第02讲常用三角公式讲义（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第02讲常用三角公式 知识清单 知识点01：和角与差角公式 知识点02：倍角公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦和正切 题型2：用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型3：用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型4：用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 题型5：二倍角的正弦、余弦和正切公式 题型6：辅助角公式 题型7：三角恒等变换的化简问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01和角与差角公式 ； 。 知识点02倍角公式 ；； 题型1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦和正切 【例1-1】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例1-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知都是锐角，，，则 . 【例1-3】（24-25高一下·上海·月考）已知锐角满足，，求的值． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，为第四象限角，的终边与以2为半径的圆交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若、为锐角，，，则角 ． 【变式1-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 题型2：用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【例2-1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ． 【例2-3】化简： (1)； (2)． 【变式2-1】假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【变式2-2】（24-25高一下·上海静安·期末）化简：= . 【变式2-3】证明： (1)； (2)． 题型3：用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【例3-1】（24-25高一·上海·随堂练习）若，，即（    ）． A．2 B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 【例3-3】（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【变式3-1】（24-25高一下·上海·月考）已知点，将线段绕坐标原点逆时针转动至，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】化简： . 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值： (1)； (2). 题型4：用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 【例4-1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，则等于（    ）． A．； B．； C．； D．． 【例4-2】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角满足，则 ． 【例4-3】求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25高一下·上海浦东新）已知是锐角三角形，下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·上海·课后作业） . 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期末）（1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 题型5：二倍角的正弦、余弦和正切公式 【例5-1】（24-25高一下·上海·期中）“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例5-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 【例5-3】（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【变式5-2】（24-25高一下·上海长宁·月考）若，，，，则的值等于 ． 【变式5-3】（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 题型6：辅助角公式 【例6-1】（24-25高一上·上海·课后作业）将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知则 . 【例6-3】把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 【变式6-1】将化为的形式（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 题型7：三角恒等变换的化简问题 【例7-1】（23-24高一下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知两点,则的值是 . 【例7-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 【例7-3】把下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【变式7-1】（24-25高一下·上海·月考）对于集合（，）及常数，称为集合相对于常数的“余弦方差”，那么集合相对于常数的“余弦方差”的值为 . 【变式7-2】（24-25高一上·上海·月考）（1）在中，求证： （2）在中，求证：. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·单元测试）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期末）方程 在 上的解为 . 2．若对满足的任何都有，则数组 ． 3．把化成的形式 4．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简 . 6．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 7．已知，则 ． 8．（24-25高二下·上海·期末）已知，则 ． 9．（24-25高一下·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则 ． 10．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 11．（25-26高一上·上海·月考）已知，且满足，则 ． 12．（25-26高一下·上海·月考）若函数在时取到最大值，则 ． 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·月考）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 14．若，则（    ） A． B． C． D． 15．已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 16．设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·期中）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 18．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值. 19．（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 20．已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 21．（25-26高二上·上海·月考）已知是的三个内角，. (1)若是正三角形，求的值； (2)若中有一内角为，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味司 第02讲常用三角公式 内容预览 知识清单 知识点01：和角与差角公式 知识点02：倍角公式 题型1：已知两角的正、余弦，求和、差角的 题型2：用和逆用和、差角的余弦公式化简、 余弦、正弦和正切 求值 题型讲解 题型3：用和逆用和、差角的正弦公式化简、 题型4：用和逆用和、差角的正切公式化简、 (举三反三) 求值 求值 题型5：二倍角的正弦、余弦和正切公式 题型6：辅助角公式 题型7：三角恒等变换的化简问题 强化训练 一、填空题(12) 二、单选题（4) 三、解答题(5) 知识清单 知识点01和角与差角公式 cos(a±B)=cos cosβFsinasin B:sin(a±β)=sin acos B±cos&sinB tan(a±F)= tana±tanB l千tan a tan B 知识点02倍角公式 sin2a=2sina cosa cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a: tan 20 2tan& 1-tan2a 888 题型讲解 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味司 题型1：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦和正切 【例1已知ma4aem伊子Be经2则a+B是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】B 【分析】由两角和的正余弦公式求解cos(a+)和sin(a+P)进而判断角所在象限. 【详解1sna=-子a受o=B(经2a 4 .cos(a+B)=cosa cos B-sin a sin B 33-45<0, 二)= 20 sin(a+B)=sin a cos B+cosasin B -x+5x 45 C335-4>0 20 n+3n a+B<3 +2π， ∴.a+F是第二象限角. 故选：B. 【例1-2】(24-25商一下上海宝山：期中)已知么，B都是候角，cosu-写cosa+)=, ,则sinB=一 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 【答案】4+6V2 15 【分析】先根据a,B的范围得出a+B∈(O,,再根据同角三角函数的关系求出sina、sin(a+B),最后利用两角和 差的正弦公式即可. 【详解】因。，p都是锐，则a,B0引 则a+B∈(0，' 因a+=则ma+--e+=g-手 因csa=则sina=-cosa- sin B=sin(a+B-a)=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina =4×13x224+62 535X3= 15 故答案为： 4+6W2 15 【例1-3】24-25高一下上海月考)已知锐角，B满足cosa5.，C0s(Q+B)=-13,求cosB的值. 33 【答案】 65 【分析】先由题设求得sina,sin(au+B)的值，再结合cosB=cos[(a+B)-a]利用两角差的余角公式，代入即可求得 结果 【详解1因为a0引80》 所以a+B∈(0，' 又因为cosa= 5, cos(a+B月)=-12 3 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 所以sina=V1-cos2a= sin(a+B)=/1-cos2(a+B)= cosB=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina 12+3x5=-33 【变式1-1】在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，a的终边与以2为半径的圆O交于点P(x,%),若 cosa+）=4 +65则x=() A.43-3 B.45+3 C.35-4 D. 4V3±3 5 5 5 5 【答案】A 【分析】由三角函数的定义知，=2c0sx, 因为cosa=cos a+副 所以利用两角差的余弦公式可求。 【详解】在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角， 角的终边与半径为2的圆交于点P(x,), ..xo=2cosa a-2-2人a+号2mez 叫o -w 4 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 60 4W3-3 X0= 5 故选：A 【变式12】若eB为领角，m以45，ma创=4则狗A:一 【答案】号 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得ana+月)=-5V5 11， 然后利用两角差的正切公式结合条件即得. 【详解】由于a,B为锐角，所以0<a+B<π， 所以saa+到=y-e1a*月-得.aa+=55 11, 5v3 -45 所以tmB=tam[a+倒-a]-1+anla+ama tan(a+B)-tana 11 15v =5, 1 2×43 所以B-子 故答案为： 【变式1-3】证明下列恒等式： 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 sin(a+β) (1 cosa cos B tana+tan B (2)sin(a+B)cos(a-B)=sina cosa+sin Bcos B 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)利用两角和的正弦公式展开，分子分母同时除以cosa cos B即可得证. (2)利用两角和公式对等式左边进行展开，化简整理进而利用同角三角函数基本关系，进一步化简整理证明原式， sina cos B+cosa sin B 【详解】(1)左边= cosa cos B (分子分母同时除以cosacosB) tana+tan B, =右边， 从而得证. (2)=(sin a cos B+cosa sin B)(cosa cos B+sina sin B) sin a cosa cos2B+sin2 a sin B cos B+cos2 a sin B cos B+sin a cos a sin2B sina cosa(cos2 B+sin2B)+sin Bcos B(sin2a+cos2a) =sina cosa+sin B cos B=右边. 从而得证. 题型2：用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【例2-1】(24-25高一下·上海普陀·期中)已知sina+sinB=0,cosa-cosB=V3,则cosa+)=() 5 A.- B. C. D 2 2 2 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得cos(α+)的值. 【详解】由sina+sinβ=0，可得sin'a+2 sinasinB+sin2p=0①， 由cosa-cosB=V3,可得cos2a-2 cosacosB+cos2B=3②， ①+②得，1-2 cosacosB+2 sinasinB+1=3, 所以-=号所以eosa+pl= 故选：B. 1 【例2-2】(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知cosa=5,则c0s(π+a)=一 【答案】5-0.2 【分析】运用两角和的余弦公式展开cos(π+a)并代入cosa的值即可. 1 【详解】cos(π+a)=cosπcosa-sinπsina=-cosa= 故答案为：5 【例2-3】化简： (1)cos(22°-xcos(23°+x-sin(22°-x)sin(23°+x: 【路案10号 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【分析】(1)逆用两角和的余弦公式： (2)逆用两角差的余弦公式即可求值. 【详解】(1)原式=c0s(2°-x+23°+)=c0s45= 2； (2)原式=c0+a-a)=cos5-5 62· 【变式2-1】假设实数x,x,满足x子+=1，号+号=3，x2-以=5，则5+少2的取值() A.是唯一确定的 B.不唯一，但有限多 C.有无穷多 D.不存在符合题意的x,x2,,2 【答案】B 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为x2+y2=l,设x=cosa,y=sina,a∈[0,2π， 因为x号+y=3,设x2=V3cosB,y=V3sinβ，B∈[0,2π， 所以x为-X=5((simpeosa--cosBsina)=V2.可得sinpeosa-c0f6ina=Sin(B-d-5 因为snA-a+sB-a1=1所以om时B-a-+方 所以+4=5 oo+mia-cowB-a5上31. 故选：B. 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味司 【变式221(2425高-下上海静安期未)化简：mx+20cea(任+0+oa-20sm(经-小 【答案】cos8 【分析】根据三角函数的诱导公式进行计算即可. sinπ+20)cos 【详解】 经+9+om-29snΞ-9-sn29-sn1-ams29-omsj =sin 20sin0+cos 20 cos0=cos(20-0)=cos0 故答案为：cos0 【变式2-3】证明： 2cos Acos B-cos(A-B) (1)cos(4-B)-2sin Asin B (2)cos(a+B)cos(a-B)=cos2B-sin2a 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(1)(2)由两角和与差的余弦公式，结合条件求证即可. 2cos Acos B-cos(A-B) 【详解】(1) 2cos Acos B-(cos Acos B+sin Asin B) cos(A-B)-2sin Asin B= cos Acos B+sin Asin B-2sin Asin B cos Acos B-sin Asin B cos Acos B-sin Asin B =1, 2cos Acos B-cos(A-B) 即 =1 cos(A-B)-2sin Asin B (2)cos(a+B)cos(a-B)=(cosa cosB-sina sin B)(cosa cosB+sinasin B) 9 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 cos2 a cos2B-sin2 a sin2 B =1-sin2a)cos2阝-sina1-cos2β) cos2B-sin2a, cos(a+B)cos(a-B)=cos2B-sin2a. 题型3：用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 1 【例3-1】(24-25高一·上海随堂练习)若sinx+siny= 4 coSx+CoSy= 3, 即any=(）. 2 3 2 A.2 B. 4 C. 1 3 D. 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案， 【详】由s4子得生+）(）4 展开并整理得2m兰0- 24①， 由wm学+号学}告}片 稷开并整理得2c0S。一cos二业。1 23②， 1 由①②得tan x+y_4_3 2 14 3 故选：B 10