第22章 二次函数综合题 期末复习强化练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

二次函数综合题 高频考点 强化练 2025-2026学年 上学期初中数学人教版九年级上册期末复习 1．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值； (3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B． （1）求M点的坐标及a，b的值； （2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，当m为多少时，s＝． 4．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 5．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 6．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 7．已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 8．如图，已知抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上一点（不与B，C重合），轴，且交抛物线于点M，交轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得为直角三角形，求点Q的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 11．在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为A． (1)当时，求A的坐标； (2)当m变化时，点A始终在抛物线上，的顶点为B，点O关于点B的对称点为E，经过点E且平行于x轴的直线为l，于点M． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点F，使得为定值？若存在，求出点F的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 12．如图，二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 参考答案 1．(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 2．(1) (2)3 (3)，，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的函数表达式为和点A坐标，利用勾股定理及其逆定理得到，．过点作轴交于点，证明得到．设点，，则点，利用二次函数的性质求得当时，的长度取得最大值，此时点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．求得，利用垂线段最短求解即可； （3）先求得平移后抛物线的函数表达式为，，画出相应的图形，利用图形分当时和当时求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解这个方程组，得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：直线过点， 直线的函数表达式为， 在中， 令，得， 解这个方程，得（舍），． ． ，， ，且， ， ． ， ． 过点作轴交于点，则， 又， ， ， ． 设点，，则点． ． ， 当时， 的长度取得最大值，此时点， 过点作轴，过点作于点，过点作于点． 在中，， ， ，当点、、三点共线时取等号， ∴； （3）解：符合条件的点的坐标有，． ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点， 又∵，，， ∴将该抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度，得到平移后抛物线的函数表达式为，即，， 当时，如图，则轴． 在中，令， 得， 解这个方程，得（舍），． ． 当时，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，即点是直线与平移后抛物线的交点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，解得，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标有，． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、勾股定理及其逆定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、最短路径问题、坐标与图形、平行线和线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解方程组等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 3．（1）M（2，4），；（2）m的值为． 【分析】（1）通过直线y=2x确定M点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于a、b的方程组，再解方程组得到a、b的值； （2）设P（m，-m2+4m），利用三角形面积公式得到×2×（-m2+4m）=，然后解方程求出即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）将x＝2代入y＝2x得y＝4 ∴M（2，4）， 根据题意得: ， 解得； （2）抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 设P（m，﹣m2+4m），B（2，0） 依题意得：×2×（﹣m2+4m）＝， 即：m2﹣4m＝﹣， 解得m1＝，m2＝， ∵P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 4．(1) (2)①7；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；②可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ②联立，解得或， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 5．(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令，求得A，B的坐标，即得答案； （2）先求b的值，然后求二次函数与一次函数的交点的横坐标，观察图象即可得到答案； （3）根据二次函数的轴对称性，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，， ； （2）解：把的坐标代入，得， 解得， ， 令， 解得，， 观察图象可知，当时，； （3）解：二次函数的图象的顶点坐标， 即当时，二次函数取得最大值9， 在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小， ， 当时，二次函数取得最小值0， 当时，二次函数的取值范围为． 故答案为：． 6．(1)； (2)存在，最大值为； (3)不存在．理由见解析． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于直线， 令，则， ∴， 设，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而增大， ∴当，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． 7．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证； （3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分①若对称轴在直线左侧时，即，②若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，则有二次函数解析式为， 由条件可得， 解得：， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，且， ∴当时，， ， ∴； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ， ①如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ， ∴此时不符合题意； ②如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．(1) (2) (3)点坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，根据，列出二次函数关系式，求最值即可； （3）分，和，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线 ∵图象过点， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为，即． （2）解：设直线的解析式为， ∵图象过 ∴，解得， ∴． 设，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时，最大， ∵当时，， ∴． （3）解：由（2）知：， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴， 当为直角三角形时，分3种情况： ①当时，则，即：， 解得， ∴； ②当时，则，即：， 解得， ∴； ②当时，则，即：， 解得， ∴； 综上：点坐标为或或或． 9．(1) (2)，最大面积 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． （3）解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 10．(1) (2) (3)， 【分析】（1）将、代入抛物线解析式中，转化为关于待定系数的方程组求解即可； （2）先求得点的坐标，结合，求得，再说明，进而得出，从而可得，就可求得，设直线的解析式为∶，将其上的两点坐标代入求得直线的解析式．再联立，求得P点的坐标； （3）设直线的解析式为，将、，代入求得直线的解析式，再根据，得出(同底等高)，再，设()，可用t表示出点的坐标，从而可用t表示出，就可求得，再利用求得当时，，从而可求得点的坐标． 【详解】（1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为； （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 【点睛】本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 11．(1) (2)①见解析② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移，勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将代入抛物线解析式，配方后即可得到顶点的坐标； （2）①先表示出顶点的坐标，根据题意可得出抛物线的解析式，从而得出点坐标、点坐标，由直线过点且平行于轴得出点坐标，表示出、即可得证； ②先表示出当时抛物线的解析式，根据抛物线与抛物线的平移规律推出点，过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，结合①中的结论即可证为定值． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 当时，抛物线的解析式为， ； （2）①证明：抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 当变化时，点始终在抛物线上， 抛物线的解析式为， ， 点，关于点对称，即为中点， ， 根据勾股定理，， 直线过点且平行于轴， 直线， 于点， ， ， ． ②解：直线上存在点，使得为定值；理由如下： 当时，抛物线的解析式为， 由①知抛物线，将抛物线向左移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得到抛物线， 对应的，将点向左移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 将直线向上平移1个单位长度得到直线， 过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，如图， 由①，， 即抛物线上任一点到点的距离等于到直线的距离， 点，在上， ， ， 即直线上存在点， 使得为定值． 12．(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）对于，当时，，当时，则或，即可求解； （2）点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可； 点在轴下方时，同理可求得，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线，直线，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点， 令，得或，令，得， ； （2）解：当时，，即顶点的坐标为， 点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ， ， ， 由抛物线的对称性可得，， ， ， 又， ， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将、两点坐标代入得： ， 解得：， 直线， 联立：， 解得：， 当时，， 点的坐标为； 点在轴下方时， 同理可求得， 联立：， 解得：， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设， 设直线的解析式为， 联立：， 得， 由根与系数关系可知，， 直线， 同理可得，直线，直线， ， 即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， 直线解析式为， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题考查了二次函数与轴、轴的交点坐标，顶点坐标，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数与一次函数的交点，一次函数过定点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $