典例】（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【变式练习】 5．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江西·模拟预测）已知压力 F、压强P 与受力面积S之间的关系式为．当受力面积S为定值时，则表示压强P 与压力 F 之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型03正比例函数的性质 【典例】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【变式练习】 8．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·上海·模拟预测）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为 ． 题型04根据一次函数的增减性求参数 【典例】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为 ． 【变式练习】 11．（25-26九年级上·重庆·月考）已知一次函数的随的增大而增大，则下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2024·陕西·模拟预测）若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级下·江苏淮安·月考）一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 题型05已知一次函数经过的象限求参数 【典例】（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式练习】 14．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·湖北·三模）若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是 ．（写出一个即可）． 16．（2020·四川巴中·模拟预测）有5张卡片的正面分别写有数字， ， 2， 3， 4，它们除了数字不同外其余完全相同．现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的数字能使一次函数的图象不经过第三象限的概率为 ． 题型06一次函数的平移 【典例】（25-26九年级上·陕西延安·月考）将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 17．（25-26九年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 19．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 题型07一次函数的对称与旋转 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 20．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 题型08一次函数与坐标轴的交点 【典例】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 23．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 24．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 25．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ． 26．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)求点的坐标； (2)当的面积是面积的时，求t的值． 题型09一次函数的函数值 【典例】（23-24八年级上·安徽亳州·月考）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 27．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 28．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 题型10一次函数与方程、不等式 【典例】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【变式练习】 29．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 题型11一次函数的规律探究 【典例】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标为，，点C在直线上，，直线m与x轴的正半轴所成的角为；连接，，将绕点C顺时针旋转到，点B的对应点落在直线m上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线m上．如此下去，…，则的纵坐标是（   ） A．2010 B．2004 C．1988 D．1982 【变式练习】 32．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 33．（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 34．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ． 题型12一次函数的新定义问题 【典例】（2025·湖南常德·三模）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（   ） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【变式练习】 35．（2025·湖南株洲·三模）定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（   ） A．函数图象上的“零和点”就是原点 B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C．函数图象上至少有一个“零和点” D．函数图象上有且只有一个“零和点” 36．（2025·江苏无锡·二模）定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 37．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ． 38．（2025·湖南娄底·三模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 题型13一次函数的实际应用 【典例】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【变式练习】 39．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 40．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 41．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 42．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 题型14一次函数与几何综合 【典例】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点． (1)求点，点的坐标； (2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【变式练习】 43．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 44．（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是 ． 45．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且． (1)求的表达式； (2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标； (3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值． 46．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 易错点01一次函数的平移 【错因】没有理解一次函数的平移规律 【避错关键】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加右减，上加下减 【典例】 1．（2025·陕西·模拟预测）将一次函数的图像向下平移5个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图像上，则的值为（   ） A． B．8 C． D．3 2．（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（2025·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，将直线向上平移个单位长度，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为 ． 易错点02一次函数的性质的综合应用 【错因】不能灵活应用一次函数的性质，尤其是含有参数问题 【避错关键】(1)k的符号决定直线从左向右星上升趋势还是下降趋势，当k>0时，呈上升趋势：当k<0时，呈下降趋势 (2)b的特号决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b<0时，直线与y轴的交点在x轴的下方：当b=0时，直线经过原点. 【典例】 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，点和在该函数图象上，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 5．（2025·江苏盐城·一模）代数式，代数式． (1)当时，若，则 x 的取值范围是 ； (2)若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由； (3)将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围． 易错点03一次函数的点的变化规律探究 【错因】不能灵活应用一次函数和几何性质，没有找到变化的规律 【避错关键】一次函数组与几何规律探究的解题核心是联立函数求关键点（交点、特殊线交点），结合几何图形性质（距离、面积、对称性等）推导规律 【典例】 1．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 易错点04一次函数与坐标轴的交点问题 【错因】不能正确求出一次函数与坐标轴的交点或者考虑不全面 【避错关键】（1）一次函数与坐标轴围成的三角形面积为. (2)当已知线段长和其中一个端点的坐标，求另一个端点的坐标时，要注意可能存在两种情况，此时要注意分类讨论思想的运用 【典例】 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 3．（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 技巧01：利用一次函数的性质解决最大利润问题 《方法技巧》 建立一次函数模型，利用一次函数的增减性解决实际问题时，自变量往往是在一定的范围内取值，这使得实际问题的最值，通常在一次函数自变量取值范围的两端处取得 【典例】 1．（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 2．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 3.（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）“五一”节前夕，贝贝佳商场准备购进A，B两种商品，已知购进每件A 商品比每件B商品少用5元，用300元购进A商品和400元购进B商品的数量相同． (1)求A，B两种商品每件的进价分别为多少元； (2)若购进A，B两种商品共200件的费用不低于3400元且不高于3500元，请求出该商场有几种采购方案； (3)在（2）的条件下，A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，200件商品全部售出的最大利润为1500元，请直接写出a的值． 技巧02：利用一次函数的性质解决方案问题 《方法技巧》 先利用已知条件中的数量关系列出函数解析式，并确定自变量的取值范围，再根据实际情况将一次函数转化为方程和不等式，通过求解确定适合的方案 【典例】 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 2．（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 3．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 技巧03：一次函数与行程问题 《方法技巧》 一次函数与行程问题的解题核心是用函数表达式y=kx+b）表示“路程、时间、速度”的关系，通过分析函数图像或解析式，提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 【典例】 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 2．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 3．（2017·吉林长春·一模）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为x小时，、关于的函数图像如图所示： (1)根据图像，直接写出、关于的函数关系式． (2)求两车相遇时的值． (3)两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式． 技巧04：一次函数与几何综合问题 《方法技巧》 一次函数与几何综合题的解题核心是建立“函数坐标”与“几何图形边长、角度、面积”的关联，通过求函数解析式确定关键点坐标，再用几何公式计算图形属性（如线段长度、面积、周长） 【典例】 1．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 2．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴上，是一元二次方程的两个解经过点C的直线与x轴交于点D，点P从点D出发，沿直线以每秒个单位长度的速度向终点C移动；同时，点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒 (1)求点A、点C的坐标； (2)求线段的长（用含t的式子表示），并直接写出t的取值范围； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与两线段长度之比为？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 3．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 5．（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 7．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北·模拟预测）如图，在正方形中，交于点O，点M，N分别以相同的速度从点D，A 同时出发，其路线分别为，设，则能够大致反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏无锡·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·江苏苏州·模拟预测）过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是 （只需写出一个即可）． 12．（2022·内蒙古乌海·一模）从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是 ． 13．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 14．（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ． 15．（2025·江苏泰州·三模）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 三、解答题 17．（2025·山东临沂·一模）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶时，剩余电量；行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是均匀的，若剩余电量用表示，行驶路程用表示． (1)求该车y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 18．（2025·陕西西安·一模）某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按绸定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的关系式； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 19．（2023·陕西咸阳·一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 20．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知直线交轴、轴分别为点、． (1)点在直线上，，求点的坐标． (2)点，在的延长线上，且，求的值． 21．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 22．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一次函数 （6大考点+14大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点） 考点01一次函数的有关概念 考点02一次函数的图象与性质 考点03一次函数的平移 考点04待定系数法求一次函数解析式 考点05一次函数与方程、不等式之间的关系 考点06一次函数的应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（14大重难题型） 题型01正比例函数与一次函数的有关定义 题型02正比例函数与一次函数的图象 题型03正比例函数的性质 题型04根据一次函数的增减性求参数 题型05已知一次函数经过的象限求参数 题型06一次函数的平移 题型07一次函数的对称与旋转 题型08一次函数与坐标轴的交点 题型09一次函数的函数值 题型10一次函数与方程、不等式 题型11一次函数的规律探究 题型12一次函数的新定义问题 题型13一次函数的实际应用 题型14一次函数与几何综合 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01一次函数的平移 易错点02一次函数的性质的综合应用 易错点03一次函数的点的变化规律探究 易错点04一次函数与坐标轴的交点问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 技巧01：利用一次函数的性质解决最大利润问题 技巧02：利用一次函数的性质解决方案问题 技巧03：一次函数与行程问题 技巧04：一次函数与几何综合问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.理解正比例函数、一次函数的有关概念 2.能画正比例函数和一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)，并理解k>0和k＜0时图像的变化情况，掌握一次函数的有关性质，理解正比例函数、一次函数的平移问题 3.会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 4.理解一次函数与二元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 5.会用一次函数解决有关实际问题 考点01一次函数的有关概念 1.正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 2.一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 考点02一次函数的图象与性质 1.正比例函数图象的性质 （1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． （2）当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 2.一次函数的图象和性质 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-b/k，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数图象与系数的关系: 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 考点03一次函数的平移 (1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得y=k(x+m)+b的图象; (2)-次函数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得y=k(x-m)+b的图象; (3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得y=kx+b+n 的图象; (4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得y=kx+b-n的图象. 考点04待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值． 考点05一次函数与方程、不等式之间的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 2.一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3.二元一次方程（组）与一次函数的关系 考点06一次函数的应用 1.利润(费用)最值问题 通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值 2.行程问题 (1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义; (2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的取值范围; (3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的实际意义。 3.方案选取问题 方案选取问题的解题步骤 (1)建立一次函数模型; (2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计; (3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案 题型01正比例函数与一次函数的有关定义 【典例】（2025·四川乐山·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，那么的值是 . 【答案】3 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：点在一次函数的图像上， ． 解得：， 故答案为：3． 【变式练习】 1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标对比，判断该点是否在函数图象上． 【详解】解：当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）某植物的高度（）与生长天数（）之间的函数关系式表示为．当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知自变量的值求函数值，把代入一次函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：把代入得：． 故答案为：． 4．（2025·湖北武汉·三模）若一次函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，把代入得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴把代入得到， ∴， 故答案为：． 题型02正比例函数与一次函数的图象 【典例】（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 【变式练习】 5．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限， 故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故D选项符合题意． 故选：D． 6．（2025·江西·模拟预测）已知压力 F、压强P 与受力面积S之间的关系式为．当受力面积S为定值时，则表示压强P 与压力 F 之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解题关键是由（定值）推导出与的正比例函数关系，进而判断图象． 【详解】∵压力 F、压强P 与受力面积S之间的关系式为， ∴当S为定值时，压强P 与压力F之间的函数关系是正比例函数， 故选：D． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 题型03正比例函数的性质 【典例】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限， ， 函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小． 当时，；正比例函数的图像是倾斜直线． 所以选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式练习】 8．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 9．（2024·上海·模拟预测）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：因为正比例函数， 所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2， 即当自变量x的值增加1时，函数y的值增加． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可． 【详解】解：， y随x的增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为； 当时，函数的最大值与最小值的和为． 故答案为：2． 题型04根据一次函数的增减性求参数 【典例】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式练习】 11．（25-26九年级上·重庆·月考）已知一次函数的随的增大而增大，则下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大是解题的关键． 直接根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵一次函数的随的增大而增大， ∴． 故选B． 12．（2024·陕西·模拟预测）若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式，由一次函数的图象经过点，则，即，然后通过的值随值的增大而增大可得，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的值随值的增大而增大， ∴， ∴，解得， ∴选项符合题意， 故选：． 13．（23-24九年级下·江苏淮安·月考）一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当一次函数（，为常数， ）中时，函数值随的增大而减小，本题中，据此列不等式求解的取值范围．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）中的取值对函数增减性的影响是解题的关键． 【详解】解：∵ 一次函数的函数值随的增大而减小， ∴ ， 解得． 故答案为： ． 题型05已知一次函数经过的象限求参数 【典例】（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函数的图象与系数的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线 在第二象限交于点， 直线过二、三、四象限， ， 直线与轴的交点为， 把点为代入得，， 直线与直线在第二象限交于点，则． 故选：A． 【变式练习】 14．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 15．（2024·湖北·三模）若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是 ．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围，进而即可求解． 由一次函数图象经过第一、二、四象限，可知在范围内确定k的值即可． 【详解】解：因为一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限， 所以 所以k可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2020·四川巴中·模拟预测）有5张卡片的正面分别写有数字， ， 2， 3， 4，它们除了数字不同外其余完全相同．现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的数字能使一次函数的图象不经过第三象限的概率为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象不经过第三象限，判定，根据简单地概率公式解答即可． 本题考查了一次函数的图象分布，简单地概率公式应用，熟练掌握图象分布，概率计算是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数的图象不经过第三象限，得， a是负数的可能性有， 两种，一共有， ， 2， 3， 4，共5种可能性， 故图象不经过第三象限的概率为， 故答案为：． 题型06一次函数的平移 【典例】（25-26九年级上·陕西延安·月考）将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证． 根据平移规律，将向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得新函数解析式；将选项中代入解析式，计算值，匹配对应选项． 【详解】解：根据平移规律，一次函数向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得：． 当时，， 即新函数图象过点，对应选项C． 故选：C． 【变式练习】 17．（25-26九年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据一次函数图象平移的规律，沿y轴向下平移时，函数关系式中的常数项减去平移单位即可． 【详解】解：∵原函数为 ，沿y轴向下平移5个单位， ∴新函数为 ． 故选：C． 18．（25-26九年级上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，得到的新的一次函数解析式为， 故答案为：． 19．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 题型07一次函数的对称与旋转 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 【变式练习】 20．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 21．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 22．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 题型08一次函数与坐标轴的交点 【典例】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值． 【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式练习】 23．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 24．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先求出，，得为等腰直角三角形，当时，最小，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段的长度． 【详解】解：如图所示：    ∵直线，即， 令，则； 令，则， 解得， ，， ，， 是等腰直角三角形， 当时，最小， ∴． 故选：C． 25．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，一次函数与几何综合，解题的关键在于根据建立等式． 利用解析式求出点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：直线交轴于点，交轴于点， 当时，，当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为， 点是轴上一点（不与点A重合），且， 点在点右侧， 设点的坐标为， 则， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 26．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)求点的坐标； (2)当的面积是面积的时，求t的值． 【答案】(1)点；点 (2)或3秒 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将和分别代入，即可求得答案； （2）通过勾股定理求得，根据题意，可知，接着证明，得到，从而表示出，通过列出方程，解出答案即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 点； 当时，， ∴点． （2）解：点， ， ，， ∵动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒， ． 如图，过点Q作，易得， ， 即， ， ． ∵的面积是面积的时， ∴， 解得或3秒． 题型09一次函数的函数值 【典例】（23-24八年级上·安徽亳州·月考）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟练掌握由k的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．先根据一次函数的解析式判断出其增减性，再求出与时y的值即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴当时，， 故选：B． 【变式练习】 27．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 28．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 题型10一次函数与方程、不等式 【典例】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 【变式练习】 29．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 30．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数与的图象交于点，且经过点，即可得出的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点， ∴当时，则， 故选：B 31．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 题型11一次函数的规律探究 【典例】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标为，，点C在直线上，，直线m与x轴的正半轴所成的角为；连接，，将绕点C顺时针旋转到，点B的对应点落在直线m上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线m上．如此下去，…，则的纵坐标是（   ） A．2010 B．2004 C．1988 D．1982 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故选：B． 【变式练习】 32．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标． 【详解】∵，点， ∴， ∴， 过作x轴于M， 过作y轴于N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， 同理可求得：纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同， ，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，， 根据图象得出，，， 直线的解析式为， 的纵坐标为， 把代入，解得， 的坐标是， 当时，， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的坐标规律探究，待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形和正方形的性质，找到规律是解题的关键． 33．（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质． 根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标． 【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、， 正方形、、， 与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称， ，， ，即，，即， ，， 将与的坐标代入中得： ， 解得：， 直线解析式为， 设，则有坐标为， 代入直线解析式得：， 解得：， 坐标为，即， 依此类推． 故答案为：． 34．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴，， ∴点的横纵坐标为， ∴， ∴的纵坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为： 题型12一次函数的新定义问题 【典例】（2025·湖南常德·三模）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（   ） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy=−x+18y=2a+1xy=−x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．∵， ∴不是“乾坤点”，故选项A错误； B．∵函数的图象上存在“乾坤点”， ∴， 解得， ∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误； C．若函数是“乾坤函数”， 则，即， ∴， ∴方程无解， ∴函数的图象上不存在“乾坤点”， ∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误； D．∵是“乾坤函数”， ∴， 化简，得， ∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， ∴， ∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确， 故选：D． 【变式练习】 35．（2025·湖南株洲·三模）定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（   ） A．函数图象上的“零和点”就是原点 B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C．函数图象上至少有一个“零和点” D．函数图象上有且只有一个“零和点” 【答案】C 【分析】本题考查相反数的应用，解题的关键是正确理解“零和点”． 根据“零和点”的定义，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、联立和，得，解得，对应，即原点，故选项A不符合题意， B、联立和，得，解得，故选项B不符合题意， C、联立 和，得，整理为，无实数解，故无零和点，故选项C符合题意， D、联立和，得，解得，唯一解，故选项D不符合题意， 故选：C． 36．（2025·江苏无锡·二模）定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 37．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点． （1）根据新定义求解即可； （2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得，函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即， 故答案为：； （2）设函数上一点为， 由新定义可得，函数上一点为， 将代入，则， 则， ∵函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 38．（2025·湖南娄底·三模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 【答案】①③ 【分析】本题考查了函数的新定义问题，一次函数、反比例函数及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，根据“倍值函数”的定义逐一判断即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①当时，，方程无解， ∴函数不是“倍值函数”，故①错误； ②当时，， 解得或， 经检验，得或是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和，故②正确； ③当时，， 整理得，， ∵关于的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③错误； 综上，说法不正确的序号为①③， 故答案为：①③． 题型13一次函数的实际应用 【典例】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 【变式练习】 39．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 40．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 【答案】(1)， (2) (3)2小时或5小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图像、待定系数法确定函数解析式等知识点，正确从函数图像上获取信息、确定快车与慢车的速度是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，然后根据行程问题即可求得速度和；由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，即快车与慢车的速度比为，进而求得快车到达乙地的时间； （2）由题意可得：，再求得点C的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （3）分相遇前两车间的距离是200千米、快车到达乙地前、快车返回甲地前三种情况，分别运用一次函数和行程问题求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，则快、慢两车的速度和是； 由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走， ∴快车与慢车的速度比为， ∴快车的速度为，慢车的速度为， ∴快车到达乙地的时间为小时． 故答案为：，6． （2）解：由题意可得：，当快车到达乙地的时，总共行驶了6小时，慢车行驶了， 则从B点到点C，快车休息了半小时，即C点的横坐标为，慢车行驶路程为：，即C点的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 则，解得：， ∴． （3）解：如图：当相遇前两车间的距离是200千米时， 由图像可知：， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶小时，两车相距200千米； ②如图：当快车到达乙地前，两车相距200千米时， 由题意的点，， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶5小时，两车相距200千米； ③当快车返回甲地前，两车相距200千米时， 由题意可得：快车到达乙地共用时6小时，返回甲地行驶时间小时， ∴快车返回甲地的速度为， ∴快车返回甲地前，两车相距200千米，快车行驶时间为 小时． 综上，快车行驶2小时或5小时或小时时，两车间的距离是200千米． 41．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可； （2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入y关于x的函数解析式， 得， 解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：①当时，得， 解得， 答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆； ②当时，得， 解得， （分钟）， 答：最晚10分钟需启动限流措施． 42．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1) (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ； （2）解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 题型14一次函数与几何综合 【典例】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点． (1)求点，点的坐标； (2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，二次函数的性质，熟练利用相关函数的性质是解题的关键． （1）根据含有的直角三角形中边的关系，得到，再利用勾股定理即可解答； （2）求得直线的解析式，再证明四边形为矩形，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， . ； （2）解：设的解析式为， 将点，代入， 得， 解得， 的解析式为， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，， 垂直于轴，垂直于轴，， ， 四边形是矩形， ， ， 点在线段上， ， 当时，四边形的面积有最大值， 当时，点纵坐标为， ． 【变式练习】 43．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【详解】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． 44．（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 45．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且． (1)求的表达式； (2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标； (3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先确定、，则、，再证明，利用相似三角形的性质可得，即；然后用待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D．此时；再求得直线为、为，然后分别联立和、和求点D的坐标即可； （3）如图：过点C作于点G，取点G使得，易得，再证明可得，即当B、F、G三点共线时，有最小值．如图：过点G作轴于点H，轴于点K，易证可得，，进而得到，然后运用待定系数法求得直线的解析式为，易得、，最后代入求比例即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ， ，， ， ， ， ， ， 设的表达式为过点B、C ，解得： 的表达式为． （2）解：如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D． 设直线为，直线为， 代入，代入， 得：， 为，为 联立和可得：，解得：， 坐标为， 联立和可得：，解得：， 坐标为 D的坐标为或． （3）解：如图：过点C作于点G，取点G使得， 此时，， ， 由勾股定理得：，， ， ， ，即， 当B、F、G三点共线时，有最小值． 如图：过点G作轴于点H，轴于点K， ， ，，即 ， ∴， ，， ， 由待定系数法可得：直线的解析式为：， ， ， ． 46．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 易错点01一次函数的平移 【错因】没有理解一次函数的平移规律 【避错关键】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加右减，上加下减 【典例】 1．（2025·陕西·模拟预测）将一次函数的图像向下平移5个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图像上，则的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图像的平移，点关于原点对称问题，熟悉平移和关于原点对称点坐标特征是解题的关键． 由平移得到，再根据点关于原点对称后的点坐标为，接着代入即可求解． 【详解】将一次函数的图像向下平移5个单位长度， 得到函数， 点关于原点对称后的点坐标为， ， 解得． 故选：B． 2．（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据平移的规律可知直线的图象经过点，根据两条直线平行，从而可确定一次函数的图象不经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过点，将该函数图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象， 直线的图象经过点． ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 4．（2025·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，将直线向上平移个单位长度，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作轴于，轴于，则，通过证得，求得，设，则，，利用平移的规律求得平移后的直线为，代入，即可求得点的坐标，最后利用即可求得的值，构建相似三角形是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 将直线向上平移个单位长度得到直线， ∵把代入求得， ∴， ∵、在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 易错点02一次函数的性质的综合应用 【错因】不能灵活应用一次函数的性质，尤其是含有参数问题 【避错关键】(1)k的符号决定直线从左向右星上升趋势还是下降趋势，当k>0时，呈上升趋势：当k<0时，呈下降趋势 (2)b的特号决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b<0时，直线与y轴的交点在x轴的下方：当b=0时，直线经过原点. 【典例】 1（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，点和在该函数图象上，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 将点代入一次函数（k为常数，且），求得k的值；根据k的值判断该函数的增减性，继而得到答案． 【详解】解：将点代入一次函数得 ， 解得． ∵， ∴y的值随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：C． 2.（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由已知条件可判断出y随x的增大而增大，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵、是直线图象上相异的两点，， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围． 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 4.（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴将点代入一次函数解析式得：， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：根据题意：，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵一次函数的图象经过第四象限，且，则， ∴， ∴ ∴． 5．（2025·江苏盐城·一模）代数式，代数式． (1)当时，若，则 x 的取值范围是 ； (2)若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由； (3)将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出两个式子的差． （1）将代入A、B的式子中，求出，利用，得出不等式3，求出x的取值范围； （2）因为，所以，因为，所以，所以，得出； （3）求出，分成、、三种情况讨论，确保，，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：因为， 当时，， 因为， 所以， 解得． （2）解：因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：因为， 所以， 因为， ①当时，C随着x的增大而增大， 则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是， 可得：， 解得：， ②当时，，满足， 所以满足题意． ③当时，C随着x的增大而减小， 则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是， 可得， 解得：， 综上所述，． 易错点03一次函数的点的变化规律探究 【错因】不能灵活应用一次函数和几何性质，没有找到变化的规律 【避错关键】一次函数组与几何规律探究的解题核心是联立函数求关键点（交点、特殊线交点），结合几何图形性质（距离、面积、对称性等）推导规律 【典例】 1（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（2023·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果． 【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由题意得、是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， ∴正方形的面积， 同理，， ∴正方形的面积， … ， 由规律可知，正方形的面积， ∴正方形的面积， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，解直角三角形等知识，先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ， 在中，， ∴， 由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上，且在第二象限， ∴， ， ， …， ∴， ∴ 设点的坐标为， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍正）， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 易错点04一次函数与坐标轴的交点问题 【错因】不能正确求出一次函数与坐标轴的交点或者考虑不全面 【避错关键】（1）一次函数与坐标轴围成的三角形面积为. (2)当已知线段长和其中一个端点的坐标，求另一个端点的坐标时，要注意可能存在两种情况，此时要注意分类讨论思想的运用 【典例】 1.（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键． 先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可． 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一次函数解析式，先求得点A的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可解答； （2）根据一次函数解析式，先求得点C的坐标，从而求得，进而得到，结合，求得点P的纵坐标，再代入反比例函数解析式求得横坐标即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 3.（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． （2）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 4.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 技巧01：利用一次函数的性质解决最大利润问题 《方法技巧》 建立一次函数模型，利用一次函数的增减性解决实际问题时，自变量往往是在一定的范围内取值，这使得实际问题的最值，通常在一次函数自变量取值范围的两端处取得 【典例】 1．（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)太阳帽每个进价15元，旅行包每个进价40元 (2)购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元，根据题意得到，整理得到，根据加减消元法求解即可； （2）设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，，总利润，由，得，分别得到，，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元， 根据题意，得方程组：， 第一个方程乘以5，第二个方程乘以3，得：， 得：， 代入得， 解得：， 即， 所以太阳帽进价15元，旅行包进价40元； （2）解：设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，， 太阳帽每个利润为10元，旅行包每个利润为20元， 总利润， 由，得， 代入得：，解得， 又∵， ∴， 将代入， 得， ∵， ∴w随b增大而增大， ∴当时，w最大， 此时， 元． 答：购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元． 2．（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 3．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）“五一”节前夕，贝贝佳商场准备购进A，B两种商品，已知购进每件A 商品比每件B商品少用5元，用300元购进A商品和400元购进B商品的数量相同． (1)求A，B两种商品每件的进价分别为多少元； (2)若购进A，B两种商品共200件的费用不低于3400元且不高于3500元，请求出该商场有几种采购方案； (3)在（2）的条件下，A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，200件商品全部售出的最大利润为1500元，请直接写出a的值． 【答案】(1)每件A商品进价为15 元，每件B商品进价为20 元 (2)有21种购买方案 (3)a的值是3 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设A种商品每件的进价为m元，根据“用300元购进A商品和400元购进B商品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A商品n件，根据“总费用不低于3400元且不高于3500元”列不等式组求解即可； （3）设销售利润为w元，则 ，根据一次函数的性质，求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设A种商品每件的进价为m元，则B种商品每件的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：每件A商品进价为15 元，每件B商品进价为20 元； （2）解：设购进A商品n件，则购进B商品件， 根据题意，得， 解得， 又n 为整数， ∴共有种采购方案； （3）解：设销售利润为w元， 则 ， ∵ ， ∴w随n的增大而减小， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 解得，， 答：a的值为3． 技巧02：利用一次函数的性质解决方案问题 《方法技巧》 先利用已知条件中的数量关系列出函数解析式，并确定自变量的取值范围，再根据实际情况将一次函数转化为方程和不等式，通过求解确定适合的方案 【典例】 1.（25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的表达式，是解题的关键． （1）设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元，根据购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设应购买个“冰墩墩”， 投入资金是元．根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解，根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，设计可行方案进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意，得，解得． ∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元； （2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元． 根据题意，得，即． ∵， ∴随的增大而减小． 又∵，解得， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴． ∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元． 2．（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 【答案】(1)A种20元/棵，B种5元/棵 (2)买A种10棵、B种90棵，最省费用650元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用及一次函数的性质（增减性）；掌握根据题意列出方程组和不等式确定变量范围，并利用一次函数增减性求最值是解题的关键．第一问通过设A、B两种花草单价为未知数，根据购买数量和总费用列出二元一次方程组并求解；第二问根据B种花草数量与A种的关系列出不等式确定变量范围，再结合费用函数的增减性求出最省费用及对应方案． 【详解】（1）解：设A种花草每棵x元，B种每棵y元， 列方程组： 第一个方程：， 第二个方程：． 化简第一个方程：， 第二个方程：， ②-第一个方程：，， 代入①：． 答：A种20元/棵，B种5元/棵． （2）解： 购买B种花草棵，由题意：，解得，又， 费用， ∵，W随m增大而增大，∴m最小时，W最省， 此时，（元）． 答：买A种10棵、B种90棵，最省费用650元． 3．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 (1)直接写出的取值范围： ． (2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ (3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 【答案】(1) (2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元 (3)百元 【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：设总费用为百元， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为百元， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元； （3）解：设总费用为百元， 根据题意得，， 当，即时，随的增大而减小， ∵， ∴时，的值最小，最小值为百元； 当，即时，百元； 当，即时，随的增大而增 大， ∴当时，的值最小，最小值为， 当时，， 此时的最小值为百元； 综上所述，总运费可以达到的最小值是百元． 技巧03：一次函数与行程问题 《方法技巧》 一次函数与行程问题的解题核心是用函数表达式y=kx+b）表示“路程、时间、速度”的关系，通过分析函数图像或解析式，提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 【典例】 1．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 2．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 3．（2017·吉林长春·一模）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为x小时，、关于的函数图像如图所示： (1)根据图像，直接写出、关于的函数关系式． (2)求两车相遇时的值． (3)两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程的关系． 根据函数图象中的数据，用待定系数法求一次函数的解析式即可； 因为两车相遇时，两车距离甲地的距离相等，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 因为两车之间的距离为，又因为当时，两车相遇，此时，所以要分当和时，分别求出关于的函数关系式，当时，出租车到达目的地，不再行驶，此时两车之间的距离就是客车与甲地的距离，所以应分三段求出关于的函数关系式． 【详解】（1）解：设与的函数关系式是， 由函数图象可知：当时，，当时，， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是；， 设与的函数关系式是， 由函数图象可知：当时，，当时，， 可得：， 解得：， ； （2）解：当两车相遇时，可得：， 解得：， 答：两车相遇时，的值为 （3）解：两车之间的距离为， 关于的函数关系式为， 由可知，当时，两车相遇，此时， 当时，， 当时，， 当时，， ． 技巧04：一次函数与几何综合问题 《方法技巧》 一次函数与几何综合题的解题核心是建立“函数坐标”与“几何图形边长、角度、面积”的关联，通过求函数解析式确定关键点坐标，再用几何公式计算图形属性（如线段长度、面积、周长） 【典例】 1．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． 2．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴上，是一元二次方程的两个解经过点C的直线与x轴交于点D，点P从点D出发，沿直线以每秒个单位长度的速度向终点C移动；同时，点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒 (1)求点A、点C的坐标； (2)求线段的长（用含t的式子表示），并直接写出t的取值范围； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与两线段长度之比为？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，； (3)存在， 【分析】（1）解一元二次方程即可求，，再求点的坐标即可； （2）由题可知，当时，，，，当时，，，； （3）先求，当时，当时，，解得；当时，，解得 【详解】（1）解：， 解得或， ， ，， ，； （2）解：∵直线经过点C， ， 直线， 当时，， ， 点以每秒个单位长度的速度向终点C移动， ， 点到C点停止， ， 点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止， ， 当时，，， ， 当时，，， ； 综上所述：当时，；当时，； （3）解：存在t，使与两线段长度之比为，理由如下： 点以每秒个单位长度的速度向终点C移动， ， 当时， 当时，， 解得； 当时，， 无实数根； 综上所述：t的值为2． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．根据平移的规律和关于原点对称的特点求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点，若点与A关于原点O对称， ∴ ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故选：B． 3．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像平移问题以及求一次函数解析式，由题意得一次函数的图象过点，，可求得解析式为；设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：；令，即可求解； 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴； ∵不等式的解集是， ∴一次函数的图象过点， ∴，解得； ∴； 设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：； 令，求得； 即：原函数向右平移2个单位之后得到的新函数为正比例函数． 故选：B． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向上平移个单位长度，得的图象 D．函数的图象与轴的交点的坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，该选项结论错误，不合题意； 、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，该选项结论正确，符合题意； 、函数的图象向上平移个单位长度，得的图象，该选项结论错误，不合题意； 、函数的图象与轴的交点的坐标是，该选项结论错误，不合题意； 故选：． 5．（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故选：A． 6．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么，然后代入，即可得出答案． 【详解】解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得 解得，即打八折， 故选：A． 7．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 8．（2024·河北·模拟预测）物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象，反比例函数图象，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三个量，其中一个量一定，剩下两个量的函数关系来确定函数图象． 【详解】解：当m一定时，公式为，这是反比例函数，故A符合； 当ρ一定时，公式可变形为，这是正比例函数，故C符合； 当V一定时，或，这是正比例函数，故B不符合，D符合； 故选：B． 9．（2024·河北·模拟预测）如图，在正方形中，交于点O，点M，N分别以相同的速度从点D，A 同时出发，其路线分别为，设，则能够大致反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，一次函数与几何综合，熟练利用相关性质是解题的关键． 根据点M，N分别以相同的速度从点D，A 同时出发，可得为等腰直角三角形，即可得到y与x之间函数关系． 【详解】解：在正方形中，，则， ， 点M，N分别以相同的速度从点D，A 同时出发， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，为一次函数， 当时，，解得， 根据对称性可知， y与x之间函数关系的图象为 ， 故选：D． 10．（2023·江苏无锡·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键． 由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据的范围，建立关于的不等式，即可求出． 【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，和至少有一个交点， 令， 整理得， 则，解得， ， ∴，， ∴或 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 综上，c的取值范围是， 故选D． 二、填空题 11．（2026·江苏苏州·模拟预测）过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是 （只需写出一个即可）． 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查一次函数的图象性质，理解“直线上的点坐标都满足函数解析式”是解题关键． 点需在一次函数的图象上，且不同于点，故可任取一个不为的值计算对应值． 【详解】解：已知一次函数解析式， 取，则， 故点坐标可为． 故答案为：． 12．（2022·内蒙古乌海·一模）从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，列表如下； 1 2 3 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象不经过第四象限共有6种等可能的结果， ∴一次函数的图象不经过第四象限的概率是， 故答案为：． 13．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图像解答即可求解． 【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 14．（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．先作出点关于轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于， 的坐标是， 直线的函数解析式为， 把点的坐标代入解析式可得． 点的坐标是． 故答案为：． 15．（2025·江苏泰州·三模）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质可得经过点和，根据二次函数的性质得到l为直线，求出点和关于l对称的点坐标分别为和，由对称性可得是一次函数，再利用待定系数法即可求出对应的函数关系式． 【详解】解：对于， 当时，；当时，则，解得； ∴经过点和， ∵二次函数图象的对称轴为l， ∴l为直线， ∴点和关于l对称的点坐标分别为和， ∵是关于l对称的图形， ∴是一次函数，且经过点和， 设的函数关系式为， 代入点和，得， 解得， ∴的函数关系式为， 故答案为：． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， 同上可得直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； …… 以此类推，直线的解析式为， 故答案为：． 三、解答题 17．（2025·山东临沂·一模）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶时，剩余电量；行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是均匀的，若剩余电量用表示，行驶路程用表示． (1)求该车y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，由题意知：当时，；当时，，用待定系数法即可求解； （2）令，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：设，由题意知：当时，；当时，， 代入得，． 解得：，， ； （2）解：令，则， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 18．（2025·陕西西安·一模）某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按绸定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的关系式； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 【答案】(1) (2)5小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分段函数的表示，解题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据图象信息，利用待定系数法求出分段函数的解析式即可； （2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得：， 即当时，与的函数关系式为； 当时，设关于的函数解析式是， ∵点，在该函数图象上，利用待定系数法可得， 解得， 即当时，关于的函数解析式是； 综上可得，； （2）解：由（1）可知，或， 将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； 这个新药的有效时长是（小时）， 即这个新药的有效时间是5小时． 19．（2023·陕西咸阳·一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可． （2）令，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为， 由图可知，，， 将，代入， 得， 解得， ． （2）解：由图可知，服务区在（段）， 令，则， 解得， 赵叔叔出发小时到达服务区． 【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点． 20．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知直线交轴、轴分别为点、． (1)点在直线上，，求点的坐标． (2)点，在的延长线上，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），先求出点A，B的坐标，再设点，作轴，然后根据相似三角形的性质求出，进而得出答案； 对于（2），先求出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴点， ∴. 当P在线段上时，过点P作轴，于点D，设点， 则. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点； 当P在射线上时，作轴，于点，设点， 则. 同理可得， ∴， 即， 解得， ∴点. 所以点或； （2）解：根据勾股定理，得，, ∵， ∴， ∴， 即. 21．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 22．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30，40 (2)的函数解析式是 (3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $