（期末章节复习）第22章二次函数-2025-2026学年人教版数学九年级上册

（期末章节复习）第22章二次函数-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线 的顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线 向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．若抛物线（m是常数）的开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，则时，x的取值范围是（   ） x …… 0 1 …… …… 3 3 …… A． B． C．或 D． 7．已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．方程的正根在2到3之间 8．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 9．在y关于x的函数中，对于实数，当时，函数y的最大值与最小值之差为t，且则称此函数为“倍增函数”． ①当，时，函数，都是“倍增函数”； ②当，时，二次函数不是“倍增函数”； ③当时，反比例函数为“倍增函数”，的值为，； ④已知二次函数是“倍增函数”，且的最大值为4，则的值为． 以上说法正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 二、填空题 10．若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为 ． 11．写出一个抛物线的解析式，使这个抛物线的对称轴为直线， ． 12．如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为 ． 13．已知二次函数，当时，y随的增大而减小，则的取值范围是 ． 14．已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是 ． 15．某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是．那么该男生实心球的成绩是 米 16．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列5个结论： ①； ②； ③若m为任意实数，则； ④； ⑤若方程（t为实数）的两个根为和，且，则． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题 17．如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 18．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； (2)①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． 19．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 20．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．设垂直于墙的边长为，即，矩形菜园的面积为． (1)求与之间的函数表达式； (2)当为何值时，矩形菜园的面积最大，并求出菜园的最大面积． 21．二次函数的图象经过，两点，顶点为．    (1)求二次函数的表达式和顶点的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 22．如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为．    (1)如图，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为时），游船是否能够通过？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（期末章节复习）第22章二次函数-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C C C C A C C C 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．可能为0，故不一定是二次函数； B．含有项，不是整式，故不是二次函数； C．，满足，是二次函数； D．，是一次函数； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据一般式求得顶点式，再结合顶点在第三象限列出不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴ ， 则顶点为， ∵顶点在第三象限， ∴，解得， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则“上加下减”，向下平移直接改变常数项求解即可． 【详解】解：∵将抛物线向下平移3个单位， ∴新表达式为， 化简得 ， ∴所得新抛物线的表达式为， 故选C． 4．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于0是解决问题的关键． 根据二次函数的图象与性质，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数， 解得． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 6．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，通过表格数据点确定二次函数的对称轴和开口方向，利用对称性找到二次函数与直线的交点的横坐标，从而得出x的取值范围． 【详解】解：∵当时的函数值和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴时， 由表格中的数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴函数图象开口向下， ∴离对称轴越近，函数值越大， ∴时，x的取值范围是， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的图象得到，，根据对称轴得到，可判断A、B，根据二次函数的对称性可判断D，当时，，根据可判断C． 【详解】解：∵开口向上， ∴， ∵二次函数交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即，，B正确； 即，A正确； 由图可知方程的负根在到0之间， ∵对称轴为直线， ∴方程的正根在2到3之间，D正确； 当时，， ∵， ∴，C正确； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了抛物线的解析式求解及点与点之间的距离计算，解题关键是通过建立合适的平面直角坐标系，利用抛物线的顶点式结合已知条件确定解析式，再据此分析点的位置关系． 建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为，点D的横坐标为2， ∴点E的坐标为， 设抛物线的解析式为，将点E的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为， ∴点C到的距离为．故乙对． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查一次函数和二次函数最值的求解．①②根据题意直接验证即可；③求出反比例函数的最大值和最小值，根据题意列出方程并求解即可判断；④分类讨论二次函数对称轴与和的大小关系，判断m和n到对称轴的距离的大小，确定最大值和最小值，根据题意求出m和n的值，从而得到结论． 【详解】解：①，， ． 当时，对，当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值，， 为“倍增函数”． 当时，对，当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值，， 为“倍增函数”，故①正确； ②同①，当时，对，其对称轴为，且，如图： 则当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 此时函数的最大值与最小值之差为， ，为“倍增函数”，故②错误； ③， ，， ∴当时，反比例函数有最小值； ∴当时，反比例函数有最大值； ， 又为“倍增函数”， ， 化简，得， 解得；（舍去）， ，故③错误； ④二次函数的对称轴为：；， （i）当时， 则当时，，解得（舍），； 当时，； ，代入，得（舍去）； 即此时没有满足符合的m和n； （ii）当时，则，即离对称轴较远， ∴当时，， 解得（舍），； 当时，； ，代入，得， 解得，（舍去）； 故； （iii）当时，（不符合题意）； 综上，的值为，故④正确． ∴正确的有①④， 故选：C． 10． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解． 【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 11．（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是直线． 根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴其解析式可表示为（其中）． 取，，得． 故答案为（答案不唯一）． 12． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用等腰直角三角形和矩形的性质，求出矩形另一边的表达式，进而得到面积函数根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ， 由勾股定理可得， 四边形是矩形， ， ， 则和都是等腰直角三角形， ，， 设，则， ，且， ， 解得， 矩形面积， ，， 解得， 当时，有最大值． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据二次函数的性质解题即可． 【详解】解：二次函数 ，抛物线开口向上，对称轴为 ， 由于开口向上，在对称轴左侧（即 ）时， 随 的增大而减小， ∵当 时 随 的增大而减小， ∴ ． 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查抛物线的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性，对称轴是两交点连线的垂直平分线，因此两交点的中点在对称轴上． 【详解】解：设点的坐标为， 由于抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，则点和点的中点的横坐标等于对称轴的横坐标， 即， 解得， 故点的坐标为． 故答案为． 15．10 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，结合实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是，故令，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵， ∴令，则， 整理得， ∴， ∴（舍去）， ∴该男生实心球的成绩是10米． 故答案为：10． 16．①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（对称轴、交点、系数关系、最值等），以及数形结合与代数推理能力。解题的关键是依据对称轴和交点坐标得出系数关系，再结合函数性质与不等式分析各个结论，利用交点式设抛物线解析式，结合对称轴确定系数关系；根据系数关系和函数特征（如最值、增减性）逐一分析5个结论；对含参数的结论，通过特殊值或代数变形判断正误． 【详解】由题意，抛物线与轴交于、，对称轴为直线 设抛物线为，展开得： 对应一般式，比较系数得： ， ①将点代入抛物线得，故①正确； ②将，代入得 ∵图像开口向下，∴ ∴，故②正确； ③若m为任意实数，则 考虑对称轴处的取值：当时， 左边，右边， 此时左右相等，不满足“小于”，故③错误； ④将，代入不等式， ∵ ∴ 即，故④正确； ⑤方程等价于与水平线的交点横坐标 ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，最大值：， 又∵， ∴当时，方程即为，解得，，此时，不满足，故⑤错误 故答案为①②④． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）由，轴得时代入解析式，即可求． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：，轴， 当时，， 解得：，， ． 18．(1)顶点坐标，图象见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、将一般式化为顶点式、二次函数的性质等知识点，根据函数图象求不等式的解集是解答本题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可求得顶点坐标，运用描点法画出二次函数图象即可； （2）①根据二次函数的性质即可得到结论；②根据二次函数的性质得出取得最小值，顶点位置取得最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的顶点坐标； 列表如下： x 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵函数图象上两点和，， ∴， 故答案为：； ②∵，图象开口向下， 当时，取得最小值，， ∵顶点坐标为，则y的最大值为4， 当时，函数值y的取值范围． 19．(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)是直角，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质、勾股定理的逆定理和两点间的距离，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）根据抛物线的对称轴以及A点的坐标，可得B点的坐标，再根据A、B的坐标和对称轴，可求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，再把B点和C点的坐标代入直线中，求出m、n的值，即可得出一次函数的解析式； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，再把代入直线的解析式中，即可求出点的坐标； （3）先求出点D坐标，再分别求出，进而根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，， ， 将对称轴、点C和点A代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 把、代入直线， 得， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设直线与对称轴的交点为M，连接，如图， A，B两点关于对称轴对称，M在上， ， 则， ∴此时点到点的距离与到点的距离之和最小， 把代入直线得，， ， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）解：是直角，理由如下： 由题意得，当时， ， ∴， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 20．(1) (2)当的值是7.5时，矩形菜园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ，根据题意列出函数，即可求解； （2）根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ， ∵墙长， ∴，解得， 根据题意得，； （2）解：根据题意得： ， ∵，； ∴当时，的值最大，即菜园的面积最大，最大面积是 ． 21．(1)，顶点G的坐标为 (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及平移规律． （1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据平移规律可得新抛物线解析式为，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 则， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：， ∴对称轴为直线，最小值为， ， ， 新函数的最小值是， ∴，即， ∴当时，y取最小值是，代入解析式得：， 解得：（舍去），， 综上可知，． 22．(1) (2)游船能够通过，理由见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出时的值，进而即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，拱顶的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：游船能够通过，理由如下： 当时，， ∵， ∴游船能够通过． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $