第8章 四边形章节重难点题型汇总（18大题型）数学新教材苏科版八年级下册

重难点专题8 四边形章节重难点复习 直击考点 重难点一 平行四边形的性质 解题的关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 例1.下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 【变式1】已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2． （1）求证：G是CD的中点； （2）若CF=2，AE=3，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE的长是． 【分析】（1）通过证≌得到CG=CF，再结合已知条件即可证明结论； （2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四边形的性质得到AB，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵点F为CE的中点，∴CF=CE， 在与中，，∴≌，∴CG=CF=CE， 又∵CE=CD，∴CG=CD，即G是CD的中点； （2）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF= 2，∴CD=CE=2CF= 4， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4， ∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用各性质. 重难点二 平行四边形的判定 平行四边形的判定，关键是掌握判定定理： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 例2.下列给出的条件能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 （ ） A．AB//CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理依次分析解答． 【详解】解：A、如图1，连接AC，∴∠BAC=∠DAC， ∵AD=BC，AC=AC，无法证明△ABC≌△CDA，∴无法判断四边形 ABCD为平行四边形； B、∠A=∠B，∠C=∠D，不能判断四边形 ABCD为平行四边形； C、如图1，∵AB=CD，AD=BC，AC=AC，∴△ABC≌△CDA， ∴∠BAC=∠DAC，∴AB//CD，∴四边形 ABCD为平行四边形； D、AB=AD，CB=CD，无法证明四边形 ABCD为平行四边形；故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 【变式2】在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．（1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△面积的． 【答案】（1）见解析；（2），，， 【分析】（1）由题意易得，，进而可得，，然后可得，最后根据全等三角形的性质可求证； （2）由（1）可得BE=DF，则根据题意易得，进而由△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的，由此问题可求解． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形为平行四边形，∴，， ∵，∴， ∴，即， ∴，∴，∴四边形是平行四边形； （2）由（1）可得，BE=DF，∵，∴， 根据△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABD和△BCD的面积相等， 同理可得△BEC和△DFC的面积是△BCD面积的， ∴，，，的面积都等于面积的． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 重难点三 格点作图 格点作图的一般步骤是:(1)明确旋转的三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度;(2)确定关键点,分别作出这几个关键点绕旋转中心旋转后的位置;(3)按原来位置依次连接各点即得要求的旋转后的图形. 例3.如图，已知的三个顶点坐标为． （1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标_______； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转，直接写出点A的对应点的坐标________． （3）请直接写出：以A、B、C为点的平行四边形的第四个项点D的所有可能的坐标________． 【答案】（1）画图见解析，A′（2，-3）；（2）A″（-3，-2）；（3）（-7，3）或（-5，-3）或（3，3） 【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可； （3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可． 【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，-3）；故答案为：（2，-3）； （2）如图，A″（-3，-2）； （3）如图，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为：（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）． 【点睛】此题主要考查了旋转变换，平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，得出对应点位置是解题关键． 【变式3】如图，16个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点. （1）在图1中画出矩形，使得，，，分别落在，，，边（包含端点）的格点上； （2）如图2，已知点，，，，均在格点上，请在网格中（包含边界）找一格点，连结，使得直线平分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据矩形的判定方法作出图形即可（答案不唯一）．（2）直线PQ经过平行四边形的中心即可． 【解析】解：（1）矩形MNEF如图所示． （2）如图2中，点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 重难点四 平行四边形的性质与坐标 平行四边形的性质与坐标，关键是利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式得出平行四边形相对的2个点的横，纵坐标的和相等，从而求出要求的点的坐标. 例4.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ） A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3） 【答案】A 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标． 【详解】 四边形ABCD为平行四边形。且。C点和D的纵坐标相等，都为3． A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），． D点坐标为（2，3），C点横坐标为， 点坐标为（7，3）．故选：A． 【点睛】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键． 【变式4-1】已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____． 【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3) 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标． 【详解】解：如图， 以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1； 以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2； 以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3； ∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）， 故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）． 【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键． 【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 【答案】(1) 存在点P的坐标，且P(0, )；(2)D运动2秒后四边形ABCD是平行四边形；(3) P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【分析】(1)过A点作关于y轴的对称点M，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，求出BM解析式，再令y=0进而求出P点坐标；(2)只能是AC为一条对角线，BD为另一对角线，设D(m,0)，利用BD的中点与AC的中点为同一个点即可求解；(3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB为对角线；②AP为对角线；③AQ为对角线共三种情况分别求解即可． 【详解】解：(1)过A点作关于y轴的对称点M(-1，1)，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P， 如下图所示： 设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)， ，解之得，∴直线BM解析式为， 令x=0，解得y=，∴存在点P的坐标，且P(0, )， 故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0, )； (2)当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD， 设D(m,0)，由中点坐标公式可知：线段AC的中点坐标为，即， 线段BD的中点坐标为，即， 又线段AC与BD中点为同一个点，∴，解得， 故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为(2,0)，又速度为1个单位每秒， ∴经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：2秒； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)， 情况①：AB为对角线时，另一对角线为PQ， 线段AB的中点坐标为，线段PQ的中点坐标为， 又线段AB和线段PQ的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(4,0)，Q(0,3)； 情况②：AQ为对角线时，另一对角线为BP， 线段AQ的中点坐标为，线段BP的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(-2,0)，Q(0,1)； 情况③：AP为对角线时，另一对角线为BQ， 线段AP的中点坐标为，线段BQ的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(2,0)，Q(0,-1)； 综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定、平行四边形的存在性问题等，熟练掌握判定法则及平行四边形的性质是解决本题的关键． 重难点五 平行四边形中的动点问题 平行四边形中的动点问题关键是利用平行四边形的性质和判定找到对边的数量关系从而求出动点运动的时间. 例5.如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动；点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，那么当_______s时，以为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或16 【解析】 【分析】 分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】 解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则CF=BC-BF=16-2t(cm)， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=16-2t， 解得：t=； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则CF=BF-BC=2t-16(cm)， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=2t-16， 解得：t=16； 综上可得：当t=或16s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或16． 【点睛】 此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 【变式5】如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【解析】 【分析】 （1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】 解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 重难点六 矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形全部性质。矩形特有的性质还有： 边：无; 角：①4个角都是直角； 对角线：②对角线相等. 例6.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等． 【解析】 如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°. ∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°， ∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF.∴S△AED=S△CDE ∵AE=1,DE=，∴△ECD的面积是.故答案选:D. 【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题. 【变式6】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④ 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，进而判断①正确； 根据ASA证明△AOE与△COF全等，进而判断②正确； 根据全等三角形的性质判断③④正确即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴OA＝OC＝OD＝OB， ∵∠COB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°， ∵BF⊥AC， ∴OM＝MC， ∴FM是OC的垂直平分线， ∴FO＝FC，故①正确； ∵OB＝CB，FO＝FC，FB＝FB， ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴∠FOB＝∠FCB＝90°， ∵∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴∠OBM＝∠CBM＝30°， ∴∠ABO＝∠OBF， ∵AB∥CD， ∴∠OCF＝∠OAE， ∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OB⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形，故②正确； ∵△OBE≌△OBF≌△CBF， ∴③正确； ∵BC＝AD＝2，FM⊥OC，∠CBM＝30°， ∴BM＝3，故④正确； 故选：D． 重难点七 矩形的判定 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。 例7.若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形一定是（ ）． A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】B 【分析】由四边形是矩形，可知，根据三角形的中位线定理可以得到，可得到，同理可得，得到，进而得到． 【详解】如图， 由题意可知：四边形是矩形， 点、、、分别是边、、、的中点，， 点、分别是边、的中点，，， 点、分别是边、的中点， ， ，．故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，三角形的中位线定理以及平行线的性质，灵活运用平行线的性质进行推理是解题的关键． 【变式7】如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形． （2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形GEHF是菱形？请说明理由． （3）若BD＝2AB．探究四边形GEHF的形状，并说明理由． 【分析】（1）连接AC，由三角形中位线定理可得GF∥OA，GFOA，EH∥OC，EHOC，可得EH∥GF，EH＝GF，可得结论； （2）先证四边形ABHG是平行四边形，可得AB∥GH，可得GH⊥BD，可得结论； （3）由平行四边形的性质可得AB＝GH＝EF，可得结论． 【解答】证明：（1）如图1，连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点， ∴E，F分别为OB，OD的中点， ∵G是AD的中点， ∴GF为△AOD的中位线， ∴GF∥OA，GFOA， 同理EH∥OC，EHOC， ∴EH∥GF，EH＝GF， ∴四边形GEHF是平行四边形； （2）当▱ABCD满足AB⊥BD时，四边形GEHF是菱形．理由如下： 如图2，连接AC，GH， ∵四边形ABCD是平行四边形，G，H分别是AD，BC的中点， ∴AG＝BH，AG∥BH， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴AB∥GH， ∵AB⊥BD， ∴GH⊥BD，即GH⊥EF， 又∵四边形GEHF是平行四边形， ∴四边形GEHF是菱形． （3）四边形GEHF是矩形． 理由如下：如图2，由（2）得，四边形ABHG是平行四边形， ∴GH＝AB， ∵BD＝2AB， ∴ABBD＝EF， ∴GH＝EF， ∴四边形GEHF是矩形． 重难点八 菱形的性质 菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。 例8.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理判定即可． 【解析】A．因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确． B．如果AD=EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确． C．因为AD平分∠EAF，所以∠EAD=∠FAD．∵∠FAD=∠EDA，∠EAD=∠FDA，∴EAD=∠EDA，∴AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确． D．∵AD⊥BC且AB=AC，∴D为BC的中点．∵DE∥CA，DF∥BA，∴E为AB的中点，F为AC的中点，∴AE=AB，AF=AC．∵AB=AC，∴AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．故D选项错误．故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【变式8】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E， （1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长． （2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD． （3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值． 【答案】（1）8；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出，，求出，即可得出结果；（2）证明，得出，证出，由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）连接，证明，得出，和的面积相等，得出S1﹣S2=S△CGE，，由勾股定理得出AE==4，设，则，由勾股定理得出方程，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE=30°，∴，， ∵，∴，解得：， ∴菱形的周长=2×4=8； （2）证明：∵四边形是菱形，∴∠=∠，， ∵，，∴∠=∠=90°， 在和中，，∴（），∴， ∵，∴，∴，∴∥； （3）解：连接CG，如图所示： ∵四边形是菱形，∴，， 在和中，，∴， ∴，和的面积相等，∴S1﹣S2=S△CGE， ，∵， ∴=4，设，则， ∵，∴2+2=2，即：x2+42=(4﹣x)2， 解得：x=，即EG=，∴S1﹣S2=S△CGE=CE•EG=×4×=． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 重难点九 菱形的判定 菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形. 例9.如图，在四边形中，，点、、、分别是、、、的中点，四边形是怎样的四边形？证明你的结论 【答案】菱形，证明过程见解析 【分析】首先运用三角形中位线定理可得到FG∥CD，HE∥CD，FH∥AB，GE∥AB，从而在根据平行于同一条直线的两直线平行得到GE∥FH，GF∥EH，可得到四边形ABCD是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形． 【详解】解：四边形EHFG是菱形． 理由：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点， ∴FG∥CD，HE∥CD，FH∥AB，GE∥AB， ∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）；∴四边形GFHE是平行四边形， ∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点， ∴FG是△BCD的中位线，GE是△ABD的中位线，∴GF=CD，GE=AB， ∵AB=CD，∴GF=GE，∴四边形EHFG是菱形． 【点睛】本题考查菱形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由） 【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可； （3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴四边形BECD是菱形； （3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形， 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， 由（2）可知，四边形BECD是菱形， ∴∠ABC＝∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝90°， ∴四边形BECD是正方形． 重难点十 正方形的性质与判定 正方形的性质：正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形. 例10.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为的中点．若的周长为18，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【解析】解：∵四边形是正方形，∴，，． 在中，为的中点，∴． ∵的周长为18，，∴，∴． 在中，根据勾股定理，得，∴， ∴．在中，∵，为的中点， 又∵为的中位线，∴．故答案为. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 【变式10】在正方形ABCD中． （1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长； （3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长． 【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周长为5+ 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根据余角的性质可得∠BAO=∠CBF，然后根据ASA可证△ABE≌△BCF，进而可得结论； （2）如图4，作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）题的结论知△ABM≌△BCN，进而可得FH的长； （3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为25－20=5，易得△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO=a，BO=b，则易得ab=5，根据勾股定理得：a2+b2=52，然后根据完全平方公式即可求出a+b，进一步即得结果． 【解析】解：（1）AE=BF，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°， 又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF； （2）在图2中，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于点O′，如图4，则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，∴AM=GE，BN=FH， ∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴FH=GE=7； （3）如图3，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：5， ∴阴影部分的面积为×25=20，∴空白部分的面积为25－20=5， 由（1）得，△ABE≌△BCF，∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，均为×5=， 设AO=a，BO=b，则ab=，即ab=5，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52， ∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，∴a+b=，即AO+BO=，∴△AOB的周长为5+． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形和多边形的面积以及完全平方公式的运用，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键． 重难点十一 三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 例11.如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________． 【答案】12 【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题． 【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10， ∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线， ∴EF∥AC，∴AC∥EG∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG， ∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC， 在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC6， ∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式11-1】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝ 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键． 【变式11-2】如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________． 【答案】5 【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，，当时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度． 【详解】解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图， ∵F为AP的中点， ，∴FE为△APM的中位线，∴ ， 当EF取最小值时，即PM最短，当时，PM最短，此时 ， ∵，在 中，， ∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键PM⊥AD． 重难点十二 中点四边形 1).中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形. 2).常见的中点四边形 （1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形； （4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形； （5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 例12.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，∴ ， ∵AD＝BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE， ∵∠EPF＝130°，∴ ．故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【变式12】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）. （1）四边形EFGH的形状是 _____________ .（证明你的结论 ） （2）当四边形ABCD的对角线满足 __________条件时，四边形EFGH是矩形. 【答案】（1）平行四边形；证明见解析（2）AC⊥BD 【分析】(1)连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形； (2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形. 【解析】 (1)四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图，连结BD， ∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形； (2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下： 如图，连结AC、BD，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC， ∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形，故答案为AC⊥BD. 【点睛】本题考查了中点四边形，涉及了三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 重难点十三 等腰梯形的性质定理 1）等腰梯形同一个底上的两个底角相等； 2）等腰梯形的两条对角线相等. 例13.如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【完整解答】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 【变式13】已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【完整解答】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 重难点十四 等腰梯形的判定定理 1）两腰相等的梯形是等腰梯形（等腰梯形的定义）； 2）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形； 3）对角线相等的梯形是等腰梯形. 例14.已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【完整解答】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【考点再现】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式14】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【思路引导】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【完整解答】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【考点再现】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 重难点十五 等腰梯形的中位线定理 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 例15.如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了梯形的中位线定理，解题关键是掌握梯形的中位线定理． 根据梯形的中位线定理，先得出，再将已知线段代入求值． 【完整解答】解：∵在梯形中，，点、分别是腰、的中点， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故答案为：4． 【变式15】如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． (1)求梯形的面积； (2)若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 【答案】(1)16 (2)8 【思路引导】本题考查梯形的性质，勾股定理，梯形的中位线； （1）分别过D，C两点作于点G，于点H．得到四边形为矩形，，再证明，得到，利用勾股定理求出，最后根据梯形面积公式计算即可； （2）由、分别是、的中点得到，是梯形中位线，则，，根据直角三角形斜边中线得到，再根据等腰三角形三线合一得到，最后根据求解即可． 【完整解答】（1）解：分别过D，C两点作于点G，于点H． ∵， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴梯形的面积为：； （2）解：如图，连接、，过点D作于点Q，连接， ∵、分别是、的中点， ∴是梯形中位线， ∴，, ∵， ∴，, ∴， ∴ ． 重难点十六 四边形中的最值问题 四边形中的最值问题关键是灵活利用四边形的性质和判定，轴对称的性质和勾股定理等知识点求相关的最值. 例16.如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为　　． 【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值． 【答案】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F， 过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示． ∵AE＝CG，BE＝BE′， ∴E′G′＝AB＝8， ∵GG′＝AD＝4， ∴E′G＝＝4， ∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键． 【变式16】如图，在中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用平行四边形的知识，将的最小值转化为的最小值，再利用勾股定理求出MC的长度，即可求解； 【详解】 过点A作且，连接MP， ∴四边形是平行四边形， ∴， 将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小， ∵，， ∴， 在中，； 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键． 重难点十七 四边形中的折叠问题 四边形中的折叠问题关键是灵活利用折叠的性质，四边形的性质和判定，勾股定理等解决相关的问题. 例17.如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为（ ） A．9 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】先求出DE＝3，CE＝6，根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角的性质求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据平行线的性质求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出FC，从而得解． 【详解】解：∵DC＝3DE＝9，∴DE＝3，CE＝6， 由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE， 所以，在Rt△DPE中，∠DPE＝30°， 所以，∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°， ∵矩形对边AD∥BC，∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CFE＝∠CFP＝30°，∴EF＝2CE＝2×6＝12， 在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC＝＝＝6=FP．故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式17】（教材呈现）如图是八年级下册数学教材第117页的部分内容． 结合图①，补全证明过程． （应用）如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为　 　． （拓展）如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝，BC＝4，∠C＝45°，则EF的长为　 　． 【答案】【教材呈现】证明见解析；【应用】；【拓展】； 【分析】教材呈现：由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形； 应用：过点F作FH⊥AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝，再利用勾股定理可求EF的长． 【解析】解：【教材呈现】∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO， ∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE＝OF， 又∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形； 【应用】如图，过点F作FH⊥AD于H， ∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵AF2＝BF2+AB2，∴（4﹣BF）2＝BF2+9，∴BF＝，∴AF＝CF＝， ∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF＝， ∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形， ∴AB＝FH＝3，AH＝BF＝，∴EH＝，∴EF＝＝＝， ∴四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+++＝，故答案为：． 【拓展】如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，∴∠ABC＝135°，∴∠ABN＝45°， ∵AN⊥BC，∴∠ABN＝∠BAN＝45°，∴AN＝BN＝AB＝2， ∵将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF， ∵AF2＝AN2+NF2，∴AF2＝4+（6﹣AF）2，∴AF＝，∴AE＝AF＝， ∵AN∥MF，AD∥BC，∴四边形ANFM是平行四边形， ∵AN⊥BC，∴四边形ANFM是矩形，∴AN＝MF＝2，∴AM＝＝＝， ∴ME＝AE﹣AM＝，∴EF＝＝＝，故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 重难点十八 四边形中的旋转问题 图形旋转过程中保持全等性质，即对应角相等、对应边相等；同时旋转角也保持不变；还有旋转中心与对应点的连线相等. 例18.（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝　EF　．若AB＝4，则△CEF的周长为　8　． （2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF＝HE＝BE+HB进而求出即可； （2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案． 【解析】（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1， ∵在正方形ABCD中， ∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB， 在△ADF和△ABH中，， ∴△ADF≌△ABH（SAS）， ∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH， ∴∠FAH＝90°， ∴∠EAF＝∠EAH＝45°， 在△FAE和△HAE中，， ∴△FAE≌△HAE（SAS）， ∴EF＝HE＝BE+HB， ∴EF＝BE+DF， ∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8． 故答案为：EF；8． （2）EF＝BE+DF，理由如下： 延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM， 在△ABM和△ADF中，， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°， 即∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF， ∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF， 在△FAE和△MAE中，， ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF， 即EF＝BE+DF． 【变式18】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）． （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为　（1，0）　，点C的坐标为　（0，﹣1）　；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是　0＜n　； （2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值． （提示：连结MN：1，1） 【分析】（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，根据正方形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，由点B（﹣1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，根据旋转的性质得到∠NBH＝60°，BM＝BN，求得NHBNt，于是得到结论； （2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转的性质得到BM＝BN，∠NBM＝60°，求得△BMN是等边三角形，求得MN＝BM，根据等边三角形的性质得到BE＝BA，∠ABE＝60°，求得∠ABM＝∠EBN，根据全等三角形的性质得到AM＝EN，求得AM+BM+CM＝EN+MN+CM，当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，解直角三角形即可得到结论． 【解析】（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵点B（﹣1，0），A（0，1）， ∴D（1，0），C（0，﹣1）； 过N作NH⊥BD于h， ∴∠NHB＝90°， ∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN， ∴∠NBH＝60°，BM＝BN， ∴NHBNt， ∵0＜t≤2， ∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n； 故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n； （2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H， 由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴MN＝BM， ∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝BA，∠ABE＝60°， ∴∠ABM＝∠EBN， ∴△ABM≌△EBN（SAS）， ∴AM＝EN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM， ∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长， 又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°， ∴∠EBH＝30°， ∴Rt△EBH中，EHEB2＝1， ∴BH， ∴CH＝2， ∴Rt△CEH中，CE； ∴AM+BM+CM的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题8 四边形章节重难点复习 直击考点 重难点一 平行四边形的性质 解题的关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 例1.下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 【变式1】已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2． （1）求证：G是CD的中点； （2）若CF=2，AE=3，求BE的长． 重难点二 平行四边形的判定 平行四边形的判定，关键是掌握判定定理： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 例2.下列给出的条件能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 （ ） A．AB//CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 【变式2】在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．（1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△面积的． 重难点三 格点作图 格点作图的一般步骤是:(1)明确旋转的三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度;(2)确定关键点,分别作出这几个关键点绕旋转中心旋转后的位置;(3)按原来位置依次连接各点即得要求的旋转后的图形. 例3.如图，已知的三个顶点坐标为． （1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标_______； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转，直接写出点A的对应点的坐标________． （3）请直接写出：以A、B、C为点的平行四边形的第四个项点D的所有可能的坐标________． 【变式3】如图，16个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点. （1）在图1中画出矩形，使得，，，分别落在，，，边（包含端点）的格点上； （2）如图2，已知点，，，，均在格点上，请在网格中（包含边界）找一格点，连结，使得直线平分的面积． 重难点四 平行四边形的性质与坐标 平行四边形的性质与坐标，关键是利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式得出平行四边形相对的2个点的横，纵坐标的和相等，从而求出要求的点的坐标. 例4.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ） A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3） 【变式4-1】已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是________________． 【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 重难点五 平行四边形的判定与动点 平行四边形中的动点问题关键是利用平行四边形的性质和判定找到对边的数量关系从而求出动点运动的时间. 例5.如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动；点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，那么当_______s时，以为顶点四边形是平行四边形． 【变式5】如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 重难点六 矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形全部性质。矩形特有的性质还有： 边：无; 角：①4个角都是直角； 对角线：②对角线相等. 例6.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ） A．2 B． C． D． 【变式6】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④ 重难点七 矩形的判定 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。 例7.若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形一定是（ ）． A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【变式7】如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形． （2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形GEHF是菱形？请说明理由． （3）若BD＝2AB．探究四边形GEHF的形状，并说明理由． 重难点八 菱形的性质 菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。 例8.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 【变式8】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E， （1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长． （2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD． （3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值． 重难点九 菱形的判定 菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形. 例9.如图，在四边形中，，点、、、分别是、、、的中点，四边形是怎样的四边形？证明你的结论 【变式9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由） 重难点十 正方形的性质与判定 正方形的性质：正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形. 例10.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为的中点．若的周长为18，则的长为________． 【变式10】在正方形ABCD中． （1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长； （3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长． 重难点十一 三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 例11.如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________． 【变式11-1】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【变式11-2】如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________． 重难点十二 中点四边形 1).中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形. 2).常见的中点四边形 （1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形； （4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形； （5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 例12.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 【变式12】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）. （1）四边形EFGH的形状是 _____________ .（证明你的结论 ） （2）当四边形ABCD的对角线满足 __________条件时，四边形EFGH是矩形. 重难点十三 等腰梯形的性质定理 1）等腰梯形同一个底上的两个底角相等； 2）等腰梯形的两条对角线相等. 例13.如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式13】已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 重难点十四 等腰梯形的判定定理 1）两腰相等的梯形是等腰梯形（等腰梯形的定义）； 2）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形； 3）对角线相等的梯形是等腰梯形. 例14.已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【变式14】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 重难点十五 等腰梯形的中位线定理 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 例15.如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么 ． 【变式15】如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． (1)求梯形的面积； (2)若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 重难点十六 四边形中的最值问题 四边形中的最值问题关键是灵活利用四边形的性质和判定，轴对称的性质和勾股定理等知识点求相关的最值. 例16.如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为　 　． 【变式16】如图，在中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________． 重难点十七 四边形中的折叠问题 四边形中的折叠问题关键是灵活利用折叠的性质，四边形的性质和判定，勾股定理等解决相关的问题. 例17.如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为（ ） A．9 B．8 C． D． 【变式17】（教材呈现）如图是八年级下册数学教材第117页的部分内容． 结合图①，补全证明过程． （应用）如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为　 　． （拓展）如图③，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝，BC＝4，∠C＝45°，则EF的长为　 　． 重难点十八 四边形中的旋转问题 图形旋转过程中保持全等性质，即对应角相等、对应边相等；同时旋转角也保持不变；还有旋转中心与对应点的连线相等. 例18.（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝　　．若AB＝4，则△CEF的周长为　　． （2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． 【变式18】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）． （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为　 　，点C的坐标为　 　；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是　 　； （2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值． （提示：连结MN：1，1） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $