1.3 证明（2）课件2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

这是一份初中数学的开学课件，围绕“1.3 证明（2）”展开，包含泰勒斯故事引入、三角形内角和定理探究（直观实验与多种几何证明方法）、外角定义及性质学习、例题应用和梳理小结，为学生搭建从直观到逻辑推理的学习支架。 资料特色突出，以泰勒斯观察金字塔引入培养数学眼光，通过三种辅助线添加方法（过顶点、延长线、边上取点）实现一题多解，渗透等角转化思想，强化证明规范书写，助力七年级学生适应几何推理学习，发展推理能力与创新意识，也为教师提供结构化探究素材，提升教学效率。

1.3 证明（2） 泰勒斯 课堂引入 泰勒斯是古希腊著名的哲学家、数学家，在数学领域有着诸多开创性的贡献。他在游历埃及期间，被古埃及人精湛的建筑技艺所吸引，在观察金字塔的过程中，他思考着各种几何问题。 2 活动一：探究三角形内角和定理 问题1：你能用什么办法能证明三角形的内角和为180°呢?  活动探究 方法一：直观实验法（测量、剪纸或折叠法） 追问1：有没有更具逻辑性的证明方法？ 方法二：几何证明法 思考1:你能根据条件和结论画出图形， 写出已知和求证吗？ 已知：如图，∠A，∠B，∠C是 △ABC 的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 写出已知求证 画出图形 理解题意 3 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 问题2：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起？ 活动探究 M N MN//BC ∠C=∠NAC ∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠MAB+∠NAC=180° ∠B=∠MAB 过点A 作直线MN//BC （两直线平行，内错角相等） ∙ ∙ 方法二：几何证明法 证明：如图，过点A作直线MN//BC， 则∠B=∠MAB， ∠C=∠NAC。 (两直线平行，内错角相等)。 ∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠MAB+∠NAC=180° （将三角形三个内角转化为一个平角） 方法1证明过程 思路1 辅助线 添加辅助线 探索证明思路 写出证明过程 追问2:这些线中哪些线容易产生相等的角？ 4 已知：如图，∠B，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 思考2：还有别的辅助线添加方法吗？ 活动探究 D E 1 2 作BC 的延长线CD， 过点C 作射线CE//AB 辅助线 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， 则∠1=∠A (两直线平行，内错角相等) ∠2=∠B (两直线平行，同位角相等) 因为 ∠1+∠2+∠ACB=180° 所以 ∠A+∠B+∠ACB=180° 方法2证明过程 5 已知：如图，∠B，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 思考3：除了选三角形的顶点作平行线之外，可不可以选三角形边上一点？ 活动探究 证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB， 作DF//AC，分别交AB，AC于点F，E。 所以∠1=∠C，∠2=∠B，∠5=∠A (两直线平行，同位角相等)， ∠3=∠5(两直线平行，内错角相等)， 所以∠3=∠A， 因为∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠A+∠B+∠C=180°。 E 2 F 1 3 · D 在BC上任取一点D，过D 作DE//AB， 作DF//AC，分别交AB，AC于点F，E 辅助线 方法3证明过程 5 6 问题3：以上几种添辅助线证明命题的方法，有什么共同的特点？ 方法归纳 内角和定理证明方法 归纳 等角转化 构造平行线 平行线的性质 三内角转化为一个平角 技 巧 归 纳 数 学 思 维 辅助线位置多样 一题多解 统一于等角转化策略 多解归一 （思维灵活性） （本质统一性） 辅助线 为证明而添的线 通常画成虚线 添线过程写在证明里 外角 问题4:延长△ABC的一条边AB,得到一个新的角---∠CBD，这个角有什么特点？ 新知探究 一个顶点处有两个外角，这两个角是对顶角， D E 一个三角形有六个外角。 思考4：点B处除了∠CBD以外还有其它外角吗？ 外角：三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角， 叫三角形的外角。 8 ∠ABC+∠CBD=180°, 三角形一个内角与他相邻的外角互补 问题6: 外角∠CBD与它不相邻的两个内角∠A和∠C之间， 又存在什么样的关系呢？ 问题5：外角∠CBD与它“相邻”的内角∠ABC有什么关系？ 活动探究 活动二：探究三角形外角和定理 动手操作：任意画一个三角形，用量角器（或几何画板）量出三角形的两个内角（∠A、∠C）和∠CBD的外角度数。 方法一：动手测量 或者几何画板验证 ∠CBD=∠A+∠C 9 新知探究 方法二：几何证明 推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 因为∠CBD=∠A+∠C，所以∠CBD>∠A，∠CBD>∠C 追问3：还能得出什么结论？ 推论2：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 活动二：探究三角形外角和定理 ∠CBD+∠ABC=180° （邻补角定义） ∠A+∠C+∠ABC=180° （三角形内角和定理） ∠CBD=∠A+∠C 10 例1:已知：如图，∠B+∠D=∠BCD。求证：AB∥DE。 应用新知 方法一：延长BC或DC，构外角和 F ∠BCD= ∠D + ∠CFD （外角和定理） ∠BCD=∠B+ ∠D （已知） ∠B= ∠CFD AB// DE（同位角相等，两直线平行） 例题:已知：如图，∠B+∠D=∠BCD。求证：AB∥DE。 应用新知 方法二：连结BD，内角转化 ∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180° ∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180° （内角和定理） ∠ABC + ∠CDE =∠BCD （已知） ∠ABC + ∠CDE + ∠CBD + ∠CDB= 180° 即∠ABD + ∠BDE=180° AB// DE （同旁内角互补，两直线平行） 1．我们用什么方法证明了三角形内角和定理？ 2．三角形外角的定义和两条重要性质分别是什么？ 3．证明的规范书写和辅助线的添加原则是什么？ 梳理小结 梳理小结 定义 证明路径 三角形 内角和定理 三角形外角的性质 性质1 性质2 添加辅助线 核心思想 等角转化 理解题意 → 画出图形 → 写出已知和求证 → 探索证明思路 → 写出证明过程 画成虚线，并在证明过程中写明做法 沟通已知与未知，转化问题，搭建逻辑桥梁 如何 证明 转化 策略 ∠CBD=∠A+∠C ∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 数学思维 一题多解 多解归一 $