专题06二次函数（知识清单）（7大考点+12大题型+3大易错+6大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了二次函数专题内容，涵盖7大核心考点、12大重难题型、3大易混易错点及6大方法技巧，构建了从概念性质到综合应用的递进式复习架构。 清单通过思维导图呈现知识体系，题型按难度分级标注，易错点附避错关键提示，如平移规律“左加右减自变量”，培养学生抽象能力与推理意识。设计“方法技巧提炼”和“实战测试”模块，助力学生自主夯实基础，为教师教学提供精准复习支持。

专题06二次函数 （7大考点+12大题型+3大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（7个核心考点） 考点01二次函数的有关概念 考点02二次函数的图象与性质 考点03二次函数解析式的确定 考点04二次函数的平移 考点05二次函数的图象与系数之间的关系 考点06二次函数与一元二次方程之间的关系 考点07二次函数与不等式之间的关系 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01二次函数的性质 题型02二次函数的图象 题型03二次函数的解析式 题型04画二次函数的图象 题型05二次函数的平移 题型06二次函数的对称 题型07二次函数的最值 题型08二次函数的图象与系数之间的关系 题型09二次函数与一元二次方程 题型10二次函数与不等式 题型11二次函数的推理计算与证明 题型12二次函数与新定义问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01二次函数与x轴的交点 易错点02二次函数一般式的平移 易错点03含参二次函数的图象与性质问题 易错点04区间内二次函数的最值问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：待定系数法求二次函数解析式 技巧02：二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 技巧03：二次函数与一次函数综合问题 技巧04：二次函数的计算与证明（增减性、对称轴、最值） 技巧05：二次函数的公共点问题 技巧06：二次函数的定点问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1. 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 2. 会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出 二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系 数与图象形状和对称轴的关系。 3. 会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。 4. 知道二次函 数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似解。 考点01二次函数的有关概念 1．二次函数的定义： 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 2．二次函数的三种表达式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝． 考点02二次函数的图象与性质 函数 y=ax²+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 开口方向 开口向上,并向上无限 延伸 开口向下,并向下无限延 伸 对称轴 直线x=－ 顶点坐标 增减性 a＞0，当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大 a＜0，当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小； 最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值． 考点03二次函数解析式的确定 用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，一般有如下三种： (1)若已知抛物线上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c (2)若已知抛物线的顶和另一点的坐标，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k (3)若已知抛物线与x轴两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2) 考点04二次函数的平移 二次函数的图象的平移： 平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减． 考点05二次函数的图象与系数之间的关系 系数 符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b ab>0(a,b 同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b 异号) 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴为y轴 c c=0 过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 考点06二次函数与一元二次方程之间的关系 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个不相等的实数根 ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个相等的实数根 ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，一元二次方程ax2+bx+c= 0没有实数根 考点07二次函数与不等式之间的关系 以y＝ax2＋bx＋c（a大于0）为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 题型01二次函数的性质 【典例1】（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【变式练习】 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）关于二次函数，下列说法正确的是 （   ） A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像的顶点坐标为 C．的最小值为 D．图像与轴没有交点 2．（2024·广东汕头·一模）若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·二模）二次函数图像的顶点坐标是 ． 题型02二次函数的图象 【典例2】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A．B．C．D． 【变式练习】 4．（24-25九年级上·湖北孝感·月考）函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 6．（25-26九年级上·福建南平·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（    ） A．B． C． D． 题型03二次函数的解析式 【典例3】（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 【变式练习】 7．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 8．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象经过点和，则 ． 9．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 题型04画二次函数的图象 【典例4】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 【变式练习】 10．（2024·广东汕头·一模）抛物线经过点． (1)求出的值并画出这条抛物线； (2)直接写出取什么值时，的值随值的增大而减小？ 11．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 题型05二次函数的平移 【典例5】（2023·安徽宣城·二模）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【变式练习】 12．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 13．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，． （1） ； （2）若将抛物线向下平移个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为 ． 14．（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 题型06二次函数的对称 【典例6】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【变式练习】 15．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·北京大兴·月考）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 17．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，则t的取值范围为 ． 18．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 题型07二次函数的最值 【典例7】（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【变式练习】 19．（2025·四川乐山·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A．1 B．2 C．5 D．1或 20．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 21．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 25．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 题型08二次函数的图象与系数之间的关系 【典例8】（2025·安徽亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习】 22．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 23．（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．（2024·广东·模拟预测）如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是 题型09二次函数与一元二次方程 【典例9】（2025·山东滨州·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【变式练习】 26．（2024·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，则抛物线与x轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 28．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 题型10二次函数与不等式 【典例10】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【变式练习】 29．（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 30．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 31．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 题型11二次函数的推理计算与证明 【典例11】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【变式练习】 32．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 33．（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 34．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点； (2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上； (3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____． 题型12二次函数与新定义问题 【典例12】（2025·辽宁锦州·一模）已知是自变量的函数，当时，记函数的最大值为，最小值为，若存在实数，使得函数满足：，且，则称当时函数具有性质． (1)当时，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)当时，请直接写出一个具有性质的一次函数表达式； (3)当时，若有且只有一个实数，使得函数具有性质，求实数与的值． 【变式练习】 35．（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题． (1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求 ，，的值 ． (2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图象的对称轴． ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由． 36．（2025·湖南长沙·二模）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） (2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； (3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 37．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 38．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 易错点01二次函数与x轴的交点 【错因】没有注意到二次项系数不为0 【避错关键】根据抛物线y=ax²十bx十c与x轴交点的个数，可以确定b²一4ac的符号，同时满足二次项系数不为0，以此列方程或不等式即可求得字母的值（取值范围）. 【典例】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 2（23-24九年级上·安徽池州·期末）若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知关于的函数的图象与轴只有一个交点，求的值． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 易错点02二次函数一般式的平移 【错因】二次函数顶点式的平移和一般式的平移进行混淆 【避错关键】抛物线y=ax²十bx十c在平移过程中，抛物线的开口方向和大小都不会变化，因而找准平移后的顶点就是解决问题的关键或者化成顶点式，然后根据平移的规律“左加右减，上加下减”确定平移后抛物线对应的函数解析式 【典例】 1．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是 ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）（1）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． （2）对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ． 3．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为 ． 易错点03含参二次函数的图象与性质问题 【错因】对于二次函数的参数不能进行正确的讨论 【避错关键】含参二次函数的性质分析，核心是明确参数位置（系数、常数项、区间），通过分类讨论参数对函数关键特征（开口、对称轴、顶点、单调性、最值）的影响，避免漏解。 【典例】 1．（22-23九年级上·江苏苏州·月考）关于二次函数的三个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②若，对应的的整数值有4个，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则或. 其中正确的结论是： . 2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 3．（25-26九年级上·天津河西·月考）对于二次函数，有下列说法： ①如果当时，y 随x的增大而减小，则， ②如果它的图像与x 轴的两交点的距离是4，则， ③如果将它的图像向左平移3个单位后的函数的最小值是，则， ④如果当 时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为． 其中正确的说法是 ． 易错点04区间内二次函数的最值问题 【错因】求二次函数的最值时没有注意到自变量的取值范围 【避错关键】解决区间内二次函数最值主要有三个方面： 1. 求对称轴 2. 判位置：判断是否在区间 [m, n] 内； 3. 算最值：根据“开口方向+对称轴位置”，计算顶点或端点的函数值，确定最值 【典例】 1．（2023·陕西咸阳·三模）已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 2（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 3．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线 (1)当时，有求的值； (2)当时，有且求m的值． 4．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数，该二次函数的图象经过点． (1)求式子的值； (2)当时，函数的最大值比最小值大2，求a的值． 技巧01：待定系数法求二次函数解析式 《方法技巧》 求二次函数解析式的设法 (1)已知任意三点，设一般式 (2)已知点中有两点的纵坐标都为0时，设交点式。 (3)已知顶点的坐标，设顶点式 (4)已知点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛物线的对称性求得顶点的横坐标，设顶点式 【典例】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 2．（25-26九年级上·浙江·月考）抛物线的顶点坐标为，且过点．求： （1）抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴的交点坐标． 3．（浙江杭州·月考）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； (2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 4．（福建南平·期中）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 技巧02：二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 《方法技巧》 已知二次函数y=ax2十bx十c的图象，推断a,b,c之间关系的问题，通常会用到下面的思路： (1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的正负. (2)结合图象，通过给x赋值，来判断特殊函数值的正负，如判断“a十b十c”“a一b+c”“4a+2b十c” “4a一2b十c”等式子的正负. 【典例】 1．（2024·广东佛山·模拟预测）二次函数的大致图象如图所示，对称轴为：直线，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④．其中正确结论的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·辽宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴的两个交点分别为对于下列命题：①；②； ③④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 4．（2025·宁夏银川·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 技巧03：二次函数与一次函数综合问题 《方法技巧》 (1)双图象问题：此类问题常见的形式为在同一平面直角坐标系中提供两个含有相同字母系数的函数的图象，据图作出正确判断.解答此类问题常利用排除法，即通过图象分析出两个函数解析式中各字母系数满足的条件，若一致，则正确；若不一致，则排除 (2)与图象交点有关的问题：解答此类问题，要注意两函数图象的公共点，一般是借助某个函数的解析式，先求出公共点的坐标，再求出另一个函数的解析式. 【典例】 1．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数且）的顶点为． (1)求点坐标； (2)若当时，函数图象的最高点为，点的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围． 2．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上， (1)用含的代数式表示______________________； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，求的取值范围． 3．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设直线与y轴相交于点M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧），取的中点P，的中点Q． (1)当时，求P，Q两点的坐标； (2)当时，求证：； (3)对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点是否均在某一抛物线上？如果是，求此抛物线的解析式；如果不是，请说明理由． 技巧04：二次函数的计算与证明（增减性、对称轴、最值） 《方法技巧》 二次函数的推理计算与证明，核心是围绕解析式求解（知点求式）、性质推导（增减性、最值、对称性）、关系证明（位置关系或恒成立）三类问题，依托函数基本形式（一般式、顶点式、交点式）和代数变形、分类讨论思想展开 【典例】 1．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 2．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 3．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． (1)若轴，求抛物线的对称轴； (2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有． ①求a的取值范围； ②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值． 技巧05：二次函数的公共点问题 《方法技巧》 二次函数公共点问题核心是联立方程，通过判别式判断解的个数，进而确定函数图像（抛物线）的交点数量，具体分两类场景：二次函数与一次函数的公共点、二次函数与二次函数的公共点，主要思想是联立方程组，看判别式的大小，同时注意字母的分类讨论和数形结合数学思想的应用 【典例】 1．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，点，． (1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示） (2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数有最小值，求． (2)已知点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的的取值范围． 3．（2023·浙江绍兴·一模）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式．； (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点． ①若点在二次函数的图像上，求的最大值． ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围． 技巧06：二次函数的定点问题 《方法技巧》 二次函数定点问题的核心是消去参数影响，找到无论参数取何值（在允许范围内），函数图像都恒过的固定点，常用的方法是分离参数法：将含参二次函数按“参数”的次数整理（如把含  k  的项放在一起，不含  k  的项放在一起）；令“参数的系数”等于0，解出  x  的值；将  x  的值代入原函数，求出对应的  y ，得到的  (x, y)  即为定点 【典例】 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知二次函数（是常数）． (1)求证：无论为何值，该二次函数图象恒过一定点； (2)若该抛物线的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（为非零实数）． (1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标； (2)不论为何值，该函数图象都会经过两个定点，求这两个定点坐标； (3)若二次函数有最小值，求证：当时，随的增大而减小． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·月考）设二次函数（，为常数，），已知． (1)若该函数的对称轴为直线，求该二次函数的表达式． (2)无论，为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标． (3)当时，随的增大而增大，求实数的最大值． 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）已知二次函数（），顶点为P，且二次函数的图像恒过两定点A、B（点A在点B的左侧）． (1)当时，求该二次函数的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，二次函数的图像上是否存在一点D，使得，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)将点P先沿水平方向平移个单位，再向下移动个单位得到，若二次函数经过点，在二次函数的图像上存在点Q，使得的最小值为4，求m的取值范围． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 4．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 6．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 7．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 8．已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 10．定义：已知二次函数，对于m、n为实数（），若当时，函数值y的取值范围为，则称为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数的图象上有两点和，其中，若为函数的“翻倍取值范围”，则e的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ． 13．若，则的最大值是 ． 14．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 15．已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 16．对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 17．已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 18．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 19．已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 20．如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 21．如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 22．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，定义两个函数． (1)如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； (2)如果，判断函数的图象与轴的交点情况； (3)若点在上，点在上，求的最小值． 24．对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二次函数 （7大考点+12大题型+3大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（7个核心考点） 考点01二次函数的有关概念 考点02二次函数的图象与性质 考点03二次函数解析式的确定 考点04二次函数的平移 考点05二次函数的图象与系数之间的关系 考点06二次函数与一元二次方程之间的关系 考点07二次函数与不等式之间的关系 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01二次函数的性质 题型02二次函数的图象 题型03二次函数的解析式 题型04画二次函数的图象 题型05二次函数的平移 题型06二次函数的对称 题型07二次函数的最值 题型08二次函数的图象与系数之间的关系 题型09二次函数与一元二次方程 题型10二次函数与不等式 题型11二次函数的推理计算与证明 题型12二次函数与新定义问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01二次函数与x轴的交点 易错点02二次函数一般式的平移 易错点03含参二次函数的图象与性质问题 易错点04区间内二次函数的最值问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：待定系数法求二次函数解析式 技巧02：二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 技巧03：二次函数与一次函数综合问题 技巧04：二次函数的计算与证明（增减性、对称轴、最值） 技巧05：二次函数的公共点问题 技巧06：二次函数的定点问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1. 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 2. 会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出 二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系 数与图象形状和对称轴的关系。 3. 会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。 4. 知道二次函 数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似解。 考点01二次函数的有关概念 1．二次函数的定义： 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 2．二次函数的三种表达式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝． 考点02二次函数的图象与性质 函数 y=ax²+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 开口方向 开口向上,并向上无限 延伸 开口向下,并向下无限延 伸 对称轴 直线x=－ 顶点坐标 增减性 a＞0，当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大 a＜0，当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小； 最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值． 考点03二次函数解析式的确定 用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件，灵活选用解析式的形式，一般有如下三种： (1)若已知抛物线上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c (2)若已知抛物线的顶和另一点的坐标，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k (3)若已知抛物线与x轴两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2) 考点04二次函数的平移 二次函数的图象的平移： 平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减． 考点05二次函数的图象与系数之间的关系 系数 符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b ab>0(a,b 同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b 异号) 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴为y轴 c c=0 过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 考点06二次函数与一元二次方程之间的关系 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个不相等的实数根 ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个相等的实数根 ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，一元二次方程ax2+bx+c= 0没有实数根 考点07二次函数与不等式之间的关系 以y＝ax2＋bx＋c（a大于0）为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 题型01二次函数的性质 【典例1】（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 【变式练习】 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）关于二次函数，下列说法正确的是 （   ） A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像的顶点坐标为 C．的最小值为 D．图像与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数的顶点形式，分析对称轴、顶点、最值及与轴的交点情况． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对称轴为直线 ，在轴左侧，选项A不符合题意； 顶点坐标为 ，选项B不符合题意； ∵ ， ∴ 函数有最大值，最大值为 ，无最小值，选项C不符合题意； 令 ，得 ，即 ，无实数根， ∴ 图象与轴没有交点，选项D符合题意． 故选D． 2．（2024·广东汕头·一模）若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数上点的坐标特征，通过直接计算各点的纵坐标值并比较大小，或利用抛物线开口向下的性质比较点到顶点的距离． 【详解】解：∵ 抛物线方程为， ∴ 对于点，， 对于点，， 对于点 ，， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ． 故选：D． 3．（2025·宁夏银川·二模）二次函数图像的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，通过配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解： ， 所以顶点坐标为 ， 故答案为 ：． 题型02二次函数的图象 【典例2】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 【变式练习】 4．（24-25九年级上·湖北孝感·月考）函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于，逐一排除； 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 6．（25-26九年级上·福建南平·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了一次函数与二次函数的图像与性质，根据一次函数与二次函数的图像与性质逐一判断即可，掌握一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键． 解：、根据图像可得一次函数中，由此判断需经过第一、二、四象限，不符合题意；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第二、三、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项符合题意； 故选：． 题型03二次函数的解析式 【典例3】（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 【变式练习】 7．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 8．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．把和代入，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：． 9．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 题型04画二次函数的图象 【典例4】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是关键． （1）根据描点、连线，画二次函数图象即可； （2）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （3）根据图象和顶点坐标进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴顶点坐标为， ∵当和时，函数值相等， ∴， 故答案为：，； （3）解：根据图象的顶点坐标为，可知二次函数方程的解为． 【变式练习】 10．（2024·广东汕头·一模）抛物线经过点． (1)求出的值并画出这条抛物线； (2)直接写出取什么值时，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)3，画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入解析式，可求出m的值，再画出抛物线解析式，即可求解； （2）直接观察抛物线图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴ 列表如下： x 0 1 3 y 0 3 4 0 函数图象如图∶ （2）解：由函数图象可知，当时，y的值随x值的增大而减小． 11．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【答案】(1)，过程见解析 (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及画二次函数图象，正确掌握配方法以及用描点法画二次函数图象的步骤是解题关键． （1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 题型05二次函数的平移 【典例5】（2023·安徽宣城·二模）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质． （1）把代入二次函数解析式，解方程即可． （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：． （2）， 将该二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为， ， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 故答案为：． 【变式练习】 12．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值． 【详解】∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为， ∴抛物线为． 展开得， 故选：A。 13．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，． （1） ； （2）若将抛物线向下平移个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）将点代入抛物线方程可得，再将点代入方程可求得，从而得到的值； （2）先求出原抛物线的顶点坐标，再写出向下平移n个单位后的顶点坐标，该顶点需在内部，根据三角形边界直线的方程和顶点坐标满足的不等式组求解n的范围即可． 【详解】解：（1）∵点在抛物线上， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． （2）抛物线向下平移n个单位后， 表达式为． ∴平移后抛物线顶点坐标为． ∵的顶点为， 设直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为． 平移后抛物线的顶点坐标在内部（不包括边界），需满足： ①横坐标在和0之间，即，成立； ②纵坐标小于5，即，解得； ③纵坐标大于直线在处的函数值，即，解得． ∴n的取值范围为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图像，若新二次函数的图像的顶点恰好落在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，函数图像的平移，解二元一次方程组和平移坐标的变化是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）新抛物线顶点坐标为，将上述点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得， 故表达式为； （2）解：原抛物线顶点式：， 顶点向左平移m个单位后，新顶点为， 新顶点在直线上，代入得， 解得． 题型06二次函数的对称 【典例6】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 【变式练习】 15．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 16．（25-26九年级上·北京大兴·月考）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称， 即． 故答案为：1． 17．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，运用并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的图象和性质，即可求解； （2）分两种情况讨论，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵，有， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当点M，N均在对称轴的右侧时，， 此时满足，符合题意； 当点M在对称轴的左侧，N在对称轴的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点M距离对称轴更近， ∵， ∴，即； 综上所述，t的取值范围为． 故答案为： 18．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 题型07二次函数的最值 【典例7】（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【答案】0或7/7或0 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为，最大值为9，再分3种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于h的方程，即可求出h的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 【变式练习】 19．（2025·四川乐山·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A．1 B．2 C．5 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系讨论最小值． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点为 当时， 若，则包含顶点，最小值为1； 若，则函数在上递减，最小值为当时， ∴最小值为1或 故选：D． 20．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 【答案】 3 【分析】该题考查了二次函数的定义、解一元二次方程、二次函数的最值． ①根据题意得出且，求解即可． ②根据题意得出当时，，当时，，求解即可． 【详解】解：∵为二次函数， ∴， ∴， 解得：或， ①若此二次函数图像开口向下，则， ∴． 故答案为：． ②根据①知， ∴当时，， 当时，， ∵当时，满足， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：3． 21．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， （2）解：①， ∴抛物选开口向上， ， ∴当时，该函数最小值为 ∵该函数的最小值为， ， ∴， ②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等 当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意） 当时， 当时， ∵两个函数的最小值相等， ，即 【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的单调性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置． 题型08二次函数的图象与系数之间的关系 【典例8】．（2025·安徽亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案． 【详解】解：由抛物线开口向下，可得； 由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定； 由抛物线与轴交点在正半轴上，可得； 综上可得，故①错误； 二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线， 二次函数图象与轴另一个交点为， 则当时，，故②正确； 由可得，则， 又抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线有最大值，为， 则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确； 由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过， 关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标， 当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确； 综上所述，结论中正确的是②③④，共3个， 故选：C． 【变式练习】 22．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 23．（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次函数，一元二次方程，不等式的相关知识逐项判断即可． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， 当时，， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ， 故结论①正确； ②抛物线与轴有两个交点， 则， ， 故结论②错误； ③由图象知，当时，， ， 故结论③正确； ④抛物线对称轴为直线， ， 当时，， 即： ， ∴ 故结论④正确； ⑤当时，取得其最小值，此时， 而当时，， ， 整理，得：， 故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①③④⑤，共4个， 故选：C． 24．（2024·广东·模拟预测）如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质． 抛物线开口向上，，与y轴交点在负半轴，；由对称轴，可得，利用这几个关系式可求出其他结论． 【详解】解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 题型09二次函数与一元二次方程 【典例9】（2025·山东滨州·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【答案】和 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数图象；根据题意将，分别代入，即可求解． 【详解】解：∵物线与直线的两个交点， ∴的解为，的横坐标， ∴将，分别代入得， ∴交点，的坐标分别为和 故答案为：和． 【变式练习】 25．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； （3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 26．（2024·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，则抛物线与x轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出对称轴为，求得，再代入抛物线解析式中，求出抛物线与x轴交点． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，解得：， ∴抛物线与x轴交点的个数为1， 故选：B． 27．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 28．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用． （1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴； （2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b． 【详解】（1）解：∵二次函数在和函数值相等， ∴对称轴为直线． （2）解：由（1）得， 又∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴ 解得， 题型10二次函数与不等式 【典例10】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式练习】 29．（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 30．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数与一次函数， 可得图象如图， 根据图象可知：当时，，即， 故选：． 31．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 题型11二次函数的推理计算与证明 【典例11】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式求解即可； （2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式； （3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． （3）解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 【变式练习】 32．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，可得和时，y值相等，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由时，，可得关于a的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，； 当时， 根据对称性，和时，y值相等， （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，， 即， 解得： 33．（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 34．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（是常数）． (1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点； (2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上； (3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化成一般式，再计算，即可能得出结论； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，即可得出结论； （3）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的增减性质，由，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，函数图像与轴总有公共点． （2）证明：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入， ∴不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴ 当时，则 ∴， ∴ 当时，则 ∴ 综上，当时，，则的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点问题，利用函数的对称性函数值大小，抛物线一般式化成顶点式，抛物线上点的坐标特征，抛物线的图象性质．熟练掌握抛物线与x轴交点和抛物线的图象性质是解题的关键． 题型12二次函数与新定义问题 【典例12】（2025·辽宁锦州·一模）已知是自变量的函数，当时，记函数的最大值为，最小值为，若存在实数，使得函数满足：，且，则称当时函数具有性质． (1)当时，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)当时，请直接写出一个具有性质的一次函数表达式； (3)当时，若有且只有一个实数，使得函数具有性质，求实数与的值． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)（答案不唯一） (3)或 【分析】本题主要考查了新定义下的函数，反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质等知识，掌握的定义以及性质是解题的关键． （1）根据的定义以及性质判断即可． （2）根据的定义写出合适的一次函数表达式即可． （3）分两种情况：①当时和②当时，分别的定义和性质列出不等式组，求解并判断即可． 【详解】（1）解：由已知得：，，． 此时，． 对于， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值， ∴，且成立， ∴具有性质． （2）解：例如：（答案不唯一） 当时，即，，． 此时，． 对于， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值， ∴，且成立， ∴当时，具有性质． （3）解：当时，，， ∴，， ①当时，函数的图象的对称轴在y轴的左侧， ∴当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴ ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质． ∴， ∴ 该种情况不存在． ②当时，函数的图象的对称轴在y轴的右侧， 分以下三种情况∶ (I)当，即， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴， 有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴，（舍） ∴． (II)当时，即时 当时，y取最大值． 当时，y取最小值． ∴ ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴． ∴． (III)当时，即时， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴， ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴ ∴该种情况不存在． 综上：，，或，． 【变式练习】 35．（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题． (1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求 ，，的值 ． (2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图象的对称轴． ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为，的值为； (2)①函数的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用； （1）根据题意得到即可解答； （2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：的值为，的值为，的值为． （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②， 令， 解得， ∴函数的图像过定点，． 36．（2025·湖南长沙·二模）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） (2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； (3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 【答案】(1)、、． (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据定义，结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，分析判断，即可求解； （2）根据定义，可得，根据经过点和点，，建立方程组，解方程组求得的值，得出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解； （3）根据定义，可得，根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解． 【详解】（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（） ②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（） ③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（） 故答案为：、、． （2）解：∵函数在实数范围内为峰函数， ∴， ∵经过点和点， ∴ ∴， 函数的图象与轴交于、两点，设 ∴是方程的两个实数根， ∴ 又∵， ∴ ∴ 即 ∴ ∵，， ∴ 解得：（，正值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴顶点坐标为，即该函数的峰值为； （3）∵函数（）在实数范围内为谷函数， ∴， ∵函数的图象经过点 ∴ ∴ 又∵ ∴ 设中，是最大的数，设是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∵方程有实数根， ∴ 设， 如图 ∴当时， ∵，即的最小值为 ∴当取得最小值时， ∵要使得的最小值．则同号， ∴ ∴的最小值为． 37．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 【答案】(1)②； (2)①或；② 【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案； （2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求解即可． 【详解】（1）对于①， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ∴，符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：②； （2）①解：当时，二次函数 为，对称轴为直线． 当时，， 当时，， 当时，． 若，则， ∴ 解得（舍去）； 若，则， ∴， 解得（舍去），； 若，则， ∴ 解得，（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去）． 综上所述，或． ②∵， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， ∴m，k为整数，且， ∴m的值为3， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合应用，新定义问题，同时也涉及一次函数和反比例函数，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题，属于中考压轴题． 38．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】(1)①8；② (2)4 (3)当或时，二次函数的最优纵横值为7 【分析】（1）①根据“纵横值”的概念解答即可； ②根据“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，再结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的顶点在直线上，解出，再结合“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，根据最优纵横值为5，即可解答； （3）根据的顶点在直线上，得出，表示出图象上所有点的“纵横值”，确定出对称轴为直线．分为当时，即时，此时当时，值为7；当时，即时，此时当时，值为7；当时，即，分别解答即可． 【详解】（1）①点的“纵横值”为； ②函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为． （2）∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ∵最优纵横值为5， ， ； （3）∵的顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， ， 令， 对称轴为直线． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即， ， 此时最优纵横值不等于7，不合题意． ∴当或时，二次函数的最优纵横值为7． 【点睛】该题是自定义类函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． 易错点01二次函数与x轴的交点 【错因】没有注意到二次项系数不为0 【避错关键】根据抛物线y=ax²十bx十c与x轴交点的个数，可以确定b²一4ac的符号，同时满足二次项系数不为0，以此列方程或不等式即可求得字母的值（取值范围）. 【典例】 1（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得且，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 2（23-24九年级上·安徽池州·期末）若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数的性质，分两种情况：当，即时，此时为一次函数；当时，此时为二次函数，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当，即时，函数为，此时为一次函数，该函数图象与x轴只有一个交点， 当时，此时为二次函数，令，则，此时， 解得， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知关于的函数的图象与轴只有一个交点，求的值． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的问题，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，即 或，结合一次函数的性质或二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：当时，则， 故该函数是一次函数， 此时与轴只有一个交点， 当时，则是二次函数， ∵关于的函数的图象与轴只有一个交点， 则， ∴ ∴或； 综上：或或 4（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入，解关于a的方程即可； （2）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则有且只有一个实数根，根据求解； （3）先求出对称轴为直线，顶点坐标为，再分与两种情况，根据增减性求出最大值、最小值，根据列式计算即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得； （2）解：若二次函数的图象与轴只有一个交点， 则有且只有一个实数根， ，且， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； （3）解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上， 当时，时取最小值，最小值， 时取最大值，最大值， ， 解得，符合要求； 当时，抛物线开口向下， 当时，时取最大值，最大值， 时取最小值，最小值， ， 解得，符合要求； 综上可知，的值为． 易错点02二次函数一般式的平移 【错因】二次函数顶点式的平移和一般式的平移进行混淆 【避错关键】抛物线y=ax²十bx十c在平移过程中，抛物线的开口方向和大小都不会变化，因而找准平移后的顶点就是解决问题的关键或者化成顶点式，然后根据平移的规律“左加右减，上加下减”确定平移后抛物线对应的函数解析式 【典例】 1．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线与x轴的交点，解不等式组，在范围内与x轴只有一个交点，当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零,进行列式计算即可． 【详解】解：∵抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后， ∴平移后的抛物线的表达式为， ∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线， 把代入，得 由题意且，可知抛物线顶点在轴上方，故抛物线与轴有两个交点 ∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零； ∴， 解得， 故答案为： 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）（1）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． （2）对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． （1）先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． （2）由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解． 【详解】解：（1）将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． （2）由抛物线与轴都有公共点可得：，即， ∴， 设，则， 要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可， ∴，即的最小值为， ∴； 故答案为． 3．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，勾股定理等，将沿射线方向平移转化为左右平移是解决问题的关键．先求出点B、C的坐标，利用勾股定理得到长度，进而确定平移方式，然后把解析式化为顶点式，再根据平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可解答． 【详解】解：对于，令，则， ∴， ∴； 令，则， 解得，， ∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面， ∴， ∴， ∴， ∴点C沿射线方向平移个单位后与点B重合， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于先向下平移3个单位，再向左平移3个单位， ∵原抛物线解析式， ∴平移后抛物线解析式为， 故答案为：． 易错点03含参二次函数的图象与性质问题 【错因】对于二次函数的参数不能进行正确的讨论 【避错关键】含参二次函数的性质分析，核心是明确参数位置（系数、常数项、区间），通过分类讨论参数对函数关键特征（开口、对称轴、顶点、单调性、最值）的影响，避免漏解。 【典例】 1．（22-23九年级上·江苏苏州·月考）关于二次函数的三个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②若，对应的的整数值有4个，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则或. 其中正确的结论是： . 【答案】①③ 【分析】由题意可求次函数的对称轴为直线，由对称性可判断①；分或两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分或两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴与关于直线对称， ∴对任意实数m，都有与对应的函数值相等； 故①正确； 当时，，当时，， 若时，当时，， ∵当时，对应的y的整数值有4个， ∴， ∴， 若时，当时，， ∵当时，对应的y的整数值有4个， ∴， ∴， 故②错误； 若，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且， 令，则有：， ∴由，， 整理：， 由根于系数的关系：，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且， 同理可得： ∴， 综上所述：当或时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且． 故③正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点,一元二次方程的根与系数的关系等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键． 2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数的性质求得对称轴即可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， ； ， ， ， 抛物线开口向下， 若，对于，都有， 离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧， ， 即， 故答案为：1；． 3．（25-26九年级上·天津河西·月考）对于二次函数，有下列说法： ①如果当时，y 随x的增大而减小，则， ②如果它的图像与x 轴的两交点的距离是4，则， ③如果将它的图像向左平移3个单位后的函数的最小值是，则， ④如果当 时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为． 其中正确的说法是 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与x 轴的两交点问题，根据二次函数的对称性求函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ①根据二次函数的增减性，当时，y 随x的增大而减小，所以，故可判断； ②设二次函数的图象与x轴的两个交点为，，根据一元二次方程的根与系数关系，可求得图像与x 轴的两交点的距离的平方是，即可列方程求解，可判断答案； ③平移后的抛物线为，即可列方程求解，可判断答案； ④先求出二次函数图象的对称轴是，即可得到当 时的函数值与时的函数值相等，即可判断答案． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 因为二次项系数， 所以当时，y 随x的增大而减小， 如果当时，y 随x的增大而减小，则，即， 故①错误； 设二次函数的图象与x轴的两个交点为，， 令，则， ，， ， 如果它的图像与x 轴的两交点的距离是4， 则， 解得， 故②正确； ， 将它的图像向左平移3个单位后的函数解析式为， ， 解得， 故③错误； 如果当 时的函数值与时的函数值相等， 则二次函数图象的对称轴是， 当 时的函数值与时的函数值相等， 时的函数值为， 当时的函数值为， 故④正确； 其中正确的说法是②④． 故答案为：②④． 易错点04区间内二次函数的最值问题 【错因】求二次函数的最值时没有注意到自变量的取值范围 【避错关键】解决区间内二次函数最值主要有三个方面： 1. 求对称轴 2. 判位置：判断是否在区间 [m, n] 内； 3. 算最值：根据“开口方向+对称轴位置”，计算顶点或端点的函数值，确定最值 【典例】 1．（2023·陕西咸阳·三模）已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最大值是，在对称轴的左边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为． 故选：B． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 3．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线 (1)当时，有求的值； (2)当时，有且求m的值． 【答案】(1)12 (2)或2 【分析】（1）依据题意，由，结合二次函数的性质，可对时，的函数值进行判断、，最后计算得解； （2）依据题意，分四种情况讨论：当时，此时，，求得；当时，此时，，求得；当时，当时，最后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，取最小值为3． 又当时，， ∴当时，． 又当时，有， ． ． （2）解：当时，， 当时，， ∵当时，则有， ∴①当时，即，此时，， ∴， 解得； ②当时，此时，， ∴， 解得； ③当时，即，则，， ∴， 解得（舍）或（舍）； ④当时，即时，则，， ∴， 解得（舍）或（舍）； 综上所述：或2． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会分类讨论是解题的关键． 4（2025·云南·模拟预测）已知二次函数，该二次函数的图象经过点． (1)求式子的值； (2)当时，函数的最大值比最小值大2，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）将点代入函数，根据代入后的等式变形解得的值； （2）通过对称轴分析函数在区间上的最值分布，分情况讨论最大值和最小值的位置并建立方程求解a的值即可． 【详解】（1）解：将，代入得： 解得； （2）解：∵， ∴， 将代入函数化简为， 其对称轴为，因开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， ①当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 解得（舍去）； ②当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）； ③当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 解得（舍去）； 综上，． 技巧01：待定系数法求二次函数解析式 《方法技巧》 求二次函数解析式的设法 (1)已知任意三点，设一般式 (2)已知点中有两点的纵坐标都为0时，设交点式。 (3)已知顶点的坐标，设顶点式 (4)已知点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛物线的对称性求得顶点的横坐标，设顶点式 【典例】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【详解】（1）解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 2．（25-26九年级上·浙江·月考）抛物线的顶点坐标为，且过点．求： （1）抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）（2）和 【分析】本题考查二次函数的表达式求解及抛物线与轴的交点问题，掌握抛物线的顶点式及一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据抛物线顶点坐标设顶点式，代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）令抛物线表达式中，解一元二次方程，得到与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式为， 将代入表达式： ， ， ， 故函数的表达式为． （2）解：令，即， 解方程：，得， 故抛物线与轴的交点为和． 答：和． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·月考）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． (1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）； (2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案； （2）利用一般式代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）， ∴设二次函数的解析式为：， 把（0,﹣6）代入得： ， 解得：a＝2， 故二次函数的解析式为：； （2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得： ， 解得：， 故二次函数解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键． 4．（21-22九年级上·福建南平·期中）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设二次函数为，由题意可得，，，将代入求解即可； （2）由（1）得，开口向上，即可求解． 【详解】解：（1）设二次函数为， 由题意可得，，，即二次函数为 将代入得 解得 即 故答案为： （2）由（1）得，开口向上， 由题意可得：当x＝－2与时，y＝0 ∴当或时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质． 技巧02：二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 《方法技巧》 已知二次函数y=ax2十bx十c的图象，推断a,b,c之间关系的问题，通常会用到下面的思路： (1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的正负. (2)结合图象，通过给x赋值，来判断特殊函数值的正负，如判断“a十b十c”“a一b+c”“4a+2b十c” “4a一2b十c”等式子的正负. 【典例】 1．（2024·广东佛山·模拟预测）二次函数的大致图象如图所示，对称轴为：直线，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④．其中正确结论的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． ①抛物线的对称轴在y轴左侧，则，即可求解； ②抛物线的对称轴为直线，则，即可求解； ③抛物线与直线有两个交点，即可求解； ④根据对称轴求出抛物线与横轴的另一个交点坐标，然后判断时，，即可求解． 【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴左侧，则， ∴，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则， ∴，故②错误，不符合题意； ③∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，， ∴，故④错误，不符合题意． 故选：B． 2．（2025·辽宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴的两个交点分别为对于下列命题：①；②； ③④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴公式，根据图象确定参数的取值范围，根与系数的关系等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 利用对称轴公式，根据图象确定参数的取值范围，根与系数的关系等逐项进行判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 故①错误，不符合题意； ②根据抛物线开口向上得，对称轴位于轴的右侧得异号，即， 抛物线交轴于负半轴得， ∴， 故②错误，不符合题意； ③由根与系数的关系得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确，符合题意； ④， ∵， ∴， 即， 故④错误，不符合题意； ∴正确选项有：③， 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数，，所满足的关系是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点和点，且，以及与轴交点在下方，利用根与系数的关系确定，，的符号和关系，逐一分析各结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点， 和是方程的两个根， 根据根与系数的关系有：，， 抛物线与轴正半轴交于点且在下方， 且， 由且，得， ， 且， ， ， ，， ，故正确； ，， ，， ， ， ，故正确； ， ，， ，故错误； ， 由得，即， ，故正确； 故答案为． 4．（2025·宁夏银川·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据图象可知，开口向上，得出，根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据抛物线交轴负半轴，得出，即可判断①；根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，将该点坐标代入解析式可判断②；根据抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即，得出无论取何值时，总是大于或等于，即，可判断③；根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，到的距离比到的距离小，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大， 即可判断④． 【详解】解：根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ， ∴，故①错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于， 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，到的距离比到的距离小，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大， 故，故④正确，符合题意． 故答案为：②③④． 技巧03：二次函数与一次函数综合问题 《方法技巧》 (1)双图象问题：此类问题常见的形式为在同一平面直角坐标系中提供两个含有相同字母系数的函数的图象，据图作出正确判断.解答此类问题常利用排除法，即通过图象分析出两个函数解析式中各字母系数满足的条件，若一致，则正确；若不一致，则排除 (2)与图象交点有关的问题：解答此类问题，要注意两函数图象的公共点，一般是借助某个函数的解析式，先求出公共点的坐标，再求出另一个函数的解析式. 【典例】 1．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数且）的顶点为． (1)求点坐标； (2)若当时，函数图象的最高点为，点的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标公式先求出点D的横坐标，然后代入二次函数解析式求出纵坐标即可； （2）根据对称轴是直线，得出时取得最大值，将代入二次函数中，求出，即可得出答案； （3）先求出，得出二次函数解析式为，求出直线与二次函数的两个交点的横坐标为，根据点在点的下方，得出的取值范围是．表示出．根据二次函数的性质，结合线段的长度随的增大而减小，得出的取值范围是，从而得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 将代入中得， 点的坐标为． （2）解：对称轴是直线， 在时，时取得最大值， 将代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数表达式为． （3）解：把代入中，得， 将代入中， 得， 解得， ， 令， 解得， 点在点的下方， 的取值范围是． 点的坐标可分别表示为，， ． ，对称轴为直线， 当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 2．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上， (1)用含的代数式表示______________________； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数有最大值为4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点形成的“弦长”问题． （1）将点代入即可求解； （2）确定二次函数解析式，由于对称轴直线，开口向上，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设的图象与直线交点为．联立解析式得，则，由根与系数的关系代入得到，而，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意将点代入得：， ∴ （2）解：由（1）得 二次函数解析式： 对称轴为直线 当时，函数有最大值为； （3）解：设的图象与直线交点为． 则有， 联立解析式得，即， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 即． 3．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设直线与y轴相交于点M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧），取的中点P，的中点Q． (1)当时，求P，Q两点的坐标； (2)当时，求证：； (3)对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点是否均在某一抛物线上？如果是，求此抛物线的解析式；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)P，Q两点的坐标分别为， (2)见解析 (3)对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点均在抛物线上 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数的交点问题，已知两点坐标求两点坐标等知识，求出二次函数与一次函数的交点是解题的关键． （1）当时，得．联立抛物线和一次函数解析式，得出A，B两点的坐标，再根据中点坐标求解即可． （2）证法一：联立抛物线和一次函数解析式，得出，进而求出A，B两点的坐标，再根据中点坐标期初P，Q两点的坐标，再根据两点之间的距离得出，再根据时，即可得出． 证法二：当时，得，，可推出当时，． 再根据，即可证得． （3）解法同（2）证法一，解出P，Q两点的坐标，再令，消去k， ，进一步即可得出点Q也在抛物线上． 【详解】（1）解：当时，得． 根据题意，有， 解得，． ∴A，B两点的坐标分别为，． ∵的中点为P，的中点为Q， ∴P，Q两点的坐标分别为，． （2）证明：方法一： 由直线与抛物线相交， 得．解得． 此时直线与抛物线的交点坐标为 ，． ∵的中点为P，的中点为Q， ∴P，Q两点的坐标分别为和． ∴． ∴当时，总成立． 方法二： 当时，得，， ∴． ∴当时，． ∵， ∴当时，． （3）解：∵， 由直线与抛物线相交， 得．解得． 此时直线与抛物线的交点坐标为 ，． ∵的中点为P，的中点为Q， ∴P，Q两点的坐标分别为和． 令， 消去k，可得． 当时，， ∴点Q也在抛物线上． ∴对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点均在抛物线上． 技巧04：二次函数的计算与证明（增减性、对称轴、最值） 《方法技巧》 二次函数的推理计算与证明，核心是围绕解析式求解（知点求式）、性质推导（增减性、最值、对称性）、关系证明（位置关系或恒成立）三类问题，依托函数基本形式（一般式、顶点式、交点式）和代数变形、分类讨论思想展开 【典例】 1（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可； （2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 （2）∵，所以分为两种情况， ①当时，对称轴为，开口向上， ∵,, ∴此时、都在对称轴的右侧， 又∵当时，y随x的增大而增大， 结合图象，若对于，，都有 则：， ∴ ②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵,, ∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧, 又∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， 结合图象，若对于，，都有． ∴   ∴   ∴ 综上，a的取值范围是或． 2．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 3（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． (1)若轴，求抛物线的对称轴； (2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有． ①求a的取值范围； ②若，点，在抛物线上，当时，都有，求a的值． 【答案】(1)直线 (2)① 或②． 【分析】本题考查二次函数图象和性质、增减性，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键． （1）根据轴，可得，由此得出点，点是关于抛物线的对称轴的对称，即可求出对称轴， （2）①分和两种情况，根据二次增减性结合图象即可判断；②根据点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，列不等式即可解得． 【详解】（1）解：∵轴， ∴的纵坐标与相同，即， ∴点，点是关于抛物线的对称轴的对称， ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∴， ∴对称轴为， I．当 时，开口向上，抛物线在A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，随增大而增大， 最低点出现在端点时，，如图： 故当时，都有． II．当时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点或，如图： ∴当时，，即：，解得：， 综上， 的取值范围为 或 ． ②当时，开口向下，点 和 在抛物线上，当时，都有， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 由①得 ． ∴时，当时，都有． 综上所述：当时，都有，． 技巧05：二次函数的公共点问题 《方法技巧》 二次函数公共点问题核心是联立方程，通过判别式判断解的个数，进而确定函数图像（抛物线）的交点数量，具体分两类场景：二次函数与一次函数的公共点、二次函数与二次函数的公共点，主要思想是联立方程组，看判别式的大小，同时注意字母的分类讨论和数形结合数学思想的应用 【典例】 1．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，点，． (1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示） (2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当或时，抛物线与线段只有一个公共点 【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式，抛物线与直线的交点； （1）通过配方将抛物线一般式化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标； （2）数形结合从图上观察抛物线与线段的交点个数，当抛物线顶点在的线段上时符合题意，当抛物线在经过B点和经过A点之间的时候，但不包正好经过B点的时候也符合题意，据此即可求解. 【详解】（1）解：将抛物线的一般式化为顶点式得： ， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴线段与x轴平行， ∵抛物线与线段只有一个公共点， 如图所示，抛物线对称轴为直线，抛物线的位置会随着参数c的变化而上下移动 ①当抛物线顶点在线段上，此时抛物线与线段只有一个交点 即 解得 ②当抛物线顶点向上移动，使得抛物线经过B点时 将B点代入解析式得 解得，此时抛物线与线段有两个交点，抛物线从此位置再向上移动与线段就只有一个交点了 ③当抛物线向上移动经过A点时 将A点代入解析式得 解得，此时抛物线与线段只有一个交点，从此位置再向上移动，抛物线将与线段没有交点 综上所述：当抛物线在①位置时和在②位置、③位置之间但不包括②位置本身时抛物线与线段只有一个交点 即或时抛物线与只有一个交点 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数有最小值，求． (2)已知点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的的取值范围． 【答案】(1)4或 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）把原函数解析式转化为顶点式，然后根据二次函数有最小值，构建关于m的方程求解即可； （2）根据二次函数的开口向上，且二次函数图象与线段有2个公共点，得出当、时，函数值，以及顶点的纵坐标，对称轴，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解： ， ∴当时，有最小值为， ∵二次函数有最小值， ∴， 解得或； （2）解：∵二次函数图象与线段有2个公共点，，， ∴， 解得． 3．（2023·浙江绍兴·一模）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式．； (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点． ①若点在二次函数的图像上，求的最大值． ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）待定系数法计算即可． （2）①设点的坐标为，则点的坐标为， 把代入构造h为函数的二次函数计算即可．②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得，， ∴． （2）①设点的坐标为，则点的坐标为． 把代入，得： ， ， ∵，当时，且满足， ∴． ②设点的坐标为，则点的坐标为． 当，点的坐标为， 把代入得：， ∴或． ∴或 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 技巧06：二次函数的定点问题 《方法技巧》 二次函数定点问题的核心是消去参数影响，找到无论参数取何值（在允许范围内），函数图像都恒过的固定点，常用的方法是分离参数法：将含参二次函数按“参数”的次数整理（如把含  k  的项放在一起，不含  k  的项放在一起）；令“参数的系数”等于0，解出  x  的值；将  x  的值代入原函数，求出对应的  y ，得到的  (x, y)  即为定点 【典例】 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知二次函数（是常数）． (1)求证：无论为何值，该二次函数图象恒过一定点； (2)若该抛物线的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成，再将代入求出的值，由此即可得证； （2）先根据二次函数的对称轴可得，再分三种情况：①，②，③，分别求出最大值与最小值，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：二次函数 ， 当时，， 所以无论为何值，该二次函数图象恒过一定点． （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ①当时，在内，随的增大而减小， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为4， ∴，即，方程没有实数根，舍去； ②当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为，舍去； ③当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为4， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， 综上，的值为1． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（为非零实数）． (1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标； (2)不论为何值，该函数图象都会经过两个定点，求这两个定点坐标； (3)若二次函数有最小值，求证：当时，随的增大而减小． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时，x的值即可得到答案； （2）根据，令，求出x的值，再求出y的值，即可得出答案． （3）根据二次函数有最小值可得，二次函数开口向上，再求出抛物线对称轴为，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，二次函数解析式为， 当时，， 解得或， ∴当时，二次函数图象与x轴的交点坐标为； （2）解： ， 令， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴这两个定点坐标为，； （3）解：∵二次函数有最小值， ∴，即二次函数开口向上， ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·月考）设二次函数（，为常数，），已知． (1)若该函数的对称轴为直线，求该二次函数的表达式． (2)无论，为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标． (3)当时，随的增大而增大，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴可得，结合题意可求得，，即可得到二次函数的解析式； （2）将代入，整理得，即可求解； （3）根据题意可得，求得二次函数的对称轴的取值范围为：，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 则， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， 则， ∴二次函数， 整理得，， 当时，即， 将代入，得， 故无论，为何值，该二次函数一定过一个定点，定点坐标为； （3）解：∵当时，随的增大而增大， ∴二次函数的开口向下，即， 则二次函数的对称轴为， ∵， ∴， 即二次函数的对称轴的取值范围为：， 故， 即的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）已知二次函数（），顶点为P，且二次函数的图像恒过两定点A、B（点A在点B的左侧）． (1)当时，求该二次函数的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，二次函数的图像上是否存在一点D，使得，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)将点P先沿水平方向平移个单位，再向下移动个单位得到，若二次函数经过点，在二次函数的图像上存在点Q，使得的最小值为4，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在；点D横坐标为或； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的顶点式以及二次函数背景下的几何综合问题．解答关键是根据数形结合思想，构造方程求解． （1）把代入，再求顶点坐标即可； （2）根据函数特征，将函数解析式变形为，由二次函数的图像恒过两定点A、B，确定点A，B坐标分别为：，再设点D坐标为，由题意得到，代入得解出x即可； （3）由平移得到，从而得到，由Q为抛物线上动点，则可知，当三点共线时，有最小值4，则点Q在线段上，分别把点A、B坐标代入，求出m临界值，则问题可解． 【详解】（1）解：当时，， 故二次函数顶点坐标为：； （2）存在； 解： ， ∵二次函数的图像恒过两定点A、B， ∴当时，函数的值为3， ∴点A，B坐标分别为：， 设点D坐标为 则当时，， ， 整理，得 ∵ ∴ 即 ∴或， ∴解得（舍去），（舍去），，， 故点D横坐标为或． （3）由已知，点P坐标为， 由点P先沿水平方向平移个单位，再向下移动个单位， 故点点横坐标， 纵坐标， ∴， ∴二次函数， 由Q为抛物线上动点，则可知，当三点共线是，有最小值， 由最小值为4，A，B坐标分别为：， ∴当点Q在线段上时的最小值为4， ∴当点A时， ， 解得（舍去）或， ∴当点A时， ， 解得（舍去）或， 故m的取值范围为：． 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 4．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 5．（24-25九年级上·河北沧州·月考）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 6．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 7．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想．①根据对称轴，确定a，b的关系，然后判定即可；②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；③根据抛物线与x轴的另外一个点的坐标为，然后判定即可；④根据对称性判断即可；⑤由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则． 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标，即对称轴为直线， ∴，则，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴是直线，， ∴抛物线与x轴的另一个交点是，故④错误； 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 由图象得：当时，；故⑤正确． 综上分析可得，正确的有：①③⑤． 故选：C． 8．（2025·四川广元·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题综合考查二次函数的图象与性质、二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．利用交点式确定二次函数表达式，结合开口方向分析系数符号判断①； 根据对称轴与点的位置关系判断函数值大小，判断②； 根据平移后的二次方程根的分布与原函数交点的关系，判断③；根据二次函数最小值与不等式的关系，判断④． 【详解】解：二次函数与轴交点为和， 设表达式为：， ∵， ∴， ∴，故结论①正确． 对称轴为直线，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大： 到对称轴距离为3，3到对称轴距离为1，6到对称轴距离为4， ∴，结论②正确． 方程的解是对应函数向下平移1个单位后的图象与轴交点的横坐标， 原函数在和处与轴相交，平移后交点必在原交点外侧，即且．结论③正确． 二次函数最小值在顶点处取得：， 若m为任意实数，则，即．结论④错误． 故选：C． 9．（2024·广东·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴确定a与b的关系，结合开口方向及特殊点判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由和时，， ∴对称轴为，即，得， 当时，， 当时，， 则， ∴，故，结论①错误； ∵关于直线对称，代入得，，∴， 由时，， 解得， 故，结论②正确； 时，， 时，，故方程正根在1和2之间， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， 故正根在1和之间，结论③错误． ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越近y越大，横坐标，横坐标， 当时，，离对称轴更近， 故，结论④正确 综上，正确结论为②④， 故选：D． 10．（2025·山东济南·三模）定义：已知二次函数，对于m、n为实数（），若当时，函数值y的取值范围为，则称为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数的图象上有两点和，其中，若为函数的“翻倍取值范围”，则e的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性，求出值，进而求出函数解析式，进而求出对称轴，根据增减性，结合新定义，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，其中， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵为函数的“翻倍取值范围”， ∴当时，则：， 解得：或或或； 均不符合题意，舍去； 当时，则：，解得：， 当时，则：， ∴；符合题意； 当时，则：， 解得：或（舍去）； 当时，则：， 解得：或（舍去）；或（舍去）； ∴，， ∵， 故这种情况不符合题意；舍去； 综上：或； 故选A． 二、填空题 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 12．（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 13．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 14．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 16．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 17．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … 描点，连线画出抛物线，如图所示． （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 18．（2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 19．（2025·广东广州·三模）已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，绝对值，二次根式的性质化简，由二次函数的图象与轴的交点在轴的下方可知，然后化简代数式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∴， ∴ ． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）如果一条直线与一条抛物线只有一个交点，且直线与这条抛物线的对称轴不平行，我们就称直线与抛物线相切．在平面直角坐标系中，直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为，求证：无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切． 【答案】见详解 【分析】本题考查了新定义，判别式的应用，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，整理得，再求出判别式，即，即可作答． 【详解】解：∵直线L的函数表达式为，抛物线P的函数表达式为 ∴ ∴ 整理得 ∴ ∴直线L与抛物线P只有一个交点， ∴无论m取何实数，直线L与抛物线P都相切 21．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 22．（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 23．（2025·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系中，定义两个函数． (1)如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； (2)如果，判断函数的图象与轴的交点情况； (3)若点在上，点在上，求的最小值． 【答案】(1)10 (2)无交点 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，完全平方公式； （1）利用待定系数法求出再结合完全平方公式计算即可； （2）表示出判别式再根据题意得到，判断出即可求出结果； （3）利用待定系数法求出整理得到，根据二次函数的性质得到在对称轴处取得最小值，计算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入中， 得 ， （2）解：由题意得 即的图象与轴没有交点； （3）解：把，分别代入中，得： 由题意得， 即 设 图象开口向上 ∴在对称轴处取得最小值， 把代入中得 ∴的最小值为， ∵ 当时，ab的最小值为． 24．（2025·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①④ (2)另一个平衡点为 (3)或 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 【详解】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； （2）解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； （3）解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 1 / 126 学科网（北京）股份有限公司 $