第01讲正弦、余弦、正切、余切讲义（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第01讲正弦、余弦、正切、余切 知识清单 知识点01：弧度制 知识点02：扇形弧长与面积 知识点03：单位圆 知识点04：正弦、余弦、正切及余切的定义 知识点05：同角三角公式 知识点06：诱导公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：任意角与弧度的有关概念 题型2：扇形弧长公式与面积公式的应用 题型3：利用同角三角基本关系化简求值 题型4：利用诱导公式化简求值 题型5：利用诱导公式与同角三角关系求值 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01.弧度制 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 1.角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 2.应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 3.象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 知识点02扇形弧长与面积 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点04 正弦、余弦、正切及余切的定义 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点05 同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符 号. 知识点06诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 题型1：任意角与弧度的有关概念 【例1-1】（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 【例1-2】（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 【例1-3】在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 【答案】图形见详解 【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有，即可判断可能值. 【详解】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 【变式1-2】第二象限角用集合表示为 . 【答案】 【分析】利用终边相同角的集合来表示即可. 【详解】由第二角限角的集合为， 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 【答案】(1)，第三象限的角 (2) 【分析】（1）由除以可得答案； （2）利用求出可得答案. 【详解】（1）由除以，得商为5，余数为， ∴取，，， 又是第三象限的角，、终边相同， ∴为第三象限的角； （2）与终边重合的角：（）， 令（）， 解得（）， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值为. 题型2：扇形弧长公式与面积公式的应用 【例2-1】（25-26高一上·上海·月考）若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长. 【详解】设扇形的半径为，则，故， 故弧长为. 故选：B 【例2-2】（25-26高一上·上海·月考）已知一个扇形面积为12，周长为16，则其圆心角的大小为 弧度. 【答案】6或 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小． 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或； 当，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 【例2-3】一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【答案】时，扇形的面积取最大值，最大值为． 【分析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则 ，即． 扇形的面积，将上式代入， 得， 所以当且仅当时，有最大值16， 此时， 可得：． 所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为． 【变式2-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【答案】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 【变式2-3】（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【详解】（1）由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. （2）由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ， 所以，. 题型3：利用同角三角基本关系化简求值 【例3-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义判断的符号，结合同角三角函数关系式，化简即可得出答案. 【详解】因为，则，， 所以 . 故选：A. 【例3-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，且是第四象限角，那么的值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由，且是第四象限角，可得， 所以. 故答案为：. 【例3-3】（24-25高一上·上海·期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】. 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： ， 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， . 【变式3-1】一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是，则第2024次输出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可代入求解前几次的输出结果，即可根据周期性求解. 【详解】由已知可得第一次输出的是， 第二次输出的是， 第三次输出的是． 于是，可知周期为3，,所以第2024次输出的是， 故选：． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·月考）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意得，结合，解得，再根据代入求解即可． 【详解】， ，即， 整理得，解得，（舍去）， ，， ． 故答案为：． 【变式3-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）展开即可. （2）通分，再利用化简即可得到答案. 【详解】（1）， . （2） . 题型4：利用诱导公式化简求值 【例4-1】若是任意实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】结合题意：. 故选：C. 【例4-2】（24-25高一下·上海·月考）化简： ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简可得结果. 【详解】原式. 故答案为：. 【例4-3】（25-26高一上·上海青浦·月考）化简：. 【答案】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】原式. 【变式4-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·上海·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·上海嘉定·月考）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简可求值； （2）利用1的代换可得原式，再化为的表达式可求值. 【详解】（1）. （2）. 题型5：利用诱导公式与同角三角关系求值 【例5-1】（24-25高一下·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简即可. 【详解】 . 故答案为： 【例5-2】（24-25高一下·上海·月考）化简：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简得解. 【详解】 . 【例5-3】（24-25高一上·上海·期末）已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及倒数关系化简，再利用特殊角的三角函数值求解. （2）利用同角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）由角为第二象限角，且，得， 所以. 【变式5-1】化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·上海·月考）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）将的齐次式转化为关于的式子，代入已知值即可. 【详解】（1） . （2）因为，所以． ， 将上式的分子、分母同时除以得． 【变式5-3】（23-24高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1） ． （2） ， ， 则． 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·月考）若，则的终边在第 象限． 【答案】二 【分析】直接计算的范围即可得终边所在象限. 【详解】由，所以，所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知角的终边经过点，则   . 【答案】 【分析】利用诱导公式结合三角函数的定义可求得所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知扇形的弧长是，面积是，则该扇形的圆心角（弧度制）大小= . 【答案】/ 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式，可得答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 由，则解得. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·月考）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】根据三角函数的定义，， 则． 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据任意角三角函数的定义和诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以，则. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的关系得，即可解出. 【详解】由，则， 又，则， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【详解】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简可得结论. 【详解】由诱导公式可得，， ，， ，， 所以. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，结合已知正弦函数值求解． 【详解】，， ． 故答案为：． 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】若，得到，则，又，则，则. 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 二、单选题 13．对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（    ） A．一定是锐角 B．是使公式有意义的任意角 C．一定是正角 D． 【答案】B 【分析】由诱导公式成立条件直接判断即可. 【详解】诱导公式中的角是使公式有意义的任意角，故B正确. 故选：B. 14．（25-26高一上·上海普陀·月考）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．都是正数 【答案】D 【分析】举例说明判断A；求出转过的角大小判断B；确定角所在象限判断C；确定函数值正负判断D. 【详解】对于A，是第二象限角，是第一象限角，而，A错误； 对于B，将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，B错误； 对于C，角是第一象限角，角是第四象限角，它们的终边不同，C错误； 对于D，分别是第二象限和第一象限角，因此，D正确. 故选：D 15．在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 16．（2024高一下·上海·专题练习）与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式对化简，然后再利用诱导公式对各选项化简分析判断即可. 【详解】解：， 对于A，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C错误； 对于D，，所以D正确． 故选：D． 三、解答题 17．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义运算求解即可； （2）先求得，再利用诱导公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，解得 又，所以. （2）由（1）可知：，则， 所以. 18．（2024高一下·上海·专题练习）（1）已知是第三象限角，化简； （2）已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由已知的范围结合同角三角函数基本关系式化简求值． （2）设出直角三角形的一个锐角，写出一元二次方程的判别式，根据判别式恒大于等于，得到方程的根的情况，利用同角间的三角函数关系，可得结论． 【详解】（1）是第三象限角， ； （2）不妨设直角三角形的一个锐角为， 方程中，， 当，方程恒有两实根， 又， 所以， 解得， 当时，，，满足题意， 当时，，这与是锐角矛盾，应舍去． 综上，. 19．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，结合齐次式问题分析求解； （2）根据诱导公式结合同角三角关系可得，结合三角函数的定义分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，可得 若，则， 所以. （2）因为， 可得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求出结果； （2）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系，即可求解； （3）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系，即可求解； （4）利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，再利用同角三角函数间的关系，即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 21．（23-24高一上·上海·期末）（1）已知，若、是关于x的一元二次方程的两实根，求的值； （2）已知，且，求及的值. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）利用韦达定理可得，同角三角关系分析求解，注意； （2）根据之间的关系结合诱导公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，解得或， 且， 又因为，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以； （2）因为，且， 即，可得， 且，可知，则， 又因为，且， 可得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲正弦、余弦、正切、余切 知识清单 知识点01：弧度制 知识点02：扇形弧长与面积 知识点03：单位圆 知识点04：正弦、余弦、正切及余切的定义 知识点05：同角三角公式 知识点06：诱导公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：任意角与弧度的有关概念 题型2：扇形弧长公式与面积公式的应用 题型3：利用同角三角基本关系化简求值 题型4：利用诱导公式化简求值 题型5：利用诱导公式与同角三角关系求值 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01.弧度制 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 1.角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 2.应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 3.象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 知识点02扇形弧长与面积 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点04 正弦、余弦、正切及余切的定义 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点05 同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符 号. 知识点06诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 题型1：任意角与弧度的有关概念 【例1-1】（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【例1-3】在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】第二象限角用集合表示为 . 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知角. (1)把改写成为（，）的形式，并指出它是第几象限的角； (2)求，使与终边重合，且. 题型2：扇形弧长公式与面积公式的应用 【例2-1】（25-26高一上·上海·月考）若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　） A． B．2 C． D． 【例2-2】（25-26高一上·上海·月考）已知一个扇形面积为12，周长为16，则其圆心角的大小为 弧度. 【例2-3】一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【变式2-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【变式2-3】（2024高一下·上海·专题练习）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 题型3：利用同角三角基本关系化简求值 【例3-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，且是第四象限角，那么的值是 . 【例3-3】（24-25高一上·上海·期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【变式3-1】一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是，则第2024次输出的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·月考）若，则 . 【变式3-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 题型4：利用诱导公式化简求值 【例4-1】若是任意实数，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·上海·月考）化简： ． 【例4-3】（25-26高一上·上海青浦·月考）化简：. 【变式4-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·上海·月考）已知，则 ． 【变式4-3】（24-25高一下·上海嘉定·月考）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 题型5：利用诱导公式与同角三角关系求值 【例5-1】（24-25高一下·上海·期中）化简： ． 【例5-2】（24-25高一下·上海·月考）化简：. 【例5-3】（24-25高一上·上海·期末）已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 【变式5-1】化简： . 【变式5-2】（25-26高一上·上海·月考）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【变式5-3】（23-24高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·月考）若，则的终边在第 象限． 2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知角的终边经过点，则   . 3．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知扇形的弧长是，面积是，则该扇形的圆心角（弧度制）大小= . 4．（24-25高一下·上海·月考）已知角的终边经过点，则 ． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 6．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知角的终边经过点，则 ． 7．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则 ． 8．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 9．（24-25高一上·上海·期末）化简： . 10．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，则 ． 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）若，则 . 12．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 二、单选题 13．对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（    ） A．一定是锐角 B．是使公式有意义的任意角 C．一定是正角 D． 14．（25-26高一上·上海普陀·月考）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．都是正数 15．在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 16．（2024高一下·上海·专题练习）与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 18．（2024高一下·上海·专题练习）（1）已知是第三象限角，化简； （2）已知关于的方程的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦，求的值． 19．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求点的坐标. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（23-24高一上·上海·期末）（1）已知，若、是关于x的一元二次方程的两实根，求的值； （2）已知，且，求及的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $