精品解析：湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一实验班上学期元月月考数学试卷

湖北随州曾都一中25级高一实验班26年元月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递减 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_____. 13. 若，且，则_____. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 16. 已知函数，若函数的图象过点. （1）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域为，且.当恒成立时，实数的最大值满足.试比较与的大小. 17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 18. （1）已知，求的值； （2）已知函数，的图象关于轴对称，又角，，锐角满足，求的值. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北随州曾都一中25级高一实验班26年元月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数定义域和值域确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由， ， 所以， 故选：C 2. 已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为，由条件结合扇形面积公式列方程求结论. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式可得，又， 可得（）， 故选：C. 4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式，求出的充要条件，与对比，即可求解. 【详解】， “”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 6. 已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，设， 因为，求解出的值，即可求解． 【详解】因为圆为的外接圆， 所以 ， 因为是的平分线， 所以， 设， 因为， 所以. 故选：A 7. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可． 【详解】，且在上单调， ，为常数，， ，， 在上单调递增， 对，，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，，又，． 故选：C． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助指对运算与不等式的性质，采用放大估值法分别比较与0的大小可得. 【详解】由题意得，， 要比较与0的大小，即比较的大小. 由，， 可得，故； 又， 故，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图像，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图像，函数，所以， 因为阴影部分的面积为，可得，所以，所以A正确； 对于B，由，可得，所以， 将点代入，可得，即， 因为，所以，所以， 令，可得， 取，可得，对称中心为； 取，可得，对称中心为， 所以点不是曲线的对称中心，所以B错误； 对于C，由，可得， 取，可得，所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，函数在区间内单调递增， 因为，所以函数在区间上单调递增，所以D错误． 故选：AC． 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数，的单调性，条件可转化为共零点，由此可得。结合基本不等式判断各选项. 【详解】因为​单调递增，​单调递增，​恒成立， 所以​与​零点相等， 令可得， 令可得 所以函数的零点为，函数的零点为， 所以​ 对于A选项：​， 可知​， 故​，所以​， 当且仅当​，即​取等号，所以A正确； 对于B选项：​，可知​，即​，显然​， 所以​， 当且仅当​时等号成立，故B错误； 对于C选项：由​可知​，易知​，​， 故​， 所以​， 故​，当且仅当​，即​取等号，所以C正确； 对于D选项：由​可知，​， 由A选项可知​，所以​，当且仅当​取最小值​，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_____. 【答案】8 【解析】 【分析】将点代入函数的解析式求，再求可得结论. 【详解】由题意得，， 解得， 所以. 故答案为：. 13. 若，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空； 【详解】因为， 所以， 所以； ， 画出的图象， 要使方程恰有5个实数根， 结合图像可知，，解得. 故答案为：； 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）确定，由包含关系构造不等式求解即可； （2）由和两种情况讨论即可； 【小问1详解】 由，可得或， 即集合或： 由，得或， 解得或. 【小问2详解】 易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知 综上可知 16. 已知函数，若函数的图象过点. （1）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域为，且.当恒成立时，实数的最大值满足.试比较与的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象过点，求得的值.将函数的图象与直线没有公共点，转化为方程无实数解，进一步转化为函数图象的与直线无交点，从而求得实数的取值范围； （2）由题意可得，所以.根据函数的单调性可判断与的大小关系，从而得到与的大小关系. 【小问1详解】 的图象过点，，解得. 所以.又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解. 即函数的图象与直线无交点. 令，则， ，则， 即函数的值域为，所以，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若恒成立，则恒成立. 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为2. 由已知，得，所以，即. 所以 又在上单调递增，且，所以. 故. 17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】（1）选择模型①，，2028年 （2）（i）选择模型②，；（ii）2027年 【解析】 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【小问1详解】 由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. 【小问2详解】 （i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 18. （1）已知，求的值； （2）已知函数，的图象关于轴对称，又角，，锐角满足，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对进行化简，得，根据同角三角关系式，构造关于的齐次分式，化简可得； （2）利用辅助角公式，可得.由函数的图象关于轴对称，求得，从而得到.根据同角三角函数关系式求出，再根据两角差的正弦公式求得的值. 【详解】（1）依题意，解得. 所以. （2）因为. 因为的图象关于轴对称，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，若，则，所以，不合题意. 故，则，所以，. 所以. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $