第03讲 相交线（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 相交线（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】：邻补角及其性质 1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 2.邻补角的性质:邻补角互补,即互为邻补角的两个角之和为180° 【知识点02】：对顶角及其性质 1.定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 2.对顶角性质:对顶角相等。 【知识点03】：垂线 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 2.垂线的性质： 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 1.垂线段定义：以已知直线的垂线上的一点（不是垂足，点在直线外）与垂足为端点的线段，叫点到直线的垂线段； 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 4.垂线的画法：借助三角尺或量角器来画垂线。 【题型一】两点确定一条直线 例1．下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解． 【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意； 故选：C． 变式1．把如图所示的挂衣钩固定在墙上时，至少要钉两个钉子，这样做的依据是： ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题关键．根据两点确定一条直线即可得． 【详解】解：把如图所示的挂衣钩固定在墙上时，至少要钉两个钉子，这样做的依据是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 变式2．如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6，②； (2) 【知识点】两点确定一条直线、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算． （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段， 故答案为：6； ②由题意得，， 故答案为：；； （2） D线段的中点，， ， ， ， ． 【题型二】对顶角的定义 例2．（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D 变式1．观察图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角； (4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) 【知识点】图形类规律探索、对顶角的定义 【分析】（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】（1）解：对图形进行点标注， 图①中对顶角有与，与，共2对； 故答案为：2；    （2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 故答案为：6； （3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为：12； （4），，， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【题型三】对顶角相等 例3．如图，直线相交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等得出结论即可． 【详解】解：，与是对顶角， ， 故选：B． 例4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角的定义、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 变式2．如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：， 答：的度数为． 【题型四】垂线的定义理解 例5．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，同一平面内，两直线只有相交和平行两种位置关系，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法正确； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的意义，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键．根据题意，得，，故，，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 （已知） 　          　 　          　 是的角平分线（已知） 　          　 　　                  【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：直线、相交于点，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂线的性质） ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） ，（角平分线的定义） ． （等量代换） 故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换． 【题型五】画垂线 例6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 变式1．（22-23七年级下·上海宝山·月考）作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】根据题意，过点分别作的垂线，垂足分别为， 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则即为所求        【点睛】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【题型六】垂线段最短 例7．点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（　 ） A．3 B．4.5 C．5 D．7 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】根据点到线的距离垂线段最短判断即可． 【详解】解：当时，点P到直线l的距离是， 当不垂直l时，点P到直线l的距离小于，故点P到直线l的距离可能是3． 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段的性质：垂线段最短． 变式1．如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短，跳远的测量方法，可得答案． 【详解】：解：测量学生跳远成绩的依据是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 变式2．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【答案】图见解析，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短， ． 【点睛】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【题型七】点到直线的距离 例8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 【答案】 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查 点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题的关键．根据点到直线的距离的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为，垂足是， 所以点到线段的距离是线段的长度． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 一、单选题 1．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小． 其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】B 【分析】找到依据是两点之间，线段最短的现象即可得到解答． 【详解】解：用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，依据是两点确定一条直线，故①不符合题意；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，依据是两点之间，线段最短，故②符合题意；用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小．依据是两点之间，线段最短，故③符合题意． 综上可知，②③符合题意， 故选：B 【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间，线段最短，直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握线段和直线的性质是解题的关键． 3．如图，直线相交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，把三个角转化为一个平角是解题的关键．根据对顶角相等求出，再根据平角的定义解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． 故选：C． 4．下列命题不正确的是（　 　 ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据垂线段最短、两直线的位置关系、两点确定一条直线、垂线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，本选项说法正确，不符合题意； B、在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，本选项说法正确，不符合题意； C、两点确定一条直线，本选项说法正确，不符合题意； D、在同一平面内，那么过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂线段最短、两直线的位置关系、两点确定一条直线、垂线的性质是解答本题的关键． 5．在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键． 6．如图，直线与相交于点与互余，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角、补角的有关计算．熟练掌握余角、补角的定义，是解题的关键．互余的两个角之和是，互补的两个角之和是． 由邻补角的定义可得，由余角的定义得到． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．如图，，，，．则图中能表示点到直线的距离的是线段 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是知道点到直线的距离是垂线段的长度． 通过观察图形可知，垂线段的长度是点到直线的距离． 【详解】解：， ∴点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：． 8．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等以及角的和差关系，熟练掌握垂直的性质和对顶角相等是解题的关键．先根据垂直的性质求出相关角的度数，再利用对顶角相等和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ 与是对顶角， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 9．值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线． 【分析】利用直线的性质进而分析得出即可． 【详解】解：先把最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题关键． 10．如图，直线，相交于点，，若，为过点的一条射线，使得，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据垂直的条件和对顶角相等求出，再根据平角的定义得出，然后根据题意画出图形，分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ①当与在的同侧时，如图， ， ， ， ②当与在的异侧时，如图， ， ， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是角度的和差计算，考查平角和周角的定义，垂直的定义，对顶角相等，运用了分类讨论的思想，掌握角的相关知识是解题的关键． 11．如图是一把剪刀，若，则 ．    【答案】 【分析】先根据对顶角相等得出，再由邻补角性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角，解题的关键是掌握对顶角和邻补角的定义和性质． 12．点O为线段AB上一点，不与点A、B重合，OC⊥OD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为 ． 【答案】55°或125° 【分析】分OC，OD在AB的同侧和异侧两种情况求解． 【详解】当OC和OD在AB同一侧时，如图： ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵∠AOC＝35°， ∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°， 当OC和OD在AB同异侧时，如图： ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∵∠AOC＝35°， ∴∠AOD＝55°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣55°＝125°． ∴∠BOD的度数为55°或125°． 故答案为：55°或125°． 【点睛】本题考查了垂直的定义即两直线相交，交成的四个角中有一个是直角，理解定义，学会分类是解题的关键． 13．如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的定义，垂直的定义，逐一判断即可得出结论． 本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】①∵是的平分线 ∴，故①正确； ②∵ ∴ ∴，故②错误； ③∵、分别是和的平分线 ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 14．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ． 【答案】4.8 【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值． 【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值， ∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°， ∴AB•MP＝AM•BM， 即10MP＝6×8， 解得MP＝4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键． 15．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 16．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的意义，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键．根据题意，得，，故，，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．由点引出的条射线如图，若，，，则图中以为顶角的锐角共有 个． 【答案】15 【分析】分别以OA、OB、OC、OD、OE、OF为一边，数出所有角，找出其中的非锐角，相减即可得答案． 【详解】解：以OA、OB、OC、OD、OE、OF为始边， 分别有角6个，5个，4个，3个，2个，1个， 图中共有角21个， ， 所以以OA为边的非锐角有3个，分别为， ∴∠COF+∠BOC＞90°， ∴∠FOB＞90°． 所以以OB为边的非锐角有2个，分别为， 以OC为边的非锐角有1个，为． 于是图中共有锐角21-（3+2+1）=15个． 故答案为15． 【点睛】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数，要注意去掉非锐角． 18．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，余角补角定义，分类讨论，是解本题的关键． 当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时， 可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 19．如图，，垂足为，经过点，求、的度数． 【答案】， 【分析】根据对顶角相等，角互余的关系即可求解． 【详解】解：直线交于点， ∴（对顶角相等），且， ∴， ∵，即， ∴，且， ∴． 【点睛】本题主要考查角的位置，角的数量关系，掌握对顶角的性质，角的互余关系是解题的关键． 20．如图，直线a，b相交，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的概念，解题的关键掌握对顶角相等的概念． 【详解】解：由题图可知与互为对顶角，所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 21．如图，已知直线l 和直线外一点 A．用量角器或三角板经过点A画直线l的垂线，垂足为点C；再在直线l上任取一点 B（点C除外），连接．在线段，，中，哪条线段最长？为什么？ 【答案】见详解，线段最长，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短，先根据题意作图，再结合，即垂线段最短，故，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵经过点A画直线l的垂线，垂足为点C； ∴， ∴（垂线段最短） 即线段最长． 22．如图，分别过点作直线的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力，掌握以上知识是解答本题的关键． 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可． 【详解】解：如图所示： 23．已知：如图，直线和相交于点O，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质，根据垂直，可得的度数，根据角平分线，可得的度数，于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．如图，于点，平分，平分．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直和角平分线的定义可得结论； （2）根据角平分线的定义计算可得结论． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ． （2）解：， 又平分， ， ． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过求解得出的度数是解题的关键． 25．如下图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，，求的度数． (2)若OF平分，，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线求出，最后通过与的差得到； （2）设为未知数，利用对顶角、角平分线表示出相关角，再根据的度数列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线AB，CD相交于点O， ∴． ∵OE平分， ∴． ∵， ∴． （2）解：设，则． ∵平分， ∴， ∵， 且平分， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线及平角的性质，掌握对顶角相等、角平分线分角为相等的两部分、平角为180°是解题的关键． 26．（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______________对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．    【答案】（1）    ；（2）    ；（3）在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角 【分析】根据每两条直线相交可以构成两对对顶角，只需要找到一组直线中相交直线的对数，即可求得对顶角的对数． 【详解】（1）两条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；三条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；四条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角． 故答案为：     （2）两条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角；条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角． 故答案为：     （3）在同一平面内，条直线两两相交，相交直线的对数，对顶角的对数． 故答案为：在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 相交线（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】：邻补角及其性质 1.定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 2.邻补角的性质:邻补角互补,即互为邻补角的两个角之和为180° 【知识点02】：对顶角及其性质 1.定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 2.对顶角性质:对顶角相等。 【知识点03】：垂线 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 2.垂线的性质： 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 1.垂线段定义：以已知直线的垂线上的一点（不是垂足，点在直线外）与垂足为端点的线段，叫点到直线的垂线段； 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 4.垂线的画法：借助三角尺或量角器来画垂线。 【题型一】两点确定一条直线 例1．下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 变式1．把如图所示的挂衣钩固定在墙上时，至少要钉两个钉子，这样做的依据是： ． 变式2．如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【题型二】对顶角的定义 例2．（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 变式1．观察图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角； (4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角． 【题型三】对顶角相等 例3．如图，直线相交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 变式1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 变式2．如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【题型四】垂线的定义理解 例5．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则 ． 变式2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） 　平角的定义　 （已知） 　          　 　          　 是的角平分线（已知） 　          　 　　                  【题型五】画垂线 例6．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 变式1．（22-23七年级下·上海宝山·月考）作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    变式2．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【题型六】垂线段最短 例7．点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（　 ） A．3 B．4.5 C．5 D．7 变式1．如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是 ． 变式2．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【题型七】点到直线的距离 例8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 变式2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 一、单选题 1．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小． 其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 3．如图，直线相交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．下列命题不正确的是（　 　 ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线与相交于点与互余，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，，，，．则图中能表示点到直线的距离的是线段 的长． 8．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 9．值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是 ． 10．如图，直线，相交于点，，若，为过点的一条射线，使得，则的度数为 ． 11．如图是一把剪刀，若，则 ．    12．点O为线段AB上一点，不与点A、B重合，OC⊥OD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为 ． 13．如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 14．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ． 15．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 16．如图，，，，则 ． 17．由点引出的条射线如图，若，，，则图中以为顶角的锐角共有 个． 18．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 三、解答题 19．如图，，垂足为，经过点，求、的度数． 20．如图，直线a，b相交，，求的度数． 21．如图，已知直线l 和直线外一点 A．用量角器或三角板经过点A画直线l的垂线，垂足为点C；再在直线l上任取一点 B（点C除外），连接．在线段，，中，哪条线段最长？为什么？ 22．如图，分别过点作直线的垂线． 23．已知：如图，直线和相交于点O，平分，求的度数． 24．如图，于点，平分，平分．    (1)求的度数； (2)求的度数． 25．如下图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，，求的度数． (2)若OF平分，，则的度数为________． 26．（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______________对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．    1 学科网（北京）股份有限公司 $